Primera clase Martes 14 de septiembre del 2010 De 12:00 a 13:30 horas

Linear algebra with applications. Third EditionW. Keith NicholsonPWS Publishing company

• Linear algebra. Lang

• Linear algebra. Jim Hefferon

• Linear algebra. Hoffman y Kunze

• Calculus. Apostol

• Applied mathematics. Olver y Shakiban

• Calculus of vector functions. Williamson, Crowell y Trotter

• Mathematics for physicists. Dennery y Krzywicki

• Mathematical methods in physics and engineering. Dettman

• Mathematical methods for physicists. Arfken

1. Sistemas de ecuaciones lineales

2. Álgebra de matrices

3. Determinantes

4. Geometría de los vectores

5. Espacios vectoriales

6. Valores propios y diagonalización

7. Transformaciones lineales

8. Espacios euclidianos

El Álgebra lineal es la rama de las

matemáticas que estudia los sistemas

de ecuaciones lineales, los vectores, los

espacios vectoriales, y las

transformaciones lineales entre los

espacios vectoriales.

• Los espacios vectoriales son fundamentales en las

matemáticas modernas; el Álgebra lineal es

ampliamente utilizada tanto en el álgebra abstracta

como en el análisis funcional.

• El Álgebra lineal tiene una representación concreta en

la Geometría Analítica.

• Tiene aplicaciones importantes y vastas en las ciencias

naturales y en las ciencias sociales, ya que muchos

modelos no lineales pueden ser aproximados por

modelos lineales.

La historia del Álgebra lineal moderna se

remonta a los años de 1843 y 1844. En 1843,

William Rowan Hamilton (quien inventó el

nombre “Vector”) descubrió los cuaterniones.

En 1844, Hermann Grassman publicó su libro

Die lineale Ausdehnungslehre. Arthur Cayley en

1857, introdujo las matrices (2x2), una de las

ideas fundamentales del Álgebra Lineal.

1.Soluciones y operaciones elementales

2.Eliminación gaussiana

3.Ecuaciones homogéneas

Si , , son números reales,

podemos formar la ecuación

a b c

ax by c

Si , , son números reales,

la ecuación

representa una línea recta.

a b c

ax by c

2 3 1x y

La ecuación

se llama ecuación lineal

en las variables y .

ax by c

x y

Las soluciones son todos los

pares de números , que

hacen verdadera la ecuación

x y

ax by c

Las soluciones son todos

los puntos que están

sobre la línea recta.

Para identificar la línea recta

la ponemos como

es la pendiente es la ordenada al origen

ax by c

y mxm

es la pendiente

es la ordenada al origen

m

y mx

tan

y mx

m

Si

, , y

son números reales,

podemos formar la ecuación

a b c d

ax by cz d

Si

, , y

son números reales,

la ecuación

representa un plano.

a b c d

ax by cz d

2 3 2x y z

La ecuación

se llama ecuación lineal

en las variables y .

ax by cz d

x y z

Las soluciones son todos los

tríos de números , , que

hacen verdadera la ecuación

x y z

ax by cz d

Las soluciones son todos

los puntos que están

sobre el plano.

2 2 2

El vector normal al plano es

, ,ˆ

y

es la al origen.

a b cn

a b c

dZ

c

ax by cz d

1 1 2 2

1 2 3

Una ecuación de la forma

...

es llamada ecuación lineal en las

variables , , ,..., .

Los coeficientes , , ,..., son

números reales y también es un

número real.

n n

n

a x a x a x b

n x x x x

a a a a

b

1 1 2 2

1 2 3

1 1 2 2

Dada una ecuación lineal

... ,

el conjunto de números

, , ,...,

es llamado una solución

de la ecuación si

...

n

a x a x a x b

s s s s

a s a s a s b

1 2 3

Una colección finita de ecuaciones

lineales en las variables

, , ,...,

se llama sistema de ecuaciones

lineales en dichas variables.

nx x x x

11 1 12 2 13 3 1 1

21 1 22 2 23 3 2 2

1 1 2 2 3 3

Sistema de ecuaciones lineales

...

es el número de incógnitas

n n

i i i in n i

m m m mn n m

a x a x a x a x b

n

es el número de ecuacionesm

Discusión

1 2 3El conjunto de números , , ,...,

es llamado una solución de un sistema

de ecuaciones si es solución de todas

y cada una de las ecuaciones del

sistema.

ns s s s

11 1 12 2 13 3 1 1

21 1 22 2 23 3 2 2

1 1 2 2 3 3

Sistema de ecuaciones lineales

...

es el número de incógnitas

n n

i i i in n i

m m m mn n m

a x a x a x a x b

n

es el número de ecuacionesm

1 2 3

* ¿En qué condiciones existe un conjunto de

números reales

, , ,...,

que satisfacen simultaneamente las ecuaciones?

* ¿Cómo encontramos dicha solución?

ns s s s

11 12 13 1 2 3

Dadas las constantes reales

, , , ..., y , , , ...,mn ma a a a b b b b

Verifica que

19 35 25 13

es una solución del sistema de ecuaciones

2 3 5

5 7 4 0

siendo (es decir, puede ser cualquier

número real)

x t y t z t

x y z

t t

R

19 35 25 13

es una solución del sistema de ecuaciones

2 3 5

5 7 4 0

x t y t z t

x y z

2 19 35 3 25 13 5

38 70 75 39

738

5

0 7 35 9 5

5

t t t

19 35 25 13

es una solución del sistema de ecuaciones

2 3 5

5 7 4 0

x t y t z t

x y z

5 19 35 7 25 13 4 0

95 175 175 91 4 0

0

0 0

9 175 17 155 9 4t t

t t t

t t

t

19 35 25 13

es una solución del sistema de ecuaciones

2 3 5

5 7 4 0

x t y t z t

x y z

1 2 1

1 1 2 1 2 1

1 2 1 1 2 1

con

, , ,

, ,

P P t P P t

x y x y t x x y y

x y x t x x y t y y

x x t x x y y t y y

L R

1 2 1

1 1 1 2 1 2 1 2 1

1 2 1 1 2 1 1 2 1

con

, , , , , ,

, , , ,

P P t P P t

x y z x y z t x x y y z z

x y z x t x x y t y y z t z z

x x t x x y y t y y z z t z z

L= R

1 2 1

1 2

con

donde , y son puntos en n

P P t P P t

P P P

L= R

R

3

0

30

3

Un plano en es el conjunto de puntos

,

donde es un punto en y y son

dos vectores no nulos y no paralelos en .

P sa tb s t

P a b

R

P= R

R

11 1 12 2 13 3 1 1

21 1 22 2 23 3 2 2

1 1 2 2 3 3

Sistema de ecuaciones lineales

...

es el número de incógnitas

n n

i i i in n i

m m m mn n m

a x a x a x a x b

n

es el número de ecuacionesm

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

Finalmente la cosa se reduce a tratar con los

coeficientes:

...

. . y

. .

...

n

m m mn m

a a a b

11 12 1

21 22 2

1 2

Esta es la matriz de coeficientes

del sistema de ecuaciones:

...

.

...

n

m m mn

a a a

1

2

Esta es la matriz de constantes del sistema:

.

m

b

11 12 1 1

21 22 2 2

31 32 3 3

1 2

Esta es la matriz aumentada

del sistema de ecuaciones:

...

. . .

...

n

m m mn m

a a a b

Dos sistemas de ecuaciones lineales

son equivalentes si tienen el mismo

conjunto de soluciones.

Se escribe una serie de sistemas,

cada uno de ellos equivalente al anterior.

Cada uno de estos sistemas tiene el mismo

conjunto de soluciones que el original.

El objetivo es terminar con un sistema

equi

valente que es sencillo de resolver.

Cada sistema en la serie es obtenido del

precedente mediante una manipulación

simple que no cambia el conjunto de soluciones.

Es obvio que el conjunto

2, 1

es una solución de este

sistema.

1

3

x y

1

3

1

2 4

x y

x

1

2 4

x y

x

1

3

x y

Es claro que el conjunto 2, 1 también

es solución del nuevo sistema.

Son sistemas equivalentes.

1

3

1

2 4

1

2

x y

x

x y

x

1

3

1

2 4

1

2

x y

x

x y

x

2 1

2

y

x

1

3

1

2 4

1

2

x y

x

x y

x

2 1

2

1

2

y

x

1

3

1

2 4

1

2

x y

x

x y

x

1 1 1

1 1 3

1 1 1

2 0 4

1 1 1

1 0 2

2 1

2

1

2

y

x

0 1 1

1 0 2

1. Intercambio de dos ecuaciones.

2. Multiplicar una ecuación por un número

diferente de cero.

3. Sumar un múltiplo de una ecuación

del sistema a otra ecuación diferente,

también del sistema.

Una operación elemental se

realiza en un sistema de

ecuaciones lineales.

El sistema de ecuaciones lineales

resultante tiene el mismo conjunto

de soluciones que el original, y los

sistemas son equivalentes.

Una operación elemental se realiza

en un sistema de ecuaciones lineales.

1. Intercambio de dos renglones.

2. Multiplicar un renglón por un número

diferente de cero.

