probabilitat lliçons 3 & 4satorra/p/p2011l2.pdf · darrera la cortina trien una caixa a...

ProbabilitatLlicons 3 & 4

Albert Satorra

UPF

Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2013 1 / 36

Continguts

1 Probabilitat Condicionada, Regla del Producte

2 Llei de la probabilitat total

3 Teorema de Bayes

Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2013 2 / 36

Problema de l’accident i matricula de tres zeros

Un vianant mort atropellat. El cotxe ha fugit. Un testimoni afirma que lamatrıcula tenia exactament tres zeros. La fiabilitat del testimoni es un90%. Emprant aquesta informacio del testimoni, calculeu la probabilitatque la matrıcula del cotxe de l’accident tingui exactament tres zeros.Nota: Sense cap informacio de testimoni, la probabilitat que un cotxetingui la matrıcula amb tres zeros es: 0.0036 (matrıcula de quatre digits i3 lletres)

Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2013 3 / 36

Problema de les tres caixes (C1,C2,C3) i bolesblanques i negres (B,N)Suposeu tres caixes amb la seguent composicio de boles blanques i negres:Caixa 1 (C1): NBBCaixa 2 (C2): NNBCaixa 3 (C3): NNNTirem un dau de sis cares: si surt 1,2,3, triem C1; si surt 4, 5, triem C2; sisurt 6, triem C3. De la caixa escollida, triem a l’atzar una bola.Considereu l’esdeveniment B si el resultat es bola blanca; i N si el resultates bola negra. Calculeu:

1 Probabilitat de B2 Probabilitat de C1 quan sabem que la bola escollida es B

Veurem: Probabilitat condicionada; T. de la Probabilitat total; T. deBayes; Probabilitats a priori, a posteriori. Tambe el concepte deindependencia.

Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2013 4 / 36

Problema de les dues caixes

Tenim dues caixes amb la seguent composicio de boles vermelles (V) inegres (N): Caixa 1: VNNNCaixa 2: NVVVDarrera la cortina trien una caixa a l’atzar i despres una bola a l’atzar dela caixa. Ens ensenyen que la bola es negra. Calculeu la probabilitat que labola provingui de la Caixa 1.

Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2013 5 / 36

Tema: probabilitat interseccio, condicionada, . . .

Hem vist la probabilitat de la unio: P(A∪B) = P(A) + P(B)− P(A∩B),regla additiva. Ara estudiarem

la probabilitat de la interseccio: P(A ∩ B) =?, la regla multiplicativa.

Exemple: En una estacio de metro, A = “escala mecanica 1avariada”, B = “escala mecanica 1 avariada”.P(A) = P(B) = 1/1000. Interessa calcular la P(A ∩ B) =?

Veurem que, si A i B son independents, P(A ∩ B) = P(A)× P(B)

. . . en general:P(A ∩ B) = P(A | B)× P(B), P(A ∩ B) = P(B | A)× P(A)

P(A | B) = P(A∩B)P(B)

Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2013 6 / 36

Probabilitat Condicionada, Regla del Producte

Problemes motivadors

Cas i: Tenim dues caixes amb la composicio de boles numerades seguent:

Caixa 1: 1 2 3Caixa 2: 1 2 3

Tirem una moneda, si surt cara triem bola de la Caixa 1; si surt creu, triem bola de la Caixa 2.

Cas ii: Tenim dues caixes amb la composicio de boles numerades seguent:

Caixa 1: 1 2 3Caixa 2: 1 2 3 4

Tirem una moneda, si surt cara triem bola de la Caixa 1; si surt creu, triem bola de la Caixa 2.

En els dos casos considerem els esdeveniments seguents: A = “la moneda surt cara”, B = “bola parell”.

Ens preguntem per P(A) sense informacio sobre B. Tambe per P(A) quanse sap que B s’ha produıt, aquesta ultima probabilitat, s’escriu P(A | B).Aixo porta al concepte de si A i B son independents o no. El concepte deindependencia s’ha d’afinar.

Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2013 7 / 36

Probabilitat Condicionada, Regla del Producte

La probabilitat condicional de l’esdeveniment A conegut/donatl’esdeveniment B , P(A|B), es defineix com,

P(A|B) =P(A ∩ B)

P(B), sempre que P(B) > 0

Regla del producte P(A ∩ B) = P(A|B) · P(B)

Exemple 1

El 80% dels clients d’un Frankfurt fan servir ketchup (K ), el 75% fanservir mostassa(M) i el 65% fan servir tots dos (K ∩M). Probabilitat queun consumidor de ketchup faci servir mostassa?

P(M|K ) =P(M ∩ K )

P(K )=

0, 65

0, 80= 0, 8125

Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2013 8 / 36

Probabilitat Condicionada, Regla del Producte

Figure: Probabilitat Condicionada amb diagrames de Venn

Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2013 9 / 36

Probabilitat Condicionada, Regla del Producte

Independencia

Els esdeveniments A i B son independents si: P(A | B) = P(A), oP(B | A) = P(B). Es equivalent a

P(A ∩ B) = P(A)× P(B)

Ex. Pau i Maria seuen en mateix seient a la guarderia. EsdevenimentsA = “pares del Pau estan divorciats”, B = “Pares de la Maria estandivorciats” . Son A i B independents?

Ex. Pau i Maria . . . . A = “ Pau porta polls al cap quan arriba acasa”, B = “ Maria porta polls al cap quan arriba a casa”. Son A i Bindependents?

Compte que A,B,C poden ser independents a parelles pero no mutuamentindependents. Ex. Dau de 4 cares: A = 1, 2, B = 1, 3, C = 1, 4

Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2013 10 / 36

Probabilitat Condicionada, Regla del Producte

Ex. En el meu trajecte a la UPF amb metro, trobo dues escalesmecaniques, a i b. Si A = “escala a avariada”, B = “escala b avariada”.Suposeu, P(A) = 0.2, P(B) = 0.3, P(A ∩ B) = 0.2. Descriu A ∪ B,A ∩ B, determina P(A ∪ B). Es P(A) igual a P(A | B)?

Ex. En una ciutat hi han dos empreses de taxi, el 80% blaus, el 20% grocs.En el judici d’un assassinat hi ha involucrat un taxi; era la nit i el testimoniafirma que el taxi era groc. La probabilitat que el testimoni hagi vistcorrectament el color del taxi es del 70%. Probabilitat que el taxi fos groc?

P(G | TG) =P(TG ∩ G)

P(TG)=

P(TG | G)P(G)

P(TG | G)P(G) + P(TG | G c )P(G c )=

0.7× 0.2

0.7× 0.2 + 0.3× 0.8= 0.3684211

Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2013 11 / 36

Llei de la probabilitat total

Figure: Teorema de les Probabilitats Totals

Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2013 12 / 36

Llei de la probabilitat total

Teorema (llei) de la probabilitat total

Siguin1 E1, . . . Ek mutuament excloents, col.lectivament exhaustius ambP(Ej) > 0.Sigui A esdeveniment qualsevol. Podem escriure

A = (A ∩ E1) t · · · t (A ∩ Ek)

Aixı,P(A) = P(A ∩ E1) + · · ·+ P(A ∩ Ek)

d’on es te el Teorema de la probabilitat total

P(A) = P(A|E1) · P(E1) + · · ·+ P(A|Ek) · P(Ek)

1Es tracta d’una particio de Ω

Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2013 13 / 36

Llei de la probabilitat total

Exemple 2

Dels articles produıts diariament per una fabrica, el 40% prove de la lıniade produccio I i el 60% prove de la lınia II .El percentatge de defectuosos de la lınia I es el 8%, mentre que elpercentatge de defectuosos de la lınia II es el 10%.Es pren un article a l’atzar de la produccio diaria; calculeu la probabilitatque no sigui defectuos.D =“L’article es defectuos” , D =“L’article no es defectuos”L1=“L’article es de la lınia 1” , L2=“L’article es de la lınia 2”.

