problemas de carga axial-ms 2-2014
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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE INGENIERA ELCTRICA Y ELECTRNICA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERA ELCTRICA
CURSO : MECNICA DE SLIDOS II
PROFESOR : Ing. JORGE MONTAO PISFIL
Semana N 03: PROBLEMAS RESUELTOS DE CARGA AXIAL
PROBLEMA N 1
El conjunto consta de una barra de acero CB y una barra de aluminio BA, teniendo cada una un
dimetro de 12 mm. Si la barra se somete a las cargas axiales en A y en el cople B, determine el
desplazamiento del cople B y del extremo A. La longitud de cada segmento sin estirar se muestra
en la figura. Desprecie el tamao de las conexiones en B y C, y suponga que son rgidas.
GPaEGPaE Alac 70,200
Resolucin
Para determinar el desplazamiento del cople B y del extremo A, primero hallo las fuerzas axiales
internas en las barras de acero y aluminio, para ello aplicamos el mtodo de secciones y la primera
ecuacin de equilibrio ( 0F ). Como resultado de ello obtenemos:
)(12 TRACCINkNPCB : Fuerza axial interna en la barra de acero CB
)(18 TRACCINkNPBA : Fuerza axial interna en la barra de aluminio BA
Clculo de B (desplazamiento del cople B)
El cople B experimenta una sola deformacin porque al analizar la barra de acero CB, desde el
extremo C hasta el cople B, hay una sola fuerza axial interna de traccin (CBP ). Adems, el punto
C de la barra de acero CB permanece fijo, porque en este punto se halla un apoyo tipo pasador que
est fijo a una pared,.
Cuando la carga y el rea son constantes, el desplazamiento del cople B (B ) viene dado por la
siguiente ecuacin.
acCB
CBCB
BEA
LP
)/10200()12)(4/(
)103)(1012(292
33
mNmm
mmkNB
mmB 59,1
Clculo de A (desplazamiento del punto A)
El punto A experimenta dos deformaciones porque al analizar el conjunto, desde el extremo C
hasta el extremo A, actan dos fuerzas axiales diferentes ( CBP de +12 kN y BAP de +18 kN).
Cuando hay varias fuerzas axiales diferentes, para hallar el desplazamiento de un punto, respecto
a un punto fijo, aplico el Principio de Superposicin. Es decir:
EA
LP
AlBA
BABA
acCB
CBCB
AEA
LP
EA
LP
Reemplazando datos, tenemos:
)/1070()012,0)(4/(
)2)(1018(
)/10200()012,0)(4/(
)3)(1012(392
3
292
3
mNm
mN
mNm
mNA
mmmmmmA 14,655,459,1
Nota.- Tambin se cumple que: BACBA //
3 m 2 m
A B C
-
PROBLEMA N 2
La flecha compuesta, que consiste en secciones de aluminio, cobre y acero, est sometida a las
cargas mostradas en la figura. Determine el desplazamiento del extremo A con respecto al extremo
D y el esfuerzo normal en cada seccin. En la figura se muestran el rea de la seccin transversal
y el mdulo de elasticidad para cada seccin. Desprecie el tamao de los collarines en B y en C.
Adems, determine el desplazamiento de B con respecto a C de la flecha compuesta.
Aluminio Cobre Acero
23 lg/1010 pubfkEAl 23 lg/1018 pubfkECu
23 lg/1029 pubfkEac
2lg09,0 puAAB 2lg12,0 puABC
2lg06,0 puACD
Resolucin
Aplicando el mtodo de secciones y la primera condicin de equilibrio ( 0F ), obtenemos:
)(2 TRACCINbfkPAB : Fuerza axial interna en la seccin de aluminio AB
)(5 COMPESINbfkPBC : Fuerza axial interna en la seccin de cobre BC
)(5,1 COMPESINbfkPCD : Fuerza axial interna en la seccin de acero CD
Clculo de DA / (desplazamiento del punto A, respecto al punto D)
En este caso aplico el Principio de Superposicin. Por lo tanto, se cumple que:
EA
LPDA /
Luego:
acCD
CDCD
CuBC
BCBC
AlAB
ABAC
DAEA
LP
EA
LP
EA
LP
/
Reemplazando datos, tenemos:
)lg/1029)(lg06,0(
lg)16)(5,1(
)lg/1018)(lg12,0(
)lg12,0)(5(
)lg/1010)(lg09,0(
lg)18)(2(232232
2
232/ pubfkpu
pubfk
pubfkpu
pubfk
pubfkpu
pubfkDA
mmpupupupuDA 0398,0lg00157,0lg)014,0(lg)028,0(lg04,0/
Nota.- El signo negativo para el desplazamiento del punto A, respecto al punto D, significa que la
flecha compuesta experiment una CONTRACCIN.