3. Sumar un múltiplo de un renglón a un

renglón diferente.

2 3 1

3 4 2

x y

2 3 1

3 4 2

x y

2 3 1

3 4 2

2 3 1

3 4 2

x y

1 / 22 3 1 1 3 / 2 1 / 2

3 4 2 3 4 2R

2 3 1

3 4 2

x y

1

2

/ 2

/3

2 3 1 1 3 / 2 1 / 2

3 4 2 3 4 2

1 3 / 2 1 / 2

1 4 / 3 2 / 3

R

2 3 1

3 4 2

x y

1

2 2 2 1

/ 2

/3 :

2 3 1 1 3 / 2 1 / 2

3 4 2 3 4 2

1 3 / 2 1 / 21 3 / 2 1 / 2

0 4 / 3 3 / 2 2 / 3 1 / 21 4 / 3 2 / 3

R

R R R R

2 3 1

3 4 2

x y

1

2 2 2 1

/ 2

/3 :

2 3 1 1 3 / 2 1 / 2

3 4 2 3 4 2

1 3 / 2 1 / 21 3 / 2 1 / 2

0 4 / 3 3 / 2 2 / 3 1 / 21 4 / 3 2 / 3

1 3 / 2 1 / 2

0 1 / 6 7 / 6

R

R R R R

2 3 1

3 4 2

x y

1

2 2 2 1

2

/ 2

/3 :

6

2 3 1 1 3 / 2 1 / 2

3 4 2 3 4 2

1 3 / 2 1 / 21 3 / 2 1 / 2

0 4 / 3 3 / 2 2 / 3 1 / 21 4 / 3 2 / 3

1 3 / 2 1 / 2 1 3 / 2 1 / 2

0 1 / 6 7 / 6 0 1 7

R

R R R R

R

2 3 1

3 4 2

x y

1 1 23

:2

1 31 3 / 2 1 / 2 1 0 7

2 20 1 7

0 1 7

1 0 10

0 1 7

R R R

2 3 1

3 4 2

x y

1 1 23

:2

1 31 3 / 2 1 / 2 1 0 7

2 20 1 7

0 1 7

1 0 10

0 1 7

R R R

Una matriz se dice que está en forma de

renglones escalonados si:

1. Todas los renglones cero (que consisten

de puros ceros) están hasta abajo.

2. En cada renglón diferente de cero, el primer

elemento diferente de cero a partir de la

izquierda es un 1, llamado primer 1 de ese renglón.

3. Cada primer 1 está a la derecha de los

primeros 1´s de los renglones de arriba.

Una matriz se dice que está en forma reducida

de renglones escalonados, si aparte de los 3

puntos anteriores satisface también:

4. Cada primer 1 es el único elemento

diferente de cero en esa columna.

Una matriz se dice que está en forma reducida

de renglones escalonados, si satisface:

1. Todas los renglones cero (que consisten

de puros ceros) están hasta abajo.

2. En cada renglón diferente de cero, el primer

elemento diferente de cero a partir de la

izquierda es un 1, llamado primer 1 de ese renglón.

3. Cada primer 1 está a la derecha de los

primeros 1´s de los renglones de arriba.

4. Cada primer 1 es el único elemento diferente de

cero en esa columna.

Toda matriz puede ser llevada a

una forma escalonada (reducida)

mediante puras operaciones

elementales en sus renglones.

Toda matriz puede ser llevada a una forma

escalonada (reducida) mediante puras

operaciones elementales en sus renglones.

Existe un procedimiento, llamado algoritmo

gaussiano, para encontrar la forma escalonada.

Toda matriz puede ser llevada a una forma

escalonada (reducida) mediante puras

operaciones elementales en sus renglones.

Por tanto, la solución de un sistema de

ecuaciones lineales se "reduce" al de

encontrar la forma escalonada de la

matriz aumentada.

1. Si la matriz consiste de puros ceros, listo, ya está en forma

escalonada.

2. En cualquier otro caso, busca la primera columna desde la

izquierda que tiene un elemento diferente de cero

(llamemosle ),a y mueve el renglón que contiene ese elemento

hasta arriba.

13. Mutiplica ese renglón por para crear un primer 1.

4. Sustrayendo múltiplos de este renglón a los renglones de

abajo, haz todo elemento aba

a

jo de ese primer 1, cero.

Con esto se ha terminado con el primer renglón,

y en adelante, se trabajara sólo con los de abajo.

1. Si la matriz consiste de puros ceros, listo, ya está en forma escalonada.

2. En cualquier otro caso, busca la primera columna desde la izquierda

que tiene un elemento diferente de cero (llamemosle a), y mueve el

renglón que contiene ese elemento hasta arriba.

13. Mutiplica ese renglón por para crear un primer 1.

4. Sustrayendo múltiplos de este renglón a los renglones de abajo, haz

todo elemento a

a

bajo de ese primer 1, cero.

5. Repetir los pasos 1 a 4 en la matriz

que consiste de los renglones restantes.

1. Si la matriz consiste de puros ceros, listo, ya está en forma escalonada.

2. En cualquier otro caso, busca la primera columna desde la izquierda

que tiene un elemento diferente de cero (llamemosle a), y mueve el

renglón que contiene ese elemento hasta arriba.

13. Mutiplica ese renglón por para crear un primer 1.

4. Sustrayendo múltiplos de este renglón a los renglones de abajo, haz

todo elemento a

a

bajo de ese primer 1, cero.

1. Si la matriz consiste de puros ceros, listo, ya está en forma escalonada.

2. En cualquier otro caso, busca la primera columna desde la izquierda

que tiene un elemento diferente de cero (llamemosle a), y mueve el

renglón que contiene ese elemento hasta arriba.

13. Mutiplica ese renglón por para crear un primer 1.

4. Sustrayendo múltiplos de este renglón a los renglones de abajo, haz

todo elemento a

a

bajo de ese primer 1, cero.

5. Repetir los pasos 1 a 4 en la matriz que consiste de los renglones restantes.

El proceso se termina cuando ya no quedan renglones

o cuando los renglones que quedan son de puros ceros.

1 2 1 2

2 5 3 1

1 4 3 3

1. Si la matriz consiste de puros ceros,

listo, ya está en forma escalonada.

1 2 1 2

2 5 3 1

1 4 3 3

2. En cualquier otro caso, busca la primera columna desde la izquierda

que tiene un elemento diferente de cero (llamemosle ), y mueve el

renglón que contiene ese elemento hasta arriba.

a

1 2 1 2

2 5 3 1

1 4 3 3

13. Mutiplica ese renglón por para crear un primer 1.

a

1 2 1 2

2 5 3 1

1 4 3 3

4. Sustrayendo múltiplos de este renglón a los renglones

de abajo, haz todo elemento abajo de ese primer 1, cero.

2 2 1: 2

1 2 1 2 1 2 1 2

2 5 3 1 2 2 1 5 2 2 3 2 1 1 2 2

1 4 3 3 1 4 3 3

R R R

4. Sustrayendo múltiplos de este renglón a los renglones

de abajo, haz todo elemento abajo de ese primer 1, cero.

2 2 1: 2

1 2 1 2 1 2 1 2

2 5 3 1 2 2 1 5 2 2 3 2 1 1 2 2

1 4 3 3 1 4 3 3

1 2 1 2

0 1 1 3

1 4 3 3

R R R

4. Sustrayendo múltiplos de este renglón a los renglones

de abajo, haz todo elemento abajo de ese primer 1, cero.

3 3 1:

1 2 1 2 1 2 1 2

0 1 1 3 0 1 1 3

1 4 3 3 1 1 4 2 3 1 3 2

R R R

4. Sustrayendo múltiplos de este renglón a los renglones

de abajo, haz todo elemento abajo de ese primer 1, cero.

3 3 1:

1 2 1 2 1 2 1 2

0 1 1 3 0 1 1 3

1 4 3 3 1 1 4 2 3 1 3 2

1 2 1 2

0 1 1 3

0 2 2 1

R R R

4. Sustrayendo múltiplos de este renglón a los renglones

de abajo, haz todo elemento abajo de ese primer 1, cero.

3 3 1:

1 2 1 2 1 2 1 2

0 1 1 3 0 1 1 3

1 4 3 3 1 1 4 2 3 1 3 2

1 2 1 2

0 1 1 3

0 2 2 1

R R R

5. Repetir los pasos 1 a 4 en la matriz que consiste de los renglones restantes.

3 3 1: 2

1 2 1 2 1 2 1 2

0 1 1 3 0 1 1 3

0 2 2 1 0 2 0 2 2 1 2 2 1 1 2 3

R R R

4. Sustrayendo múltiplos de este renglón a los renglones

de abajo, haz todo elemento abajo de ese primer 1, cero.

3 3 1: 2

1 2 1 2 1 2 1 2

0 1 1 3 0 1 1 3

0 2 2 1 0 2 0 2 2 1 2 2 1 1 2 3

1 2 1 2

0 1 1 3

0 0 0 7

R R R

4. Sustrayendo múltiplos de este renglón a los renglones

de abajo, haz todo elemento abajo de ese primer 1, cero.