P(D) = P(D|L1) · P(L1) + P(D|L2) · P(L2) =

= 0.92 · 0.4 + 0.90 · 0.6 = 0.908

Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2013 14 / 36

Llei de la probabilitat total

Figure:

Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2013 15 / 36

Llei de la probabilitat total

Figure:

Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2013 16 / 36

Llei de la probabilitat total

Exemple: A = “accions es posen a la venda” C =Color favorit director esel verd. P(A|C ) = P(A) !!!A i B son independents si P(A|B) = P(A) (si P(B) > 0)

Equivalentment, si P(A ∩ B) = P(A) · P(B)

Exemple 3

Tirem dos daus: d1 i d2. S := d1 + d2 y D:=d1 − d2

P(S = 2) =1

36, P(D = −4) =

2

36

P(S = 2 ∩ D = −4) = 0

S = 2 i D = −4 no son independents

Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2013 17 / 36

Llei de la probabilitat total

Exemple 4

S’estima que el 48% de les llicenciatures son obtingudes per dones i que el17,5% de totes les llicenciatures son en Empresarials. El 4,7% de totes lesllicenciatures corresponen a les dones que es graduen en Empresarials. Sonels esdeveniments ”El Llicenciat es una dona” i ”El llicenciat ho es enEmpresarials” independents?A:= ”El licenciat es una dona”; P(A) = 0, 48B:= ”El llicenciat ho es en Empresarials”; P(B) = 0, 175A ∩ B:= ”Llicenciat en Empresarials i dona”; P(A ∩ B) = 0, 047

Possibilitat 1: P(A) · P(B) 6= P(A ∩ B) (0, 48 · 0, 175 6= 0, 047)

Possibilitat 2: P(A|B) = P(A∩B)P(B) 6= P(A)

(0,0470,175 6= 0, 48

)

Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2013 18 / 36

Llei de la probabilitat total

Regla del producte. P(A ∩ B) = P(A | B) · P(B)

. . . mes de dos: Si E1,E2, . . . ,Ek son esdeveniments tals quelP(E1 ∩ E2 ∩ . . .Ek−1) > 0 aleshores,

P(E1 ∩ E2 ∩ . . .Ek) = P(E1) · P(E2 | E1) · P(E3 | E2 ∩ E1) · · ·

· · ·P(Ek−1 | E1 ∩ E2 ∩ . . .Ek−2) · P(Ek | E1 ∩ E2 ∩ . . .Ek−1)

Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2013 19 / 36

Llei de la probabilitat total

Exemple 5

Una caixa conte 8 boles vermelles, 3 blanques i 9 blaves. Fem tresextraccions sense reemplacament de la caixa. Determina la probabilitat deque

1 Totes tres siguin vermelles

2 Es trien en l’ordre vermell, blanc i blau

3 Es tria una de cada color

Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2013 20 / 36

Llei de la probabilitat total

1 Sigui Vi l’esdeveniment “La ima extraccio es vermella”.

P(V1∩V2∩V3) = P(V1) ·P(V2 | V1) ·P(V3 | V1 ∩ V2) =8

20· 7

19· 6

18

2 Sigui Wi l’esdeveniment “La ima extraccio es blanc” i Bi

l’esdeveniment “La ima extraccio es blava”

P(V1 ∩W2 ∩ B3) = P(V1) · P(W2 | V1) · P(B3 | V1 ∩W2) =

=8

20· 3

19· 9

18=

3

953 L’ordenacio dels colors correspon a P3 = 3! = 6 i tots els resultats

basics favorables tenen la mateixa probabilitat que P(V1 ∩W2 ∩ B3).Per aixo la probabilitat demanada es

6 · 3

95=

18

95

Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2013 21 / 36

Teorema de Bayes

Thomas Bayes 1702-1761

Figure:

Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2013 22 / 36

Teorema de Bayes

Exemple 6

S’ha desenvolupat un procediment per detectar un tipus particulard’artritis en individus de mes de 50 anys d’edat.Un 10% dels individus d’aquest grup d’edat pateixen la malaltia.S’aplica el procediment a individus amb malaltia confirmada: diagnosticcorrecte en el 85% dels casos.El procediment es posa a prova amb individus sans de la mateixa edat:falsos positius del 4%.Probabilitat que un individu pateixi artritis si el procediment ha donatpositiu?

