Pruebas de hipótesis u32

¿Qué es una hipótesis?

• Hipótesis: enunciado acerca de una población elaborada con el propósito de ponerse a prueba.

• Ejemplos de hipótesis acerca de un parámetro de población son:· la media mensual de ingresos para

analistas de sistemas es $3625,· el 20% de los delincuentes juveniles

son capturados y sentenciados a prisión.

9-3

¿Qué es una prueba de hipótesis?

• Prueba de hipótesis: procedimiento basado en la evidencia muestral y en la teoría de probabilidad que se emplea para determinar si la hipótesis es un enunciado razonable y no debe rechazarse o si no es razonable y debe ser rechazado.

9-4

Prueba de hipótesis

9-5

N o rech azar lah ip ó tes is n u la

R ech azar la h ip ó tes is n u lay acep ta r la a lte rn a

P aso 5 : tom ar u n a m u es tra , lleg ar a u n a d ec is ió n

P aso 4 : fo rm u la r u n a reg la d e d ec is ió n

P aso 3 : id en tifica r e l va lo r es tad ís tico d e p ru eb a

P aso 2 : se lecc ion ar u n n ive l d e s ig n ifican c ia

P aso 1 : p lan tear las h ip ó tes is n u la y a lte rn a

Definiciones

• Hipótesis nula H0: afirmación acerca del valor de un parámetro poblacional.

• Hipótesis alterna H1: afirmación que se aceptará si los datos muestrales proporcionan evidencia de que la hipótesis nula es falsa.

• Nivel de significancia: probabilidad de rechazar la hipótesis nula cuando es verdadera.

• Error Tipo I: rechazar la hipótesis nula cuando en realidad es verdadera.

9-6

Definiciones

• Error Tipo II: aceptar la hipótesis nula cuando en realidad es falsa.

• Estadístico de prueba: valor obtenido a partir de la información muestral, se utiliza para determinar si se rechaza o no la hipótesis.

• Valor crítico: el punto que divide la región de aceptación y la región de rechazo de la hipótesis nula.

9-7

Prueba de significancia de una cola

• Una prueba es de una cola cuando la hipótesis alterna, H1, establece una dirección, como:· H0 : el ingreso medio de las mujeres es

menor o igual al ingreso medio de los hombres.

· H1 : el ingreso medio de las mujeres es mayor que el de los hombres.

9-8

- 5

0 . 4

0 . 3

0 . 2

0 . 1

. 0

f(

xr a l i t r b u i o n : = 0 , = 1

0 1 2 3 4

Valorcríticoz = 1.65

.95 probabilidad

.05 región derechazo

Distribución de muestreo para el valor estadístico z,prueba de una cola, nivel de significancia de .05

Prueba de significancia de dos colas

• Una prueba es de dos colas cuando no se establece una dirección específica de la hipótesis alterna H1, como:· H0 : el ingreso medio de las mujeres es

igual al ingreso medio de los hombres.

· H1 : el ingreso medio de las mujeres no es igual al ingreso medio de los hombres.

9-10

- 5

0 . 4

0 . 3

0 . 2

0 . 1

. 0

f(

xr a l i t r b u i o n : = 0 , = 1

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

Valorcríticoz = 1.96

.95 probabilidad

Distribución de muestreo para el valor estadístico z, pruebade dos colas, nivel de significancia de 0.05

2 .025 regionesde rechazo

Prueba para la media poblacional: muestra grande, desviación estándar

poblacional conocida

• Cuando se hace una prueba para la media poblacional de una muestra grande y se conoce la desviación estándar, el estadístico de prueba está dado por:

zX

/ n

9-12

EJEMPLO 1

• Los fabricantes de Fries’ Catsup indican en su etiqueta que el contenido de la botella es de 16 onzas. Cada hora se toma una muestra de 36 botellas y se pesa el contenido. La muestra de la última hora tiene un peso medio de 16.12 onzas con una desviación estándar de .5 onzas. ¿Está el proceso fuera de control para un nivel de significancia de .05?

9-13

EJEMPLO 1 continuación

• Paso 1: establezca la hipótesis nula y alterna• Paso 2: establezca la regla de decisión:

• Paso 3: calcule el valor del estadístico de prueba:H0 se rechaza si z <- 1.96 o z > 1.96

• Paso 4: decisión sobre H0: no se rechaza H0 porque 1.44 es menor que el valor crítico 1.96

H H0 116 16: :

z [ . ] / [. / ] .1612 16 5 36 144

9-14

Valor p en la prueba de hipótesis

• Valor p: es la probabilidad de observar un valor muestral tan extremo o más que el valor observado, dado que la hipótesis nula es verdadera.

• Si el valor p es menor que el nivel de significancia, H0 se rechaza.

• Si el valor p es mayor que el nivel de significancia, H0 no se rechaza.

9-15

Cálculo del valor p

• Prueba de una cola: valor p = P { z el valor absoluto del estadístico de prueba calculado}

• Prueba de dos colas: valor p = 2P { z el valor absolut del estadístico de prueba calculado}

• Para el EJEMPLO 1, z = 1.44, y para una prueba de dos colas, el valor p = 2P { z 1.44} = 2(.5-.4251) = .1498. Como .1498 > .05, no se rechaza H0.

