prueba cálculo i
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Pontificia Universidad Catolica de ChileFacultad de MatematicasSegundo semestre de 2012
MAT 210E - Calculo I
Pauta de la Interrogacion N 2
1. Considere la funcion f : R R definida por:
f(x) =
3x2 + b|x+ 3|+ 4x si x 0
sin(ax) + x2 + 3 si x < 0
a) Determine los valores de a y b para que f sea derivable en x0 = 0.
Solucion:
(i) Primero hay que determinar condiciones para que f sea continua en x0 = 0.Para esto, dbe ocurrir que:
lmx0
f(x) = lmx0+
f(x)
lmx0
f(x) = lmx0
sin(ax) + x2 + 3 = 3
lmx0+
f(x) = lmx0+
3x2 + b|x+ 3|+ 4x = 3b
Luego; b = 1
Por cada limite lateral: 0,7 puntos cada uno.Por la conclusion: 0.6 puntos
(ii) Para que f sea derivable en x0 = 0 el siguiente limite debe existir:
lmh0
f(0 + h) f(0)h
0.5 puntos
lmh0
f(0 + h) f(0)h
= lmh0
f(h) f(0)h
= lmh0
f(h) 3h
Limites laterales:
lmh0
f(h) 3h
= lmh0
sin(ah) + h2 + 3 3h
= lmh0
asin(ah)ah
+ h = a
lmh0+
3h2 + |h+ 3|+ 4h 3h
= lmh0+
3h2 + h+ 4hh
= 5
-
Luego a = 5
Cada limite latral: 0.5 cada unoConlusion: 0.5
b) Con los valores obtenidos en el inciso anterior, la funcion f es derivable entodo R?
Solucion:
a) Si x 0, entonces f(x) = 3x2+b|x+3|+4x = 3x2+5x+3, luego f es derivableya que es polinomio.
b) Si x < 0, entonces f(x) = sin(5x)+ x2+3, luego f es derivable ya que es sumade funciones derivables.
1 punto cada item.
MAS 1 PUNTO BASE.
2. a) La curva C de ecuacion C : y2 6x y + 6x2 + 1 = 0 , define a y como funcionimplcita de x. Determine los puntos de C, si existen, donde la tangente a lagrafica de C es paralela al eje X.
Solucion:
Derivando en la ecuacion de C implcitamente con respecto a x, se tiene:
2y y 6y 6x y + 12x = 0
= y = 6y 12x2y 6x
La tangente es paralela al eje X, cuando la tangente es horizontal, esto es, si:
6y 12x = 0 = y = 2x
Reemplazando en la ecuacion de C se tiene:
4x2 12x2 + 6x2 + 1 = 0
= 2x2 + 1 = 0 = x2 = 12
= x = 12
-
Luego los puntos de C donde la tangentes es horizontal son los puntos:( 1
2, 2
2
)y( 1
2,22
)
Derivar implcitamente y despejar y: 1 punto.Igualar a cero: 1 punto.Determinar los puntos: 1 punto.
b) Encuentre (f1)(2pi) si f(x) = 2x+ sin(x).
Solucion:
Por el Teorema de la funcion inversa:
(f1)(2pi) =1
f (x0)
donde x0 satisface:
2x0 + sin(x0) = 2pi
Luego; x0 = pi
f (x) = 2 + cos(x) f (pi) = 2 1 = 1
Por lo tanto:
(f1)(2pi) = 1
Aplicar el T.F.I.: 1 punto.Determinar x0: 0.5 puntos.Derivar f : 0.5 puntos.Conclusion final: 1 punto.
MAS 1 PUNTO BASE.
3. Sea:
f(x) =
x2 cos
(1x+pi
2
)si x 6= 0
0 si x = 0
a) Determine f (x) para x 6= 0.
Solucion:
-
La derivada de la funcin para puntos x 6= 0 ser, utilizando la regla del productoy de la cadena,
f (x) = 2x cos(1x+
1pi
)+ sin
(1x+
1pi
).
Asignar 1 punto por derivar correctamente el producto y 1 punto porutilizar correctamente la regla de la cadena
b) Determine si existe f (0).
Solucion:
Para calcular la derivada en x = 0 debemos hacerlo por definicin, es decir,
f (0) = lmh0
h2 cos(1h+
1pi
) 0
h
= lmh0
h cos(1h+
1pi
),
= 0.
Entregar 1 por saber que en el punto x = 0 se debia utilizar la definicinde derivada y utilzarla correctamente. Entregar 1 punto por calcularcorrectamente la derivadaSe concluye que la derivada de f es la funcin,
f (x)
2x cos
(1x+
1pi
)+ sen
(1x+
1pi
)x 6= 0
0 x = 0.
c) Determine los x R, para los cuales f (x) es una funcion continua.
Solucion:
Finalmente, es claro que la funcin f (x) es continua para puntos x R \ {0} yaque es producto de funciones continuas.Agregar 0, 5 puntos por esta partePara estudiar su continuidad en el punto x = 0 estudiamos el siguiente lmite,
lmx0
(2x cos
(1x+
1pi
)+ sin
(1x+
1pi
)).
Como
lmx0
sin(1x+
1pi
)no existe y
lmx0
2x cos(1x+
1pi
)= 0,
se tiene que el lmite pedido no existe y por lo tanto la funcin f no es continua enx = 0 Agregar 1 punto por calcular correctamente el limite requerido.Agregar 0, 5 puntos por concluir que la derivada no es una funcincontinua en el punto x = 0,
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TIEMPO: 120 minutos
SIN CONSULTAS.
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