Clculo de (esfuerzo normal) en cada seccin
Sabemos: A
P
En la barra AB: 2lg09,0
2
pu
bfkAB
)(
lg22,22
2TRACCIN
pu
bfkAB
En la barra BC: 2lg12,0
5
pu
bfkBC
)(
lg67,41
2COMPRESIN
pu
bfkBC
C A B
16 pulg 18 pulg
D
12 pulg
-
En la barra CD: 2lg06,0
5,1
pu
bfkCD
)(
lg25
2COMPRESIN
pu
bfkCD
Clculo de CB / (desplazamiento del punto B, respecto al punto C)
CuBC
BCBC
CBEA
LP
/
)lg/1018)(lg12,0(
lg)12)(5(232/ pubfkpu
pubfkCB
lg028,0/ puCB
PROBLEMA N 3
La armadura est hecha de tres barras de acero A-36, cada una con rea transversal de 400 mm2. Determine el desplazamiento horizontal del rodillo en C cuando P = 8 kN.
Resolucin
Segn tablas: GPaE AACERO 20036
Adems, como se trata de una armadura, hay que analizar primero toda la armadura y hallar las fuerzas de reaccin en los apoyos. A continuacin se analiza el nodo C y se calcula la fuerza en los elementos AC y BC. Anlisis de toda la armadura Sobre toda la armadura actan las cargas de 5 kN y P = 8 kN, adems de las fuerzas de reaccin en el apoyo tipo pasador y en el apoyo tipo rodamiento, como se muestra en el DCL siguiente.
0,6 m 0,8 m
0,8 m
A
B
C
P
5 kN
Por segunda condicin de equilibrio:
+
0,6 m 0,8 m
0,8 m
A
B
C
P
5 kN
-
Anlisis del nodo C
Clculo de C (desplazamiento horizontal del rodillo en C)
36
AACEROAC
ACCA
CEA
LP
)/10200)(400(
)4,1)(5725,5(292 mNmm
mkNC
mmC 0975.0
Nota.- El signo positivo para el desplazamiento del punto C, significa que el elemento AC
experiment un ALARGAMIENTO, por lo tanto el rodillo en C se desplaz hacia la derecha.
PROBLEMA N 4
El conjunto consta de tres barras de titanio y una barra rgida AC. El rea de la seccin transversal
de cada barra se da en la figura. Si se aplica una carga vertical de P = 20 kN al anillo F, determine
el desplazamiento vertical del punto F. GPaETi 350 .
Resolucin
Primero analizo la barra rgida AC (hago su DCL y aplico las ecuaciones de equilibrio) y hallo las
fuerzas axiales en las tres barras de titanio. A continuacin se calculan las deformaciones de los
puntos A, C y E, para finalmente calcular el desplazamiento vertical del punto F.
Por primera condicin de equilibrio:
C
2 m
0,5 m
1,5 m
A E
D B
2 m
0,75 m
C
P = 20 kN
ABA = 60 mm2
ADC = 45 mm2
AEF =75 mm2
Por segunda condicin de equilibrio:
P = 20 kN
A C E
0,5 m 0,75 m
F
-
Clculo de deformaciones A y C
TiAB
ABAB
AEA
LF
)/10350)(1060(
)2)(1012(2926
3
mNm
mNA
mmA 14,1
TiCD
CDCD
CEA
LF
)/10350)(1045(
)2)(108(2926
3
mNm
mNC
mmC 016,1
Anlisis de deformaciones
Como el desplazamiento del punto A es mayor que el del punto C ( CA ), la barra rgida AC se desva y adopta la posicin final AC, tal como se indica en la figura siguiente.
Clculo de F (desplazamiento vertical del punto F)
El punto F experimenta dos desplazamientos, uno debido a la fuerza axial EFF y la otra debido
al desplazamiento del punto E. Es decir:
EFFADEBIDOEF . . . (1)
Donde: mmmmmmyCE 091,1075,0016,1
mmmNm
mmN
EA
LF
TiEF
EFEFFADEBIDO EF
1429,1)/10350)(1075(
)1500)(1020(2926
3
Reemplazando en la ecuacin (1), tenemos:
mmmmmmF 2339,21429,1091,1 PROBLEMA N 5
La barra rgida est soportada por la barra CB conectada sta en sus extremos por pasadores; la
barra CB tiene un rea transversal de 14 mm2 y est hecha de aluminio 6061 T6. Determine la
deflexin vertical de la barra en D cuando se aplica la carga distribuida.
