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Probabilidad y EstadısticaGrado en Ingenierıa Informatica
Tema 1Estadıstica descriptiva
Javier Carcamo
Departamento de Matematicas
Universidad Autonoma de Madrid
javier.carcamo@uam.es
Javier Carcamo PREST. Tema 1: Estadıstica descriptiva 1
Informacion de contacto
Javier Carcamo
Correo electronico: javier.carcamo@uam.es
Telefono: 91 497 7635
Despacho: Modulo 17 (Facultad de Ciencias) - Despacho 412
Pagina web: http://www.uam.es/javier.carcamo
Transparencias utilizadas en clase:
http://www.uam.es/javier.carcamo/Tema-PREST-1.pdf
http://www.uam.es/javier.carcamo/Tema-PREST-2.pdf...
......
......
......
......
Javier Carcamo PREST. Tema 1: Estadıstica descriptiva 2
Ejemplo introductorio:Contaminacion por mercurio en el pescado
• El agua de los rıos contiene pequenas concentraciones demercurio que se pueden ir acumulando en los tejidos de lospeces.
• Se ha realizado un estudio en los rıos Wacamaw y Lumber enCarolina del Norte (EE.UU.), analizando la cantidad demercurio que contenıan 171 ejemplares capturados de unacierta especie de peces.
• Los datos obtenidos se encuentran en el ficheromercurio.txt (formato texto) o en el fichero mercurio.sav
(formato SPSS).
Javier Carcamo PREST. Tema 1: Estadıstica descriptiva 3
Variables
Nombre variable Descripcion
RIO Codigo del rıo (0=Lumber, 1=Wacamaw)ESTACION Codigo de la estacion (de 0 a 16)LONG Longitud (en cm) del pezPESO Peso (en g) del pezCONC Concentracion (en ppm) de mercurio
Javier Carcamo PREST. Tema 1: Estadıstica descriptiva 4
Javier Carcamo PREST. Tema 1: Estadıstica descriptiva 5
Problemas de interes relacionados con estos datos
• Resumir la informacion que contienen con unas pocas cifras ograficos.
• ¿Que valores toma cada variable? ¿Cuales son los masfrecuentes? ¿Hay grandes diferencias entre ellos?
• ¿Es significativamente mas alta la concentracion de mercurioen un rıo que en otro?
• ¿Existe relacion entre la concentracion de mercurio y lalongitud o el peso del pez?
• ¿Depende la concentracion de mercurio de la estacion en laque ha sido capturado el pez?
Javier Carcamo PREST. Tema 1: Estadıstica descriptiva 6
Tema 1: Estadıstica descriptiva
Descripcion del tema
1. Introduccion.
2. Variables. Distribucion de una variable.
3. Representacion grafica de la distribucion.
4. Medidas numericas para resumir la distribucion.
5. Correlacion.
6. Transformaciones: estandarizacion y transformacionlogarıtmica.
7. Regresion lineal.
Javier Carcamo PREST. Tema 1: Estadıstica descriptiva 7
1. Introduccion
• La estadıstica permite extraer informacion y conocimiento apartir de la observacion de un fenomeno.
• Una variable es el valor de una caracterıstica de interes de unfenomeno objeto de estudio.
Ejemplos varios de variables
• x ≡ altura de una persona.
• x ≡ peso de una persona.
• x ≡ numero de visitas al dıa de una pagina web.
• x ≡ tiempo entre la llegada de un mail y su respuesta.
• x ≡ vida util de una componente de un sistema.
• x ≡ tiempo de procesado de un programa informatico.
• x ≡ numero de errores de codigo de un programador.
• x ≡ horas de estudio en PREST de un alumno.
• x ≡ nota en la asignatura PREST de un alumno.
• x ≡ · · · · · ·Javier Carcamo PREST. Tema 1: Estadıstica descriptiva 8
Definiciones basicas
• Poblacion: Conjunto de elementos objeto de estudio(estudiantes universitarios; personas con ındice de masacorporal superior a 25; empresas en Espana; etc.).
• Muestra: Subconjunto de la poblacion.
• Tamano muestral: Cardinal de la muestra (numero deelementos de la muestra, se suele denotar por n).
• Un conjunto de datos es el resultado de medir una o masvariables en una muestra.
• En la mayor parte de las ocasiones es imposible observar unacaracterıstica de interes en toda la poblacion (censo).
• Esto nos obliga a utilizar un procedimiento aproximado. Esaquı donde entra la Estadıstica.
Javier Carcamo PREST. Tema 1: Estadıstica descriptiva 9
1. Introduccion
Pregunta: ¿Por que necesitamos de una muestra y no estudiamostoda la poblacion (censo)?
