probabilidad 3
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Probabilidad y EstadısticaDistribuciones de probabilidad
Dr. Hector Aviles
Ingenierıa en Tecnologıas de la InformacionUniversidad Politecnica de Victoria
Cd. Victoria Tamaulipas
Agosto-Diciembre 2011
Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuas
Contenido
Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valoresperado y varianza
Distribuciones de probabilidad discretas
Distribuciones de probabilidad continuas
H. Aviles UPV
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Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuas
Contenido
X Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valoresperado y varianza
Distribuciones de probabilidad discretas
Distribuciones de probabilidad continuas
H. Aviles UPV
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Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuas
Variables aleatorias
Un concepto muy util en probablidad es el de variablesaleatoria o variables estocastica
Hasta el momento hemos realizado operaciones con eventos ylas probabilidades asociadas
Sin embargo, en algunos casos nos interesan valores numericosque describan los eventos, en vez de los eventos en si
Las variables aleatorias nos ayudaran a obtener tales valoresnumericos
Informalmente, una V.A. es una regla que asigna valoresnumericos a cada salida de un experimento
H. Aviles UPV
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Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuas
Variables aleatorias
Un concepto muy util en probablidad es el de variablesaleatoria o variables estocastica
Hasta el momento hemos realizado operaciones con eventos ylas probabilidades asociadas
Sin embargo, en algunos casos nos interesan valores numericosque describan los eventos, en vez de los eventos en si
Las variables aleatorias nos ayudaran a obtener tales valoresnumericos
Informalmente, una V.A. es una regla que asigna valoresnumericos a cada salida de un experimento
H. Aviles UPV
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Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuas
Variables aleatorias
Un concepto muy util en probablidad es el de variablesaleatoria o variables estocastica
Hasta el momento hemos realizado operaciones con eventos ylas probabilidades asociadas
Sin embargo, en algunos casos nos interesan valores numericosque describan los eventos, en vez de los eventos en si
Las variables aleatorias nos ayudaran a obtener tales valoresnumericos
Informalmente, una V.A. es una regla que asigna valoresnumericos a cada salida de un experimento
H. Aviles UPV
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Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuas
Variables aleatorias
Un concepto muy util en probablidad es el de variablesaleatoria o variables estocastica
Hasta el momento hemos realizado operaciones con eventos ylas probabilidades asociadas
Sin embargo, en algunos casos nos interesan valores numericosque describan los eventos, en vez de los eventos en si
Las variables aleatorias nos ayudaran a obtener tales valoresnumericos
Informalmente, una V.A. es una regla que asigna valoresnumericos a cada salida de un experimento
H. Aviles UPV
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Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuas
Variables aleatorias
Un concepto muy util en probablidad es el de variablesaleatoria o variables estocastica
Hasta el momento hemos realizado operaciones con eventos ylas probabilidades asociadas
Sin embargo, en algunos casos nos interesan valores numericosque describan los eventos, en vez de los eventos en si
Las variables aleatorias nos ayudaran a obtener tales valoresnumericos
Informalmente, una V.A. es una regla que asigna valoresnumericos a cada salida de un experimento
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Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuas
Variables aleatorias
Mas formalmente, una V.A. X es una funcion que transformaun evento e ∈ L en un valor real, es decir, X : L → R
Usualmente se denotan como X , Y y Z (contrario a loseventos donde se utilizan A, B o C )
Una V.A. se puede ver como el resultado de una medicion enalgun proceso, e.g., Y = “El numero de soles al lanzar dosmonedas”, donde Y ({sol, sol}) = 2,Y ({aguila, sol}) =1,Y ({sol, aguila}) = 1,Y ({aguila, aguila}) = 0
En casos especiales, un evento e es igual al valor numericodeseado, i.e., X (e) = e, (e.g., Si X = “El numero que resultade lanzar un unico dado)
H. Aviles UPV
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Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuas
Variables aleatorias
Mas formalmente, una V.A. X es una funcion que transformaun evento e ∈ L en un valor real, es decir, X : L → RUsualmente se denotan como X , Y y Z (contrario a loseventos donde se utilizan A, B o C )
Una V.A. se puede ver como el resultado de una medicion enalgun proceso, e.g., Y = “El numero de soles al lanzar dosmonedas”, donde Y ({sol, sol}) = 2,Y ({aguila, sol}) =1,Y ({sol, aguila}) = 1,Y ({aguila, aguila}) = 0
En casos especiales, un evento e es igual al valor numericodeseado, i.e., X (e) = e, (e.g., Si X = “El numero que resultade lanzar un unico dado)
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Variables aleatorias
Mas formalmente, una V.A. X es una funcion que transformaun evento e ∈ L en un valor real, es decir, X : L → RUsualmente se denotan como X , Y y Z (contrario a loseventos donde se utilizan A, B o C )
Una V.A. se puede ver como el resultado de una medicion enalgun proceso, e.g., Y = “El numero de soles al lanzar dosmonedas”, donde Y ({sol, sol}) = 2,Y ({aguila, sol}) =1,Y ({sol, aguila}) = 1,Y ({aguila, aguila}) = 0
En casos especiales, un evento e es igual al valor numericodeseado, i.e., X (e) = e, (e.g., Si X = “El numero que resultade lanzar un unico dado)
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Variables aleatorias
Mas formalmente, una V.A. X es una funcion que transformaun evento e ∈ L en un valor real, es decir, X : L → RUsualmente se denotan como X , Y y Z (contrario a loseventos donde se utilizan A, B o C )
Una V.A. se puede ver como el resultado de una medicion enalgun proceso, e.g., Y = “El numero de soles al lanzar dosmonedas”, donde Y ({sol, sol}) = 2,Y ({aguila, sol}) =1,Y ({sol, aguila}) = 1,Y ({aguila, aguila}) = 0
En casos especiales, un evento e es igual al valor numericodeseado, i.e., X (e) = e, (e.g., Si X = “El numero que resultade lanzar un unico dado)
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Variables aleatorias
Un ejemplo es X = “El numero de coches rojos que pasan poruna calle en 10 minutos” o Y = “La estatura de una persona”
En general, una V.A. puede ser discreta o continua
Por ejemplo, al lanzar dos dados, X = “La suma de ambosresultados”, entonces X ∈ {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12},X ∈ N es discreta finita
Tambien hay V.A. discretas infinitas como el numero degranos de arena en una playa o el numero de estrellas en elcielo
Para casos especiales, las V.A pueden considerar valorescualitativos X ∈ {alto,mediano, bajo},Y ∈ {estudiante, profesionista}
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Variables aleatorias
Un ejemplo es X = “El numero de coches rojos que pasan poruna calle en 10 minutos” o Y = “La estatura de una persona”
En general, una V.A. puede ser discreta o continua
Por ejemplo, al lanzar dos dados, X = “La suma de ambosresultados”, entonces X ∈ {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12},X ∈ N es discreta finita
Tambien hay V.A. discretas infinitas como el numero degranos de arena en una playa o el numero de estrellas en elcielo
Para casos especiales, las V.A pueden considerar valorescualitativos X ∈ {alto,mediano, bajo},Y ∈ {estudiante, profesionista}
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Variables aleatorias
Un ejemplo es X = “El numero de coches rojos que pasan poruna calle en 10 minutos” o Y = “La estatura de una persona”
En general, una V.A. puede ser discreta o continua
Por ejemplo, al lanzar dos dados, X = “La suma de ambosresultados”, entonces X ∈ {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12},X ∈ N es discreta finita
Tambien hay V.A. discretas infinitas como el numero degranos de arena en una playa o el numero de estrellas en elcielo
Para casos especiales, las V.A pueden considerar valorescualitativos X ∈ {alto,mediano, bajo},Y ∈ {estudiante, profesionista}
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Variables aleatorias
Un ejemplo es X = “El numero de coches rojos que pasan poruna calle en 10 minutos” o Y = “La estatura de una persona”
En general, una V.A. puede ser discreta o continua
Por ejemplo, al lanzar dos dados, X = “La suma de ambosresultados”, entonces X ∈ {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12},X ∈ N es discreta finita
Tambien hay V.A. discretas infinitas como el numero degranos de arena en una playa o el numero de estrellas en elcielo
Para casos especiales, las V.A pueden considerar valorescualitativos X ∈ {alto,mediano, bajo},Y ∈ {estudiante, profesionista}
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Variables aleatorias
Un ejemplo es X = “El numero de coches rojos que pasan poruna calle en 10 minutos” o Y = “La estatura de una persona”
En general, una V.A. puede ser discreta o continua
Por ejemplo, al lanzar dos dados, X = “La suma de ambosresultados”, entonces X ∈ {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12},X ∈ N es discreta finita
Tambien hay V.A. discretas infinitas como el numero degranos de arena en una playa o el numero de estrellas en elcielo
Para casos especiales, las V.A pueden considerar valorescualitativos X ∈ {alto,mediano, bajo},Y ∈ {estudiante, profesionista}
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Variables aleatorias
Las V.A. continuas son aquellas que toman valores en unrango o intervalo de R
Un ejemplo es X = “La longitud de los objetos de una casa”o Y = “El tiempo de vida de un foco”, Z = “El peso de unapersona”
Las V.A. pueden representar eventos simples o eventoscompuestos
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Variables aleatorias
Las V.A. continuas son aquellas que toman valores en unrango o intervalo de RUn ejemplo es X = “La longitud de los objetos de una casa”o Y = “El tiempo de vida de un foco”, Z = “El peso de unapersona”
Las V.A. pueden representar eventos simples o eventoscompuestos
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Variables aleatorias
Las V.A. continuas son aquellas que toman valores en unrango o intervalo de RUn ejemplo es X = “La longitud de los objetos de una casa”o Y = “El tiempo de vida de un foco”, Z = “El peso de unapersona”
Las V.A. pueden representar eventos simples o eventoscompuestos
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Distribuciones de probabilidad discreta
Las V.A son importantes porque nos permiten definirdistribuciones de probabilidad sobre ellas
Una distribucion de probabilidad es una funcion que nospermite asignar valores de probabilidad para los valores de unaV.A.
Para el caso de una V.A. discreta X , la distribucion deprobabilidad es una lista de probabilidades asociadas a losvalores de X
A una distribucion de probabilidad de este tipo se lesdenomina distribucion de probabilidad discreta
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Distribuciones de probabilidad discreta
Las V.A son importantes porque nos permiten definirdistribuciones de probabilidad sobre ellas
Una distribucion de probabilidad es una funcion que nospermite asignar valores de probabilidad para los valores de unaV.A.
Para el caso de una V.A. discreta X , la distribucion deprobabilidad es una lista de probabilidades asociadas a losvalores de X
A una distribucion de probabilidad de este tipo se lesdenomina distribucion de probabilidad discreta
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Distribuciones de probabilidad discreta
Las V.A son importantes porque nos permiten definirdistribuciones de probabilidad sobre ellas
Una distribucion de probabilidad es una funcion que nospermite asignar valores de probabilidad para los valores de unaV.A.
Para el caso de una V.A. discreta X , la distribucion deprobabilidad es una lista de probabilidades asociadas a losvalores de X
A una distribucion de probabilidad de este tipo se lesdenomina distribucion de probabilidad discreta
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Distribuciones de probabilidad discreta
Sea X una V.A. discreta que puede tomar N valores distintos,X ∈ {xi |1 ≤ i ≤ N}, entonces
P(X = xi ) = p(xi ),
donde 0 ≤ p(xi ) ≤ 1 y∑N
i=1 p(xi ) = 1
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Distribuciones de probabilidad discreta - Ejemplo
Para un dado que no es justo y privilegia resultados impares:
xi p(xi )
1 3/122 1/123 3/124 1/125 3/126 1/12
Las distribuciones de probabilidad discreta pueden representarsepor medio de tablas o graficamente (i.e., mediante histogramas de
probabilidad)
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Funcion de probabilidad acumulada
Una funcion importante es la funcion de probabilidadacumulada
P(X ≤ xi ) =∑j≤i
p(xj)
A su grafica se le llama funcion escalera
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Valor esperado
Otra funcion importante es el valor esperado o esperanzamatematica E [X ] de una V.A. discreta X :
E [X ] =∑∀i
xi · p(xi )
Por ejemplo, sea X la salida de un dado justo conX ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}. El valor esperado de X es:
E [X ] = 1 · 1
6+ 2 · 1
6+ 3 · 1
6+ 4 · 1
6+ 5 · 1
6+ 6 · 1
6= 3.5
Si la grafica de la distribucion de probabilidad se ve como unobjeto con masa, el valor esperado “balancea” la masa delobjeto en dos partes iguales
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Valor esperado
Otra funcion importante es el valor esperado o esperanzamatematica E [X ] de una V.A. discreta X :
E [X ] =∑∀i
xi · p(xi )
Por ejemplo, sea X la salida de un dado justo conX ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}. El valor esperado de X es:
E [X ] = 1 · 1
6+ 2 · 1
6+ 3 · 1
6+ 4 · 1
6+ 5 · 1
6+ 6 · 1
6=
3.5
Si la grafica de la distribucion de probabilidad se ve como unobjeto con masa, el valor esperado “balancea” la masa delobjeto en dos partes iguales
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Valor esperado
Otra funcion importante es el valor esperado o esperanzamatematica E [X ] de una V.A. discreta X :
E [X ] =∑∀i
xi · p(xi )
Por ejemplo, sea X la salida de un dado justo conX ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}. El valor esperado de X es:
E [X ] = 1 · 1
6+ 2 · 1
6+ 3 · 1
6+ 4 · 1
6+ 5 · 1
6+ 6 · 1
6= 3.5
Si la grafica de la distribucion de probabilidad se ve como unobjeto con masa, el valor esperado “balancea” la masa delobjeto en dos partes iguales
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Valor esperado
Otra funcion importante es el valor esperado o esperanzamatematica E [X ] de una V.A. discreta X :
E [X ] =∑∀i
xi · p(xi )
Por ejemplo, sea X la salida de un dado justo conX ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}. El valor esperado de X es:
E [X ] = 1 · 1
6+ 2 · 1
6+ 3 · 1
6+ 4 · 1
6+ 5 · 1
6+ 6 · 1
6= 3.5
Si la grafica de la distribucion de probabilidad se ve como unobjeto con masa, el valor esperado “balancea” la masa delobjeto en dos partes iguales
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Varianza
La varianza V (X ) es una medida que nos indica que tanto se“esparcen” o varian los valores de X en la distribucion (en eleje horizontal de su grafica), tomando en cuenta sus pesos (oprobabilidades)
Para una variable X la varianza viene dada por
V (X ) = E [(X − E [X ])2] =n∑
i=1
(xi − E [X ])2 · p(xi )
Esto indica que V (X ) es el valor esperado de la diferencia alcuadrado entre cada valor para X y su esperanza matematica
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Varianza
La varianza V (X ) es una medida que nos indica que tanto se“esparcen” o varian los valores de X en la distribucion (en eleje horizontal de su grafica), tomando en cuenta sus pesos (oprobabilidades)
Para una variable X la varianza viene dada por
V (X ) = E [(X − E [X ])2] =n∑
i=1
(xi − E [X ])2 · p(xi )
Esto indica que V (X ) es el valor esperado de la diferencia alcuadrado entre cada valor para X y su esperanza matematica
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Varianza
La varianza V (X ) es una medida que nos indica que tanto se“esparcen” o varian los valores de X en la distribucion (en eleje horizontal de su grafica), tomando en cuenta sus pesos (oprobabilidades)
Para una variable X la varianza viene dada por
V (X ) = E [(X − E [X ])2] =n∑
i=1
(xi − E [X ])2 · p(xi )
Esto indica que V (X ) es el valor esperado de la diferencia alcuadrado entre cada valor para X y su esperanza matematica
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Varianza
La varianza tambien se puede calcular como:V (X ) = E [X 2]− (E [X ])2 (el valor esperado de cada valor deX elevado al cuadrado, menos el valor esperado de X alcuadrado)
Por ejemplo, para un dado justoE [X 2] =
∑∀i (xi )
2 ·p(xi )(12 +22 +32 +42 +52 +62)/6 = 15.5,y (E [X ])2 = (
∑∀i xi · p(xi ))2 =
((1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)/6)2 = (21/6)2 = (3.5)2 = 12.25
Ası, V (X ) = E [X 2]− (E [X ])2 = 15.5− 12.25 = 3.25
Esta forma es muy util cuando se tiene una descripcionanalıtica de la distribucion
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Varianza
La varianza tambien se puede calcular como:V (X ) = E [X 2]− (E [X ])2 (el valor esperado de cada valor deX elevado al cuadrado, menos el valor esperado de X alcuadrado)
Por ejemplo, para un dado justoE [X 2] =
∑∀i (xi )
2 ·p(xi )(12 +22 +32 +42 +52 +62)/6 = 15.5,y (E [X ])2 = (
∑∀i xi · p(xi ))2 =
((1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)/6)2 = (21/6)2 = (3.5)2 = 12.25
Ası, V (X ) = E [X 2]− (E [X ])2 = 15.5− 12.25 = 3.25
Esta forma es muy util cuando se tiene una descripcionanalıtica de la distribucion
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Varianza
La varianza tambien se puede calcular como:V (X ) = E [X 2]− (E [X ])2 (el valor esperado de cada valor deX elevado al cuadrado, menos el valor esperado de X alcuadrado)
Por ejemplo, para un dado justoE [X 2] =
∑∀i (xi )
2 ·p(xi )(12 +22 +32 +42 +52 +62)/6 = 15.5,y (E [X ])2 = (
∑∀i xi · p(xi ))2 =
((1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)/6)2 = (21/6)2 = (3.5)2 = 12.25
Ası, V (X ) = E [X 2]− (E [X ])2 = 15.5− 12.25 = 3.25
Esta forma es muy util cuando se tiene una descripcionanalıtica de la distribucion
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Varianza
La varianza tambien se puede calcular como:V (X ) = E [X 2]− (E [X ])2 (el valor esperado de cada valor deX elevado al cuadrado, menos el valor esperado de X alcuadrado)
Por ejemplo, para un dado justoE [X 2] =
∑∀i (xi )
2 ·p(xi )(12 +22 +32 +42 +52 +62)/6 = 15.5,y (E [X ])2 = (
∑∀i xi · p(xi ))2 =
((1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)/6)2 = (21/6)2 = (3.5)2 = 12.25
Ası, V (X ) = E [X 2]− (E [X ])2 = 15.5− 12.25 = 3.25
Esta forma es muy util cuando se tiene una descripcionanalıtica de la distribucion
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Distribuciones de probabilidad discreta - Ejercicio
Considere la siguiente tabla de edades y la V.A. X o la edadde una persona del grupo. Grafique p(xi ) ∀i , su funcionacumulada, y obtenga E , V y P(X = 25 o X = 21)
Edad2522212425292122252421
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Distribuciones de probabilidad discreta - Ejercicio
Para los siguientes valores de una variable X , grafique p(xi )∀i ,su funcion acumulada, y calcule E , V y P(X ≤ 25)
13, 15, 24, 28, 33, 35, 38, 24, 23, 38, 36, 24, 29, 25, 17, 17, 34,36, 39, 34, 31, 26, 20, 11, 13, 22, 27, 37, 31, 37, 34, 32, 35, 28,
32, 31, 28, 15, 32, 13
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Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuas
Variables aleatorias continuas
Si Y es una V.A. continua con Y ∈ {y | −∞ ≤ y ≤ ∞} y sufuncion de densidad de probabilidad es p(y), la probabilidadde Y = y esta dada por:
P(a ≤ Y ≤ b) =
∫ b
ap(y)dy
donde a y b son los lımites inferior y superior en que p(y)debe evaluarse
Se debe satisfacer∫∞−∞ p(y)dy = 1 y p(y) ≥ 0
Recordar que∫ yy p(y)dy = 0, por tanto, no podemos usar una
forma tabular para P(·) de V.A. continuas
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Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuas
Variables aleatorias continuas
Si Y es una V.A. continua con Y ∈ {y | −∞ ≤ y ≤ ∞} y sufuncion de densidad de probabilidad es p(y), la probabilidadde Y = y esta dada por:
P(a ≤ Y ≤ b) =
∫ b
ap(y)dy
donde a y b son los lımites inferior y superior en que p(y)debe evaluarse
Se debe satisfacer∫∞−∞ p(y)dy = 1 y p(y) ≥ 0
Recordar que∫ yy p(y)dy = 0, por tanto, no podemos usar una
forma tabular para P(·) de V.A. continuas
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Variables aleatorias continuas
Si Y es una V.A. continua con Y ∈ {y | −∞ ≤ y ≤ ∞} y sufuncion de densidad de probabilidad es p(y), la probabilidadde Y = y esta dada por:
P(a ≤ Y ≤ b) =
∫ b
ap(y)dy
donde a y b son los lımites inferior y superior en que p(y)debe evaluarse
Se debe satisfacer∫∞−∞ p(y)dy = 1 y p(y) ≥ 0
Recordar que∫ yy p(y)dy = 0, por tanto, no podemos usar una
forma tabular para P(·) de V.A. continuas
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Variables aleatorias continuas
Si Y es una V.A. continua con Y ∈ {y | −∞ ≤ y ≤ ∞} y sufuncion de densidad de probabilidad es p(y), la probabilidadde Y = y esta dada por:
P(a ≤ Y ≤ b) =
∫ b
ap(y)dy
donde a y b son los lımites inferior y superior en que p(y)debe evaluarse
Se debe satisfacer∫∞−∞ p(y)dy = 1 y p(y) ≥ 0
Recordar que∫ yy p(y)dy = 0, por tanto, no podemos usar una
forma tabular para P(·) de V.A. continuas
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Funcion de probabilidad acumulada y valor esperado
La funcion de distribucion acumulativa es:
P(Y ≤ b) =
∫ b
−∞p(y)dy
La esperanza matematica de Y es:
P(−∞ ≤ Y ≤ ∞) =
∫ ∞−∞
y · p(y)dy
La varianza es:
V (Y ) =
∫ ∞−∞
(y − E (Y ))2 · p(y)dy
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Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuas
Funcion de probabilidad acumulada y valor esperado
La funcion de distribucion acumulativa es:
P(Y ≤ b) =
∫ b
−∞p(y)dy
La esperanza matematica de Y es:
P(−∞ ≤ Y ≤ ∞) =
∫ ∞−∞
y · p(y)dy
La varianza es:
V (Y ) =
∫ ∞−∞
(y − E (Y ))2 · p(y)dy
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Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuas
Funcion de probabilidad acumulada y valor esperado
La funcion de distribucion acumulativa es:
P(Y ≤ b) =
∫ b
−∞p(y)dy
La esperanza matematica de Y es:
P(−∞ ≤ Y ≤ ∞) =
∫ ∞−∞
y · p(y)dy
La varianza es:
V (Y ) =
∫ ∞−∞
(y − E (Y ))2 · p(y)dy
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Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuas
Variables aleatorias continuas
Ejemplos de una funcion de probabilidad continua (izquierda) y elcomportamiento de su funcion acumulativa (derecha)
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Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuas
Variables aleatorias continuas
Hay diferentes maneras de calcular el area bajo un segmento[a, b] de la curva:
Graficamente (para figuras geometricas simples comotriangulos y trapecios)Calculando la suma de segmentos (solo aproximacion)Cuando la forma de la integral es conocida (o puedeconocerse) y resolviendo para a y b
Recordar de los teoremas fundamentales de calculo:P(a ≤ Y ≤ b) =
∫ ba p(y)dy = P(Y )|ba = P(Y ≤ b)− P(Y ≤ a)
¡La anti-derivada P(Y) nos da la probabilida acumulada!
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Variables aleatorias continuas
Hay diferentes maneras de calcular el area bajo un segmento[a, b] de la curva:
Graficamente (para figuras geometricas simples comotriangulos y trapecios)
Calculando la suma de segmentos (solo aproximacion)Cuando la forma de la integral es conocida (o puedeconocerse) y resolviendo para a y b
Recordar de los teoremas fundamentales de calculo:P(a ≤ Y ≤ b) =
∫ ba p(y)dy = P(Y )|ba = P(Y ≤ b)− P(Y ≤ a)
¡La anti-derivada P(Y) nos da la probabilida acumulada!
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Variables aleatorias continuas
Hay diferentes maneras de calcular el area bajo un segmento[a, b] de la curva:
Graficamente (para figuras geometricas simples comotriangulos y trapecios)Calculando la suma de segmentos (solo aproximacion)
Cuando la forma de la integral es conocida (o puedeconocerse) y resolviendo para a y b
Recordar de los teoremas fundamentales de calculo:P(a ≤ Y ≤ b) =
∫ ba p(y)dy = P(Y )|ba = P(Y ≤ b)− P(Y ≤ a)
¡La anti-derivada P(Y) nos da la probabilida acumulada!
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Variables aleatorias continuas
Hay diferentes maneras de calcular el area bajo un segmento[a, b] de la curva:
Graficamente (para figuras geometricas simples comotriangulos y trapecios)Calculando la suma de segmentos (solo aproximacion)Cuando la forma de la integral es conocida (o puedeconocerse) y resolviendo para a y b
Recordar de los teoremas fundamentales de calculo:P(a ≤ Y ≤ b) =
∫ ba p(y)dy = P(Y )|ba = P(Y ≤ b)− P(Y ≤ a)
¡La anti-derivada P(Y) nos da la probabilida acumulada!
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Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuas
Variables aleatorias continuas
Hay diferentes maneras de calcular el area bajo un segmento[a, b] de la curva:
Graficamente (para figuras geometricas simples comotriangulos y trapecios)Calculando la suma de segmentos (solo aproximacion)Cuando la forma de la integral es conocida (o puedeconocerse) y resolviendo para a y b
Recordar de los teoremas fundamentales de calculo:P(a ≤ Y ≤ b) =
∫ ba p(y)dy = P(Y )|ba = P(Y ≤ b)− P(Y ≤ a)
¡La anti-derivada P(Y) nos da la probabilida acumulada!
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Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuas
Variables aleatorias continuas - Ejemplo
Si se considera que∫ ba p(y)dy = limn→∞
∑bi=a p(yi ) ·∆n,
para una variable Y con densidad de probabilidad
p(y) =
{12 y 0 ≤ y ≤ 20 de lo contrario
calcule P(0 ≤ Y ≤ 1) para 4 segmentos, i.e., n = 4
∆n = b−an = 1−0
4 = 1/4 y P(0 ≤ Y ≤ 1) =∑1
i=0 p(yi ) ·∆n
P(0 ≤ Y ≤ 1) =∑1
i=012 (yi ) · ( 1
4 ) =( 1
4 ) · ( 12 )[(0) + (1/4) + (1/2) + (3/2)] ≈ 9
32 o 0.28
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Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuas
Variables aleatorias continuas - Ejemplo
Si se considera que∫ ba p(y)dy = limn→∞
∑bi=a p(yi ) ·∆n,
para una variable Y con densidad de probabilidad
p(y) =
{12 y 0 ≤ y ≤ 20 de lo contrario
calcule P(0 ≤ Y ≤ 1) para 4 segmentos, i.e., n = 4
∆n = b−an = 1−0
4 = 1/4 y P(0 ≤ Y ≤ 1) =∑1
i=0 p(yi ) ·∆n
P(0 ≤ Y ≤ 1) =∑1
i=012 (yi ) · ( 1
4 ) =( 1
4 ) · ( 12 )[(0) + (1/4) + (1/2) + (3/2)] ≈ 9
32 o 0.28
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Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuas
Variables aleatorias continuas - Ejemplo
Si se considera que∫ ba p(y)dy = limn→∞
∑bi=a p(yi ) ·∆n,
para una variable Y con densidad de probabilidad
p(y) =
{12 y 0 ≤ y ≤ 20 de lo contrario
calcule P(0 ≤ Y ≤ 1) para 4 segmentos, i.e., n = 4
∆n = b−an = 1−0
4 = 1/4 y P(0 ≤ Y ≤ 1) =∑1
i=0 p(yi ) ·∆n
P(0 ≤ Y ≤ 1) =∑1
i=012 (yi ) · ( 1
4 ) =( 1
4 ) · ( 12 )[(0) + (1/4) + (1/2) + (3/2)] ≈ 9
32 o 0.28
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Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuas
Variables aleatorias continuas - Ejemplo
Dado que∫ 1
0 p(y)dy =∫ 1
012 ydy
Resolviendo la integral definida:∫ 1
0
1
2ydy = (
1
2)
y 2
2|10 = (
1
4)y 2|10 = (
1
4)[(1)2−(0)2] =
1
4= 0.25
Si se grafica la ecuacion 12 y , se observa que es una lınea recta
y forma un triangulo en los lımites b y a
Si se recuerda que area = base·altura2 , y
base = b− a = 1− 0 = 1 y altura = p(y = 1) = ( 12 · 1) = 1/2,
area =base · altura
2=
1 · 12
2= 1/4
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Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuas
Variables aleatorias continuas - Ejemplo
Dado que∫ 1
0 p(y)dy =∫ 1
012 ydy
Resolviendo la integral definida:∫ 1
0
1
2ydy = (
1
2)
y 2
2|10 = (
1
4)y 2|10 = (
1
4)[(1)2−(0)2] =
1
4= 0.25
Si se grafica la ecuacion 12 y , se observa que es una lınea recta
y forma un triangulo en los lımites b y a
Si se recuerda que area = base·altura2 , y
base = b− a = 1− 0 = 1 y altura = p(y = 1) = ( 12 · 1) = 1/2,
area =base · altura
2=
1 · 12
2= 1/4
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Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuas
Variables aleatorias continuas - Ejemplo
Dado que∫ 1
0 p(y)dy =∫ 1
012 ydy
Resolviendo la integral definida:∫ 1
0
1
2ydy = (
1
2)
y 2
2|10 = (
1
4)y 2|10 = (
1
4)[(1)2−(0)2] =
1
4= 0.25
Si se grafica la ecuacion 12 y , se observa que es una lınea recta
y forma un triangulo en los lımites b y a
Si se recuerda que area = base·altura2 , y
base = b− a = 1− 0 = 1 y altura = p(y = 1) = ( 12 · 1) = 1/2,
area =base · altura
2=
1 · 12
2= 1/4
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Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuas
Variables aleatorias continuas - Ejemplo
Dado que∫ 1
0 p(y)dy =∫ 1
012 ydy
Resolviendo la integral definida:∫ 1
0
1
2ydy = (
1
2)
y 2
2|10 = (
1
4)y 2|10 = (
1
4)[(1)2−(0)2] =
1
4= 0.25
Si se grafica la ecuacion 12 y , se observa que es una lınea recta
y forma un triangulo en los lımites b y a
Si se recuerda que area = base·altura2 , y
base = b− a = 1− 0 = 1 y altura = p(y = 1) = ( 12 · 1) = 1/2,
area =base · altura
2=
1 · 12
2= 1/4
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Variables aleatorias continuas - Ejemplo
E [Y ] de p(y) = 12 y se obtiene como∫ 2
0 y · p(y)dy =∫ 2
0 y · 12 ydy =
∫ 20
12 y 2dy = ( 1
2 ) y3
3 |20 =
( 12 )[ 23
3 − 0] = ( 12 )( 8
3 ) = 8/6 = 4/3 ≈ 1.33
Si V (Y ) = E [Y 2]− (E [Y ])2, V (Y ) podemos obtenerla
calculando E [Y 2] =∫ 2
0 y 2 · p(y)dy =∫ 2
0 y 2 · 12 ydy =∫ 2
012 y 3dy = ( 1
2 ) y4
4 |20 = ( 1
2 )[ 24
4 − 0] = ( 12 )( 16
4 ) = 4/2 = 2
Ası, V (Y ) = E [Y 2]− (E [Y ])2 = 2− (1.33)2 ≈ .23
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Variables aleatorias continuas - Ejemplo
E [Y ] de p(y) = 12 y se obtiene como∫ 2
0 y · p(y)dy =∫ 2
0 y · 12 ydy =
∫ 20
12 y 2dy = ( 1
2 ) y3
3 |20 =
( 12 )[ 23
3 − 0] = ( 12 )( 8
3 ) = 8/6 = 4/3 ≈ 1.33
Si V (Y ) = E [Y 2]− (E [Y ])2, V (Y ) podemos obtenerla
calculando E [Y 2] =∫ 2
0 y 2 · p(y)dy =∫ 2
0 y 2 · 12 ydy =∫ 2
012 y 3dy = ( 1
2 ) y4
4 |20 = ( 1
2 )[ 24
4 − 0] = ( 12 )( 16
4 ) = 4/2 = 2
Ası, V (Y ) = E [Y 2]− (E [Y ])2 = 2− (1.33)2 ≈ .23
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Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuas
Variables aleatorias continuas - Ejemplo
E [Y ] de p(y) = 12 y se obtiene como∫ 2
0 y · p(y)dy =∫ 2
0 y · 12 ydy =
∫ 20
12 y 2dy = ( 1
2 ) y3
3 |20 =
( 12 )[ 23
3 − 0] = ( 12 )( 8
3 ) = 8/6 = 4/3 ≈ 1.33
Si V (Y ) = E [Y 2]− (E [Y ])2, V (Y ) podemos obtenerla
calculando E [Y 2] =∫ 2
0 y 2 · p(y)dy =∫ 2
0 y 2 · 12 ydy =∫ 2
012 y 3dy = ( 1
2 ) y4
4 |20 = ( 1
2 )[ 24
4 − 0] = ( 12 )( 16
4 ) = 4/2 = 2
Ası, V (Y ) = E [Y 2]− (E [Y ])2 = 2− (1.33)2 ≈ .23
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Variables aleatorias continuas - Ejercicio 1
Considere una variable Y con densidad de probabilidad
p(y) =
{1
10 (y + 3) −1 ≤ y ≤ 20 de lo contrario
calcule P(1 ≤ Y ≤ 2) para n = 5 incrementos, resolviendo laintegral definida; ademas calcule E [Y ] y V (Y )
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Variables aleatorias continuas - Ejercicio 2
Considere una variable Y con densidad de probabilidad
p(y) =
{6y(1− y) 0 ≤ y ≤ 10 de lo contrario
calcule P(0.5 ≤ Y ≤ 1) con 10 incrementos, resolviendo laintegral definida y obtenga E [Y ] y V (Y )
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Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuas
Distribuciones discretas
x Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valoresperado y varianza
X Distribuciones de probabilidad discretas
Distribuciones de probabilidad continuas
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Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuas
Distribuciones discretas
Existen diversas distribuciones de probabilidad que suelen sermuy importantes en la practica y teorıa
Por esto, algunas formas han recibido nombres especiıficos
Esto ayuda a su aplicacion y al estudio de sus propiedades
Como casos especiales de distribuciones discretas veremos: ladistribucion uniforme, de Bernoulli y la distribucion binomial
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Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuas
Distribuciones discretas
Existen diversas distribuciones de probabilidad que suelen sermuy importantes en la practica y teorıa
Por esto, algunas formas han recibido nombres especiıficos
Esto ayuda a su aplicacion y al estudio de sus propiedades
Como casos especiales de distribuciones discretas veremos: ladistribucion uniforme, de Bernoulli y la distribucion binomial
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Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuas
Distribuciones discretas
Existen diversas distribuciones de probabilidad que suelen sermuy importantes en la practica y teorıa
Por esto, algunas formas han recibido nombres especiıficos
Esto ayuda a su aplicacion y al estudio de sus propiedades
Como casos especiales de distribuciones discretas veremos: ladistribucion uniforme, de Bernoulli y la distribucion binomial
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Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuas
Distribuciones discretas
Existen diversas distribuciones de probabilidad que suelen sermuy importantes en la practica y teorıa
Por esto, algunas formas han recibido nombres especiıficos
Esto ayuda a su aplicacion y al estudio de sus propiedades
Como casos especiales de distribuciones discretas veremos: ladistribucion uniforme, de Bernoulli y la distribucion binomial
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Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuas
Distribucion uniforme
La distribucion uniforme discreta es una de las distribucionesdiscretas mas simples
La idea es asignar probabilidades iguales a todos los elementosde un conjunto finito de valores (distribuidos en intervalosiguales) que toma una V.A. discreta X
Si hay n valores, entonces cada valor toma una probabilidadP(xn) = 1/n, ∀n
En general, nos permitira representar problemas en los quetodos los eventos simples tienen la misma probabilidad (e.g.,lanzar un dado o una moneda “justa”)
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Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuas
Distribucion uniforme
La distribucion uniforme discreta es una de las distribucionesdiscretas mas simples
La idea es asignar probabilidades iguales a todos los elementosde un conjunto finito de valores (distribuidos en intervalosiguales) que toma una V.A. discreta X
Si hay n valores, entonces cada valor toma una probabilidadP(xn) = 1/n, ∀n
En general, nos permitira representar problemas en los quetodos los eventos simples tienen la misma probabilidad (e.g.,lanzar un dado o una moneda “justa”)
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Distribucion uniforme
La distribucion uniforme discreta es una de las distribucionesdiscretas mas simples
La idea es asignar probabilidades iguales a todos los elementosde un conjunto finito de valores (distribuidos en intervalosiguales) que toma una V.A. discreta X
Si hay n valores, entonces cada valor toma una probabilidadP(xn) = 1/n, ∀n
En general, nos permitira representar problemas en los quetodos los eventos simples tienen la misma probabilidad (e.g.,lanzar un dado o una moneda “justa”)
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Distribucion uniforme
La distribucion uniforme discreta es una de las distribucionesdiscretas mas simples
La idea es asignar probabilidades iguales a todos los elementosde un conjunto finito de valores (distribuidos en intervalosiguales) que toma una V.A. discreta X
Si hay n valores, entonces cada valor toma una probabilidadP(xn) = 1/n, ∀n
En general, nos permitira representar problemas en los quetodos los eventos simples tienen la misma probabilidad (e.g.,lanzar un dado o una moneda “justa”)
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Distribucion uniforme
El valor esperado es:E [X ] =
∑ni=1 xi · p(xi ) = 1
n
∑ni=1 xi · = 1
n · (x1+xn
2 · n) = x1+xn2
La varianza es:V (X ) = E [(X − E [X ])2] =
∑ni=1(xi − E [X ])2 · p(xi )
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Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuas
Distribucion uniforme
El valor esperado es:E [X ] =
∑ni=1 xi · p(xi ) = 1
n
∑ni=1 xi · = 1
n · (x1+xn
2 · n) = x1+xn2
La varianza es:V (X ) = E [(X − E [X ])2] =
∑ni=1(xi − E [X ])2 · p(xi )
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Distribucion uniforme - Ejercicio
Sea X una V.A. discreta con X ∈ {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}distribuida uniformemente. Su representacion grafica es:
Calcule su valor esperado, su varianza y grafique su funcionescalonada
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Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuas
Distribucion de Bernoulli
La distribucion de Bernoulli nos sirve para representar laprobabilidad de exito (p) y fracaso (q =1− p) de unexperimento aleatorio
Considere una V.A. X que indica si un evento se cumplio o noen una unica repeticion del experimento aleatorio
En este caso X se comporta con una distribucion de Bernoullicon parametro p (X = 1 en caso de exito, X = 0 en fracaso)
La funcion de probabilidad es P(X ) = px · (1− p)1−x , esdecir, P(X = 1) = p y P(X = 0) = q = 1− p
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Distribucion de Bernoulli
La distribucion de Bernoulli nos sirve para representar laprobabilidad de exito (p) y fracaso (q =1− p) de unexperimento aleatorio
Considere una V.A. X que indica si un evento se cumplio o noen una unica repeticion del experimento aleatorio
En este caso X se comporta con una distribucion de Bernoullicon parametro p (X = 1 en caso de exito, X = 0 en fracaso)
La funcion de probabilidad es P(X ) = px · (1− p)1−x , esdecir, P(X = 1) = p y P(X = 0) = q = 1− p
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Distribucion de Bernoulli
La distribucion de Bernoulli nos sirve para representar laprobabilidad de exito (p) y fracaso (q =1− p) de unexperimento aleatorio
Considere una V.A. X que indica si un evento se cumplio o noen una unica repeticion del experimento aleatorio
En este caso X se comporta con una distribucion de Bernoullicon parametro p (X = 1 en caso de exito, X = 0 en fracaso)
La funcion de probabilidad es P(X ) = px · (1− p)1−x , esdecir, P(X = 1) = p y P(X = 0) = q = 1− p
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Distribucion de Bernoulli
La distribucion de Bernoulli nos sirve para representar laprobabilidad de exito (p) y fracaso (q =1− p) de unexperimento aleatorio
Considere una V.A. X que indica si un evento se cumplio o noen una unica repeticion del experimento aleatorio
En este caso X se comporta con una distribucion de Bernoullicon parametro p (X = 1 en caso de exito, X = 0 en fracaso)
La funcion de probabilidad es P(X ) = px · (1− p)1−x , esdecir, P(X = 1) = p y P(X = 0) = q = 1− p
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Distribucion de Bernoulli
La esperanza matematica es: E [X ] =∑1
i=0 x = i · p(x = i) =0 · p(x = 0) + 1 · p(x = 1) = p(x = 1) = p
La varianza es:V (X ) = E [(X − E [X ])2] =
∑1i=0(x = i − E [X ])2 · p(x = i) =∑1
i=0(x = i − p)2 · p(x = i) = (0− p)2 · p(x =0)+(1−p)2·p(x = 1) = (0−p)2·(1−p)+(1−p)2·p = p·(1−p)
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Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuas
Distribucion de Bernoulli
La esperanza matematica es: E [X ] =∑1
i=0 x = i · p(x = i) =0 · p(x = 0) + 1 · p(x = 1) = p(x = 1) = p
La varianza es:V (X ) = E [(X − E [X ])2] =
∑1i=0(x = i − E [X ])2 · p(x = i) =∑1
i=0(x = i − p)2 · p(x = i) = (0− p)2 · p(x =0)+(1−p)2·p(x = 1) = (0−p)2·(1−p)+(1−p)2·p = p·(1−p)
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Distribucion de Bernoulli - Ejemplo
Sea X una V.A. que indica si resulta cara en el lanzamientode una moneda “injusta” con 60% de posibilidades de caercara, entonces p = P(X = 1) = .6
Sea Y una V.A. que representa si cae un 3 al lanzar un dado“justo”, entonces p = P(Y = 1) = 1/6
Si Z es una V.A. que representa si el resultado es mayor de 3,p = P(Z = 1) = 1/2
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Distribucion de Bernoulli - Ejemplo
Sea X una V.A. que indica si resulta cara en el lanzamientode una moneda “injusta” con 60% de posibilidades de caercara, entonces p = P(X = 1) = .6
Sea Y una V.A. que representa si cae un 3 al lanzar un dado“justo”, entonces p = P(Y = 1) = 1/6
Si Z es una V.A. que representa si el resultado es mayor de 3,p = P(Z = 1) = 1/2
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Distribucion de Bernoulli - Ejemplo
Sea X una V.A. que indica si resulta cara en el lanzamientode una moneda “injusta” con 60% de posibilidades de caercara, entonces p = P(X = 1) = .6
Sea Y una V.A. que representa si cae un 3 al lanzar un dado“justo”, entonces p = P(Y = 1) = 1/6
Si Z es una V.A. que representa si el resultado es mayor de 3,p = P(Z = 1) = 1/2
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Distribucion de Bernoulli
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Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valor esperado y varianza Distribuciones discretas Distribuciones continuas
Distribucion de Bernoulli - Ejercicio
Para los 3 ejemplos anteriores, calcule E (·), V (·) y grafique sufuncion p(·)
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Distribucion binomial
La distribucion binomial mide la probabilidad de un numero rde exitos en un conjunto de n repeticiones “independientes”de Bernoulli, e.g., P(X = r) donde 0 ≤ r ≤ n
Por ejemplo, la probabilidad de r caras al lanzar una monedan veces, o la probabilidad de que un coche siga avanzando enuna autopista o se detenga en un momento r determinado(asumiendo que cada intento corresponde a una unidad detiempo)
La probabilidad de exito es p y de fracaso q = 1− p
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Distribucion binomial
La distribucion binomial mide la probabilidad de un numero rde exitos en un conjunto de n repeticiones “independientes”de Bernoulli, e.g., P(X = r) donde 0 ≤ r ≤ n
Por ejemplo, la probabilidad de r caras al lanzar una monedan veces, o la probabilidad de que un coche siga avanzando enuna autopista o se detenga en un momento r determinado(asumiendo que cada intento corresponde a una unidad detiempo)
La probabilidad de exito es p y de fracaso q = 1− p
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Distribucion binomial
La distribucion binomial mide la probabilidad de un numero rde exitos en un conjunto de n repeticiones “independientes”de Bernoulli, e.g., P(X = r) donde 0 ≤ r ≤ n
Por ejemplo, la probabilidad de r caras al lanzar una monedan veces, o la probabilidad de que un coche siga avanzando enuna autopista o se detenga en un momento r determinado(asumiendo que cada intento corresponde a una unidad detiempo)
La probabilidad de exito es p y de fracaso q = 1− p
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Distribucion binomial
Para obtener P(X = r) suponga una sucesion de r resultadosexitosos y n − r fracasos (e.g., X1 = 1 ∧ X2 = 1 ∧ ... ∧ Xr = 1y Xr+1 = 0 ∧ Xr+2 = 0 ∧ ... ∧ Xn = 0). El ındice indica laposicion del experimento aleatorio en la secuencia
Ası, para esta situacionp1 ·p2 · ... ·pr ·(1−p)r+1 ·(1−p)r+2 · ... ·(1−p)n = pr (1−p)n−r
Como solo estamos interesados en la probabilidad de r exitos(sin importar el orden), entonces hay que calcular el numerode r combinaciones en n elementos:(
nr
)=
n!
r !(n − r)!
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Distribucion binomial
Para obtener P(X = r) suponga una sucesion de r resultadosexitosos y n − r fracasos (e.g., X1 = 1 ∧ X2 = 1 ∧ ... ∧ Xr = 1y Xr+1 = 0 ∧ Xr+2 = 0 ∧ ... ∧ Xn = 0). El ındice indica laposicion del experimento aleatorio en la secuencia
Ası, para esta situacionp1 ·p2 · ... ·pr ·(1−p)r+1 ·(1−p)r+2 · ... ·(1−p)n = pr (1−p)n−r
Como solo estamos interesados en la probabilidad de r exitos(sin importar el orden), entonces hay que calcular el numerode r combinaciones en n elementos:(
nr
)=
n!
r !(n − r)!
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Distribucion binomial
Para obtener P(X = r) suponga una sucesion de r resultadosexitosos y n − r fracasos (e.g., X1 = 1 ∧ X2 = 1 ∧ ... ∧ Xr = 1y Xr+1 = 0 ∧ Xr+2 = 0 ∧ ... ∧ Xn = 0). El ındice indica laposicion del experimento aleatorio en la secuencia
Ası, para esta situacionp1 ·p2 · ... ·pr ·(1−p)r+1 ·(1−p)r+2 · ... ·(1−p)n = pr (1−p)n−r
Como solo estamos interesados en la probabilidad de r exitos(sin importar el orden), entonces hay que calcular el numerode r combinaciones en n elementos:(
nr
)=
n!
r !(n − r)!
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Distribucion binomial
Como se tiene la probabilidad para una combinacionpr (1− p)n−r solo resta multiplicar por el total decombinaciones posibles:
n!
r !(n − r)!pr (1− p)n−r =
(nr
)pr (1− p)n−r
De esta manera, la funcion de probabilidad de la V.A. X con
distribucion binomial es P(X = r) =
(nr
)pr (1− p)n−r ,
0 ≤ r ≤ n
El valor esperado esta dado por np y la varianza por np(1− p)
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Distribucion binomial
Como se tiene la probabilidad para una combinacionpr (1− p)n−r solo resta multiplicar por el total decombinaciones posibles:
n!
r !(n − r)!pr (1− p)n−r =
(nr
)pr (1− p)n−r
De esta manera, la funcion de probabilidad de la V.A. X con
distribucion binomial es P(X = r) =
(nr
)pr (1− p)n−r ,
0 ≤ r ≤ n
El valor esperado esta dado por np y la varianza por np(1− p)
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Distribucion binomial
Como se tiene la probabilidad para una combinacionpr (1− p)n−r solo resta multiplicar por el total decombinaciones posibles:
n!