A E C
A E
C
0,5 m 0,75 m
0,5 m 0,75 m
2 m 2 m
1,5 m
C
A B
D
-
Resolucin
La carga distribuida que acta sobre la barra rgida ABD origina un desplazamiento vertical de los
puntos D y B (el punto A no se desplaza porque est fijo al apoyo rgido tipo pasador). Para calcular
estos desplazamientos primero realizo un anlisis de fuerzas sobre la barra rgida ABD.
Anlisis de la barra rgida ABD
Sobre esta barra actan la fuerza resultante de la carga distribuida, la fuerza ejercida por el elemento
BC y la fuerza de reaccin en el apoyo tipo pasador (esta se descompone en dos componentes),
tal como se muestra en el DCL siguiente.
Por segunda condicin de equilibrio: 0TOTALESAM
0)2(1200)2(87,36 mNmSenFBC )(2000 TRACCINNFBC
Por primera condicin de equilibrio: 0F 0;1600 YX AA RNR
Clculo de BC (deformacin de la barra BC)
La barra BC experimenta un ALARGAMIENTO porque la fuerza que acta sobre ella es una fuerza
de traccin. Para hallar este alargamiento utilizamos la ecuacin siguiente:
AlBC
BCBCBC
EA
LF
)/109,68)(1014(
)5,2)(2000(2926 mNm
mNBC
mmBC 183,5
* Esta deformacin (alargamiento) producida en la barra BC nos permite hallar la longitud final de
esta barra. Se cumple que:
BCBCBCF LL )(0)( mL BCF 505183,2)(
Anlisis de deformaciones producidas
Debido a la carga distribuida, el extremo D de la barra rgida ABD desciende hasta el punto D,
formndose la figura siguiente:
Aplicando la ley de cosenos en el tringulo CAB, hallamos la medida del ngulo . Es decir:
)90cos()2)(5,1(2)2()5,1()505183,2( 222 mmmmm rad004323,02477,0
2 m 2 m
36,87
A D
B
1,5 m
2 m
2 m
A B D
B
D
C
-
Clculo de D (deflexin vertical de la barra ABD en D) La deflexin vertical de la barra ABD en D es aproximadamente igual al desplazamiento lineal del punto D (longitud de arco recorrido por el punto D). Es decir:
ABDD L mmD 2839,17
PROBLEMA N 6
La barra tiene un ligero ahusamiento y longitud L. Est suspendida del techo y soporta una carga P
en su extremo. Demuestre que el desplazamiento de su extremo debido a esta carga es
)/( 12 rrEPL . Desprecie el peso del material. El mdulo de elasticidad es E.
Resolucin
La carga P que acta en el extremo inferior de la barra en forma de tronco cnico origina una fuerza
axial interna de TRACCIN. Esta fuerza de TRACCIN produce ALARGAMIENTO de la barra, por
lo tanto el extremo inferior de esta barra se desplaza verticalmente hacia abajo.
Para calcular el desplazamiento del extremo inferior de la barra, primero hallo la fuerza axial interna
aplicando el mtodo de secciones. A continuacin hallo el rea de la seccin transversal donde se
hizo el corte imaginario y finalmente calculo el desplazamiento solicitado.
Clculo de la fuerza axial interna que acta en la barra en forma de tronco cnico
P
L
P
F = Fuerza axial interna
Por primera condicin de
equilibrio:
n n
Aplicando el mtodo de
secciones, trazamos la
seccin n-n que corta
transversalmente a la barra
en forma de cono, y
analizamos la parte inferior
de dicha barra
-
Al observar la barra en forma de tronco cnico, se obtienen las figuras siguientes:
Por semejanza de tringulos, tenemos:
L
x
rr
rr x
12
1)( 1
12)(
)(r
L
xrrr x
Luego, el rea de la seccin transversal ser:
2
)()( xx rA
2
112
)(
)(
r
L
xrrA x
Clculo de (desplazamiento del extremo inferior del tronco cnico)
Se cumple que: L
x
x
EA
dxF
0 )(
)( , donde: F(x) es la fuerza axial interna, igual a P, y es constante
Reemplazando el rea A(x) y evaluando la integral, obtenemos:
21 rrE
LP
PROBLEMA N 7
L
L
La columna de acero A-36 est embebida en
concreto de alta resistencia como se muestra en la
figura. Si se aplica una carga axial de 60 klbf a la
columna, determine el rea requerida de acero, de
manera que la fuerza sea compartida igualmente
entre el acero y el concreto. Cunto se acorta la
columna? La columna tiene una altura original de
8 pies.
60 klbf
16 pulg
9 pulg
8 pies
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