3 3 1

3

: 2

7

1 2 1 2 1 2 1 2

0 1 1 3 0 1 1 3

0 2 2 1 0 2 0 2 2 1 2 2 1 1 2 3

1 2 1 2 1 2 1 2

0 1 1 3 0 1 1 3

0 0 0 7 0 0 0 1

R R R

R

3 3 1

3

: 2

7

1 2 1 2 1 2 1 2

0 1 1 3 0 1 1 3

0 2 2 1 0 2 0 2 2 1 2 2 1 1 2 3

1 2 1 2 1 2 1 2

0 1 1 3 0 1 1 3

0 0 0 7 0 0 0 1

R R R

R

El proceso se termina cuando ya no quedan renglones

o cuando los renglones que quedan son de puros ceros.

1 2 1 2

0 1 1 3

0 0 0 1

¿y ahora qué?

1 2 1 2

0 1 1 3

0 0 0 1

¿0 1?

1 2 1 2

0 1 1 3

0 0 0 1

El sistema NO tiene solución.

Cuando un sistema no tiene soluciónse dice que es inconsistente.

1 2 1 2

0 1 1 3

0 0 0 1

El sistema NO tiene solución.

Cuando un sistema no tiene soluciónse dice que es inconsistente.

Sistemas que tienen al menos

una solución se dice que son

consistentes.

La forma escalonada reducida de una matriz

está determinanda únicamente por .

A

La forma escalonada reducida de una matriz

está determinanda únicamente por .

No importa cuales hayan sido las operaciones

realizadas en los reglones, el resultado siempre

será el mismo.

La forma escalo

A

nada reducida es única.

En contraste, esto no sucede en el caso de la

forma escalonada: Una serie de operaciones

diferentes en la misma matriz nos llevará

a diferentes matrices escalonadas.

A

Sin embargo, el número de primeros 1´s

es el mismo en todas estas formas

escalonadas.

El número de primeros 1´s depende sólo

de y no de la manera en que es

llevada a la forma escalonada.

A A

Si una matriz es llevada a una forma

escalonada mediante operaciones

elementales en sus renglones, el número

de primeros 1´s en es el rango de ,

y se denota rank .

A

R

R A

A

Supongamos un sistema de ecuaciones

lineales con incógnitas tiene una solución.

Si el rango de la matriz aumentada es , el

conjunto de soluciones involucra

exactamente parámetros.

m

n

r

n r

Para cualquier sistema de ecuaciones lineales

se tienen exactamente tres posibilidades:

1. No existe solución.

2. Existe una única solución. Esto sucede

cuando todas las variables son primeras.

3. Existe un número infinito de soluciones.

Esto sucede cuando hay al menos una variable

que no es primera, de tal que hay al menos un

parámetro involucrado.

11 1 12 2 13 3 1 1

21 1 22 2 23 3 2 2

1 1 2 2 3 3

Sistema de ecuaciones lineales

...

es el número de incognitas

n n

i i i in n i

m m m mn n m

a x a x a x a x b

n

es el número de ecuacionesm

1 2

Si

... 0

el sistema es homogeneomb b b

11 1 1 1

1 1

Sistema de ecuaciones lineales

...

n n

m mn n m

a x a x b

Solución trivial: 0 para todo

Solución no trivial: 0 pa

Un sistema homogéneo siempre tiene

una solución trivial

ra alguna i

i

x i

11 1 1

1 1

Sistema homogeneo

... 0

...

... 0

n n

m mn n

a x a x

Si un sistemas de ecuaciones lineales

homogéneo tiene más incógnitas que

ecuaciones, entonces existe una

solución no trivial. De hecho, existe

una cantidad infinita de ellas.

Hasta aquí llegue el martes 14 de septiembre del 2010 después de una clase de 1:30 horas

Segunda clase martes 21 de septiembre del 2010 de 12:30 a 14:00

1. Sistemas de ecuaciones lineales

2. Álgebra de matrices

3. Determinantes

4. Geometría de los vectores

5. Espacios vectoriales

6. Valores propios y diagonalización

7. Transformaciones lineales

8. Espacios euclidianos

1.Suma, multiplicación por un escalar y transposición

2.Multiplicación de matrices

3.Matrices inversas

4.Matrices elementales

11 12 1

21 22 2

1 2

Un arreglo de números complejos

...

.

...

es llamado una matriz en

La matriz tiene renglones y columnas

n

ij

m m mn

a a a

a

a a a

m n C

m n

11 12 1

21 22 2

1 2

...

.

...

1,2,..., 1,2,...,

es una matriz

n

m m mn

ij

a a a

a i m j n

m n

A

1

Un vector

.

es una matriz 1n

x

n

1

Un vector

,...,

es una matriz 1

nx x

n

0 0 ... 0

. =0 para t

Todos sus elemento

odo ,.

s son c

.

0 0 ...

ero

0

ija i j

11 12 1

21 22 2

1 2

...

. El orden de la matriz es

.

...

1,2,..., 1,2,.

Tiene el mismo número de renglones y de colum

..,

nas

n

n n nn

ij

a a a

n

a a a

a i n j n

11 12 13 14

21 22 23 24

31 32 33 34

41 42 43 44

Tiene 4 columnas, 4 renglones: 16

1, 2,3,4

elem

1,2,3

en s

,4

to

ij

a a a a

a i j

A

La matriz identidad está definida como

0 si y 1 para 1,...,

ij

ij ii

a n n

a i j a i n

A

1 0 ... 0

0 1 ... 0

.

0 0 ... 1

n

I

11 22 33

Sea una matriz cuadrada.

Los elementos

, , ,...,

constituyen los elementos de la diagonal.

ij

nn

a n n

a a a a

A

11

22

Sea una matriz cuadrada.

Se dice que es diagonal si todos los elementos

"fuera" de la diagonal son cero, es decir, 0 si

0 ... 0

.

0 0 ...

* Toda matriz di

ij

nn

a n n

a i j

a

A

agonal es simétrica

Sea una matriz cuadrada.

Se dice que es triangular si todos los elementos

"arriba ó abajo" de la diagonal son cero, es decir,

0 si

ó

0 si

ij

a n n

a i j

A

1 0 0 0 0

3 0 0 0

4 2 2 0 0

1 1 0 3 0

2 8 4 2

i

i i

Sea una matriz .

La matriz denotada como

tal que

es llam

Se intercambian ren

ada .

Se den

glones y

ota

columnas

.

ij

ji

ji ij

T

a m n

n m b

b a

transpuesta

A

B

A

1 11 0.5 1

0.5 21 2 0.5

1 0.5

T

A A

Una matriz es simétrica si es

igual a su transpuesta, es decir, si .

ij

T

a m n

A

A A

Hay lo mismo arriba y abajo de la diagonal

Una matriz es antisimétrica

si es igual al negativo de su transpuesta,

es decir, si .

ij

T

a m n

A

A A

ij

T

ij

T

A a

A A

A a

A A

Una matriz cuadrada es simétrica

si

Una matriz cuadrada es antisimétrica

si

Sea una matriz .

Su matriz conjugada es la que se obtiene

tomando el complejo conjugado de todos y

cada uno de los elementos.

Si

1, 2,..., 1, 2,...,

entonces

1, 2,...,

ij

a m n

a i m j n

a i m

A

A 1,2,...,j n

†

1,2,..., 1,2,...,

ij

ji

A

A a

A

a i n j n

A

La adjunta o transpuesta conjugada de una matriz

es la transpuesta y conjugada.

Se denota como

Si

entonces

† 0 3 11 3 2

1 10 1 3 1

3 3 23 2 1 0

1 11 1

2 0 1

ii i i

i i i ii i i

i ii

i ii i i

i

†1 1 2 1

2 1 1 1 0

1 0 2 1 2

i i i

i i

†A A

Una matriz es hermitiana ó autoadjunta,

si

†

ij

A

A a

La adjunta de una matriz cuadrada

es la transpuesta conjugada

*

†

1 1

1 1 1 1

T

i

i i

0 1 0

1 0 0

1 0

0 1

x y

z

i

Las matrices de Pauli:

†

ijA

A A

A

a

Una matriz es hermitiana ó autoa

- Las matric

La adjunta de una matriz cuadrada

es la transpu

es hermitianas ó autoadjuntas

son cuadradas

- La d

djun

iago

esta c

nal de

ta,

la

on

s

jug

mat

a

r

d

i

si

a

ces hermitianas

es real

†A A

Una matriz es antihermitiana, si

†

ij

A

A a

La adjunta de una matriz cuadrada

es la transpuesta conjugada

*

2 1

2 2 0

1 0

2 1 2 1

2 2 0 2 2 0

1 0 1 0

2 1 2 1 2 1

2 2 0 2 2 0 2 2 0

1 0 1 0 1 0

T

i

i i

i i i

†

ij

A

A a

A A

Una matriz es antihermitiana, si

- Las matrices antihermitianas

La adjunta de una matriz cuadra

son cuadradas

- Los elementos dia

da

es

gonale

la transpues

s de una mat

ta

ri

conjug

z

antih

ada

ermitiana son imaginarios puros

†

ij

T

A a

AA I

a

I

A

AA

A

Una matriz cuadrada es unitaria si

Una matriz cuadrada es

Una matriz real unitaria es ortogonal, ya q

ortogonal

ue

si

1 †

1

ij

T

A a

A A

A a

A A

Una matriz cuadrada es unitaria si

Una matriz cuadrada es ortogonal si

Dos matrices y son iguales si y sólo si:

1. Son del mismo tamaño

2. Los correspondientes elementos son todos

iguales

Se denota y también .