1 En poblaciones infinitas (o de tamano muy grande) esmaterialmente imposible efectuar un censo.
2 Coste economico mas reducido.
3 Menor tiempo empleado.
4 En ocasiones los elementos muestreados se destruyen omodifican en el proceso. Por ejemplo, pruebas de airbag o dearmamento explosivo.
5 Precision: En muchos casos, la recogida de la informacionmuestral se puede realizar de forma mas fiable y controladaque en el caso de datos de toda la poblacion.
Javier Carcamo PREST. Tema 1: Estadıstica descriptiva 10
1. Introduccion
• La estadıstica descriptiva (o analisis exploratorio dedatos) tiene por objetivo identificar y resumir las principalescaracterısticas de un conjunto de datos mediante un numeroreducido de graficos y/o numeros.
• Para describir un conjunto de datos se realiza un analisisindividual de cada variable y posteriormente se estudian lasrelaciones entre las distintas variables.
• Se utilizan representaciones graficas y resumenes numericos.
Javier Carcamo PREST. Tema 1: Estadıstica descriptiva 11
2. Tipos de variables
1 Variables cualitativas: Describen cualidades o atributos (ej.color del pelo; sexo de una persona; etc.).
2 Variables cuantitativas discretas: Toman un numeropequeno de valores, normalmente enteros (ej. numero dehijos).
3 Variables cuantitativas continuas: Toman valores en unintervalo (ej. tiempo hasta que llega un autobus).
En los datos sobre contenido de mercurio, ¿de que tipo es cadauna de las variables?
En general, la tecnica estadıstica adecuada para analizar unavariable depende de su tipo.
Javier Carcamo PREST. Tema 1: Estadıstica descriptiva 12
2. Distribucion de una variable
• Normalmente, los valores que toma una variable x en unamuestra de tamano n se suelen representar genericamente porx1, x2, . . . , xn.
• La distribucion de una variable viene determinada por losvalores que toma esa variable y la frecuencia con la que lostoma.
• La frecuencia absoluta de un valor (o de un intervalo) es elnumero de individuos para los que la variable toma ese valor(o pertenece a ese intervalo).
• La frecuencia relativa es igual a la frecuencia absolutadividida por el numero total de datos n.
• La frecuencia relativa siempre es un numero entre 0 y 1.
Javier Carcamo PREST. Tema 1: Estadıstica descriptiva 13
Aspectos interesantes de una distribucion
• Su posicion: entorno a que valor central toma valores lavariable.
• Su dispersion: el grado de concentracion de los valores quetoma la variable alrededor de su posicion central.
• Su forma: por ejemplo, la simetrıa, es decir, si los valores sereparten de la misma forma a uno y otro lado del centro.
Piensa en dos conjuntos de 5 datos que tengan:
(a) La misma posicion y distinta dispersion.
(b) La misma dispersion y distinta posicion.
Javier Carcamo PREST. Tema 1: Estadıstica descriptiva 14
3. Representacion grafica de las frecuencias
Graficos de sectores o barras (solo datos cualitativos o discretos)
1,00,00
RIO
15,0014,0013,0012,0011,0010,009,008,007,006,005,004,003,002,001,00,00
25
20
15
10
5
0
Frecuencia
Javier Carcamo PREST. Tema 1: Estadıstica descriptiva 15
3. Representacion grafica de las frecuencias
Histogramas (datos cuantitativos)
• Se divide el rango de los datos en un numero adecuado deintervalos.
• Sobre cada intervalo se dibuja un rectangulo cuya area esproporcional a la frecuencia (relativa o absoluta) de datos enel intervalo.
4,002,000,00
CONC
30
20
10
0
Frecuencia
Media =1,1918�Desviación típica =0,76166�
N =171
Javier Carcamo PREST. Tema 1: Estadıstica descriptiva 16
3. Representacion grafica de las frecuencias
Aspectos a tener en cuenta para interpretar un histograma
• Normalmente la base de todos los rectangulos es la misma porlo que la altura es proporcional a la frecuencia.
• Identificar si se han usado frecuencias absolutas o relativas.
• ¿Cuantas modas hay?
• ¿Hay algun dato atıpico en relacion al resto?
• ¿Es simetrica la distribucion?
• En caso de asimetrıa, ¿es asimetrica a la izquierda o a laderecha
• ¿En torno a que valor aproximado estan centrados los datos?
• ¿Estan muy dispersos los datos en torno a este centro o muyconcentrados?
