proyecto de matematicas - conjunto y sistema de ecuasiones
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CATEDRATICO ING. KAREN LEON GARCIA
MODULO JUNIO – JULIO
UNIVERSIDAD ESTATAL DE MILAGRO
PROYECTO DE
MATEMATICAS
INTEGRANTES:
ABARCA TENESACA TANIA
CASTILLO SILVA LAILIN
GARCIA RAMOS EVELYN
GUALLPA CAJILEMA JENNIFER
SANCHEZ ALVARADO MARIA
INTRODUCCION
Las matemáticas ha sido nuestra base fundamental para el inicio de nuestro proyecto ya que esta tiene mucho que ver en lo que vamos a realizar porque su importancia en la vida cotidiana nos lleva a ver que la necesitamos en todo momento desde lo más mínimo hasta lo más complicado. Es el único medio que tenemos para entender el mundo que nos rodea, además es el soporte de los avances técnicos que están presentes en la vida cotidiana, ya que vivimos en la sociedad del conocimiento y que cada día se requiere más de sus miembros(individuos/personas). Nos ayuda a tener una mejor organización, también a aprender técnicas o formas para así tener ideas, analizar y desarrollar métodos que nos ha servido a la hora de tomar decisiones. Además la empleamos en todas las actividades, tales como cuanto se va gastar de viáticos, implementos (copias, impresiones), también a establecer las problemática y encontrar una adecuada solución sobre las mismas. Las matemáticas son muy importantes, y te ayudan a mejorar la capacidad de razonamiento ya que sus bases son los números los cuales nos permiten realizar operaciones desde las más fáciles como también operaciones complicadas. Nosotros como estudiantes queremos demostrarle lo fácil y maravilloso ,que puede ser este mundo lleno de números, con maneras didácticas y comprensibles le mostraremos que las matemáticas no son tan complicadas como nos lo han hecho creer
Desigualdades
Es una expresión que indican que una cantidad es menor o mayor que otra y
tenemos 4 signos > < ≥ ≤
Tipos de intervalos
Intervalo abierto.- es cuando los signos son mayor y menor se los
representa con ( ) o °.
Intervalo cerrado.- Es cuando los signos son mayor igual y menor igual y
se lo representa [ ] o •.
Intervalo semicerrado.- Es una combinación de ambos.
Solución o también llamado conjunto solución
a) En forma de desigualdad.
b) En forma de intervalo.
×>2 ×<2
×Є(2,+∞) ×Є(-∞,+2)×
c) En forma gráfica
- ∞________i_________+∞
2
NOTA: Los signos +,- siempre se agrupan con el intervalo abierto, es decir ( ) a
ellos jamás se los agrupa con el signo del intervalo cerrado [ ].
Pasos para resolver los ejercicios
Ejercicio n° 1 (2×-3)²+4ײ(×-7) < 4(×-2)³
EN FORMA DE DESIGUALDAD
1.- Resolvemos potencias
(4ײ-12×+9)+4ײ(×-7) < 4(׳-6ײ+12×-8)
X>2 X<2
2.- Suprimimos signos de agrupación, en este caso paréntesis, resolviendo las
multiplicaciones.
4ײ-12×+9+4׳-28ײ < 4׳-6ײ+12×-8
3.- Se agrupan todos los términos con la incógnita (×) hacia el lado izquierdo
(antes del signo <) y del lado derecho los números sin incógnita.
4ײ-12×+4׳-28ײ-4׳+24ײ-48× < -32-9
4.- Se procede a reducir los términos semejantes es decir signos iguales se
suman y se pone el mismo signo y signos diferentes se restan y se pone el
signo del número mayor.
-60× < -41
5.- Se aplica artificio matemático -1, en caso de que la incógnita vaya precedido
de un signo negativo y el signo < cambia o sea, pasa a ser >.
(-1) -60× < -41
60×>41
6.- Se despeja la incógnita (×) de lo cual el número que está multiplicando pasa
a dividir.
× > 41/60
EN FORMA DE INTERVALO
El resultado se aplica en forma de intervalo donde:
×Є (41/60, ∞+)
EN FORMA GRAFICA
Finalmente lo graficamos
-∞__________i___________+∞
41/60
Ejercicio n° 2
EN FORMA DE DESILGUALDAD
1.-Empezamos identificando común denominador.
