problemas.doc

Topografía I

UNIVERSIDAD NACIONAL“SANTIAGO ANTUNEZ DE MAYOLO”

TOPOGRAFIA

I

TEMA : TEORIA DE OBSERVACIONES

DOCENTE : ING. RAUL CASTILLEJO MELGAREJO

Topografía I

2008

TEORIA DE ERRORESIntroducción:Cuando se mide una magnitud se presentan errores cuyo valor no se conoce y que se deben a muchas causas, por lo cual una medición nunca es realmente verdadera. En topografía las mediciones deben mantenerse siempre dentro de ciertos límites de precisión que depende de la clase y finalidad del levantamiento.Por eso se deben conocer las causas u origen de los errores, apreciando el efecto conjunto de varios sobre cada medición y familiarizándose con el procedimiento que hay que seguir para lograr la precisión requerida.Es conveniente distinguir entre la “exactitud Y Precisión” de una medida.La exactitud es la aproximación a la verdad, mientras que la precisión es el grado de afinamiento en la lectura de una observación o el numero de cifras con que se este efectuando un calculo, de donde se deduce que una medida puede ser exacta sin ser precisa, o al contrario. En Ingeniería es más importante la exactitud que la precisión.

FUENTES Y CLASES DE ERROR:1. Las Fuentes de Error Pueden ser:

- Fuentes Naturales: Los originados por el medio ambiente externo, como el viento, lluvia, cambios de temperatura. Etc.

- Fuentes Instrumentales: Originados por las condiciones en que se encuentra el

Topografía I

instrumento, y su importancia y comportamiento con los cambios de temperatura.

- Fuentes Personales: Provenientes de los diferentes descuidos por parte del operador. Generalmente se produce por falta de practica en el manejo del instrumento o por las limitaciones de la vista o el tacto del observador.

2. Clases de Error:- Errores Materiales: Son de magnitud

considerable y fáciles de detectar. Provienen de la fuente de error personal, difícilmente se corrigen por lo que será necesario desechar las medidas tomadas y debe repetirse el trabajo..

- Errores Sistemáticos: Generalmente cumplen una ley matemática o física y se llaman sistemáticos por que en las mismas condiciones siempre se comenten el mismo error, en igual cantidad y signos. Se puede compensar en su totalidad y nos permite encontrar el error mas probable, generalmente proviene de la fuente de error instrumental.

- Errores Fortuitos: Son aquellos que se presentan debido a causas ajenas a la pericia del observador, al que no puede aplicarse corrección alguna, estos errores obedecen a las leyes de la probabilidad; por lo tanto se recomienda tomar varias lecturas de una misma medición, pues generalmente suelen ser diferentes.

PROBLEMAS DESARROLADOS

Problema n° 01 : Se midió la longitud de un sardinel cinco veces, obteniéndose los siguientes resultados:

Topografía I

325.365m; 325.354m; 325.329m; 325.355m, 325.372m. Calcular el error probable de una observación con el 95% de probabilidad de que sea cierto.

Solución:Número

Medida V V2

1 325.365 0.010 0.00012 325.354 -0.010 0.00013 325.329 -0.026 0.00074 325.355 0.000 0.00005 325.372 0.017 0.0003

=325,355 =0.0012

= ± 0.0173

El error probable de una observación con el 95% de probabilidad de que sea cierto es:E95 = ± 1.9599 σ = 1.9599 (± 0.0173)E95 = ± 0.0339m

Por lo tanto la distancia correcta es 325.355± 0.0173 m

Problema n° 02: Se presentan una serie de lecturas de estadal (mira); que se tomaron con un nivel en condiciones idénticas. Responder si el valor 2.260 esta dentro del intervalo correspondiente al 50% de probabilidad si:

Topografía I

Solución: Número L

1 2.250 -0.005 0.0000252 2.253 -0.002 0.0000043 2.258 0.003 0.0000094 2.257 0.002 0.0000045 2.259 0.004 0.0000166 2.251 -0.004 0.0000167 2.250 -0.005 0.0000258 2.260 0.005 0.000025

=2.255 0.000124

= ± 0.0042

Vmax= 3σ = 3 ± 0.0042

La varianza de ninguna medición sobrepasa el máximo, por lo cual no hay motivo de depuración de valores:

El verdadero valor con el 50% de probabilidad esta dentro del siguiente intervalo:

Topografía I

El valor 2.260 no está dentro del intervalo correspondiente al 50% de probabilidad.