Javier Carcamo PREST. Tema 1: Estadıstica descriptiva 17
3. Tipos de simetrıa
0
10
20
30
40
50
Distribución simétrica unimodal0
10
20
30
40
Distribución simétrica bimodal
0
20
40
60
80
100
Distribución asimétrica a la derecha0
20
40
60
80
100
Distribución asimétrica a la izquierdaJavier Carcamo PREST. Tema 1: Estadıstica descriptiva 18
La forma depende del numero de intervalos
1,00 2,00 3,00
CONC
0
25
50
75
Recuento
1,00 2,00 3,00
CONC
10
20
30
40
50
Recuento
Javier Carcamo PREST. Tema 1: Estadıstica descriptiva 19
Con SPSS
Javier Carcamo PREST. Tema 1: Estadıstica descriptiva 20
4. Medidas numericas de posicion: la media aritmetica
La medida de posicion mas conocida es la media aritmetica opromedio de los datos:
x =x1 + · · ·+ xn
n=
1
n
n∑i=1
xi .
x da una idea del valor central alrededor del cual se reparten losvalores x1, . . . , xn.
Algunas propiedades
• La suma de las desviaciones a la media siempre es igual a cero:
(x1 − x) + (x2 − x) + · · ·+ (xn − x) = 0.
Esto significa que x es el centro de gravedad de los datos.
• Si la distribucion es muy asimetrica, la media puededistorsionar nuestra percepcion de como son los datos.
• La media es muy sensible a la existencia de datos atıpicos.
Javier Carcamo PREST. Tema 1: Estadıstica descriptiva 21
4. Posicion de la media en un histograma
Javier Carcamo PREST. Tema 1: Estadıstica descriptiva 22
4. Medidas numericas de posicion: la mediana
Una medida alternativa de posicion es la mediana.Para calcular la mediana:
• Se ordenan los datos de menor a mayor.
• Si el numero de datos es impar, la mediana es el dato queocupa la posicion central.
• Si el numero de datos es par, la mediana es la media de losdos datos centrales.
Observaciones:
• La media aritmetica hace referencia al valor medio y lamediana al valor que ocupa el lugar medio.
• La mediana es mas robusta que la media pero hace un usomenos eficiente de la informacion contenida en los datos.
Pregunta: ¿Cual es la relacion entre la simetrıa de unadistribucion y la posicion relativa entre la media y la mediana?
Javier Carcamo PREST. Tema 1: Estadıstica descriptiva 23
4. Medidas de dispersion: el rango y los cuartiles
Una medida de dispersion muy sencilla es el rango o recorrido delos datos: el valor maximo menos el mınimo R = xmax − xmin.
El rango solo depende de los datos extremos por lo que no es muyconveniente.
Mejores propiedades tienen los cuartiles y el rango intercuartılico:
• El primer cuartil, Q1, es el valor que deja el 25 % de losdatos por debajo (los menores) y el 75 % de los datos porencima (los mayores). Es decir, Q1 es la mediana de los datosmenores que la mediana.
• El tercer cuartil, Q3, es el valor que deja el 75 % de los datospor debajo (los menores) y el 25 % de los datos por encima(los mayores), es decir, Q3 es la mediana de los datos mayoresque la mediana.
• El rango, recorrido o amplitud intercuartılica es ladiferencia entre los dos cuartiles anteriores: RIQ = Q3 − Q1.
Javier Carcamo PREST. Tema 1: Estadıstica descriptiva 24
4. Medidas de dispersion: el rango y los cuartiles
De acuerdo con las anteriores definiciones, responde a lassiguientes cuestiones:
¿Que porcentaje de datos hay...
(a) ... entre Q1 y Q3?
(b) ... a la izquierda de Q1?
(c) ... a la derecha de Q3?
(d) ... entre el mınimo y Q3?
Una descripcion util de un conjunto de datos viene dada por loscinco numeros siguientes:
Mınimo, Q1, Mediana, Q3, Maximo
Javier Carcamo PREST. Tema 1: Estadıstica descriptiva 25
4. Medidas de dispersion: la varianza y la desviacion tıpica
La varianza y la desviacion tıpica son las medidas de dispersionmas utilizadas.
La varianza es el promedio de las desviaciones al cuadrado de losdatos a su media.
Datos x1, . . . , xnDesviaciones x1 − x , . . . , xn − x
Desviaciones al cuadrado (x1 − x)2, . . . , (xn − x)2
La varianza es vx =(x1 − x)2 + · · ·+ (xn − x)2
nSe suele usar mas la (cuasi)varianza:
s2 =(x1 − x)2 + · · ·+ (xn − x)2
n − 1
La (cuasi)varianza mide la desviacion de los datos respecto a lamedia. A mayor (cuasi)varianza, mayor dispersion.
Javier Carcamo PREST. Tema 1: Estadıstica descriptiva 26
4. Medidas de dispersion: la varianza y la desviacion tıpica
Observacion: Es interesante definir un coeficiente que mida lavariacion expresado en las mismas unidades de la variable.