Tenemos para toda y .

ij ij

a b

a b i j

A B

•La suma de dos matrices

•Multiplicación de una matriz por un escalar

•Multiplicación de dos matrices

Solo se pueden sumar matrices de la misma

forma, es decir, que ambas sean .

Sean y dos matrices ,

la suma es

para todo ,

ij kl

ij ijij

m n

a b m n

a b

i j

A B

11 12 1 11 12 1

21 22 2 21 22 2

1 2 1 2

... ...

. .

... ...

n n

m m mn m m mn

a a a b b b

A B

11 11 12 12 1 1

21 21 22 22 2 2

1 1 2 2

...

.

...

n n

m m m m mn mn

a b a b a b

A + B

Si , y son matrices del mismo tamaño,

entonces

(conmutatividad)

+ (asociatividad)

A B C

A B B A

A B C A B C

Si es una matriz y

es la matriz cero ,

entonces

m n

A

0

A 0 A

Si es una matriz , su negativa

se obtiene multiplicando todos sus

elementos por 1.

Es decir,

Si entonces ij ij

m n

a a

A

A A

Si es una matriz

entonces

m n

A

A A 0

Si , son matrices del mismo tamaño,

entonces se define la diferencia como

A B

A B A B

Sea una matriz

y

un número real,

el producto se define como

para todo ,

ij

ijij

a m n

r

r ra

i j

A

11 12 1

21 22 2

1 2

...

.

...

1,2,..., 1,2,...,

n

m m mn

ij

ra ra ra

r

ra ra ra

r ra i m j n

A

Sea una matriz y .

Tenemos:

1. es una matriz .

2. 0

3.

m n r

r m n

r

A

A 0

0 0

R

Si , y son matrices , tenemos

1. (conmutatividad)

2. + (asociatividad)

3. Existe una matriz tal que para toda .

4. Para toda matriz exist

m n

A B C

A B B A

A B C A B C

0 0 A A A

A

e una matriz

tal que

5.

6.

7.

8. 1

m n

k k k

k p k p

kp k p

A

A A 0

A B A B

A A A

A A

Sea una matriz .

La matriz denotada como

tal que

es llam

Se intercambian

ada .

Se denota

renglones y columna

y

s

.

ij

ji

ji ij

T Tji

a m n

n m b

b a

transpuesta

a

A

B

A A

1 0.5 1

1 2 0.5

1 1

0.5 2

1 0.5

T

A

Sean y matrices y un escalar.

1. La matriz es

2.

3.

4.

T

TT

T T

T T T

m n k

n m

k k

A B

A

A A

A B A B

Una matriz es simétrica si es

igual a su transpuesta, es decir, si .

ij

T

a m n

A

A A

Hay lo mismo arriba y abajo de la diagonal

11 12 1 11 12 1

21 22 2 21 22 2

1 2 1 2

... ...

. .

... ...

n s

m m mn n n ns

a a a b b b

m n n s

A B

1

n

ij jkikj

a b

m s

AB

1

n

ij jkikj

a b

m s

AB

Multiplica cada elemento del renglón de

por el correspondiente elemento de la

columna de y suma los resultados.

i

j

A

B

1

n

ij jkikj

a b

m s

AB

La multiplicación no es conmutativa

El número de columnas del primer factor

debe ser igual al número de renglones del

segundo factor

1 2

3 1

1 2 0 2 ? ?

3 1 1 3 ? ?

2 ?1 2 0 2

3 11 3 ? ?

1 0 2 1 0 2 2

1 2 2 80 2

3 1 1 ? ?3

1 2 2 3 2 6 8

1 2 20

3 1 1 1

2 8

3 ?

3 0 1 1 0 1 1

1 2 0 2 8

1 1

2

3 1 3 9

3 2 1 3 6 3 9

1 2 0 2 2 8

3 1 1 3 1 9

2

1 3 1

0 2 1 6

3

0 1 2 3 0 6 6

0 2 2 2

1

1 6

1 3 3

0 2 2 1 0 2 2

0 2 2 6 21

3 11 3 8

1 1 3 3 1 9 8

0 2 1 6 2

33 8

2

1 1 1

1 2 3 1 2 3 1

0 2 1 2 6 2

1 3 3 1 8 1

0 2 1 2 6 2

1 3 3 1 8 1

1 2 0 2 2 8

3 1 1 3 1 9

1 2 0 2

3 1 1 3

0 2 1 2

1 3 3 1

¡La multiplicación de matricesno es conmutativa!

La multiplicación de matrices

no es conmutativa.

Es más, a veces puede existir

y no, y viceversa. A B B A

31 1 1 3 1 2

1 2 2 1 1 1

52

2

3 1 3 13 3 31 1

2 1 2 1

1 1

2

2 2

3 4 1 51 3

1 2 3 51 1

2 1 1

3 2 2 2 3 2

5

3 41 3

1 21 1

2 1

?

No se pueden multiplicarEl número de columnas del primer factor debe ser igual al número de renglones del segundo factor

1 11 0.5 1

0.5 21 2 0.5

1 0.5

1 1 0.5 0.5 1 1 1 1 0.5 2 1 0.5

1 1 2 0.5 0.5 1 1 1 2 2 0.5 0.5

2.25 2.5

2.5 5.25

2 3

3 2

2 2

1 1 2 2.5 1.51 0.5 1

0.5 2 2.5 4.25 1.51 2 0.5

1 0.5 1.5 1.5 1

3 2 2 3

.25

3 3

1

0

2

3

2

1

0

2

1

3

1

2

0

2

1

2

1

3

1

3

5

4

0

2

6

3

5

3

11

1

4

7

8

1

4

7

14

3

8

1

4 3 3 5 4 5

1

0

1

1 1 1( )

1

0

1

0

1

0

1

1 1 1( )

1

0

1

0( )

La matriz identidad está definida como

0 si y 1 para 1,...,

ij

ij ii

a n n

a i j a i n

A

1 0 ... 0

0 1 ... 0

.

0 0 ... 1

n

I

Si , , son matrices de tamaños tales que

la operaciones indicadas puedan ser realizadas

y es un escalar, tenemos

1.

2.

3. ,

4. ,

k

A B C

IA A BI B

A BC AB C

A B C AB AC A B C AB AC

B C A BA CA B C A BA CA

5.

6. T T T

k k k

AB A B A B

AB B A

0

Sea una matriz

Se pueden formar los productos

...

Si es un entero 1

...

Se define

m

n n

m

A

AA

AA A

A AA A

A I

Sean y matrices que pueden ser multiplicadas.

Entonces y pueden ser multiplicadas yT T

T T T

A B

B A

AB B A

11 1 12 2 13 3 1 1

21 1 22 2 23 3 2 2

1 1 2 2 3 3

Sistema de ecuaciones lineales

...

es el número de incógnitas

n n

i i i in n i

m m m mn n m

a x a x a x a x b

n

es el número de ecuacionesm

11 12 1 1 1

21 22 2 2 2

1 2

En términos de matrices el sistema

de ecuaciones se puede escribir

...

. . .

...

n

m m mn n n

a a a x b

11 12 1

21 22 2

1 2

Si

...

.

...

n

m m mn

a a a

A

1 1

2 2

. . y

. .

m m

x b

El sistema de ecuaciones se escribe

x bA

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

Si tenemos el sistema de ecuaciones lineales

la matriz aumentada es

...

.

...

n

m m mn m

x b

a a a b

A

B

El sistema de ecuaciones

homogéneo asociado es

0x A

1

0

1 0

Si es una solución particular

del sistema , y es una

solución del sistema homogéneo

asociado 0, entonces

es solución del sistema

.

x

x b x

x

x x

x b

A

1

2

2 0 1

0

Si es una solución particular

del sistema lineal , entonces

toda solución del sistema

tiene la forma

siendo cualquier solución del sistema

homogéneo asociado 0.

x

x b

x x b

x x x

x

A

1 1 4 4

1 2 5 2

1 1 2 0

x

y

z

1 1 4 4

1 2 5 2

1 1 2 0

2 1

3 1

3 22 2/3

1 1 4 4 1 1 4 4

1 2 5 2 0 3 9 6

1 1 2 0 1 1 2 0

1 1 4 4

0 3 9 6

0 2 6 4

1 1 4 4 1 1 4 4

0 1 3 2 0 1 3 2

0 2 6 4 0 0 0 0

R R

R RR

1 2

1 1 4 4 1 0 1 2

0 1 3 2 0 1 3 2

0 0 0 0 0 0 0 0

R R

1 0 1 22

0 1 3 2 3 2

0 0 0 0

x z

y z

22

2 33 2

2 1

2 3

0 1

x tx z

y ty z

z t

x

y t

z

1

3

2

10

x

y t

z

1 1 4 0

1 2 5 0

1 1 2 0

x

y

z

1

3

2

10

x

y t

z

1 1 4 1 0

1 2 5 3 0

1 1 2 1 0

1 3 4 0

1 6 5 0

1 3 2 0

2

0

1

3

1

x

y t

z

1 1 4 4

1 2 5 2

1 1 2 0

x

y

z

2

0

1

3

1

x

y t

z

1 1 4 2 4

1 2 5 2 2

1 1 2 0 0

2 2 0 4

2 4 0 2

2 2 0 0

2 1

2 3

0 1

x

y t

z

Gráfica

1 01 1 1 0 2

, , 2 10 1 3 1 0

5 8

Encuentra el elemento 3,1 de usando

exactamente seis multiplicaciones numéricas.

A B C

CAB

31

1 01 1 1 0 2

2 10 1 3 1 0

5 8

5 1 8 0 1 5 1 8 1 3

5 9 14

CAB

1 01 1 1 0 2

2 10 1 3 1 0

5 8

1 1 2 1 21 0 2

2 1 1 1 43 1 0

5 3 14 3 10

CAB

Siempre podemos ver a una matriz

como una columna de renglones

ó como un renglón de columnas.

m nA

1 2

1

2

1 2

Si , ,..., son los renglones de

y si , ,..., son sus columnas,

podemos escribir

. y ...

.

m

n

m

R R R

C C C

R

C C C

R

A

A A

1 1

2 2

1 2 1 2

Así que

. .

... ...

m m

n n

R R x

x x

R R x

y y C C C yC yC yC

A

Si las matrices y pueden ser

divididas en bloques compatibles,

el producto puede ser

calculado como una multiplicación

de matrices usando los bloques

como elementos.

A B

AB

Hasta aquí llegue el martes 21 de septiembre del 2010 después de dos clases de 1:30 horas

Tercera clase martes 28 de septiembre del 2010 de 12:30 a 14:00

1. Sistemas de ecuaciones lineales

2. Álgebra de matrices

3. Determinantes

4. Geometría de los vectores

5. Espacios vectoriales

6. Valores propios y diagonalización

7. Transformaciones lineales

8. Espacios euclidianos

11 1 12 2 13 3 1 1

21 1 22 2 23 3 2 2

1 1 2 2 3 3

Sistema de ecuaciones lineales

...

es el número de incognitas

n n

i i i in n i

m m m mn n m

a x a x a x a x b

n

es el número de ecuacionesm

11 12 1 1 1

21 22 2 2 2

1 2

En términos de matrices el sistema

de ecuaciones se puede escribir

...

. . .

...

n

m m mn m m

a a a x b

11 12 1

21 22 2

1 2

Si

...

.

...

n

m m mn

a a a

A

1 1

2 2

. . y

. .

m m

x b

El sistema de ecuaciones se escribe

x bA

1 1

1

x b

A

A A A

I A

A

1.Suma, multiplicación por un escalar y transposición

2.Multiplicación de matrices

3.Matrices inversas

4.Matrices elementales

Si es una matriz cuadrada,

una matriz es llamada la

inversa de si y sólo si

y

A

B

A

AB I BA I

Una matriz que tiene matriz inversa

es llamada matriz invertible.

Si es una matriz cuadrada, una matriz es llamada

la inversa de si y sólo si y A B

A AB I BA I

Si es una matriz cuadrada, una matriz es llamada

la inversa de si y sólo si y . A B

A AB I BA I

Hay matrices que no tienen inversa

Si la inversa existe, es única

1 1

1

x b

A

A A A

I A

A

Si es una matriz cuadrada invertible,

existe una secuencia de operaciones

elementales de los renglones que lleva

la matriz a la matriz identidad del

mismo tamaño, escribimos .

A

A I

1

Esta misma serie de operaciones en los

renglones lleva la matriz a .I A

Si es una matriz cuadrada invertible, existe una

secuencia de operaciones elementales de los

renglones que lleva la matriz a la matriz

identidad del mismo tamaño, escribimos .

A

I A I

1 1 0 1 0 0

3 0 2 0 1 0

1 0 1 0 0 1

12

3 1 3

3

/3

1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0

3 0 2 0 1 0 0 3 2 3 1 0

1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1

1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0

0 3 2 3 1 0 0 1 2 / 3 1 1 / 3 0

0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1

R R

R R R

3 2

33

1 1 0 1 0 0

0 1 2 / 3 1 1 / 3 0

0 1 1 1 0 1

1 1 0 1 0 0

0 1 2 / 3 1 1 / 3 0

0 0 1 / 3 0 1 / 3 1

1 1 0 1 0 0

0 1 2 / 3 1 1 / 3 0

0 0 1 0 1 3

R R

R

2 3 2 3

1 2

2 2

3 3

1 1 0 1 0 0

0 1 2 / 3 1 1 / 3 0

0 0 1 0 1 3

1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0

0 1 2 / 3 1 1 / 3 0 0 1 0 1 1 2

0 0 1 0 1 3 0 0 1 0 1 3

1 0 0 0 1 2

0 1 0 1 1 2

0 0 1 0 1 3

R R R R

R R

Sea una matriz .

es invertible o no singular si existe

una matriz de rango tal que

n

n n

A

B

AB = BA = I

La matriz se llama inversa de y se denota

Cuando existe la matriz inversa es única

1B A A

Sea una matriz . es invertible o no singular si existe una

matriz de rango tal que n

n n

A A

B AB = BA = I

1. Sistemas de ecuaciones lineales

2. Álgebra de matrices

3. Determinantes

4. Geometría de los vectores

5. Espacios vectoriales

6. Valores propios y diagonalización

7. Transformaciones lineales

8. Espacios euclidianos

Toda matriz cuadrada tiene asociado

un , que es un núdeterminant mero compl j .e e o

n n

11 12 1

21 22 2

1 2

El determinante de la matriz se escribe

...

.det

.

...

n

n n nn

a a a

A

a a a

A

,1

det sgn

La suma se calcula sobre todas las

permutaciones de los números

1,2,3,..., y sgn es 1 si la

permutación es par ó 1 si es impar.

n

i iS i

a

n

A

11 22 12 21

*Permutaciones del 1 y el 2: 1,2 , 2,1

así que

det a a a a A

,1

det sgn

La suma se calcula sobre todas las permutaciones

de los números 1,2,3,..., y sgn es 1 si la

permutación es par ó 1 si es impar.

n

i iS i

a

n

A

11 1211 21 21 12

21 22

En el caso de una matriz cuadrada 2 2

el determinante es el número complejo

deta a

a a a aa a

A A

1 3 1 3det

2 4 2 4

1 4 3 2 10

11 22 33 11 23 32 12 21 33 12 23 31 13 22 31 13 21 32

Permutaciones del 1, 2 y 3

1,2,3 , 1,3,2 , 2,1,3 , 2,3,1 , 3,2,1 , 3,1,2

así que

a a a a a a a a a a a a a a a a a a

,1

det sgn

La suma se calcula sobre todas las permutaciones

de los números 1,2,3,..., y sgn es 1 si la

permutación es par ó 1 si es impar.

n

i iS i

a

n

A

11 12 13

21 22 23

31 32 33

11 22 33 12 23 31 13 21 32

11 23 32 12 21 33 13 22 31

En el caso de una matriz cuadrada 3 3

el determinante es el número complejo

det

a a a

a a a a a a a a a

A A

5 3 3 5 3 3

3 1 0 det 3 1 0

4 2 3 4 2 3

5 3 3

3 1

5 3 3

3 1 0

0

4 2 3

Truco que solo sirve para matrices 3x3

1) Se duplican los renglones 1 y 2

5 3 3

3 1 015 185 1 3

3

3 0124 2 3

27 0 1

2 3 4

3 3 5 2 0 4 15 3 3

3 1 0

3 0

3 2

2) Se multiplican diagonalmente hacía abajo con signo +

y diagonalmente hacía arriba con signo -

1 0 2

4 1 5

1 1 2

1 0 2 1 0 2

4 1 5

4 3

det 4 1 5

2 3 2 2 3 2

1 0 2

4 1 5

2 3 2

2 24 0

0 15

2 2 0

4 0 2 1 3 5 2 1

5

4

2

33

1.- Si todos los elementos de una fila o de una columna de

una matriz son cero, entonces su determinante es cero

2.- Si todos los elementos de una fila o de una columna de

una matriz se multiplican por el mismo número , entonces

su determinante se multiplica por .

3.- Si una par de filas o de columnas de una matriz se

intercambian, el determinante cambia de signo

k

4.- Si una fila o una columna de una matriz es

proporcional a otra fila o a otra columna, el

determinante es cero.

5.- Si todos los elementos de una fila o de una

columna se pueden expresar como la suma de

dos términos, entonces el determinante puede

escribirse como la suma de dos determinantes,

cada uno de los cuales contiene uno de los

términos en la fila o columna correspondiente.

6.- Si a todos los elementos de una fila o de una columna

se le añade veces el elemento correspondiente de otra

fila o columna, el valor del determinante no cambia.

k

11 22 33

Si la matriz es triangular,

entonces

det ...

es decir, el determinante es el

producto de los elementos

diagonales.

nna a a a

A

Usando las propiedades 1 a 6 expuestas

arriba, se lleva la matriz original a una

forma triangular cuyo determinante es

el producto de los elementos de la

diagonal

1

Sea una matriz cuadrada .

Eligimos una fila, la ,

entonces

det 1

donde es el determinante de la matriz

que resulta de quitar la fila y la columna

ni j

ij ijj

ij

n n

i

a M

M

i j

A

11 12 1

21 22 2

1 2

...

.

...

n

ijij

m m mn

a a a

Ma

a a a

1

Sea una matriz cuadrada .

Eligimos una columna, la ,

entonces

det 1

donde es el determinante de la matriz

que resulta de quitar la fila y la columna

ni j

ij iji

ij

n n

j

a M

M

i j

A

5 3 3

3 1 0

4 2 3

1) Se escoge un renglón.

Elegimos el primero.

2) Se toman los elementos de ese renglón uno por uno.

Empecemos por el elemento 5.

3) Se crea un nuevo determinante quitando el renglón

y la colum

-1 0

2 3

na del elemento escogido, es decir

A este determinante se le llama menor

1 1

5 3 3

3 1 0

4 2 3

-1 0-1 5

2 3

Número de columna+Número de renglón

4) El determinante obtenido (el menor) se

multiplica por el elemento y se pone como

signo -1

En este caso

5 3 3

3 1 0

4 2 3

5) Se hace lo mismo con todos los

elementos del renglón escogido.

1 1 1 2 1 3

5 3 3

3 1 0

4 2 3

1 0 3 0 3 11 5 1 3 1 3

2 3 4 3 4 2

5 3 3 9 3 10 15 27 30 12

1 1 1 2

1 3 1 4

0 3 4 2

1 0 2 2

1 3 2 1

3 2 3 1

0 2 2 1 2 2

1 0 3 2 1 1 3 1 2 1

2 3 1 3 3 1

1 0 2 1 0 2

1 4 1 3 1 1 2 1 3 2

3 2 1 3 2 3

1 2 2 1 2 2 1 0 2

3 1 2 1 4 1 2 1 2 1 3 2

3 3 1 3 3 1 3 2 3

1 2 22 1 1 1 1 2

1 2 1 1 2 2 1 5 2 2 2 9 93 1 3 1 3 3

3 3 1

1 0 23 1 1 1 1 3

1 3 1 1 0 2 1 1 0 2 2 7 132 1 3 1 3 2

3 2 1

1 0 23 2 1 2 1 3

1 3 2 1 0 2 1 13 0 9 2 7 272 3 3 3 3 2

3 2 3

1 1 1 2

1 3 1 4

0 3 4 2

1 0 2 2

1 3 2 1

3 2 3 1

0 2 2 1 2 2

1 0 3 2 1 1 3 1 2 1

2 3 1 3 3 1

1 0 2 1 0 2

1 4 1 3 1 1 2 1 3 2

3 2 1 3 2 3

3 9 4 13 2 27 25

1. Sistemas de ecuaciones lineales

2. Álgebra de matrices

3. Determinantes

4. Geometría de los vectores

5. Espacios vectoriales

6. Valores propios y diagonalización

7. Transformaciones lineales

8. Espacios euclidianos

Un espacio vectorial es un conjunto en el que hay definidas

dos operaciones:

suma + y multiplicación por un escalar.

* Es cerrado respecto a las dos operaciones

* Existe el 0 respecto a la suma

* Exi

V

ste el inverso respecto a la suma

* Las operaciones son asociativas y distributivas

Un espacio vectorial es un conjunto no vacío ,

en el que hay definidas dos operaciones, suma

y multiplicación por un escalar.

El conjunto es un espacio vectorial si:

V

Axioma de cerradura bajo la suma:

Axioma 1. Para cualesquiera dos elementos y en

corresponde un único elemento en llamado la suma

y denotado como

x y V

V

x y

Axioma de cerradura bajo la multiplicación por un real:

Axioma 2. Para cualquier elementos en y para

cualquier escalar corresponde un único elemento

en llamado el producto de por y denotado

x V

a

V a x como ax

Un espacio vectorial es un conjunto no vacío ,

en el que hay definidas dos operaciones, suma

y multiplicación por un escalar.

El conjunto es un espacio vectorial si:

V

Axioma 3. Conmutatividad de la suma

Para todos y en se tiene

x y V

x y y x

Un espacio vectorial es un conjunto no vacío ,

en el que hay definidas dos operaciones, suma

y multiplicación por un escalar.

El conjunto es un espacio vectorial si:

V

Axioma 4. Asociatividad de la suma

Para todos , y en se tiene

x y z V

x y z x y z

Un espacio vectorial es un conjunto no vacío ,

en el que hay definidas dos operaciones, suma

y multiplicación por un escalar.

El conjunto es un espacio vectorial si:

V

Axioma 5. Existencia del elemento 0

Hay un elemento en , denotado por 0, tal que

0 para todo en

V

x x x V

Un espacio vectorial es un conjunto no vacío ,

en el que hay definidas dos operaciones, suma

y multiplicación por un escalar.

El conjunto es un espacio vectorial si:

V

Axioma 6. Existencia del negativo

Para todo elemento en , el elemento 1 tiene la

propiedad

1 0

x V x

x x

Un espacio vectorial es un conjunto no vacío ,

en el que hay definidas dos operaciones, suma

y multiplicación por un escalar.

El conjunto es un espacio vectorial si:

V

Axioma 7. Asociatividad en la multiplicación por

un escalar

Para todo en y para todos los escalares

y , se tiene

x V

a b

a bx ab x

Un espacio vectorial es un conjunto no vacío ,

en el que hay definidas dos operaciones, suma

y multiplicación por un escalar.

El conjunto es un espacio vectorial si:

V

Axioma 8. Distributividad en la multiplicación por un

escalar respecto a la suma en

Para todo y en y para todo escalar , se tiene

V

x y V a

a x y ax ay

Un espacio vectorial es un conjunto no vacío ,

en el que hay definidas dos operaciones, suma

y multiplicación por un escalar.

El conjunto es un espacio vectorial si:

V

Axioma 9. Distributividad en la adición de escalares

Para todo en y para todos los escalares y ,

se tiene

x V a b

a b x ax bx

Un espacio vectorial es un conjunto no vacío ,

en el que hay definidas dos operaciones, suma

y multiplicación por un escalar.

El conjunto es un espacio vectorial si:

V

Axioma 10. Existencia de la identidad

Para todo en , se tiene 1x V x x

Un espacio vectorial es un conjunto no vacío ,

en el que hay definidas dos operaciones, suma

y multiplicación por un escalar.

El conjunto es un espacio vectorial si:

V

• Espacios vectoriales reales

• Espacio vectoriales complejos

A los números utilizados como multiplicadores se les denomina escalares. A los escalares los denotaremos por letras itálicas

A los elementos del espacio vectorial les llamaremos genéricamente vectores. A los vectores los denotaremos por letras itálicas con flecha arriba

Sea el conjunto de todas las -adas de números reales.n nR

1 2 1 2

1 1 2 2 3

Para cualesquiera dos elementos

, ,..., y , ,..., de

definimos la suma como la -ada

, ,..., .

nn n

n

x x x x y y y y

x y n

x y x y x y x y

R

1 2

Para cualquier número real

y para cualquier -ada , ,..., de

definimos el producto por un número real

como la -ada

, ,...,

nn

n

r

n x x x x

rx

n

rx rx rx rx

R

1)

2)

3)

4)

5) 0

6) 1 0

7)

8)

9)

10) 1

n

x y

rx

x y y x

x y z x y z

x x

r sx rs x

rx ry r x y

rx sx r s x

x x

R

: , continua

Matrices

nR

V f a b R f

M m n m n

Sea el conjunto de funciones continuas definidas en el

intervalo , .

: , es continua en el intervalo

La suma y la multiplicación por un escalar son las usuales,

y ante bajo esas operaciones las

V

a b

V f a b R f

funciones siguen siendo

continuas, así que el conjunto es cerrado ante ambas

operaciones.

Las demás propiedades son triviales.

El conjunto de matrices de un tamaño dado,

con componentes en los complejos ,

es un espacio vectorial

Matm n

C

El cero 0 es único

El negativo, denotado como , es único

0 0

Si 0 entonces 0 ó 0

Si y 0, entonces

v

r

r v rv r v

rv r v

rv ru r v u

rv sv v r s

v

1

2 , 3 , y en general n

i

u v u v u

v v v v v v v v nv

1. Sistemas de ecuaciones lineales

2. Álgebra de matrices

3. Determinantes

4. Geometría de los vectores

5. Espacios vectoriales

6. Valores propios y diagonalización

7. Transformaciones lineales

8. Espacios euclidianos

Un espacio vectorial es un conjunto en el que hay definidas

dos operaciones:

suma + y multiplicación por un escalar.

* Es cerrado respecto a las dos operaciones

* Existe el 0 respecto a la suma

* Exi

V

ste el inverso respecto a la suma

* Las operaciones son asociativas y distributivas

Un espacio vectorial es un conjunto no vacío ,

en el que hay definidas dos operaciones, suma

y multiplicación por un escalar.

El conjunto es un espacio vectorial si:

V

Axioma de cerradura bajo la suma:

Axioma 1. Para cualesquiera dos elementos y en

corresponde un único elemento en llamado la suma

y denotado como

x y V

V

x y

Axioma de cerradura bajo la multiplicación por un real:

Axioma 2. Para cualquier elementos en y para

cualquier escalar corresponde un único elemento

en llamado el producto de por y denotado

x V

a

V a x como ax

Un espacio vectorial es un conjunto no vacío ,

en el que hay definidas dos operaciones, suma

y multiplicación por un escalar.

El conjunto es un espacio vectorial si:

V

Axioma 3. Conmutatividad de la suma

Para todos y en se tiene

x y V

x y y x

Un espacio vectorial es un conjunto no vacío ,

en el que hay definidas dos operaciones, suma

y multiplicación por un escalar.

El conjunto es un espacio vectorial si:

V

Axioma 4. Asociatividad de la suma

Para todos , y en se tiene

x y z V

x y z x y z

Un espacio vectorial es un conjunto no vacío ,

en el que hay definidas dos operaciones, suma

y multiplicación por un escalar.

El conjunto es un espacio vectorial si:

V

Axioma 5. Existencia del elemento 0

Hay un elemento en , denotado por 0, tal que

0 para todo en

V

x x x V

Un espacio vectorial es un conjunto no vacío ,

en el que hay definidas dos operaciones, suma

y multiplicación por un escalar.

El conjunto es un espacio vectorial si:

V

Axioma 6. Existencia del negativo

Para todo elemento en , el elemento 1 tiene la

propiedad

1 0

x V x

x x

Un espacio vectorial es un conjunto no vacío ,

en el que hay definidas dos operaciones, suma

y multiplicación por un escalar.

El conjunto es un espacio vectorial si:

V

Axioma 7. Asociatividad en la multiplicación por

un escalar

Para todo en y para todos los escalares

y , se tiene

x V

a b

a bx ab x

Un espacio vectorial es un conjunto no vacío ,

en el que hay definidas dos operaciones, suma

y multiplicación por un escalar.

El conjunto es un espacio vectorial si:

V

Axioma 8. Distributividad en la multiplicación por un

escalar respecto a la suma en

Para todo y en y para todo escalar , se tiene

V

x y V a

a x y ax ay

Un espacio vectorial es un conjunto no vacío ,

en el que hay definidas dos operaciones, suma

y multiplicación por un escalar.

El conjunto es un espacio vectorial si:

V

Axioma 9. Distributividad en la adición de escalares

Para todo en y para todos los escalares y ,

se tiene

x V a b

a b x ax bx

Un espacio vectorial es un conjunto no vacío ,

en el que hay definidas dos operaciones, suma

y multiplicación por un escalar.

El conjunto es un espacio vectorial si:

V

Axioma 10. Existencia de la identidad

Para todo en , se tiene 1x V x x

Un espacio vectorial es un conjunto no vacío ,

en el que hay definidas dos operaciones, suma

y multiplicación por un escalar.

El conjunto es un espacio vectorial si:

V

• Espacios vectoriales reales

• Espacio vectoriales complejos

A los números utilizados como multiplicadores se les denomina escalares. A los escalares los denotaremos por letras itálicas

A los elementos del espacio vectorial les llamaremos genéricamente vectores. A los vectores los denotaremos por letras itálicas con flecha arriba

a

b

a b

a

b

a b

a

b

a b

El producto del escalar por el vector es

Es un vector cuya longitud es ,

tiene la misma dirección que ,

y el sentido es el de si >0

y el inverso que si 0

a

a a

Un conjunto

1,2,...,

de elementos de un espacio vectorial

es llamado independiente si cualquier

combinación lineal igual a cero implica

que todos los coeficientes son cero.

iS x i k

V

1

Es decir, si

0

entonces necesariamente

0 para toda .

k

i ii

i

c x

c i

1 2

Un conjunto de elementos de un espacio

vectorial es llamado dependiente si hay

un conjunto de elementos diferentes en ,

, ,...,

y un correspondiente conjunto de escalares

, ,...,

no todo

k

S

V

S

x x x

c c c

1

s cero, tales que

0k

i ii

c x

1 2

Un conjunto de elementos de un espacio vectorial es llamado

dependiente si hay un conjunto de elementos diferentes en ,

, ,..., y un correspondiente conjunto de escalares

, ,..., no t

k

S V

S

x x x

c c c

1

odos cero, tales que 0k

i ii

c x

1

Sea 0, entonces

1

j

k

j i iiji j

c

x c xc

1

1 2

Un conjunto de elementos de un

espacio vectorial es llamado

independiente si no es dependiente.

Es decir, 0

implica que

... 0

k

i ii

k

S

V

c x

c c c

2Sea el espacio vectorial

¿Cómo es,

dependiente o independiente,

el conjunto 1,1 , 1,1 ?

V R

1,1 1,1 0,0a b

2Sea el espacio vectorial

¿Cómo es, dependiente o independiente, el

conjunto 1,1 , 1,1 ?

V R

1,1 1,1 0,0

0

a b

2Sea el espacio vectorial

¿Cómo es, dependiente o independiente, el

conjunto 1,1 , 1,1 ?

V R

0

Unica solución:

0 y 0

a b

1,1 1,1 0,0

0

0 y 0

a b

2Sea el espacio vectorial

¿Cómo es, dependiente o independiente, el

conjunto 1,1 , 1,1 ?

V R

2Sea el espacio vectorial

¿Cómo es, dependiente o independiente, el

conjunto 1,1 , 1,1 ?

linealmente independSo ie s n nte

V R

No hay forma de que una combinación lineal de ellos de cero

3Sea el espacio vectorial

¿Cómo es, dependiente o independiente,

el conjunto 1,0,0 , 0,1,0 , 0,0,1 ?

V R

1) Tomamos una combinación lineal y la

igualamos a cero

1,0,0 0,1,0 0,0,1 0 0,0,0a b c

3Sea el espacio vectorial

¿Cómo es, dependiente o independiente, el

conjunto 1,0,0 , 0,1,0 , 0,0,1 ?

V R

3Sea el espacio vectorial

¿Cómo es, dependiente o independiente, el

conjunto 1,0,0 , 0,1,0 , 0,0,1 ?

V R

1) Tomamos una combinación lineal y la

igualamos a cero

1,

¿Eso

0,0 0,1,0 0,0,1 0 0,0,0

qué implica?

, , 0,0,0a b c

a b c

3Sea el espacio vectorial

¿Cómo es, dependiente o independiente, el

conjunto 1,0,0 , 0,1,0 , 0,0,1 ?

V R

1) Tomamos una combinación lineal y la

igualamos a cero

1,0,0 0,1,0 0,0,1 0 0,0,0

¿Eso qué implica? , , 0,0,

Por tanto, a fuerza 0, 0, 0

0

a b c

El conjunto

1,0,0 , 0,1,0 , 0,0,1

es linealmente INDEPENDIENTE

3Sea el espacio vectorial

¿Cómo es, dependiente o independiente, el

conjunto 1,0,0 , 0,1,0 , 0,0,1 ?

V R

3Sea el espacio vectorial

El conjunto 1,0,0 , 0,1,0 , 0,0,1

es linealmente independiente

V R

No hay forma, sin hacerlos cero, que una combinación lineal de ellos se anule

Sea el espacio vectorial de funciones continuas

definidas en el intervalo , .

: , es continua

Demostrar que las funciones

sin ,sin 2 ,sin3 ,...,sin

son linealmente independientes para todo

V

V f R f

t t t nt

n

1

Sea el espacio vectorial de funciones continuas

definidas en el intervalo , .