9-16

Prueba para la media poblacional: muestra grande, desviación estándar

poblacional desconocida

• Aquí es desconocida, así que se estimará con la desviación estándar de la muesta s.

• Siempre que el tamaño de muestra n 30, z puede aproximarce con:

zX

s n

/

9-17

EJEMPLO 2

• La cadena Roder’s Discount emite su propia tarjeta de crédito. Lisa, la gerente de crédito, quiere encontrar si la media mensual de saldos no pagados es mayor que $400. El nivel de significancia es de .05. Una revisión al azar de 172 saldos reveló que la media muestral es $407 y la desviación estándar muestral es $38. ¿Debe Lisa concluir que la población media es mayor que $400, o es razonable suponer que la diference de $7 ($407-$400) se debe al azar?

9-18

EJEMPLO 2 continuación

• Paso 1:• Paso 2: H0 se rechaza si z > 1.645

• Paso 3:• Paso 4: H0 se rechaza. Lisa puede

concluir que la media de saldos no pagados es mayor que $400.

H H0 1400 400: :

z [ ] / [ / ] .407 400 38 172 2 42

9-19

Prueba de hipótesis: dos medias poblacionales

9-20

• Suponga que los parámetros para dos poblaciones son:

• Para muestras grandes el estadístico de prueba es:

2121 y , ,

zX X

s

n

s

n

1 2

12

1

22

2

Prueba de hipótesis: dos medias poblacionales

• Cuando no se conocen pero el tamaño de muestra es mayor o igual que 30, el estadístico de prueba es

21 y 21 y nn

zX X

sn

1 2

12

1

22

2

9-21

EJEMPLO 3

• Se realizó un estudio para comparar los años promedio de servicio de quienes se retiraron en 1979 con los que se retiraron el año anterior en Delong Manufacturing Co. Con un nivel de significancia de .01 ¿podemos concluir que los trabajadores que se retiraron el año pasado trabajaron más años según la siguiente muestra? Nota: sea población #1= año anterior.Característica 1979 Año anterior

Media de la muestra 25.6 30.4Desviación estándar

de la muestra2.9 3.6

Tamaño de la muestra 40 45

9-22

EJEMPLO 3 continuación

• Paso 1:• Paso 2: Rechace H0 si z > 2.33

• Paso 3:

• Paso 4: Como z = 6.80 > 2.33, H0 se rechaza. Los que se retiraron el año anterior tenían más años de servicio.

H H0 2 1 2 1: : 1

z

30 4 256

3645

2 940

6802 2

. .

. ..

9-23

Pruebas respecto a relaciones proporcionales

• Relación proporcional: parte fraccional o porcentaje que indica la parte de la población o muestra que tiene un atributo particular de interés.

• La relación proporcional muestral se representa por donde

muestreado númeromuestrala en éxitos de número

=p

p

9-24

Estadístico de prueba para ensayos con una sola relación proporcional de

población

9-25

)1(

p

n

pz

relación proporcional poblacional

relación proporcional muestral

EJEMPLO 4

• En el pasado, 15% de la propaganda por correo para donativos dio como resultado contribuciones. Se mandó una nueva carta a una muestra de 200 personas y 45 enviaron un donativo. Para .05 de significancia, ¿se puede concluir que la nueva carta fue más efectiva?

9-26

EJEMPLO 4 continuación

• Paso 1:• Paso 2: H0 se rechaza si z > 1.645

• Paso 3:

• Paso 4: como z = 2.97 >1.645, H0 se rechaza. La nueva carta es más efectiva.

H p H p0 115 15: . : .

z

45200

15

15 85200

2 97.

(. )(. ).

9-27

Prueba donde interviene la diferencia entre dos relaciones proporcionales de

población

9-28

• El estadístico de prueba en este caso es:

zp p

p p

n

p p

nc c c c

1 2

1 1( ) ( )

Prueba donde interviene la diferencia entre dos relaciones proporcionales de

población continuación

• es la media ponderada de las dos relaciones proporcionales, calculadas por:

pc

21

++

=

nnXX

muestrasdetotalnúmeroéxitosdetotalnúmero

pc

9-29

EJEMPLO 5

• ¿Es más probable que los trabajadores solteros falten más que los trabajadores casados? Una muestra de 250 trabajadores casados indicó que 22 faltaron más de 5 días el año pasado, mientras que una muestra de 300 trabajadores solteros indicó que 35 faltaron más de 5 días. Utilice .05 de nivel de significancia. Nota: sea población #1 = trabajadores solteros.

9-30

EJEMPLO 5 continuación

• Paso 1:• Paso 2: H0 se rechaza si z > 1.645

• Paso 3:

H p p H p p0 2 1 1 2 1: :

p

z

22 35

250 3001036

1167 0880

1036 1 1036300

1036 1 1036250

.

. .

. ( . ) . ( . )

9-31

EJEMPLO 5 continuación

• Paso 4: H0 no se rechaza. No existe diferencia entre la proporción de trabajadores casados y solteros que faltan más de 5 días al trabajo.

• El valor p = P{ z > 1.1} = .1357

9-32

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