La (cuasi)desviacion tıpica es la raız cuadrada de S2:
s =
√(x1 − x)2 + · · ·+ (xn − x)2
n − 1
Para comparar la dispersion de variables de magnitudes muydistintas a veces se usa el coeficiente de variacion:
CV =s
x.
El CV no depende de las unidades en las que midamos una variable(adimensional). A mayor CV, menos representativa es la media x .
Una formula alternativa y util para calcular vx y s2:
vx =x21 + · · ·+ x2n
n− x2, s2 =
n
n − 1
(x21 + · · ·+ x2n
n− x2
).
Javier Carcamo PREST. Tema 1: Estadıstica descriptiva 27
4. Medidas de dispersion: la varianza y la desviacion tıpica
Ejercicio: Considerar las muestras observadas
-10, -8, -6, -4, -2, 2, 4, 6, 8, 10
y
− 1
10, −1
8, −1
6, −1
4, −1
2,
1
2,
1
4,
1
6,
1
8,
1
10.
Calcular sus medias, medianas y varianzas.
Javier Carcamo PREST. Tema 1: Estadıstica descriptiva 28
4. Medidas de dispersion: la varianza y la desviacion tıpica
Ejercicio: En una comunidad numerosa de propietarios deseanestudiar el volumen de agua utilizado en cada hogar para ver si esposible reducir su consumo. Toman una muestra aleatoria delnumero de m3 de agua utilizados por 10 hogares en los ultimos dosmeses y obtienen:
10, 15, 13, 20, 25, 18, 15, 14, 21, 19.
Calcular los valores observados de la media, la mediana y lavarianza.
Un hijo del presidente de la comunidad decide jugar con el papeldonde se han anotado los datos y lo rompe. Se toma una nuevamuestra
17, 22, 14, 15, 19, 23, 21, 13, 14, 11.
Recalcular la media, mediana y la varianza.
Javier Carcamo PREST. Tema 1: Estadıstica descriptiva 29
Cuestiones
Da un ejemplo de un conjunto de datos tal que s2 = 0.
Dado un conjunto de observaciones medidas en kg, supongamosque cambiamos las unidades y las pasamos a gramos (es decir,multiplicamos por mil). Determina si son verdaderas o falsas lassiguientes afirmaciones:
• Tanto la media como la mediana de los nuevos datos semultiplican tambien por mil.
• La varianza se multiplica tambien por mil.
¿Como cambiarıa la desviacion tıpica?
Ahora sumamos 100 a todos los datos. Determina si sonverdaderas o falsas las siguientes afirmaciones:
• Los cuartiles no cambian.• El rango intercuartılico no cambia.• La desviacion tıpica no cambia.
Javier Carcamo PREST. Tema 1: Estadıstica descriptiva 30
Descripcion numerica
CONCPESOLONGVálidos
Perdidos
Media
Error típ. de la media
Mediana
Desv. típ.
Varianza
Rango
Mínimo
Máximo
25
50
75
N
Percentiles
1,60001455,000046,2000
,9300873,000039,0000
,5900491,000033,3000
3,604511,0065,00
,11203,0025,20
3,494308,0039,80
,580766555,86972,542
,76166875,531768,51715
,9300873,000039,0000
,0582566,95359,65132
1,19181147,912339,9708
000
171171171
Estadísticos
Página 1
Javier Carcamo PREST. Tema 1: Estadıstica descriptiva 31
Cuestiones
• Calcula el coeficiente de variacion de las tres variables.¿Que se deduce sobre la dispersion de los valores que toman?
• Comparando los valores de la media y la mediana, ¿cual de lastres distribuciones parece ser mas simetrica?
• Verdadero o falso: Al menos para 100 peces, la concentracionde mercurio es superior a 0.93 ppm.
• Verdadero o falso: La longitud de aproximadamente 42 peceses mayor que 25.20 cm y menor que 33.3 cm.
• ¿Cual es el rango intercuartılico de la variable que mide elpeso de los peces?
Javier Carcamo PREST. Tema 1: Estadıstica descriptiva 32
Con SPSS
Javier Carcamo PREST. Tema 1: Estadıstica descriptiva 33
Con SPSS
Javier Carcamo PREST. Tema 1: Estadıstica descriptiva 34
Diagrama de cajas
Javier Carcamo PREST. Tema 1: Estadıstica descriptiva 35
¿Para que sirven?
Los diagramas de cajas son especialmente utiles para compararvarios conjuntos de datos.
Ademas, proporcionan informacion sobre:
• La posicion (mediana) y la dispersion (rango intercuartılico)de los datos.