2.- Como regla se eliminan el común denominador quedando la siguiente
desigualdad.
(2×+1)(3×+2) > (2×+5)(3×-1)
3.- Multiplicamos para suprimir los paréntesis y nos queda lo siguiente:
6ײ+4×+3×+2 > 6ײ-2×+5×-5
4.- Se agrupan todos los términos con la incógnita (×) hacia el lado izquierdo
(antes del signo <) y del lado derecho los números sin incógnita.
6ײ+4×+3×-6ײ+2×-15× > -5-2
4.- Se procede a reducir los términos semejantes es decir signos iguales se
suman y se pone el mismo signo y signos diferentes se restan y se pone el
signo del número mayor.
-6× > -7
5.- Se aplica artificio matemático -1, en caso de que la incógnita vaya precedido
de un signo negativo y el signo < cambia o sea, pasa a ser >.
(-1) -6× > -7
6× < 7
6.- Se despeja la incógnita (×) de lo cual el número que está multiplicando pasa
a dividir.
× < 7/6
EN FORMA DE INTERVALO
El resultado se aplica en forma de intervalo donde:
×Є (- ∞,7/6)
EN FORMA GRAFICA
Finalmente lo graficamos
-∞__________i___________+∞
7/6
DESIGUALDADES DOBLES
Primero antes de empezar hay que saber que es desigualdad. Desigualdad es
la expresión algebraica que sus dos miembros aparecen ligados por uno de
estos signos:
< menor que
> mayor que
≤ menor o igual que
≥ mayor o igual que
En un principio las desigualdades dobles pueden parecer muy intimidantes
para resolverlas porque existen tres lados de la ecuación pero, si sigues la guía
paso a paso como se la indica, la encontraras menos intimidante y mucho más
fácil de resolver.
A las desigualdades dobles se le realizan dos lecturas: de izquierda a derecha
y de derecha a izquierda.
Ejercicio 1
1. Se empieza por observar e identificar el ejercicio, una vez identificado
que el ejercicio es una desigualdad doble, procedemos a resolverlo.
Recordando que antes de aplicar cualquier proceso matemático hay
que tener el claro qué clase de ejercicio es para aplicar el procedimiento
correcto.
8 ≥ [(2x-5)] – 3 > 1 - x
3
2. Como mencionamos anteriormente se hace dos lecturas y de esa
manera se forma dos desigualdades así:
8 ≥ [(2x-5)] – 3 > 1 – x 3
Primera lectura Segunda lectura
Ocho mayor igual que dos x
menos cinco sobre tres,
menos tres
Dos x menos cinco sobre tres,
menos tres, mayor que uno
menos x.
8 ≥ [(2x-5)] – 3 3
[(2x-5)] – 3 > 1 – x 3
3. Una vez formada las dos desigualdades se procede a resolver la
primera desigualdad, despejando X:
8 ≥ [(2x-5)] - 3 3
3.1. Se resuelve lo que está dentro del paréntesis, es decir en este caso los
paréntesis se van:
8 ≥ [2x-5] - 3 3
3.2. Se desaparecen los corchetes:
8 ≥ 2x-5 - 3 3
3.3. Se busca el común denominador, en este ejercicio el común
denominador es tres y se multiplica para cada uno de los numeradores:
3(8) ≥ 1(2x-5) - 3(3) 3
3.4. El denominador se desaparece:
24 ≥ 2x-5 - 9
3.5. Se pasa el número con la incógnita x a lado izquierdo (antes del igual) y
los enteros sin incógnitas pasan al lado derecho (después del igual),con
el signo cambiado:
- 2x ≥ - 5 - 9 – 24
3.6. Se resuelve la suma, aplicando la ley de signos (signos iguales se
suman y se pone el mismo signo)
- 2x ≥ - 38
3.7. Como el número que esta con la incógnita queda negativo, se aplica el
artificio (-1), que va a multiplicar toda la desigualdad:
(-1) - 2x ≥ -38 (-1)
3.8. En este caso nos queda todo positivo (+) y el signo de “mayor igual
que”, pasa a ser “menor igual que”:
2x ≤ 38
3.9. Luego lo que está multiplicando (2) a la incógnita (x), pasa a dividir:
X ≤ 38 2
3.10. La respuesta de la primera desigualdad es:
x ≤ 19
4. Lugo resolvemos la segunda desigualdad de la misma forma,
despejando la incógnita X:
[(2x-5)] – 3 > 1 - x 3
4.1. Se resuelve lo que está dentro del paréntesis, es decir en este caso los