P(A | B): probabilitat a priori; P(B | A): probabilitat a posteriori

Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2013 23 / 36

Teorema de Bayes

Teorema de Bayes

A i B esdeveniments tals que P(A) > 0 i P(B) > 0. Aleshores,

P(B|A) =P(A|B) · P(B)

P(A)

Teorema de Bayes - Expressio alternativaSiguin E1, . . . Ek particio de Ω i A tal que P(A) > 0. Aleshores,

P(Ei |A) =P(A|Ei ) · P(Ei )

P(A|E1) · P(E1) + · · ·+ P(A|Ek) · P(Ek)

Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2013 24 / 36

Teorema de Bayes

Teorema de Bayes

Figure:

Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2013 25 / 36

Teorema de Bayes

Problema de les dues caixes (cont.)

Suposem els esdeveniments: A=”Bola extreta es bola Negra”, B=“Caixaescollida esCaixa 1 ”,

P(B | A) =P(A | B)P(B)

P(A | B)P(B) + P(A | B)B

=3/4× 0.5

3/4× 0.5 + 1/4× 0.5= 3/4

Un 75% !

Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2013 26 / 36

Teorema de Bayes

Problema de l’accident i matricula de tres zeros(cont.)

Suposem els esdeveniments: A =“Testimoni diu que la matricula te treszeros”; B =”matricula te tres zeros”.

P(B | A) =P(A | B)P(B)

P(A | B)P(B) + P(A | B)B

=0.9× 0.0036

0.9× 0.0036 + 0.1× (1− 0.0036)= 0.03

Un 3% !

Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2013 27 / 36

Teorema de Bayes

SiguinA :’L’individu pateix artritis’; +:Test positiu’ ; −:’Test negatiu’Pel teorema de Bayes,

P(A|+) =P(A ∩+)

P(+)=

P(+|A) · P(A)

P(+)

El numerador es P(+|A) · P(A) = 0, 85 · 0, 1 = 0, 0850. El denominador,segons el teorema de les probabilitats totals, es

P(+) = P(+|A) · P(A) + P(+|Ac) · P(Ac) = 0.0850 + 0.0360 = 0.1210

Llavors,

P(A|+) =0.0850

0.1210= 0.7025

Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2013 28 / 36

Teorema de Bayes

Problema

Una agencia de qualificacio examina les accions d’un gran nombre d’empreses.Quan es va investigar el comportament d’aquestes accions l’any passat, es vadescobrir que el 25% van experimentar un creixement del seu valor claramentsuperior a la mitjana, el 25% clarament inferior i el 50% restant es van manteniral voltant de la mitjana.El 40% de les accions que van creixer clarament per sobre de la mitjana van serclassificades com “bones adquisicions” per l’agencia, al igual que el 20% de lesque van creixer al voltant de la mitjana i el 10% de les que van tenir uncreixement clarament inferior a la mitjana.a) Quina es la probabilitat que una accio triada a l’atzar hagi estat classificadacom una ”bona adquisicio” per part de l’agencia?

b) I de que una accio triada a l’atzar d’entre les classificades com una ”bona

adquisicio” hagi crescut clarament per sobre de la mitjana del mercat?

Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2013 29 / 36

Teorema de Bayes

Siguin,S =“L’accio creix superior a la mitjana”M =“L’accio creix al voltant de la mitjana”I =“L’accio creix inferior a la mitjana”B =“L’accio qualificada bona adquisicio”a) Pel teorema de la probabilitat total,

P(B) = P(B|S) · P(S) + P(B|M) · P(M) + P(B|I ) · P(I ) =

= 0.40 · 0.25 + 0.2 · 0.5 + 0.10 · 0.25 = 0.2250

b)

P(S |B) =P(S ∩ B)

P(B)=

P(B|S) · P(S)

P(B)=

0.4 · 0.25

0.2250= 0.4444

Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2013 30 / 36

Teorema de Bayes

Funcions de R

1 factorial(4); choose(12,3); sample(1:12, 3, replace =

T); sum(1:6), ...