• La simetrıa de la distribucion (comparamos el tamano de lascajas).
• La existencia de datos que se desvıan del patron general(posibles datos atıpicos).
Javier Carcamo PREST. Tema 1: Estadıstica descriptiva 36
Concentracion de mercurio y rıo
1,00,00
RIO
4,00
2,00
0,00
CONC
16270
66
Javier Carcamo PREST. Tema 1: Estadıstica descriptiva 37
Concentracion de mercurio y estacion
15,0014,0013,0012,0011,0010,009,008,007,006,005,004,003,002,001,00,00
ESTACION
4,00
2,00
0,00
CONC
76
82
24
25
66
138
75
123
Javier Carcamo PREST. Tema 1: Estadıstica descriptiva 38
Relaciona cada histograma con su diagrama de cajas−2
−10
12
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34
56
7
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01
23
45
Javier Carcamo PREST. Tema 1: Estadıstica descriptiva 39
Diagrama de dispersion: Concentracion frente a peso
4000,002000,000,00
PESO
4,00
2,00
0,00
CONC
Javier Carcamo PREST. Tema 1: Estadıstica descriptiva 40
Interpretacion de un diagrama de dispersion
• Es importante fijarse en las unidades de cada eje.
• ¿Se observa alguna asociacion entre las variables?
• ¿Como es de estrecha la asociacion entre las variables?
• ¿Cual es la “direccion” de la asociacion entre las variables?
• ¿Hay algun punto o coleccion de puntos que no siga el patrongeneral del resto?
• Si hay una tercera variable cualitativa, resulta convenienteutilizar sımbolos o colores diferentes para cada valor de estatercera variable.
Javier Carcamo PREST. Tema 1: Estadıstica descriptiva 41
Concentracion frente a longitud (color segun rıo)
60,00
50,00
40,00
30,00
LONG
1,00,00
RIO
Javier Carcamo PREST. Tema 1: Estadıstica descriptiva 42
Matriz de diagramas de dispersion
CONCPESOLONG
CONC
PESO
LONG
1,00,00
RIO
Javier Carcamo PREST. Tema 1: Estadıstica descriptiva 43
5. Covarianza
Se dispone de un conjunto de n pares de observaciones
(x1, y1), . . . , (xn, yn).
El objetivo es definir una medida numerica para cuantificar elgrado de relacion lineal que hay entre las variables x e y : Para ellose usa la covarianza entre x e y :
sxy =1
n − 1
n∑i=1
(xi − x)(yi − y).
Observaciones
• La covarianza entre x e y mide el grado de relacion linealentre las dos variables.
• Para entender por que esta definicion es util miramos elgrafico de la transparencia siguiente.
• sxx es la cuasi-varianza de x , s2x .• sxy tiene el inconveniente de que depende de las unidades en
que se midan x e y .Javier Carcamo PREST. Tema 1: Estadıstica descriptiva 44
5. Interpretacion de la covarianza
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−2 −1 0 1 2
−4−2
02
4
Covarianza positiva
y ●●
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−4−2
02
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Covarianza negativa
y
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−2 −1 0 1 2
−2−1
01
2
Covarianza aprox. cero
y ●
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−2 −1 0 1 2
−20
24
6
Covarianza aprox. cero
y
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Javier Carcamo PREST. Tema 1: Estadıstica descriptiva 45
5. Coeficiente de correlacion
Resulta conveniente disponer de una medida de relacion lineal queno dependa de las unidades. Para ello, se normaliza sxy dividiendopor el producto de (cuasi)desviaciones tıpicas, lo que lleva alcoeficiente de correlacion:
rxy =sxysx sy
.
Propiedades del coeficiente de correlacion:
• No depende de las unidades (es adimensional).
• Toma valores entre -1 y 1.
• Su signo se interpreta igual que el de la covarianza.
• Solo vale 1 o -1 cuando los puntos estan perfectamentealineados.
Javier Carcamo PREST. Tema 1: Estadıstica descriptiva 46
5. Ejemplos de correlaciones
r =‐1xyr = 1xyy
r próximo a 1xy r próximo a ‐1xy
Javier Carcamo PREST. Tema 1: Estadıstica descriptiva 47
5. Covarianzas y correlaciones de los datos
Correlaciones
1 ,900 ,650,000 ,000
12332,114 1141004 716,835
72,542 6711,790 4,217171 171 171,900 1 ,554,000 ,000
1141004 1E+008 62786,546
6711,790 766555,9 369,333171 171 171,650 ,554 1,000 ,000
716,835 62786,546 98,622
4,217 369,333 ,580171 171 171
Correlación de PearsonSig. (bilateral)Suma de cuadrados yproductos cruzadosCovarianzaNCorrelación de PearsonSig. (bilateral)Suma de cuadrados yproductos cruzadosCovarianzaNCorrelación de PearsonSig. (bilateral)Suma de cuadrados yproductos cruzadosCovarianzaN
LONG
PESO
CONC
LONG PESO CONC
Javier Carcamo PREST. Tema 1: Estadıstica descriptiva 48
5. Covarianzas y correlaciones con SPSS
Javier Carcamo PREST. Tema 1: Estadıstica descriptiva 49
6. Estandarizacion o tipificacion
La Estandarizacion o tipificacion consiste en restarle a cadaobservacion la media de todos los datos y dividir por la desviaciontıpica:
zi =xi − x
sEl valor zi representa la distancia de xi a la media expresada endesviaciones tıpicas (el signo indica si el dato es mayor o menorque la media).