paréntesis se van:
[2x-5] – 3 > 1 - x 3
4.2. Se desaparecen los corchetes:
2x-5 – 3 > 1 - x 3
4.3. Se busca el común denominador, en este ejercicio el común
denominador es tres y se multiplica para cada uno de los numeradores:
(2x-5) - 3(3) > 3 (1 – x) 3
4.4. El denominador se desaparece:
2x-5 - 9 > 3 – 3x
4.5. Se pasa el número con la incógnita x a lado izquierdo (antes del igual) y
los enteros sin incógnitas pasan al lado derecho (después del igual),
con el signo cambiado:
2x + 3x > 3 + 5 + 9
4.6. Se resuelve la suma, aplicando la ley de signos (signos iguales se
suman y se pone el mismo signo):
5x > 17
4.7. En este caso nos queda todo positivo y se procede a despejar la
incógnita pasando a lado derecho lo que está multiplicando (5) a la
incógnita (x), pasa a dividir:
X > 17 5
4.8. Y la respuesta de la segunda desigualdad es:
X > 3,4
5. Los resultados que se ha obtenido de las dos desigualdades serán
expresados en intervalos y se las puede escribir de dos formas:
X [ 19, 3.4)
X (−∞, 19] X (3.4,+∞)
6. Por ultimo hacemos la representación gráficamente utilizando los
intervalos para graficar:
o ●
−∞ +∞
3.4 19
Ejercicio 2
1. Se empieza por observar e identificar el ejercicio, una vez identificado que
el ejercicio es una desigualdad doble, procedemos a resolverlo. Recordando
que antes de aplicar cualquier proceso matemático hay que tener el claro
qué clase de ejercicio es para aplicar el procedimiento correcto.
-3 < 7 + 2x ≤ 7 2. Como mencionamos anteriormente se hace dos lecturas y de esa manera
se forma dos desigualdades así:
-3 < 7 + 2x ≤ 7
Primera lectura Segunda lectura
Menos tres es menor que
siete, más dos
Siete más dos x es menor
igual que siete
−3 < 7 + 2x 7 + 2x ≤ 7
3. Una vez formada las dos desigualdades se procede a resolver la primera
desigualdad, despejando X:
− 3 < 7 + 2x
3.1. Se pasa el número con la incógnita x a lado izquierdo (antes del igual)
y los enteros sin incógnitas pasan al lado derecho (después del
igual),con el signo cambiado:
− 2x < 7 + 3
3.2. Se resuelve la suma, aplicando la ley de signos (signos iguales se
suman y se pone el mismo signo)
- 2x < 10
3.3. Como el número que esta con la incógnita queda negativo, se aplica el
artificio (-1), que va a multiplicar toda la desigualdad:
(-1) - 2x < 10 (-1)
3.4. El signo de “menor que”, pasa a ser “mayor que”:
2x > − 10
3.5. Luego lo que está multiplicando (2) a la incógnita (x), pasa a dividir:
x > − 10 2
3.6. La respuesta de la primera desigualdad es:
x > − 5
4. Luego resolvemos la segunda desigualdad de la misma forma, despejando
la incógnita X:
7 + 2x ≤ 7
4.1. Se deja el número con la incógnita x a lado izquierdo (antes del igual) y
los enteros sin incógnitas pasan al lado derecho (después del igual),
con el signo cambiado:
2x ≤ 7 – 7
4.2. Se resuelve la suma, aplicando la ley de signos (signos iguales se
suman y se pone el mismo signo):
2x ≤ 0
4.3. En este caso nos queda todo positivo y se procede a despejar la
incógnita pasando a lado derecho lo que está multiplicando (2) a la
incógnita (x), pasa a dividir:
X ≤ 0 2
4.4. Y la respuesta de la segunda desigualdad es:
X ≤ 0
5. Los resultados que se ha obtenido de las dos desigualdades serán
expresados en intervalos y se las pueden expresar de dos maneras:
X ( − 5, 0]
X (−5, +∞) X ( −∞, 0]
6. Por ultimo hacemos la representación gráficamente utilizando los intervalos
para graficar:
o ●
−∞ +∞ −5 0
CONJUNTOS
Definición De Conjunto
Un conjunto es un grupo de elementos u objetos especificados en tal forma que
se puede afirmar con certeza si cualquier objeto dado pertenece o no a la
agrupación. Para denotar a los conjuntos, se usan letras mayúsculas.