2 cara i creu: moneda =c(’cara’, ’creu’);

sample(moneda, 5, replace=T)

tirades= sample(moneda, 30, replace=T)

table(tirades)

Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2013 31 / 36

Teorema de Bayes

Probabilitats a la vida real . . .

1 Ex. Suposeu una malaltia amb probabilitat (prevalencia) molt baixa.Si ajuntem molta gen, la probabilitat que ningu la tingui pot ser moltbaixa. Per exemple, suposeu que la maltia la te 1 de cada 1000. Enun grup de 10.000, la probabilitat que ningu la tingui sera:P(∪Ai )

c = (∩Aci ) = (999/1.000)10.000 ≈ 0. Aquı Ai = “individu i te

la malatia”.

2 Probabilitat de coincidencia (el cap de setmana) amb un estudiantconcret de la classe es baixa, posem ... P(Ai ) = 0.01, Ai esl’esdeveniment coincideixo amb l’estudiant i concret. La probabilitatque no coincideixi amb cap estudiant pot arribar a ser molt baixa:P(A1 ∩ . . . A1) = 0.99n on n es el nombre d’estudiants. Si n = 350,0.99350 = 0.02967004, de manera que la probabilitat que coincideixiamb almenys un es: 1− 0.02967004 ≈ 0.97, molt alta!

Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2013 32 / 36

Teorema de Bayes

Probabilitats a la vida real . . . , que n’opines?

1 En una tirada repetida d’una moneda observem sequencia: cara,

cara, cara, cara, cara; en la tirada seguent, cara i creu sonigualment provables?

2 En la tirada repetida de un moneda, la probabilitat que el no. decares sigui igual al no. de creus tendeix a 1 quan el numero de tiradesn creix cap a infinit ?

3 En la tirada repetida de un moneda ens interessa la sequencia: cara,

cara, cara. La probabilitat d’aquesta sequencia es la mateixa quela: cara, creu, cara?

4 A la loteria nacional, el no. 77777 te la mateixa probabilitat que el79250 ?

5 . . .

Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2013 33 / 36

Teorema de Bayes

Hem vist

1 probabilitat condicionada, P(A | B)

2 probabilitat P(A ∩ B), regla multiplicativa,

3 Teorema de les probabilitats totals

4 Teorema de Bayes, de la probabilitat inversa

5 Algunes funcions de R

6 Exemples

Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2013 34 / 36

Teorema de Bayes

Deures de la setmana

1 Exercicis 1 a 8 + 9 a 10 de la llista 1 d’exercicis de seminari

2 Lectura: Cap. 4 del llibre NCT2008 Exploreu el material deNCT2008, primer capit. , a les referencies del “Pla Docent deProbabilitat i Estadıstica”

3 petita excursio a R: http://www.econ.upf.edu/~satorra/materialdivers/ApendixonR.pdfBreu introduccio. Tambe, les”Comandes Basiques de R” que teniu a la web del curs.

Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2013 35 / 36

Teorema de Bayes

Problema del sopar i l’al.lergia

Un estudiant convida a una amiga a casa. A la nevera nomes i te 6productes diferents i abans que arribi l’amiga s’afanya a fer un pizzaamb 4 dels 6 productes triats a l’atzar. Despres s’oblida delsproductes que hi ha posat. Abans del sopar l’amiga obra la nevera peragafar una beguda i comenta que te al.lergia a dos dels sis productesque hi ha a la nevera. Probabilitat que l’amiga pugui tenir problemesd’al.lergia amb la pizza que estan a punt de menjar.

Les combinacions de pizza possibles son choose(6,4) ... Hi hauna combinacio solament que no te al.lergent, de manera que laprobabilitat que la pizza sigui al.lergent es =1-1/choose(6,4) =

0.9333333

Si a la nevera hi haguessin 8 productes, aleshores la probabilitatbuscada seria: 1- choose(6,4)/choose(8,4) = 0.7857143

Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2013 36 / 36