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Fecha de aprobación del programa:
PROGRAMA DE ESTUDIO
I.- DATOS GENERALES
Nombre de la carrera: Educación
Mención: Física y Matemática
Unidad Curricular: Cálculo III
Código de la Unidad Curricular:
Número de Créditos: 3
Área de Formación (General, Pedagógica o Especializada)
Especializada
Régimen de Evaluación: CR
Prelaciones/Requisitos: (Unidades curriculares necesarias)
No requiere
Unidades curriculares vinculadas: (Unidades curriculares
asociadas): Cálculo I , Cálculo II, Electricidad, Magnetismo,
Equipo de diseño: Prof. José Gascón, Prof. María Belén
García, Prof. Francisco Peraza
N° horas semanales de
acompañamiento Docente: 6
N° horas semanales de trabajo
independiente:4
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II.- SINOPSIS
La unidad curricular Cálculo II pretende involucrar al alumno en el estudio de las funciones de varias variables a fin de
comprender conceptos y resultados como son: Coordenadas polares. Función vectorial. Geometría Diferencial. Cuádricas. Funciones
de varias variables: definición, incrementos, límites y derivadas parciales. Gradiente. Divergencia. Rotacional. Teorema de Schwartz.
Matriz Jacobiana. Derivada direccional. Máximos y mínimos en funciones de varias variables. Multiplicadores de Lagrange.
Problemas de máximos y mínimos en varias variables. Integrales dobles: definición y cálculo. Integrales triples: definición y cálculo.
Aplicaciones de las integrales múltiples en Física: volúmenes, momentos estáticos y de inercia. Centro de Masa. Integrales de línea
y de superficie. Teorema de Green. Teorema de Stokes. Teorema de Gauss.
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III.- JUSTIFICACION
En los fenómenos físicos, económicos y sociales aparecen situaciones que requieren varias variables para su modelaje. Por ejemplo,
la Ley de Gravitación Universal de Newton nos indica que la gravedad en un punto debida a una masa depende tanto de la masa
como de la distancia de esta al punto. Ello nos lleva a considerar el estudio sistemático de funciones que dependen de varias
variables . En este curso queremos generalizar las dos ideas fundamentales del Cálculo de una variable: los conceptos de derivada e
integral . Así el curso esta divido, de manera natural, en dos bloques:
1. Cálculo Diferencial de Funciones de Varias Variables
2. Cálculo Integral de Funciones de Varias Variables
Hablemos a continuación del Cálculo Diferencial de funciones de Varias Variables. Como lo ha señalado el matemático francés
Jean Dieudonne, la idea básica de la derivada es la de aproximar linealmente funciones complicadas. Esta idea queda muchas veces
oculta en el Cálculo de una variable ya que la derivada, de tal función, es un número pero aparece de manera clara en el Cálculo de
varias variables por medio de la matriz jacobiana. Revisamos en el curso la importante regla de la cadena y el proceso de derivación
implícita. Estos resultados son usados para estudiar el problema de hallar el óptimo (máximo) de una función de varias variables.
Como lo señaló el gran matemático Leonhard Euler, cito “nada sucede en el Universo sin obedecer alguna regla de máximo o
mínimo”. Además, estos problemas son fundamentales en la aplicación de la matemática en Economía, Administración, Ingeniería y
Física. Como futuros profesores, nuestros alumnos deben conocer las aplicaciones de la matemática en diversas áreas para motivar
a sus estudiantes en su estudio .
La siguiente parte del curso está dedicada al Cálculo Integral de Funciones de Varias Variables, siendo el concepto fundamental el
de integral múltiple. El cálculo de las mismas modela la determinación de un volumen en el espacio y es indispensable para las
aplicaciones en Física, Ingeniería y Ciencias Sociales. Aún más interesante, la generalización del concepto de integral a funciones de
varias variables permite relacionar derivadas e integrales. El Teorema de Green debe ser entendido por el estudiante como una nueva
versión del Teorema Fundamental del Cálculo, es decir, asocia la idea de derivada e integral. Lo mismo ocurre con los Teoremas de
Stokes y la divergencia, fundamentales en el estudio del Electromagnetismo.