Determinación de un Conjunto
Los conjuntos pueden definirse por extensión o por comprensión.
Extensión
Se escriben los elementos que forman parte del conjunto, uno por uno
separados por una coma y entre paréntesis de llaves.
C = {norte, sur, este, oeste}
Comprensión
Decimos que un conjunto es determinado por comprensión, cuando se da una
propiedad que se cumpla en todos los elementos del conjunto y sólo ellos.
C = {x / x es un punto cardinal}
Y se lee de la siguiente manera: “C” es el conjunto de todos los elementos x,
tal que x es uno de los puntos cardinales.
Diagrama de Venn
Diagrama que representa conjuntos y muestra gráficamente donde se
intersecan esos conjuntos. En él, cada conjunto está representado por la región
dentro de una curva cerrada simple. Se nombra así en honor de Venn, un
inglés que primero utilizó este tipo de diagrama.
Tipos de conjuntos
Conjunto Unitario: Es el que tiene un único elemento
Conjunto Vacío: Es el que no posee elementos. También se le llama
conjunto nulo. Generalmente se le representa por los símbolos: vacío ó { }
B = vacío ó B = { } se lee: B es el conjunto vacío ó B es el conjunto nulo
Conjunto Finito: Se llama así al conjunto al cual podemos nombrar
su último elemento
Ejemplo: D = {x/x es día de la semana}
Es finito porque sabemos cuáles son todos los días de la semana.
Conjunto Infinito: Se denomina así, ya que no podemos nombrar su último
elemento.
Un ejemplo de conjunto infinito son las estrellas del cielo. Los conjuntos
infinitos siempre deberán determinarse por comprensión; para el ejemplo:
B = {x/x son las estrellas del universo}
Conjunto Universo: Se llama así al conjunto conformado por los miembros
o elementos de todos los elementos que hacen parte de la caracterización.
Por ejemplo, dados:
A = {1, 3, 5, 7} B = {2, 3, 4} C = { 6, 7, 8, 9}
El conjunto universal o referencial es:
U ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
Conjuntos Equivalentes: Son aquellos que tienen igual cardinalidad, es
decir, igual número de elementos.
Los conjuntos T y P son equivalentes porque tienen la misma cardinalidad.
Conjuntos Iguales: Son todos aquellos conjuntos que tienen elementos
iguales. Los elementos de un conjunto también pertenecen al mismo conjunto.
Ejemplo:
D F D = F
T = { , , }
# T = 3
P = { a, b, c } # P = 3
Los conjuntos D y F son iguales porque tienen el mismo elemento. A veces
pueden estar desordenados los elementos cuando son más de uno, en tal
caso, debe recordarse que en un conjunto no importa el orden en que estén los
elementos.
Conjuntos homogéneos: En estos conjuntos los elementos o miembros
que los componen responden al mismo género o tipo. Por ejemplo el conjunto
A que contiene los elementos 1, 5, 3, 7, 6, 8. Aquí todos sus elementos son
números por lo que conforman un conjunto homogéneo.
Conjuntos heterogéneos: estos conjuntos están compuestos por
elementos que corresponden a distintos tipos, géneros o clases, por ejemplo, el
conjunto A es 2, j, perro, azul.
Operaciones con Conjuntos
Unión
La unión de los conjuntos A y B es el conjunto de todos los elementos de A
con todos los elementos de B sin repetir ninguno y se denota como A∪ B . Esto es:
Intersección La intersección de los conjuntos A y B es el conjunto de los elementos de A que también pertenecen a B y se denota como A∩ B. Esto es:
Complemento
El complemento del conjunto A con respecto al conjunto universal U es el conjunto de todos los elementos de U que no están en A y se denota como 'A . Esto es:
U – A
Conjunto universo
Ejemplo:
U=
SE LO REPRESENTACON: A´ o AC
AC =
Diferencia
La diferencia de los conjuntos A y B (en ese orden) es el conjunto de los elementos que pertenecen a A y no pertenecen a B y se denota como A− B . Esto es:
Todos los elementos de A
que no pertenecen a B.
Conjunto cualquiera
1,2,3,4,5,6,7,8,9 Y A= 1,3,5,7,9
2,4,6,8
Diferencia Simétrica
La diferencia simétrica de dos conjuntos es otro conjunto que contiene a todos
los elementos de ambos conjuntos sin tener en cuenta su intersección Sean A
y B dos conjuntos. Se denomina diferencia simétrica entre A y B a:
A=
B=
DIFERENCIA SIMETRICA
2,4,6,8,10
2,4,5,7,9
FUNCIONES LINEALES
Recordemos que una función es una correspondencia entre los elementos de
un conjunto de partida, llamado DOMINIO, y los elementos de un conjunto de
llegada CONDOMINIO, de forma tal que a cada elemento del dominio le
corresponde uno, solo uno, en el condominio.
Definición.-Una función lineal es una función cuyo dominio son todos los
números reales, cuyo condominio son también todos los números reales, y
cuya expresión analítica es un polinomio de primer grado.
Definición:
f: R R / f(x) = a.x+b donde a y b son números reales, es una función
lineal.
Este último reglón se lee:
F de R en R tal que f de equis es igual a a.x+b.
EJERCICIO 1
y=3x+3
1.-Se reemplaza la x por el valor inicial en la tabla que es 0.
f(x)=3(0)+3
2.-Se multiplica por el número que se ha reemplazado x .
f(x)=0+3
3.-Resolvemos la operación que se ha encontrado.
f(x)=3
4.-Con el mismo ejercicio se reemplaza la x por el valor de 1.
f(x)=3(1)+3
5.-Se multiplica por el número que se ha reemplazado x.
f(x)=3+3
6.-Resolvemos la operación que se ha encontrado.
f(x)=6
7.-Con el mismo ejercicio se reemplaza la x por el valor de 2.
f(x)=3(2)+3
8.-Se multiplica por el número que se ha reemplazado x.
f(x)=6+3
9.-Resolvemos la operación que se ha encontrado.
f(x)=9
10.-Con el mismo ejercicio se reemplaza la x por el valor de 3.
f(x)=3(3)+3
11.-Se multiplica por el número que se ha reemplazado x.
f(x)=12
12.-Con el mismo ejercicio se reemplaza la x por el valor de -1.
f(x)=3(-1)+3
13.-Se multiplica por el número que se ha reemplazado x.
f(x)=-3+3
14.-Resolvemos la operación que se ha encontrado.
f(x)=0
14.- Con el mismo ejercicio se reemplaza la x por el valor de -2.
f(x)=3(-2)+3
15.-Se multiplica por el número que se ha reemplazado x.
f(x)=-6+3
16.- Resolvemos la operación que se ha encontrado.
f(x)=-3
16.- Con el mismo ejercicio se reemplaza la x por el valor de -3.
f(x)=3(-3)+3
17.-Se multiplica por el número que se ha reemplazado x
f(x)=-9+3
18.-Resolvemos la operación que se ha encontrado.
f(x)=-6
19.-QUEDARIA ASI:
f(x)=3x+3
f(x)=3(0)+3=0+3=3
f(x)=3(1)+3=3+3=6
f(x)=3(2)+3=6+3=9
f(x)=3(3)+3=9+3=12
f(x)=3(-1)+3=-3+3=0
f(x)=3(-2)+3=-6+3=-3
f(x)=3(-3)+3=-9+3=-6
19.-Se escribe los resultados en la tablas según con su valor.
X Y
0 3
1 6
2 9
3 12
-1 0
-2 -3
-3 -6
20.-Se grafica todos los puntos en el plano cartesiano y trazamos la recta
y
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2 1
-X
x
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
-11
(-)y
EJERCICIO 2
y=-2x+4
1.-Se reemplaza la x por el valor inicial en la tabla que es 0.
f(x)=-2(0)+4
2.-Se multiplica por el número que se ha reemplazado x.
f(x)=0+4
3.-Resolvemos la operación que se ha encontrado.
f(x)=4
4.-Con el mismo ejercicio se reemplaza la x por el valor de 1.
f(x)=-2(1)+4
5.-Se multiplica por el número que se ha reemplazado x.
f(x)=-2+4
6.-Resolvemos la operación que se ha encontrado.
f(x)=2
7.-Con el mismo ejercicio se reemplaza la x por el valor de 2.
f(x)=-2(2)+4
8.-Se multiplica por el número que se ha reemplazado x.
f(x)=-4+4
9.-Resolvemos la operación que se ha encontrado.
f(x)=0
10.-Con el mismo ejercicio se reemplaza la x por el valor de 3.
f(x)=-2(3)+4
11.-Se multiplica por el número que se ha reemplazado x.
f(x)=-6+4
12.- Resolvemos la operación que se ha encontrado.
f(x)=-2
12.-Con el mismo ejercicio se reemplaza la x por el valor de -1.
f(x)=-2(-1)+4
13.-Se multiplica por el número que se ha reemplazado x.
f(x)=2+4
14.-Resolvemos la operación que se ha encontrado.
f(x)=6
14.- Con el mismo ejercicio se reemplaza la x por el valor de -2.
f(x)=-2(-2)+4
15.-Se multiplica por el número que se ha reemplazado x.
f(x)=4+4
16.- Resolvemos la operación que se ha encontrado.
f(x)=8
16.- Con el mismo ejercicio se reemplaza la x por el valor de -3.
f(x)=-2(-3)+4
17.-Se multiplica por el número que se ha reemplazado x
f(x)=6+4
18.-Resolvemos la operación que se ha encontrado.
f(x)=10
19.-QUEDARIA ASI:
y=-2x+4
f(x)=-2(0)+4=4
f(x)=-2(1)+4=-2+4=2
f(x)=-2(2)+4=-4+4=0
f(x)=-2(3)+4=-6+4=-2
f(x)=-2(-1)+4=2+4=6
f(x)=-2(-2)+4=4+4=8
f(x)=-2(-3)+4=6+4=10
20.-Se escribe los resultados en la tablas según con su valor.
X Y
0 4
1 2
2 0
3 -2
-1 6
-2 8
-3 10
20.-Se grafica todos los puntos en el plano cartesiano y trazamos la recta.
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
(-)X
x -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
-11 -12 -13
(-)y
CONCLUSION
Este proyecto se realizó con el fin recordar los temas antes mencionados así
atribuyendo con un granito de arena en la educación básica.
Y ya así con este recordatorio podremos mejorar en las prácticas y ejercicios
que algunas veces nos dan dolores de cabeza
Así reforzando nuestros conocimientos en las matemáticas y cumpliendo con
el compromiso de hacer fácil y didáctico el estudio de esta.
BIBLIOGRAFIA
EL LIBRO ROJO DE LAS MATEMATICAS
AUTOR: Moisés Villena Muñoz
LIBRO MATEMÁTICAS PREVIAS AL CÁLCULO: ANÁLISIS FUNCIONAL Y
GEOMETRÍA ANALÍTICA
Autor: Leithold, Louis.
LIBRO ECUACIONES Y DESIGUALDADES LINEALES EN UNA VARIABLE
Autor: Carolina Rodríguez
LIBRO MATEMATICAS:
Autor: José Sánchez Romero
Director: José Sánchez Romero
Editor: Carlos Cabrera
LIBRO: CONJUNTOS
Autor: National Council of Teachers of Mathematics
Editorial: Editorial Trillas S.A.
LIBRO: EL SISTEMA DE LOS NÚMEROS RACIONALES (*)
Autor: National Council of Teachers of Mathematics
Editorial: Editorial Trillas S.A.
LIBRO: MATEMATICAS APLICADAS A LA ADMINISTRACION Y LA
ECONOMÍA
Autor: ARYA, JAGDISH C. y LARDNER, ROBIN W.
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