Utilidad de la tipificacion
• Eliminar los efectos de las unidades de medida, ya que lavariable z = (x − x)/s es adimensional.
• Detectar posibles valores atıpicos en los datos.• Realizar comparaciones de los valores de una variable en
diferentes poblaciones.
Preguntas: ¿Cuanto vale la media de los datos estandarizados? ¿Ysu desviacion tıpica?
Javier Carcamo PREST. Tema 1: Estadıstica descriptiva 50
6. Efecto de estandarizar un conjunto de datos
−4 −2 0 2 4 6 8
Datos originales
−4 −2 0 2 4 6 8
Datos centrados (media cero)
−4 −2 0 2 4 6 8
Datos estandarizados (media cero y varianza uno)
Javier Carcamo PREST. Tema 1: Estadıstica descriptiva 51
6. Tomar logaritmos
Si las observaciones xi son positivas, a veces es convenientetrabajar con sus logaritmos log xi en lugar de con las variablesoriginales.
0 1 2 3 4 5
−3
−2
−1
01
x
log
(x)
Utilidad• En algunas ocasiones se consigue que la distribucion de log x
sea mas simetrica.• En algunas ocasiones se consigue que la asociacion entre dos
variables sea aproximadamente lineal.Javier Carcamo PREST. Tema 1: Estadıstica descriptiva 52
6. Tomar logaritmos para hacer la distribucion massimetrica
4,002,000,00
CONC
30
20
10
0
Frecuencia
Media =1,1918�Desviación típica =0,76166�
N =171
1,000,00-1,00-2,00
LNCONC
30
25
20
15
10
5
0
Fre
cu
en
cia
Media =-0,0268�Desviación típica =0,66104�
N =171
Javier Carcamo PREST. Tema 1: Estadıstica descriptiva 53
6. Tomar logaritmos para hacer que la asociacion sea lineal
4000,002000,000,00
PESO
4,00
2,00
0,00
CONC
60,0050,0040,0030,00
LONG
1,00
0,00
-1,00
-2,00LNCONC
Javier Carcamo PREST. Tema 1: Estadıstica descriptiva 54
6. Transformaciones con SPSS
Javier Carcamo PREST. Tema 1: Estadıstica descriptiva 55
6. Transformaciones con SPSS
Javier Carcamo PREST. Tema 1: Estadıstica descriptiva 56
7. Regresion lineal: Introduccion
En algunas situaciones, los diagramas de dispersion sugieren quehay una relacion lineal entre dos variables.
Asociacion positiva Asociacion negativa
3 4 5 6 7
3
4
5
6
7
3 4 5 6 7
3
4
5
6
7
Pregunta: ¿Como es la correlacion en estos dos ejemplos?
Javier Carcamo PREST. Tema 1: Estadıstica descriptiva 57
7. Regresion lineal: Introduccion
En algunas situaciones, los diagramas de dispersion sugieren quehay una relacion lineal entre dos variables.
Asociacion positiva Asociacion negativa
3 4 5 6 7
3
4
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6
7
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3
4
5
6
7
Aplicaciones:
• Resumir la informacion de los datos mediante una recta.
• Predecir valores de una variable usando la otra.
Javier Carcamo PREST. Tema 1: Estadıstica descriptiva 58
Ejemplo: consumo de vino y dolencias cardıacas
Consideramos dos variables:
• X : Consumo anual de vino en litros por habitante
• Y : Numero de muertes por enfermedad cardıaca, por cada100.000 habitantes.
Algunas preguntas:
¿Que podemos decir sobre la relacion entre las dos variables?
¿Podemos afirmar que valores altos en consumo de vino estanasociados con valores bajos en numero de muertes por enfermedadcardıaca?
¿Podemos predecir aproximadamente el valor de la variable Y sisabemos el valor de X?