Para ayudar a nuestros estudiantes en la visualización de objetos bidimensionales y tridimensionales usaremos los recursos
tecnológicos de software( MUPAD) y de Cálculo en línea (wolframalpha. com), además estas herramientas pueden ser usadas para el
cálculo simbólico. Con ello pretendemos dotar, a nuestros futuros profesores, de herramientas tecnológicas que los ayuden en su
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praxis docente.
Por todas estas razones, señalamos la importancia de esta asignatura en la formación del futuro profesor de matemática y física
egresado de nuestra Universidad.
IV.- COMPETENCIAS QUE DESARROLLA LA UNIDAD CURRICULAR
Enunciado de la competencia General: Aprender a aprender con calidad
Unidades de Competencia Criterios de desempeño Indicadores de logro
1.1.G- Abstrae, analiza, y sintetiza información. 1.1.1.G- Identifica elementos comunes en diferentes situaciones o contextos.
Compara situaciones observadas en diversos
problemas con los conocimientos teóricos de las
funciones de varias variables
1.1.3.G- Resume información de forma clara y ordenada
Utiliza el cálculo de varias variables para expresar
de manera compacta relaciones complejas
1.1.5.G-Valora críticamente la información. Expone y escribe sus juicios con argumentos
basados en su conocimiento del cálculo de varias
variables
1.3.G- Identifica, plantea y resuelve problemas.
1.3.2.G- Analiza el problema y obtiene la información requerida para solucionarlo.
Selecciona la solución que se adecúa más al
problema según los teoremas y definiciones del
cálculo vectorial
1.3.5.G-Evalúa el resultado de las acciones ejecutadas
Verifica la solución obtenida estableciendo su
coherencia
1.6.G- Demuestra conocimiento sobre su área de estudio y profesión.
1.6.1.G-Identifica términos, definiciones y ejemplos
del lenguaje técnico de la profesión
Maneja los términos claves necesarios para la
formulación del cálculo de varias variables
Enunciado de la competencia General: Aprender a trabajar con el otro
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Unidades de Competencia Criterios de desempeño Indicadores de logro
3.1.G- Participa y trabaja en equipo. 3.1.1.G- Identifica roles y funciones de todos los miembros del equipo.
Distribuye el trabajo y las tareas de acuerdo a las
fortalezas de cada uno de sus integrantes
3.1.2.G- Realiza tareas establecidas por el equipo. Aporta sus conocimientos en el trabajo en equipo,
cumpliendo con responsabilidad las tareas
asignadas
3.3.G- Toma decisiones efectivas para resolver
problemas.
3.3.1.G- Identifica el problema.
Identifica y analiza las variables involucradas en el
problema que le conduzcan a la solución deseada 3.3.2.G- Analiza el problema.
3.3.3.G- Plantea alternativas de solución.
Plantea soluciones alternas al problema cuando
una variable es modificada
3.5.G- Colabora, interactúa y se comunica con el
otro.
3.5.2.G- Valora las ideas y opiniones de otras personas.
Escucha con respeto la opinión de sus compañeros
Enunciado de la competencia General: Aprender a interactuar en el contexto global
Unidades de Competencia Criterios de desempeño Indicadores de logro
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4.2.G- Maneja adecuadamente las tecnologías de
información y comunicación.
4.2.2.G- Gestiona adecuadamente los programas y aplicaciones de uso frecuente.
Aplica el software matemático para graficar y
calcular con funciones de varias variables
4.2.3.G- Valida la información que consulta en Internet.
Usa la Internet de manera adecuada contrastando
la información obtenida con los resultados propios
Enunciado de competencia Básica Profesional: Asume con autonomía su desarrollo personal
Unidades de Competencia: Criterios de desempeño Indicadores de logro
Fecha de aprobación del programa:
1.1.PB- Es un pensador critico.
1.1.1.PB- Participa en debates y formula preguntas
significativas y precisas que le permitan manejar e
interpretar situaciones.