Problema n° 03 : Se ha realizado la medición de un aeropuerto, utilizando diferentes equipos, obteniéndose los siguientes resultados de campo:

Calcular el valor más probable de la línea medida. Solución: Por teoría sabemos :

Si hacemos: P1= 1P2= 1/4P3= 1/9

El valor más probable es la media ponderada:

Topografía I

= 5000.135m

Problema n° 04: Se ha medido una distancia inclinada entre dos puntos dando una longitud de 400m, habiéndose usado una cinta de 25m con un error por cinta de y el ángulo vertical con respecto al horizonte igual a Hallar el verdadero valor de al distancia horizontal.

Solución:

Analizando la longitud de media.

Error probable=8 veces

Error probable=

Analizando el triangulo rectángulo generado:

D=L cos

Topografía I

D=400cosCalculando el error probable:

El verdadero valor correspondiente a la distancia horizontal:

m

Problema n° 05: Determinar el verdadero valor de la superficie del sector circular medido, sabiendo que el radio es de 120.80 0.05el ángulo observado es

Sugerencia: 1 minuto =0.0003rad.Solución:

A=?

r

b

Topografía I

Calculando el valor más probable de la superficie.

Calculando el error probable:

El verdadero valor estará comprendido en el siguiente rango:

Topografía I

Problema n° 06: El desnivel entre dos puntos A y B siguiendo cuatro rutas diferentes a dado los siguientes resultados: 28.639, 28.647, 28.628, 28.669m., considere 0.020m., como máxima tolerancia aceptable entre lecturas extremas:a. Calcular la diferencia más probable entre los

puntos A y B.b. Error relativo. Solución:

=28.646 = 0.000903Nume

rod V

1234

28.639

28.647

28.628

28.669

- 0.0070.001-0.0180.023

0.0000490.0000010.0003240.000529

Error más probable: E. m. p =

E.m.p = =

V.m.p = 28.646 0.00867

Topografía I

Error absoluto:

Error relativo :

Problema n° 7 : Sea medido la distancia entre los puntos P1 – P2, con tres observaciones diferentes precisiones, habiéndose obtenido los siguientes resultados.

Calcular el valor más probable de la longitud P1 - P2 con una probabilidad del 90% y el error relativo e interpretarla.

Respuesta: Por cada 6343.45521 unidades que se mide se comete un error de unidad.

Topografía I

Problema n° 8: El desnivel entre el punto A y B siguiendo tres rutas diferentes ha dado los siguientes resultados:

a) Calcular la diferencia de nivel más probable entre A y B, con 95% de probabilidad de que sea cierto.

b) Calcular el error relativo e interpretarla.

Problema n° 9: Siguiendo itinerario de nivelación, se ha determinado, en 18 tramos, el desnivel entre 2 puntos, que ha resultado ser 35.362m. Se supone que el error probable del desnivel en cada trazo es 1mm. Calcúlese el error probable del desnivel total.Respuesta:Es=±0.04243m.

Problema n° 10: En una serie de lecturas de mira efectuadas en idénticas condiciones, se ha obtenido los valores siguientes: 2.187; 2.182; 2.179; 2.181; 2.184; 2.176; 2.186; 2.183; 2.178; 2.181; 2.188, y 2.179. Determinar su valor más probable, su error posible. ¿Cual es el error posible de una sola medición?

Problema n ° 11: Se mide una alineación en tres tramos, con errores probables de ; ;

m, respectivamente. ¿Cuál es el error probable de la longitud total?Respuesta:

Topografía I

ET=±0.03059m.