Javier Carcamo PREST. Tema 1: Estadıstica descriptiva 59
Frecuencias
[Conjunto_de_datos1] C:\Documents and Settings\usuario\Mis documentos\joser\docencia\estap\datos\vino.sav
Estadísticos
19 19
0 0
3,026 191,05
2,5097 68,396
Válidos
Perdidos
N
Media
Desv. típ.
Vino Card
Página 1
10,08,06,04,02,00,0
Vino
300
250
200
150
100
50
Ca
rd
Irlanda
Francia
Correlaciones
1 -,843
,000
19 19
-,843 1
,000
19 19
Correlación de Pearson
Sig. (bilateral)
N
Correlación de Pearson
Sig. (bilateral)
N
Vino
Card
Vino Card
Página 1
10,08,06,04,02,00,0
Vino
300
250
200
150
100
50
Ca
rd
Irlanda
Francia
Correlaciones
1 -,843
,000
19 19
-,843 1
,000
19 19
Correlación de Pearson
Sig. (bilateral)
N
Correlación de Pearson
Sig. (bilateral)
N
Vino
Card
Vino Card
Página 1
Pregunta: ¿Implica esta asociacion causalidad?
Javier Carcamo PREST. Tema 1: Estadıstica descriptiva 60
7. Asociacion estadıstica y causalidad
La asociacion entre una causa (C) y un efecto (E), puede surgirde tres modos distintos:
(a) C es causa de E.
2
2. ¿ASOCIACION ESTADISTICA O CAUSAL? La asociación entre una causa (C) y un efecto (E), puede surgir de tres modos distintos:
a) C es causa de E
C E
b) C y E tiene una causa común (variable X)
C E
X
c) E es causa de C
C E
Si C aparece antes que E, solamente podrán ser reales las dos primeras alternativas (a) y (b), siendo entonces C un factor de riesgo con respecto a E. Sin embargo, únicamente en el caso de la alternativa (a) existe una relación casual entre C y E. Así, en los estudios epidemiológicos, cuyo objetivo es investigar posibles relaciones causales, resulta de vital importancia diferenciar entre las alternativas (a) y (b). De las situaciones (a), (b) y (c), se deduce que las características que debería cumplir toda relación causal son:
i) Temporalidad: la causa precede al efecto. ii) Dirección: la relación va de la causa al efecto. iii) Asociación: entendida como cuantificación del grado de la relación.
(b) C y E tiene una causa comun (variable X).
2
2. ¿ASOCIACION ESTADISTICA O CAUSAL? La asociación entre una causa (C) y un efecto (E), puede surgir de tres modos distintos:
a) C es causa de E
C E
b) C y E tiene una causa común (variable X)
C E
X
c) E es causa de C
C E
Si C aparece antes que E, solamente podrán ser reales las dos primeras alternativas (a) y (b), siendo entonces C un factor de riesgo con respecto a E. Sin embargo, únicamente en el caso de la alternativa (a) existe una relación casual entre C y E. Así, en los estudios epidemiológicos, cuyo objetivo es investigar posibles relaciones causales, resulta de vital importancia diferenciar entre las alternativas (a) y (b). De las situaciones (a), (b) y (c), se deduce que las características que debería cumplir toda relación causal son:
i) Temporalidad: la causa precede al efecto. ii) Dirección: la relación va de la causa al efecto. iii) Asociación: entendida como cuantificación del grado de la relación.
(c) E es causa de C.
2
2. ¿ASOCIACION ESTADISTICA O CAUSAL? La asociación entre una causa (C) y un efecto (E), puede surgir de tres modos distintos:
a) C es causa de E
C E
b) C y E tiene una causa común (variable X)
C E
X
c) E es causa de C
C E
Si C aparece antes que E, solamente podrán ser reales las dos primeras alternativas (a) y (b), siendo entonces C un factor de riesgo con respecto a E. Sin embargo, únicamente en el caso de la alternativa (a) existe una relación casual entre C y E. Así, en los estudios epidemiológicos, cuyo objetivo es investigar posibles relaciones causales, resulta de vital importancia diferenciar entre las alternativas (a) y (b). De las situaciones (a), (b) y (c), se deduce que las características que debería cumplir toda relación causal son:
i) Temporalidad: la causa precede al efecto. ii) Dirección: la relación va de la causa al efecto. iii) Asociación: entendida como cuantificación del grado de la relación.
Javier Carcamo PREST. Tema 1: Estadıstica descriptiva 61
Ejemplo: renta y fracaso escolar en la CAM
Ana JustelAna Justel
EjemploEjemplo
Javier Carcamo PREST. Tema 1: Estadıstica descriptiva 62
Ejemplo: renta y fracaso escolar en la CAM
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10 12 14 16 18 20 22
1015
2025
3035
Renta (en miles de euros)
% fr
acas
o es
cola
rArganda
Torrelodones
Javier Carcamo PREST. Tema 1: Estadıstica descriptiva 63
7. Problema de regresion
Observamos dos variables, X e Y , el objetivo es analizar la relacionexistente entre ambas de forma que podamos predecir o aproximarel valor de la variable Y a partir del valor de la variable X .