Discute constructivamente en clase argumentando
sus ideas
1.1.3.PB- Desarrolla su pensamiento lógico Aplica las leyes de inferencia y el uso de los
cuantificadores de manera adecuada en su discurso
1.1.5.PB- Llega a conclusiones justificadas e
imparciales y valora las diferentes opciones para la
toma de decisiones.
Elabora conclusiones que demuestran
conocimiento del cálculo de varias variables
Enunciado de competencia Profesional Específica: Promueve ambientes de enseñanza-aprendizaje de la matemática como lenguaje y
herramienta para la comprensión científica
Unidades de Competencia Criterios de desempeño Indicadores de logro
Fecha de aprobación del programa:
1.1. Argumenta matemáticamente
1.1.1. Utiliza adecuadamente los símbolos, conectores, constantes y variables propias del lenguaje matemático
Utiliza correctamente el lenguaje matemático en la formulación del cálculo de varias variables
1.1.2. Redacta de forma coherente sus impresiones, observaciones, análisis, y conclusiones utilizando la notación adecuada
Es capaz de describir situaciones y analizar las mismas usando el lenguaje del cálculo de varias variables
1.2 Comprende la epistemología de la matemática,
sus teorías y métodos
1.2.10 Utiliza el Teorema de Green y asociados, el
concepto de derivada y los fundamentos del
cálculo de varias variables en la resolución de
problemas
Utiliza los teoremas fundamentales del cálculo de varias variables en la resolución de problemas
1.2.11. Domina las técnicas de maximizar y
minimizar funciones como herramientas en la
solución de problemas
Aplica las técnicas de optimización de funciones de
varias variables para resolver problemas de Física,
Economía y otras áreas
1.2.14 Utiliza las integrales múltiples en la
resolución de problemas
Utiliza las integrales múltiples para describir
regiones, en el plano y en el espacio, y calcular su
área y volumen
1.3 Comprende la relación entre matemática y
naturaleza
1.3.2 Emplea las herramientas del cálculo
diferencial e integral en el análisis de distintos
modelos de fenómenos naturales, así como también
en la resolución de problemas
Es capaz de resolver y calcular ecuaciones
derivadas de modelos de fenómenos naturales
Fecha de aprobación del programa:
V.- CONTENIDOS
Cálculo Diferencial
CONCEPTUALES PROCEDIMENTALES ACTITUDINALES
- - Comprensión de los conceptos relacionados con el
Cálculo Diferencial de Varias Variables:
1. Geometría del Espacio
2. Límite
3. Derivada Parcial
4. Derivada Total
- Conocimiento del concepto de distancia en el
plano y en espacio
- Aplicación de la geometría del plano y el
espacio a la resolución de problemas
- Aplicación de la idea de límite de una
función de varias variables en la
resolución de problemas
- Disposición abierta a la participación
Fecha de aprobación del programa:
- Conocimiento del concepto de límite de una función de varias variables
- - Conocimiento del concepto de derivada parcial
-
- Comprender la idea de derivada y matriz
jacobiana
- Conocimiento de los operadores diferenciales
fundamentales: el gradiente, el rotacional y la
divergencia
- Aplicación de la derivada parcial y
direccional en la resolución de problemas
- Determinación del plano tangente a una
superficie
- Aplicación de los diferenciales en la
resolución de problemas
- Aplicación de la regla de la cadena y la
derivación implícita en la resolución de
problemas
- Optimización de funciones de varias variables
aplicando sus resultados a problemas de
su entorno
- Responsabilidad en la entrega de asignaciones
V.- CONTENIDOS
Cálculo Integral de Funciones de Varias Variables
CONCEPTUALES PROCEDIMENTALES ACTITUDINALES
Comprensión de los conceptos fundamentales del
Cálculo Integral:
1. Integral Doble
- Aplicación de la descripción de regiones del
plano para plantear integrales dobles
- Participación activa en el desarrollo de las
- Participación activa en el desarrollo de las
actividades en el aula
Fecha de aprobación del programa:
2. Integral Triple
3. Integral de Línea
