programación entera (1)

Un modelo de programación entera es un modelo que contiene restricciones y una función objetivo idénticas a las formuladas por planeación lineal. La única diferencia es que una o mas de las variables de decisión tienen que tomar un

valor entero en la solución final.

Existen tres tipos de modelos de programación entera:

• Un modelo entero puro (PLE) es, como su nombre lo indica, un problema en el que se exige que todas las variables de decisión tengan valores enteros. Por ejemplo

Min 6×1 + 5×2 + 4×3

s.a. 108×1 + 92×2 + 58×3 >= 576

7×1 + 18×2 + 22×3 >= 83

• x1, x2, x3 >= 0 y enteros

• Es un modelo entero puro. Sin las restricciones adicionales de que x1, x2, x3 sean enteros (o sea las condiciones de integralidad) seria un problema de programación lineal

Corte de Madera

Una marquetería debe enmarcar 175 cuadros de 119x96 cm. En el mercado

puede comprar varillas de la moldura indicada con longitud de 300 cm.

¿Cómo deben cortarse las varillas para obtener los marcos requeridos,

obteniendo el menor sobrante posible?

Solución:

Modalidades de corte

Algunas de las variables de decisión tienen valores enteros. Las demás cumplen con la suposición de divisibilidad.

Un problema en el que solo se requieren que algunas variables

tengan valores enteros mientras que otras pueden asumir cualquier

numero no negativo (es decir, cualquier valor continuo) se llama

programación lineal entera mixta (PLEM). Por ejemplo, supóngase

que en el problema solo x1 y x2 deben ser enteros y x3 no. El

problema resultante es:

Programación de la Producción de un Ensamble

Cierta empresa produce un artículo que se forma con cuatro piezas del

componente A y tres piezas del componente B.

Las piezas se pueden fabricar en cualquiera de las tres máquinas diferentes que

posee la compañía, las cuales transforman las dos materias primas en las piezas

que van al ensamble del producto final.

La tabla siguiente muestra el número de gramos de cada materia prima que

deben utilizarse en cada máquina para realizar un ciclo de producción de las

componentes. La misma tabla muestra el número de componentes de cada tipo

que se obtienen en cada ciclo de producción de cada una de las maquinas, así

como el número de gramos disponibles de las materias primas.

¿Cómo debe programarse la producción para obtener la máxima cantidad de

artículos?

Construcción del modelo

Para un mejor entendimiento elaboremos un diagrama de la situación

Definición de variables

Xi = Número de tandas de producción que realiza la máquina i.

Cada tanda de producción de las máquinas utiliza cierta cantidad de las

materias primas y produce cierta cantidad de los componentes A y B, con los

cuales se obtiene el ensamble del producto final.

Como para cada unidad del ensamble se utilizan cuatro unidades del

componente A y tres del componente B, se concluye que el número total de

ensambles obtenidos será el resultado de dividir por cuatro el numero de

componentes tipo A, pero también debe ser igual al numero de componentes

tipo B, dividido por tres.

Necesitamos entonces definir también que

XA = número de componentes de tipo A obtenidas.

XB = número de componentes de tipo B obtenidas.

Utiliza variables binarias

En algunos problemas se restringe el valor de las

variables a 0 o 1. Son de particular interés debido a que

se pueden usar las variables 0–1 para representar

decisiones dicotómicas (sí o no). Diversos problemas de

asignación, ubicación de plantas, planes de producción

y elaboración de cartera, son de programación lineal

entera 0–1.

• Existen dos métodos para generar las restricciones

especiales que fuercen la solución óptima del problema,

hacia la solución óptima entera deseada:

- Método de ramificar y acotar.

- Método de planos de corte.

• Desafortunadamente, ninguno de los dos métodos es

efectivo en la solución de problemas de programación

lineal entera.

Programación de Proyectos

Una compañía tiene cuatro proyectos llamados A, B, C y D, cada uno de los

cuales puede o no hacerse.

Los proyectos B y D no se pueden ejecutar simultáneamente (son mutuamente

excluyentes).

La información relevante de los proyectos es: (cifras en millones de pesos)

La compañía dispone actualmente de 25 millones y al inicio del segundo

año recibirá 5 millones de otras inversiones. Además necesita disponer de

15 millones al inicio del tercer año que destinará a cancelar unos

compromisos de pago en esa fecha.

La tasa de interés que se paga actualmente en el mercado es 20% anual

efectiva.

Estibaje: son problemas con una sola restricción de capacidad.

Cargo fijo: hay un costo asociado con desarrollar una actividad que

no depende del nivel de la actividad.

Cobertura: cada elemento de un conjunto debe ser “cubierto” por un

elemento aceptable de otro conjunto. El objetivo del problema es

minimizar el número de elementos del segundo conjunto requerido

para cubrir todos los elementos del primer conjunto.

Escala minima de operacion

Este problema, consiste en que un viajero que saliendo de una determinada ciudad, debe visitar una sola vez n-1 ciudades diferentes y regresar al

punto de partida. Si el costo de dirigirse a la ciudad j desde la ciudad i es Cij (Cij ≠ Cji ), se debe

determinar la secuencia de visita de ciudades, tal que el costo total asociado sea mínimo.

La formulación de este problema es la siguiente.

xij= 1, si se visita a la cd. j después de visitar la cd. i0, si no se visita a la cd, j después de visitar la cd. i

cij: el costo asociado a la visita de la cd. j después de visitar iUi = un número real arbitrario

Entonces se requiere:

Sujeto a: j= 0, 1, 2, …, n,

i = 1, 2, …, n,

1 ≤ i ≠ j ≤n,

Problema del transporte

Problema de flujo con coste mínimo en red

Problema de asignación

Problema de la mochila (knapsack)

Problema del emparejamiento (matching)

Problema del recubrimiento (set-covering)

Problema del empaquetado (set-packing)

Problema de partición (set-partitioning)

Problema del coste fijo (fixed-charge)

Problema del viajante (TSP)

Problema de rutas óptimas