• La variable Y se llama variable respuesta
• La variable X se llama variable regresora o explicativa
Observacion: En un problema de regresion (a diferencia decuando calculamos el coeficiente de correlacion) el papel de las dosvariables no es simetrico. La variable X juega el papel de variableindependiente y la variable Y el papel de variable dependiente (dela primera).
Javier Carcamo PREST. Tema 1: Estadıstica descriptiva 64
7. Recta de regresion
Frecuentemente, existe entre las variables observadas una relacionaproximadamente lineal:
yi ≈ β0 + β1xi , i = 1, . . . , n.
• La recta y = β0 + β1x es una recta de regresion.
• El parametro β1 es la pendiente de la recta. Indica comocambia la variable respuesta cuando el incremento de x es unaunidad.
• El parametro β0 es el termino independiente de la recta.Indica el valor de Y cuando X = 0.
Problema estadıstico: Estimar los parametros β0 y β1 a partir delos datos (xi , yi ), i = 1, . . . , n, de una muestra.
Javier Carcamo PREST. Tema 1: Estadıstica descriptiva 65
7. La recta de mınimos cuadrados
Si estimamos β0 y β1 mediante β0 y β1, la prediccion de la variablerespuesta Y en funcion de la regresora X es:
Y = β0 + β1X .
En particular, para los datos de la muestra:
yi = β0 + β1xi , i = 1, . . . , n.
Unos buenos estimadores (de β0 y β1) deben ser tales que loserrores de prediccion sean pequenos:
ei = yi − yi = yi − (β0 + β1xi ).
La recta de regresion de mınimos cuadrados viene dada por losvalores β0 y β1 para los que se minimiza la suma de los errores deprediccion:
n∑i=1
e2i =n∑
i=1
[yi − yi ]2 =
n∑i=1
[yi − (β0 + β1xi )]2.
Javier Carcamo PREST. Tema 1: Estadıstica descriptiva 66
7. Los errores de prediccion
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−2 −1 0 1 2
−1
01
23
x
y
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−2 −1 0 1 2
−1
01
23
x
y
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7. Estimadores de mınimos cuadrados
La recta de regresion de Y sobre X es la recta y = β0 + β1x con
y = y + rsysx
(x − x) ⇐⇒ y − y = rsysx
(x − x).
Pendiente:β1 = r
sysx,
donde r es el coeficiente de correlacion, sy es la desviacion tıpicade la variable respuesta y sx es la desviacion tıpica de la variableregresora.
Termino independiente:
β0 = y − β1x .
A los errores ei = yi − yi se les llama residuos.
A las predicciones yi = β0 + β1xi se les llama valores ajustados.Javier Carcamo PREST. Tema 1: Estadıstica descriptiva 68
Ejemplo: consumo de vino
Estimadores de los parametros:
β1 = rsysx
= −0,84368,396
2,5097= −22,974.
β0 = y − β1x = 191,05− (−22,974)× 3,026 = 260,57.
Recta de regresion:
y = 260,57− 22,974x .
Prediccion de Y para x0 = 4:
y0 = 260,57− 22,974× 4 = 168,674.
Javier Carcamo PREST. Tema 1: Estadıstica descriptiva 69
Diagrama de dispersion y recta estimada
Regresión lineal
2,0 4,0 6,0 8,0
Vino
100
200
300
Ca
rd
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
1Card = 260,56 + -22,97 * Vino
R-cuadrado = 0,71
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Javier Carcamo PREST. Tema 1: Estadıstica descriptiva 70
7. Observaciones
• La recta de mınimos cuadrados pasa por el punto cuyascoordenadas son las medias: (x , y).
• Puede demostrarse que la suma de los residuos siempre valecero.
• La recta para predecir Y en funcion de X no es la misma quela recta para predecir X en funcion de Y .
• Como medida de lo bien que se ajusta la recta a los datos, seutiliza el coeficiente de determinacion (o R-cuadrado): elcuadrado del coeficiente de correlacion. Cuando R2 esta cercade 0, el ajuste sera malo. Cuando R2 esta cerca de 1, el ajustesera bueno. R2 indica el porcentaje de la variable Y explicadopor la variable X .
• No es aconsejable realizar predicciones con la recta deregresion fuera del rango de valores observados.
Javier Carcamo PREST. Tema 1: Estadıstica descriptiva 71
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