4. Integral de Superficie
- Conocimiento de la descripción de regiones en el
plano limitadas por curvas
- Comprensión del concepto de integral doble
- Conocimiento del cálculo de integrales dobles
por medio de integración iterada
- Conocimiento de las coordenadas polares y su
relación con las integrales dobles
- Conocimiento del área y masa de una lamina
como una integral doble
- Conocimiento de cómo describir una región
espacial limitada por distintas superficies
- Comprensión del concepto de integral triple
- Conocimiento del cálculo de integrales triples
- Conocimiento de coordenadas esféricas y
cilíndricas
actividades en el aula
- Aplicación de las integrales dobles en la
resolución de problemas
- Aplicación del cambio de coordenadas en
una integral doble para calcular la misma
- Aplicar la descripción de regiones del
espacio para plantear integrales triples
- Aplicación de las integrales triples en la
resolución de diferentes problemas
- Aplicación de nuevas coordenadas para el
cálculo de integrales triples
- Aplicación de la integrales triples para
determinar momentos de inercia, masa y
centro de masa de figuras espaciales
- Aplicar el concepto de integral de línea en
la determinación del trabajo o el flujo
- - Escucha con respeto la opinión de sus
compañeros
- Valoración de la necesidad de vincular el
saber con la vida cotidiana
Fecha de aprobación del programa:
- Conocimiento de la fórmula de cambio de
variable en integrales múltiples
- Comprensión de los conceptos de integrales de
línea y superficie
- Desarrollo del interés por organizar el
conocimiento
- Inconformidad ante la ignorancia y
superación de posiciones apáticas frente al
conocimiento
Fecha de aprobación del programa:
VI.- ESTRATEGIAS DE ENSEÑANZA Y DE APRENDIZAJE SUGERIDAS
TRABAJO DE ACOMPAÑAMIENTO DOCENTE:
1. Selección de las lecturas acordes al tema, actualizadas
didácticamente
2. Asignación y registro de lecturas
3. Uso de software matemático para visualizar curvas y
superficies
4. Indagación de Preconceptos
5. Asignación de puntos clave para que presenten los temas de
exposición
6. Presentación clara de conceptos en clase utilizando recursos
didácticos
7. Proyección de audiovisuales
8. Elaboración de material didáctico contextualizado al proceso
de aprendizaje
9. Asesorías y orientaciones
10. Talleres de trabajo y propuesta de problemas y ejercicios
11. Estudio de casos
TRABAJO INDEPENDIENTE DEL ALUMNO:
1. Análisis y recolección de información sobre los temas tratados
2. Utilización de estrategias para procesar información
(resúmenes, cuadros comparativos, mapas, subrayado, entre
otros)
3. Realización de lecturas
4. Prácticas con el paquete matemático Mupad
5. Exploraciones en la Web
6. Realización de Exposiciones de los diversos temas
7. Realizar ejercicios y problemas de cada uno de los temas
8. Elaboración de Proyecto Especial
9. Trabajo en equipo
10. Análisis a partir de material audiovisual
11. Realización de monografías
12. Elaboración de preguntas
13. Identificación de las dificultades en el procesamiento de
la información
Fecha de aprobación del programa:
VII.- ESTRATEGIAS DE EVALUACIÓN SUGERIDAS
1. Participación y asistencia
2. Exposiciones individuales y/o grupales
3. Talleres individuales y/o grupales
4. Talleres del uso de software matemático
5. Pruebas cortas
6. Exámenes
VIII.-FUENTES DE CONSULTA
Bibliográficas
Fecha de aprobación del programa:
EDWARDS C.H., et al(1994). Cálculo Diferencial con Geometría Analítica. México: Editorial Prentice Hall.
LARSON, R., HOSTETLER, R.( 1982). Cálculo y Geometría Analítica. España: Editorial McGraw-Hill.
LEITHOLD, L.(1988). El Cálculo con Geometría Analítica. Editorial Oxford-Harla, Mexico.
POURCEL , E. & VARBERG, D. ( 1992).Cálculo Con Geometría Analítica. México: Ediciones Prentice-Hall.
STEWART,J. (2008). Calculus, early trascendentals. USA: Thomson Learning, Inc..
Electrónicas:
http:// www. wolframalpha. com/
http:// math. uprag. edu/ MuPAD. pdf
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