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Pruebas de hipótesis:Media de una población

©1999-2007 Pedro Juan Rodríguez Esquerdo

Departamento de MatemáticasRecinto de Río Piedras

Universidad de Puerto Rico

Gasto per cápita en salud 1995

Estados Unidos: $3,633

1995 Per capita health expenditures[US dollars]Austria 1,634 France 1,972 Ireland 1,106 Portugal 1,035Belgium 1,665 Germany 2,134 Italy 1,507 Spain 1,075Czechoslovakia 749 Greece 703 Luxembourg 2,206 Sweden 1,360Denmark 1,368 Hungary 562 Netherlands 1,728 Switzerland 2,412Finland 1,373 Iceland 1,774 Norway 1,821 United Kingdom 1,246

Se desea saber si el gasto per cápita promedio en servicios de salud en estos paises es significativamente menor que el gasto en los Estados Unidos.

Hipótesis

H0: μ = 3,633 Ha: μ < 3,633 μ representa la media poblacional de los

gastos en salud de los 20 paises. Premisas:

– varianza poblacional conocida σ2 = 248,140.75.

– los datos tienen una distribución normal.– los datos son independientes.

Prueba de hipótesis

¿Puede concluirse que µ < 3,633 y por lo tanto rechazar H0)?

Se debe tener una seguridad razonable de que el valor estimado de µ, 1,471 no ocurrió por azar.

¿Cómo?

Estadísticas:50.471,1x

n = 20

σ = 498.14Conocido:

Distribución Poblacional Gastos

Si H0 es cierta:

– Gastos en Servicios de Salud de 1995 tendrán una distribución normal,

– media µ=$3,633.

– varianza σ2=248,140.75.

Distribución de los Gastos (H0 cierta)

.001

xSe rechaza H0 si es mucho menor que µ0. ¿Cuánto menor?

Distribución de la media muestral

Si H0 es cierta la media muestral tendrá una distribución normal– media µ = $3,633

– varianza σ2/n= 12,407.04

OJO: Aún siendo cierta H0 se puede observar valores “pequeños” de .x

Distribución de la media muestral (H0 cierta)

Prueba de hipótesis

Comparar con µ0 equivale a comparar con 0. ¿Por qué?

x

n

xz

0

Se rechaza H0 si z es mucho menor que 0.

Prueba de hipótesis Si H0 es cierta:

– P( Z < -1.645) = .05– P( Z < -1.96) = .025– P( Z < -2.33) = .01

En general, si H0 es cierta: P( Z < zα) = α. α es:

– máximo de probabilidad permisible de observar un valor de Z muy pequeño cuando H0 es cierta.

– mínimo de evidencia admisible contra H0.– probabilidad de error tipo I.

Una regla para rechazar H0

Seleciona la probabilidad de error tipo I: α (nivel de significancia).

Encuentra zα en la tabla de la distribución normal estándar.

Calcula el valor de la estadística Z Si Z < -zα entonces, rechaza H0

Zona de rechazo

-1.645

P(Z<-1.645) = .05

Si Z < -1.645 rechaza H0 al nivel del 5% de significancia

-z.05 = -1.645

Zona de rechazo

Zona de rechazo: aquellos valores de z para los cuales se rechaza H0.

¿Cual es la zona de rechazo para:– H0: µ = µ 0 Ha: µ > µ0

– H0: µ = µ 0 Ha: µ < µ0

– H0: µ = µ 0 Ha: µ ≠ µ0 ?

Efectúa la prueba

50.471,1xµ0 = 3,633

σ = 498.14

n = 20

Como z = -19.41 < 1.645 = z.05, se rechaza H0 al nivel de significancia del 5%.

¡ está a 19.41 desv. est. a la izquierda de 3.633!x

¿Qué tal 1% de significancia?, ¿10%?¿Valor p de la prueba?

¡Estandariza!

Distribución N(0,1)

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

z

f(z)

Nivel de significancia α

Z

¿Cuál es el máximo de probabilidad de error tipo I (α) estamos dispuestos a aceptar?

x100%

Pruebas en general

Si es conocida, los datos son normales, o aplica el Teorema del Límite Central:

H0: µ = µ 0 Ha: µ < µ0

H0: µ = µ 0 Ha: µ > µ0

H0: µ = µ 0 Ha: µ µ0

Se compara con z/2 ó z

n

xz

0

Zona de rechazo

¡Depende de la hipótesis alternativa!

Regla empírica

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

z

f(z)

Ha : > 0

Z > zα

Regla empírica

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

z

f(z)

Ha : < 0

Z < -zαRegla empírica

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

z

f(z)

Ha : 0

|Z| > zα/2

Valor p de la prueba

Es la probabilidad de observar un valor tan extremo de la estadística prueba si se supone que la hipótesis nula es cierta.

Si H0 es cierta, y la alternativa es Ha: µ< µ0 ¿Cuál es la probabilidad de observar z < -19.41?

Ejemplos de valor pRegla empírica

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

z

f(z)

Ha : 0

Regla empírica

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

z

f(z)

Ha : < 0Regla empírica

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

z

f(z)

Ha : > 0

En los casos en que se observa z = 1.43 ó z = -1.43.

Z = 1.43 Z = -1.43

En todos los casos el área total roja es igual a α

Varianza desconocida

La estadística prueba t tiene una distribución t con n-1 grados de libertad.

Cuando n > 30, se usa la tabla de la distribución normal en vez de la t.

n

sx

t 0

Datos normales, varianza desconocida, n ≤ 30.

Usa la prueba t: