prueba de aptitud acadÉmica razonamiento matemÁtico

PRUEBA DE APTITUD ACADÉMICARAZONAMIENTO MATEMÁTICO

MTRO. JOSÉ SALVADOR BELTRÁN LEÓN

Arturo F. Rico-Alejandrina Beltrán E.- J. Fco. Hernández E.

UNIVERSIDAD DE GUADALAJARAESCUELA PREPARATORIA No. 2

BELTRÁN LEÓN

PARTE 3Esta presentación tiene por objeto:

• La resolución de los problemas de la guía.• Presentar el problema con otro enfoque.• Dar ejemplos similares al problema.• Repasar en forma rápida el tema que trate el problema.

UNIVERSIDAD DE GUADALAJARAESCUELA PREPARATORIA No. 2

BELTRÁN LEÓN

Para la solución de los problemas tenga en cuenta la siguientes información:

• El área de un círculo es A = r²• La circunferencia mide P = 2 r• La curva de una circunferencia tiene 360°• La suma de los ángulos internos de un triángulo es 180°• El área de un triángulo es

A = • El Teorema de Pitágoras es a² + b² = c²

2bh

UNIVERSIDAD DE GUADALAJARAESCUELA PREPARATORIA No. 2

BELTRÁN LEÓN

Problema # 1.

• En la figura siguiente, la fracción menor más próxima a 5/3 es: 1/3 2/3 3/3 4/3 5/3 6/3 7/3

0 1 2 3

(A) 1/3

(B) 2/3

(C) 3/3

(D) 4/3

(E) 6/3

UNIVERSIDAD DE GUADALAJARAESCUELA PREPARATORIA No. 2

BELTRÁN LEÓN

Recuerde que en la recta numérica:

• Los números que están a la derecha son mayores que los que se encuentran a la izquierda.

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

• En la gráfica, ¿cuál número es mayor “x” o “y”?

x y

UNIVERSIDAD DE GUADALAJARAESCUELA PREPARATORIA No. 2

BELTRÁN LEÓN

Problema # 1.

• En la figura siguiente, la fracción menor más próxima a 5/3 es: 1/3 2/3 3/3 4/3 5/3 6/3 7/3

0 1 2 3

(A) 1/3

(B) 2/3

(C) 3/3

(D) 4/3

(E) 6/3

UNIVERSIDAD DE GUADALAJARAESCUELA PREPARATORIA No. 2

BELTRÁN LEÓN

Problema # 2.

• Un automóvil recorre “x” kilómetros en “y” horas. ¿Qué distancia recorre en 1 hora?

(A) x + y

(B) xy

(C) x/y

(D) x - y

(E) y/x

UNIVERSIDAD DE GUADALAJARAESCUELA PREPARATORIA No. 2

BELTRÁN LEÓN

Recuerde que:

v = d / t

luego: d = v t

Ejemplo:• Si un auto recorre 120

km en 2 horas, su velocidad es: v = 120 / 2 v = 60 km/h.

• Recorre 60 km en 1 hora.

Entonces:

si recorre “x” km en “y” horas, su velocidad es

v = x/y

y su distancia es:

d = v t

Luego, en 1 hora recorre:

d = (x/y) (1)

d = x/y

UNIVERSIDAD DE GUADALAJARAESCUELA PREPARATORIA No. 2

BELTRÁN LEÓN

Problema # 2.

• Un automóvil recorre “x” kilómetros en “y” horas. ¿Qué distancia recorre en 1 hora?

(A) x + y

(B) xy

(C) x/y

(D) x - y

(E) y/x

UNIVERSIDAD DE GUADALAJARAESCUELA PREPARATORIA No. 2

BELTRÁN LEÓN

Problema # 3.

• Hay de 3 a 4 cucharaditas de harina de trigo en una onza. ¿Cuál es el número máximo de cucharaditas de harina en 12 onzas?

(A) 8

(B) 12

(C) 36

(D) 42

(E) 48

UNIVERSIDAD DE GUADALAJARAESCUELA PREPARATORIA No. 2

BELTRÁN LEÓN

Recuerde la Regla de tres:

• El máximo es 4 cucha-raditas de harina de trigo en una onza. En 12 onzas hay:

1 onza 4 cuch

12 onzas x cuch

x = (12) (4)

x = 48 cucharaditas

UNIVERSIDAD DE GUADALAJARAESCUELA PREPARATORIA No. 2

BELTRÁN LEÓN

Problema # 3.

• Hay de 3 a 4 cucharaditas de harina de trigo en una onza. ¿Cuál es el número máximo de cucharaditas de harina en 12 onzas?

(A) 8

(B) 12

(C) 36

(D) 42

(E) 48

UNIVERSIDAD DE GUADALAJARAESCUELA PREPARATORIA No. 2

BELTRÁN LEÓN

Problema # 4.

• En la expresión los valores de “x” y “y” son:

(A) x = 16, y = 24

(B) x = 40, y = 24

(C) x = 5, y = 16

(D) x = 15, y = 24

(E) x = 15, y = 40

y

x 9

408

3

UNIVERSIDAD DE GUADALAJARAESCUELA PREPARATORIA No. 2

BELTRÁN LEÓN

Recuerde que dos cantidades iguales a una tercera son iguales entre sí

• La ecuación es:3 x

= 8 40

Despejando x:

3(40) x = 8

x = 15

• De la misma forma:3 9

=8 y

Despejando y:

8 (9) y = 3

y = 24

UNIVERSIDAD DE GUADALAJARAESCUELA PREPARATORIA No. 2

BELTRÁN LEÓN

Problema # 4.

• En la expresión los valores de “x” y “y” son:

(A) x = 16, y = 24

(B) x = 40, y = 24

(C) x = 5, y = 16

(D) x = 15, y = 24

(E) x = 15, y = 40

y

x 9

408

3

UNIVERSIDAD DE GUADALAJARAESCUELA PREPARATORIA No. 2

BELTRÁN LEÓN

Problema # 5.

• En la figura, los ángulos C y D son rectos. Si el ángulo A mide 75°, la medida del ángulo B es:

B C

A D

(A) 105°

(B) 120°

(C) 165°

(D) 210°

(E) 255°

UNIVERSIDAD DE GUADALAJARAESCUELA PREPARATORIA No. 2

BELTRÁN LEÓN

Recuerde que:

• En los cuadriláteros, la suma de sus ángulos internos es igual a 360°, por lo tanto:

A + B + C + D = 360°

Luego:

A + B = 180°

B = 180° - 75°

B = 105°

UNIVERSIDAD DE GUADALAJARAESCUELA PREPARATORIA No. 2

BELTRÁN LEÓN

Problema # 5.

• En la figura, los ángulos C y D son rectos. Si el ángulo A mide 75°, la medida del ángulo B es:

B C

A D

(A) 105°

(B) 120°

(C) 165°

(D) 210°

(E) 255°

UNIVERSIDAD DE GUADALAJARAESCUELA PREPARATORIA No. 2

BELTRÁN LEÓN

Problema # 6.

• En la figura, si la recta AB es perpendicular a la recta CD, ¿cuál es la medida en grados del ángulo “x” ?

A

E

x

35°

(A) 55 C B D

(B) 60

(C) 65

(D) 75

(E) 90

UNIVERSIDAD DE GUADALAJARAESCUELA PREPARATORIA No. 2

BELTRÁN LEÓN

Recuerde que:

• Rectas perpendiculares son las que se cortan formando un ángulo recto.

AB CD

x 35°

• Por lo tanto:

x + 35° = 90°

Luego:

x = 90° - 35°

x = 55°

UNIVERSIDAD DE GUADALAJARAESCUELA PREPARATORIA No. 2

BELTRÁN LEÓN

Problema # 6.

• En la figura, si la recta AB es perpendicular a la recta CD, ¿cuál es la medida en grados del ángulo “x” ?

A

E

x

35°

(A) 55 C B D

(B) 60

(C) 65

(D) 75

(E) 90

UNIVERSIDAD DE GUADALAJARAESCUELA PREPARATORIA No. 2

BELTRÁN LEÓN

Problema # 7.

• Si “x” es positivo y y = 1 - (1/x), cuando aumenta “x” entonces “y”

(A) llega a ser uno

(B) llega a ser cero

(C) se queda igual

(D) disminuye

(E) aumenta

UNIVERSIDAD DE GUADALAJARAESCUELA PREPARATORIA No. 2

BELTRÁN LEÓN

Un número positivo es mayor que cero (x>0).Puede graficar o hacer una tabla asignando valores a “x” y

sustituirlos en la ecuación.

x y

1 0 0.00

2 1/2 0.50

3 2/3 0.66

4 3/4 0.75

5 4/5 0.80

6 5/6 0.83

7 6/7 0.85

8 7/8 0.87

9 8/9 0.88

10 9/10 0.90

y = 1 - (1/x) y

0.90

0.80

0.70

0.60

0.50

0.40

0.30

0.20

0.10

0.00

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x

UNIVERSIDAD DE GUADALAJARAESCUELA PREPARATORIA No. 2

BELTRÁN LEÓN

Problema # 7.

• Si “x” es positivo y y = 1 - (1/x), cuando aumenta “x” entonces “y”

(A) llega a ser uno

(B) llega a ser cero

(C) se queda igual

(D) disminuye

(E) aumenta

UNIVERSIDAD DE GUADALAJARAESCUELA PREPARATORIA No. 2

BELTRÁN LEÓN

Problema # 8.

• Si 2/3 de un número es 12, el número es:

(A) 15

(B) 16

(C) 18

(D) 20

(E) 21

UNIVERSIDAD DE GUADALAJARAESCUELA PREPARATORIA No. 2

BELTRÁN LEÓN

Recuerde que:

• A ese número que no conocemos le podemos llamar “N”, o bien, “x”.

Luego: 2

x = 12 3

Por lo tanto: 12 (3)x = 2x = 18

UNIVERSIDAD DE GUADALAJARAESCUELA PREPARATORIA No. 2

BELTRÁN LEÓN

Problema # 8.

• Si 2/3 de un número es 12, el número es:

(A) 15

(B) 16

(C) 18

(D) 20

(E) 21

UNIVERSIDAD DE GUADALAJARAESCUELA PREPARATORIA No. 2

BELTRÁN LEÓN

Problema # 9.

• En la figura de la derecha, si las medidas de los ángulos son: A = 20°, B = 70° y C = 150°, entonces la medida del ángulo D es

(A) 98°

(B) 100°

(C) 110°

(D) 120°

(E) 150°

C

A

D B

UNIVERSIDAD DE GUADALAJARAESCUELA PREPARATORIA No. 2

BELTRÁN LEÓN

Recuerde que:

• La circunferencia mide 360°.

150° A + B + C + D = 360° 20° 20° + 70° + 150° + D = 360°

D

70° D = 360° - 240°

D = 120°

UNIVERSIDAD DE GUADALAJARAESCUELA PREPARATORIA No. 2

BELTRÁN LEÓN

Problema # 9.

• En la figura de la derecha, si las medidas de los ángulos son: A = 20°, B = 70° y C = 150°, entonces la medida del ángulo D es

(A) 98°

(B) 100°

(C) 110°

(D) 120°

(E) 150°

C

A

D B

UNIVERSIDAD DE GUADALAJARAESCUELA PREPARATORIA No. 2

BELTRÁN LEÓN

Problema # 10.

• La suma de cuatro números es divisible por 6. ¿Cuál de los siguientes números, sumado a ese total, da como resultado un nuevo número divisible por 6?

(A) 52

(B) 53

(C) 54

(D) 55

(E) 56

UNIVERSIDAD DE GUADALAJARAESCUELA PREPARATORIA No. 2

BELTRÁN LEÓN

Recuerde que:

• Los números divisibles por seis son los múltiplos de seis (la tabla del seis).

M6 = 6, 12, 18, 24, 30, 36,

42, 48, 54, 60, 66, ...

• La suma de dos números

múltiplos de seis, resulta

otro número múltiplos de

seis.

Ejemplos:• 12 + 18 = 30• 12 + 30 = 42• 18 + 42 = 60• etc.

Luego:

a esos cuatro números se les suma 54

UNIVERSIDAD DE GUADALAJARAESCUELA PREPARATORIA No. 2

BELTRÁN LEÓN

Problema # 10.

• La suma de cuatro números es divisible por 6. ¿Cuál de los siguientes números, sumado a ese total, da como resultado un nuevo número divisible por 6?

(A) 52

(B) 53

(C) 54

(D) 55

(E) 56

UNIVERSIDAD DE GUADALAJARAESCUELA PREPARATORIA No. 2

BELTRÁN LEÓN

Instrucciones:

• Este tipo de problema contiene dos columnas: A y B.• De acuerdo a los datos, deberá comparar los valores de las

columnas A y B.• Sólo hay cuatro posibles respuesta: A, B, C o D.• Si el valor de la columna A > B, la respuesta es A.• Si el valor de la columna A < B, la respuesta es B.• Si el valor de la columna A = B, la respuesta es C.• Si es ninguna de las anteriores, la respuesta es D.• No hay respuesta E.

UNIVERSIDAD DE GUADALAJARAESCUELA PREPARATORIA No. 2

BELTRÁN LEÓN

Problema # 11.

COLUMNA A3 6

= x 16

x = ?

COLUMNA B6 3

=y 4

y = ?

UNIVERSIDAD DE GUADALAJARAESCUELA PREPARATORIA No. 2

BELTRÁN LEÓN

Simplemente calcule el valor para “x” y “y” despejando en cada columna.

COLUMNA A

3 (16) = 6 (x)

3 (16) = x

6

x = 8

COLUMNA B

6 (4) = 3 (y)

6 (4) = y

3

y = 8

UNIVERSIDAD DE GUADALAJARAESCUELA PREPARATORIA No. 2

BELTRÁN LEÓN

El valor de la columna A es igual al de la columna B. La respuesta es (C).

COLUMNA A3 6

= x 16

x = 8

COLUMNA B6 3

=y 4

y = 8

UNIVERSIDAD DE GUADALAJARAESCUELA PREPARATORIA No. 2

BELTRÁN LEÓN

Problema # 12.

COLUMNA A

-a -

-b

b 0

COLUMNA B

-a

b

b 0

UNIVERSIDAD DE GUADALAJARAESCUELA PREPARATORIA No. 2

BELTRÁN LEÓN

En la columna A, por la ley de los signos: (-) (-) = (+)

COLUMNA A

a -

b

b 0además:

(-) (+) = (-)

COLUMNA B

-a

b

b 0

UNIVERSIDAD DE GUADALAJARAESCUELA PREPARATORIA No. 2

BELTRÁN LEÓN

El valor de la columna A es igual al de la columna B. La respuesta es (C).

COLUMNA A

-a

b

b 0

COLUMNA B

-a

b

b 0

UNIVERSIDAD DE GUADALAJARAESCUELA PREPARATORIA No. 2

BELTRÁN LEÓN

Problema # 13.

COLUMNA A

5 a2

a 0

COLUMNA B

(5 a)2

a 0

UNIVERSIDAD DE GUADALAJARAESCUELA PREPARATORIA No. 2

BELTRÁN LEÓN

En la columna B eleve al cuadrado:

COLUMNA A

5 a2

a 0

COLUMNA B

25 a2

a 0

UNIVERSIDAD DE GUADALAJARAESCUELA PREPARATORIA No. 2

BELTRÁN LEÓN

El valor de la columna A es menor al de la columna B. La respuesta es (B).

COLUMNA A

5 a2

a 0

COLUMNA B

25 a2

a 0

UNIVERSIDAD DE GUADALAJARAESCUELA PREPARATORIA No. 2

BELTRÁN LEÓN

Problema # 14.

COLUMNA A

27

21

COLUMNA B

28

22

UNIVERSIDAD DE GUADALAJARAESCUELA PREPARATORIA No. 2

BELTRÁN LEÓN

En ambas columnas realice la división.

COLUMNA A

27 / 21

6

121

COLUMNA B

28 / 22

6

122

UNIVERSIDAD DE GUADALAJARAESCUELA PREPARATORIA No. 2

BELTRÁN LEÓN

El valor de la columna A es mayor al de la columna B. La respuesta es (A).

COLUMNA A27

21

6

121

COLUMNA B28

22

6

122

UNIVERSIDAD DE GUADALAJARAESCUELA PREPARATORIA No. 2

BELTRÁN LEÓN

Problema # 15.

COLUMNA A

x4

x

COLUMNA B

y4

y

=

UNIVERSIDAD DE GUADALAJARAESCUELA PREPARATORIA No. 2

BELTRÁN LEÓN

Recuerde que una cantidad negativa elevada a una potencia “par” resulta un número positivo.

COLUMNA A

x4

Si x = 2, (2)4 = 16

Pero:

Si x = -2, (-2)4 = 16

COLUMNA B

y4

Si y = 2, (2)4 = 16

Pero:

Si y = -2, (-2)4 = 16

UNIVERSIDAD DE GUADALAJARAESCUELA PREPARATORIA No. 2

BELTRÁN LEÓN

Está indeterminado ya que se pueden combinar los distintos resultados para “x” y para “y”.

Si x = 2 y y = 2, entonces x = y

Si x = 2 y y = -2, entonces x > y

Si x = -2 y y = -2, entonces x = y

Si x = -2 y y = 2, entonces x < y

La respuesta es (D)

UNIVERSIDAD DE GUADALAJARAESCUELA PREPARATORIA No. 2

BELTRÁN LEÓN

Problema # 16.

• Si seis lápices cuestan 25 unidades, entonces 42 lápices costarían:

(A) 1 025

(B) 175

(C) 125

(D) 75

(E) 42

UNIVERSIDAD DE GUADALAJARAESCUELA PREPARATORIA No. 2

BELTRÁN LEÓN

Recuerde la Regla de Tres:

• Se plantea así:

Si 6 lápices = 25 unidades

42 = x

• Obviamente el costo se incrementa.

• La ecuación es:

6 25

=

42 x

Por lo tanto:25 (42)

x = = 175

6

UNIVERSIDAD DE GUADALAJARAESCUELA PREPARATORIA No. 2

BELTRÁN LEÓN

Problema # 17.

• En la figura el valor de “x” es:

65°

x°

(A) 15

(B) 40 40° 120°

(C) 55

(D) 65

(E) 80

UNIVERSIDAD DE GUADALAJARAESCUELA PREPARATORIA No. 2

BELTRÁN LEÓN

Recuerde que:

• La suma de los ángulos internos de un triángulo es igual a 180° (triángulo mayor).

65°• Luego: x°

40° + 60° + (65° + x°) = 180°

40° 60° 120°

x° = 180° - 165°

x° = 15°

UNIVERSIDAD DE GUADALAJARAESCUELA PREPARATORIA No. 2

BELTRÁN LEÓN

Problema # 17.

• En la figura el valor de “x” es:

x° + 65°

(A) 15

(B) 40 40° 60°

(C) 55

(D) 65

(E) 80

UNIVERSIDAD DE GUADALAJARAESCUELA PREPARATORIA No. 2

BELTRÁN LEÓN

Problema # 18.

• En la figura CD es una recta, AO es perpendicular a OB y el ángulo 3 es mayor que el 1. Conclusión: el ángulo 3 es

B

A

(A) 30° 2

(B) mayor que 45° 3 1

(C) menor que 45° C O D

(D) 45°

(E) ninguna de las anteriores

UNIVERSIDAD DE GUADALAJARAESCUELA PREPARATORIA No. 2

BELTRÁN LEÓN

Recuerde que:

• Rectas perpendiculares son las que se cortan formando un ángulo de 90°.

• Por lo tanto, el ángulo 2 es igual a 90°.

• Luego, los ángulos 1, 2 y 3 forman un ángulo de 180° (rectilíneo).

• De esto se desprende que los ángulos 1 y 3 suman 90° y si fueran iguales medirían 45° cada uno.

• Pero el ángulo 3 es mayor que el ángulo 1:

m 3 > m 1

UNIVERSIDAD DE GUADALAJARAESCUELA PREPARATORIA No. 2

BELTRÁN LEÓN

Problema # 18.

• Conclusión: el ángulo 3 es

B

A

(A) 30° 90°

(B) mayor que 45° 3 1

(C) menor que 45° C O D

(D) 45°

(E) ninguna de las anteriores

UNIVERSIDAD DE GUADALAJARAESCUELA PREPARATORIA No. 2

BELTRÁN LEÓN

Problema # 19.

• Sabemos que a - b = d y d > 0, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA?

(A) a = b

(B) d + b = a

(C) a - d = b

(D) a > d

(E) a > b

UNIVERSIDAD DE GUADALAJARAESCUELA PREPARATORIA No. 2

BELTRÁN LEÓN

Suponga una resta con diferencia mayor que cero y sustitúyalos en cada proposición. Por ejemplo: 8 - 3 = 5

• Sabemos que a - b = d y d > 0, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA?

(A) a = b

(B) d + b = a

(C) a - d = b

(D) a > d

(E) a > b

a = 8, b = 3 y d = 5

(A) 8 = 3 falso

(B) 5 + 3 = 8 verdadero

(C) 8 - 5 = 3 verdadero

(D) 8 > 5 verdadero

(E) 8 > 3 verdadero

UNIVERSIDAD DE GUADALAJARAESCUELA PREPARATORIA No. 2

BELTRÁN LEÓN

Problema # 20.

• En la figura las rectas “l1” y “l2” son paralelas y están cortadas por la recta “a”, ¿cuál de los enunciados NO es necesariamente correcto?

a

(A) v < q p q

(B) v = u r s

(C) p = t t u

(D) p > u v w

(E) t = s

l1

l2

UNIVERSIDAD DE GUADALAJARAESCUELA PREPARATORIA No. 2

BELTRÁN LEÓN

Recuerde que:

• Los ángulos opuestos por el vértice son iguales entre sí.

120° 60°

60° 120°

• Por lo tanto.

a b

c d

e f

g h

Son iguales los ángulos a, d, e y h.

Lo mismo ocurre con los b, c, f y g.

UNIVERSIDAD DE GUADALAJARAESCUELA PREPARATORIA No. 2

BELTRÁN LEÓN

Problema # 20.

• En la figura las rectas “l1” y “l2” son paralelas y están cortadas por la recta “a”, ¿cuál de los enunciados NO es necesariamente correcto?

a

(A) v < q p q

(B) v = u r s

(C) p = t t u

(D) p > u v w

(E) t = s

l1

l2

UNIVERSIDAD DE GUADALAJARAESCUELA PREPARATORIA No. 2

BELTRÁN LEÓN

Problema # 21.

• Si a < b < 0 entonces:

(A) a2 > b2

(B) b2 > a2

(C) a - b > 0

(D) a + b > 0

(E) a - b = 0

UNIVERSIDAD DE GUADALAJARAESCUELA PREPARATORIA No. 2

BELTRÁN LEÓN

Asigne los puntos “a” y “b” en una recta numérica y sustitúyalos en los enunciados.

• Si a < b < 0 entonces:

(A) a2 > b2

(B) b2 > a2

(C) a - b > 0

(D) a + b > 0

(E) a - b = 0

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3

a b

(A) (-3)2 > (-1)2 verdadero

(B) (-1)2 > (-3)2 falso

(C) (-3) - (-1) > 0 falso

(D) (-3) + (-1) > 0 falso

(E)(-3) - (-1) = 0 falso