r !(n − r)!pr (1− p)n−r =
(nr
)pr (1− p)n−r
De esta manera, la funcion de probabilidad de la V.A. X con
distribucion binomial es P(X = r) =
(nr
)pr (1− p)n−r ,
0 ≤ r ≤ n
El valor esperado esta dado por np y la varianza por np(1− p)
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Distribucion binomial
Distribucion binomial para n = 20 y p = 0.1(rojo), p = 0.5(verde),p = 0.8(azul)
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Otras distribuciones
La distribucion geometrica permite calcular la probabilidad deun numero r de repeticiones antes del primer exito
La distribucion de Poisson calcula la probabilidad de queocurra un cierto evento r veces en un perıodo de tiempo (oespacio) determinado (e.g., el numero de piezas defectuosasen un dıa o las estrellas en un segmento particular del cielo)
Para estas distribuciones describe su funcion de probabilidad, elvalor esperado, su varianza y de un ejemplo
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Otras distribuciones
La distribucion geometrica permite calcular la probabilidad deun numero r de repeticiones antes del primer exito
La distribucion de Poisson calcula la probabilidad de queocurra un cierto evento r veces en un perıodo de tiempo (oespacio) determinado (e.g., el numero de piezas defectuosasen un dıa o las estrellas en un segmento particular del cielo)
Para estas distribuciones describe su funcion de probabilidad, elvalor esperado, su varianza y de un ejemplo
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Otras distribuciones
La distribucion geometrica permite calcular la probabilidad deun numero r de repeticiones antes del primer exito
La distribucion de Poisson calcula la probabilidad de queocurra un cierto evento r veces en un perıodo de tiempo (oespacio) determinado (e.g., el numero de piezas defectuosasen un dıa o las estrellas en un segmento particular del cielo)
Para estas distribuciones describe su funcion de probabilidad, elvalor esperado, su varianza y de un ejemplo
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Contenido
x Variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, valoresperado y varianza
x Distribuciones de probabilidad discretas
X Distribuciones de probabilidad continuas
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Distribucion normal
La distribucion normal, de Gauss, o Gaussiana es una de lasmas utilizadas en la literatura
Permite modelar multiples fenomenos en muchas areas de laciencia
Para una V.A. Y continua con distribucion normal, sudensidad de probabilidad esta dada por:
P(Y = y) =1
σ√
2πe−
12
( y−µσ
)2
donde µ es el valor esperado (o media) E [Y ] y σ =√
V (Y )es la desviacion estandar (o raız cuadrada de la varianza)
La distribucion normal frecuentemente se denota comoN (µ, σ)
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Distribucion normal
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Permite modelar multiples fenomenos en muchas areas de laciencia
Para una V.A. Y continua con distribucion normal, sudensidad de probabilidad esta dada por:
P(Y = y) =1
σ√
2πe−
12
( y−µσ
)2
donde µ es el valor esperado (o media) E [Y ] y σ =√
V (Y )es la desviacion estandar (o raız cuadrada de la varianza)
La distribucion normal frecuentemente se denota comoN (µ, σ)
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Distribucion normal
La distribucion normal, de Gauss, o Gaussiana es una de lasmas utilizadas en la literatura
Permite modelar multiples fenomenos en muchas areas de laciencia
Para una V.A. Y continua con distribucion normal, sudensidad de probabilidad esta dada por:
P(Y = y) =1
σ√
2πe−
12
( y−µσ
)2
donde µ es el valor esperado (o media) E [Y ] y σ =√
V (Y )es la desviacion estandar (o raız cuadrada de la varianza)
La distribucion normal frecuentemente se denota comoN (µ, σ)
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Distribucion normal
La distribucion normal, de Gauss, o Gaussiana es una de lasmas utilizadas en la literatura
Permite modelar multiples fenomenos en muchas areas de laciencia
Para una V.A. Y continua con distribucion normal, sudensidad de probabilidad esta dada por:
P(Y = y) =1
σ√
2πe−
12
( y−µσ
)2
donde µ es el valor esperado (o media) E [Y ] y σ =√
V (Y )es la desviacion estandar (o raız cuadrada de la varianza)
La distribucion normal frecuentemente se denota comoN (µ, σ)
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Distribucion normal
La distribucion normal, de Gauss, o Gaussiana es una de lasmas utilizadas en la literatura
Permite modelar multiples fenomenos en muchas areas de laciencia
Para una V.A. Y continua con distribucion normal, sudensidad de probabilidad esta dada por:
P(Y = y) =1
σ√
2πe−
12
( y−µσ
)2
donde µ es el valor esperado (o media) E [Y ] y σ =√
V (Y )es la desviacion estandar (o raız cuadrada de la varianza)
La distribucion normal frecuentemente se denota comoN (µ, σ)
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Distribucion normal
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Distribucion normal
Esta distribucion tiene diferentes propiedades interesantes:
Es simetrica con respecto a la mediaLos porcentajes de densidad son conocidos de acuerdo a ladesviacion estandardSi se realizan n experimentos aleatorios y se consideran losresultados de cada uno identificados con las V.A. Xi
independientes e identicamente distribuidas (e.g., por unadistribucion de Bernoulli), entonces
∑∀i xi ≈ N (µ, σ)
Describa un ejemplo de la utilidad de esta distribucion, comocalcular areas bajo la curva, su relacion con la distribucion estandar
normal y por que esta es util
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Es simetrica con respecto a la media
Los porcentajes de densidad son conocidos de acuerdo a ladesviacion estandardSi se realizan n experimentos aleatorios y se consideran losresultados de cada uno identificados con las V.A. Xi
independientes e identicamente distribuidas (e.g., por unadistribucion de Bernoulli), entonces
∑∀i xi ≈ N (µ, σ)
Describa un ejemplo de la utilidad de esta distribucion, comocalcular areas bajo la curva, su relacion con la distribucion estandar
normal y por que esta es util
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Distribucion normal
Esta distribucion tiene diferentes propiedades interesantes:
Es simetrica con respecto a la mediaLos porcentajes de densidad son conocidos de acuerdo a ladesviacion estandard
Si se realizan n experimentos aleatorios y se consideran losresultados de cada uno identificados con las V.A. Xi
independientes e identicamente distribuidas (e.g., por unadistribucion de Bernoulli), entonces
∑∀i xi ≈ N (µ, σ)
Describa un ejemplo de la utilidad de esta distribucion, comocalcular areas bajo la curva, su relacion con la distribucion estandar
normal y por que esta es util
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Es simetrica con respecto a la mediaLos porcentajes de densidad son conocidos de acuerdo a ladesviacion estandardSi se realizan n experimentos aleatorios y se consideran losresultados de cada uno identificados con las V.A. Xi
independientes e identicamente distribuidas (e.g., por unadistribucion de Bernoulli), entonces
∑∀i xi ≈ N (µ, σ)
Describa un ejemplo de la utilidad de esta distribucion, comocalcular areas bajo la curva, su relacion con la distribucion estandar
normal y por que esta es util
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