Problema n° 12: Los lados de un terreno rectangular miden 750m. y 375m. Pero se miden con una cinta de 25m. Que tiene en su longitud un error de . Hallar el error del área.Respuesta:

Problema n° 13: Corríjase los siguientes ángulos observados donde un mismo punto o.

ANGULOS VALOR OBSERVADO NÚMERO DE OBS.AOB 6BOC 1COD 3AOD 5Problema n° 14: El desnivel entre dos puntos A y B, siguiendo cuatro rutas diferentes ha dado los siguientes resultados: 28.639, 28647, 28.628, 28.669m. considere 0.020m. como máxima tolerancia aceptable en lecturas extremas.

a) Calcular la diferencia de nivel mas probable entre los puntos A y B.

b) El error relativo.

Problema n° 15: En una serie de lecturas de mira, efectuadas en idénticas condiciones, se han obtenido, los valores siguientes. Hállese el valor mas probable. Determínese su valor relativo. Cual es el error medio cuadrático de una observación.Lecturas de Miras (metros) A B C D2.073 2.054 2.085 2.063

Topografía I

2.069 2.070 2.081 2.0682.081 2.079 2.083 2.071

Problema n° 16: No pudiendo medir la distancia horizontal entre los puntos M y N. Se determino en forma indirecta midiendo el ángulo vertical en el teodolito y la diferencia de nivel h, entre M y N por nivelación geométrica en tres operaciones de campo, registrándose los datos siguientes:

α h1° Medición 2°43’ 15.23m2° Medición 2°44’ 15.22m3° Medición 2°42’ 15.24m.

a) Calcular los valores mas probables de ( α y h) y sus errores relativos.

b) Calcular la longitud horizontal D mas probable y sus errores relativos ; considere 1’= 0.0003 radianes.

Problema n° 17:La longitud de una recta medida con una cinta de 20m. resulto de 112.46m. Se encontró que al comparar la cinta con un patrón, esta era 0.07m mas larga. ¿ Cual es la magnitud real de la recta?

Problema n° 18: La verdadera distancia entre dos puntos es de 220.08m. Al medirla con una cinta de 50m. se encontramos una distancia de 220.85. Se pregunta: ¡Cuánto mas larga o mas corta esta la cinta?

Problema n° 19: Un ángulo fue medido por tres grupos diferentes en las mismas condiciones de precisión, obteniéndose los siguientes resultados:

- Grupo a: 72°43’19” Promedio de 3 mediciones

- Grupo b: 72°43’21” Promedio de 4 mediciones

Topografía I

- Grupo c: 72°43’15” Promedio de 5 mediciones

Determinar el valor más probable

Problema n° 20: Sea medido 7 veces la longitud AB, obteniéndose los siguientes resultados.716.246m. 715.251m. 715.269m. 715.291m.715.279m. 715.237m. 715.242m.Determinar el valor mas probable de la longitud AB y el Error relativo.

Problema n°21: Se ha medido la longitud entre dos tramos AB y BC, los datos obtenidos de campo son las siguientes: AB AB AB BC BC114.347 114.348 114.343 218.003 218.004114.353 114.345 217.995 217.993114.352 114.353 218.007 217.994114.350 218.001Determinar, La distancia mas probable y El error relativo

Problema n° 22: Se ha hecho una nivelación entre los puntos A y B por cuatro caminos diferentes y los datos obtenidos son:

Camino Longitud (m)

Cota A (m) Cota B (m)

1234

500.0001500.000250.000

2500.000

100.000100.000100.000100.000

226.437226.473226.410226.398

Determinar:- el valor mas probable de la cota B- el error relativo

Topografía I

Problema n° 23: Se ha medido la distancia entre los puntos P1 y P2 con tres observaciones de diferente precisión, habiéndose obtenido los siguientes resultados:Medida 1° Observ. 2° Observ. 3° Observ.

1234

715.524715.520715.519715.522

715.530715.526715.526

715.519715.129715.525715.522

Calcular el valor más probable de la longitud P1-P2 y el error relativo.