Demostrar que las funciones sin ,sin 2 ,sin 3 ,...,sin

son linealmente independientes para todo 1

V

t t t nt

n

1

sin 0 ¿ ?n

k kk

a kt a

1

sin 0n

kk

a kt

1

sin 0

sin sin 0

n

kk

n

kk

a kt

lt a kt l n

1

sin 0

sin sin 0

n

kk

n

kk

n

kk

a kt

lt a kt l n

a lt kt l n

1

sin 0

sin sin 0

n

kk

n

kk

n

kk

n

kk

a kt

lt a kt l n

a lt kt l n

a lt kt dt l n

1

sin 0

sin sin 0

n

kk

n

kk

n

kk

n

kk

n

kk

a kt

lt a kt l n

a lt kt l n

a lt kt dt l n

a dt lt kt l n

Si

sin sin

1cos s

c

in

1cos sin cos sin

1osc sos s coin

k l

lt kt dt

dlt kt dt

l dtd

lt kt lt kt dtl dt

klt lkt t t

lkt

ld

cos cos

1sin cos

1 1sin cos sin cos

1sin cos sin sin

lt kt dt

dlt kt dt

l dtd

lt kt lt kt dtl l dt

klt kt lt kt dt

l l

2

2 2

sin sin

1cos sin sin cos sin sin

Por lo tanto,

11 sin sin cos sin sin cos

lt kt dt

k klt kt lt kt lt kt dt

l l l

k klt kt dt lt kt lt kt

l l l

cos cos

1cos cos sin cos sin

1sin s

sin

in cos sin lt kt dtk

lt kt dt l

klt kt dt lt kt lt kt dt

l l

t ktl l

2

2 2

1cos sin sin cos

sin sin1 /

Por tanto, si

cos sin sin cossin sin

l lt kt k lt ktlt

klt kt lt kt

l llt kt dtk l

k

ktk l

l

dt

2

2 2

11 sin sin cos sin sin cos

k klt kt dt lt kt lt kt

l l l

2 2

sin sin

cos sin sin cos

lt kt dt

l lt kt k lt kt

k l

l l k k l k

k ll l k k l k

k l

2 2

cos sin sin cossin sin

l lt kt k lt ktlt kt dt

k l

2 2

sin sin

cos sin sin cos

lt kt dt

l l k k l k

k ll l k k l k

k l

2 2

1

sin sin

cos sin sin cos2

Como

sin 0 y cos 1

para entero,

sin sin 0

k

lt kt dt

l l k k l k

k l

k k

k

lt kt dt

2

Si

sin

1cos sin

1cos sin cos sin

1cos sin cos cos

k l

kt dt

dkt kt dt

k dtd

kt kt kt kt dtk dt

kt kt kt kt dtk

2 2

2

Si

1sin cos sin cos

1cos sin sin

1sin cos sin

2 2

k l

kt dt kt kt kt dtk

kt kt dt kt dtk

tkt dt kt kt

k

2

1sin cos sin

2 2

1cos sin

2 2 2 2

Por tanto,

sin

kt dt k kk

k kk

kt dt

2 1sin cos sin

2 2

tkt dt kt kt

k

sin sin

, enteros mayores o iguales a 1

kllt kt dt

k l

Delta de Kronecker:

1 si

0 si

kl

k l

1

sin 0

sin sin 0

n

kk

n

kk

n

kk

n

kk

n

kk

a kt

lt a kt l n

a lt kt l n

a lt kt dt l n

a dt lt kt l n

1

sin 0

sin sin 0

sin sin

n

kk

n

kk

kl

a kt

a dt lt kt l n

dt lt kt

1

sin 0

sin sin 0

sin sin

0

n

kk

n

kk

kl

n

k klk

a kt

a dt lt kt l n

dt lt kt

a l n

1

sin 0

sin sin 0

sin sin

0

n

kk

n

kk

kl

n

k klk

l

a kt

a dt lt kt l n

dt lt kt

a l n

1

sin 0

sin sin 0

sin sin

0

n

kk

n

kk

kl

n

k klk

l

a kt

a dt lt kt l n

dt lt kt

a l n

Sea el espacio vectorial de funciones continuas

definidas en el intervalo , .

: , es continua

Las funciones

sin ,sin 2 ,sin3 ,.

son linealmente indep

..,si

endie

n

para nt te ds o o 1

V

V f R f

t t t nt

n

¿Cómo es el conjunto 2,3 , 1, 1 ?

2,3 1, 1 0,0

2 1,3 0,0

2 0

3 0

Solución al sistema:

2 12 3 1 0

3 1

La única solución e

ES LINEALMENTE INDEPEN

s

D TE

0

IEN

r s

r r s

r s

¿Cómo es el conjunto ,3,0 , , 1,2 , 2, 2 ,4 ?

,3,0 , 1,2 2, 2 ,4 0,0,0

2 ,3 2 ,2 4 0,0

2 0

3 2 0

2 4 0

i i i i

a i b i c i i

ia ib c a b ic b ic

ia ib c

a b ic

b ic

2 0

3 2 0

2 4 0

2

3 1 2

0 2 4

21 2 3 2 3 1

3 1 2 22 4 0 4 0 2

0 2 4

0 12 2 6 0 12 12 0

ia ib c

a b ic

b ic

i i

i

i ii i

i i ii i

i

i i i

2 0

3 2 0

2 4 0

Ya sabemos que el sistema de ecuaciones

tiene soluciones diferentes de la trivial,

por lo tanto, el conjunto

,3,0 , , 1,2 , 2, 2 ,4

LINEALMENTE DEPes ENDIE NTE

ia ib c

a b ic

b ic

i i i i

32

1

,2 3 1 2 2

2 1 1 2

3 1 2 3 1 2

0 2 4 0 2 4

1 1 2 1 1 2

0 2 4 0 1 2

R i

RRR R

i i i

i i

2 0

3 2 0

2 4 0

ia ib c

a b ic

b ic

3 2 1 2

2 1 1 2

3 1 2 0 1 2

0 2 4 0 1 2

1 1 2 1 0 0

0 1 2 0 1 2

0 0 0 0 0 0

R R R R

i i i

i i

i

i i

2 0

3 2 0

2 4 0

ia ib c

a b ic

b ic

2 0 1 0 0

3 2 0 0 1 2

2 4 0 0 0 0

0

2 0

0

0 2

0

ia ib c

a b ic i

b ic

a

b ic

a b ic

2 3 4

Sea el espacio vectorial de funciones

continuas en . Es decir,

: es continua

El conjunto

1, , , , ,..., 1

es linealmente independiente

n

V

R

V f R R f

x x x x x n

Dado un conjunto 1,2,...,

de elementos de un espacio vectorial ,

al conjunto de vectores que se obtienen

como combinaciones lineales de los

elementos de se le llama espacio

generado por .

iS x i k

V

S

1

1,2,...,i

k

i ii

S x i k V

v V v a x

2¿Qué espacio genera el conjunto 1,1 en ?R

Una base de un espacio vectorial es

un conjunto de vectores linealmente

independientes que genera el espacio.

Es decir, todo elemento del

espacio vectorial se puede

escribir como una combinación

lineal de los elementos de la base.

1 2

1

2

ˆ ˆ ˆAl conjunto de vectores , ,...,

definidos como

ˆ 1,0,0,...,0

ˆ 0,1,0,0,...,0

.

ˆ 0,0,0,...,1

se le llama base natural de ,

ya que todo vector se puede representar de manera única como

n

e e e

e

x x

R

1 1 2 2ˆ ˆ ˆ... n ne x e x e

La dimensión de un espacio

vectorial es el número de

elementos en cualquiera de

sus bases.

•Un espacio vectorial tiene dimensión

finita si tiene una base con un número

finito de vectores.

•En un espacio de dimensión finita

todas las bases tienen el mismo

número de elementos.

Sea un subconjunto no vacío

de un espacio vectorial .

Si es también un espacio

vectorial con las mismas

operaciones de suma y de

multiplicación por un escalar,

entonces es un subespacio de

S

V

S

S V

Teorema

Sea un subconjunto no vacío

de un espacio vectorial .

Entonces es un subespacio de

si y sólo si satisface los

axiomas de cerradura.

S

V

S

V S

,

V

x y

V

Sea un espacio vectorial sobre los

complejos.

Se dice que tiene un producto escalar

ó producto interno ó producto punto,

si para cualesquiera dos elementos

en se asocia un número complejo

único , .x y

, ,

,

, ,

x y V x y

x y z V

c

x y y x

en se asocia un número complejo único .

Esta asignación tiene las siguientes propiedades:

Para cualesquiera

y para cualquier escalar

1)

C

2) , , ,

3) , ,

4) , 0 0

x y z x y x z

cx y c x y

x x x

Simetría hermitiana

Distributividad o linealidad

Asociatividad o homogeneidad

si Positividad

Un espacio vectorial real que tiene definido un producto escalar es llamado

ESPACIO EUCLIDIANO REAL

Un espacio vectorial complejo que tiene definido un producto escalar es llamado

ESPACIO EUCLIDIANO COMPLEJO O ESPACIO UNITARIO

Normalmente se dice

ESPACIO EUCLIDIANO

y punto, independientemente del campo sobre el cual esté definido.

El espacio vectorial con el producto punto

usual, es un espacio euclidiano

nR

1

,

Es obvio que este producto escalar satisface las

condiciones necesarias. Haganlo como ejercicio.

n

i ii

x y R

x y x y x y

Si llamamos al ángulo que hacen los vectores

y ,

se define el producto escalar (interno ó punto)

como

cos cos

a b

a b a b ab

a

b

Lo podemos ver como

cos cos

Es la proyección de uno de los dos en el otro,

por la magnitud de ese otro

a b a b b a

a

b

cos cos

Es la proyección de uno de los dos en el otro,

por la magnitud de ese otro

a b a b b a

a

b

a

cos cosp

p aa

p

1. Sistemas de ecuaciones lineales

2. Álgebra de matrices

3. Determinantes

4. Geometría de los vectores

5. Espacios vectoriales

6. Valores propios y diagonalización

7. Transformaciones lineales

8. Espacios euclidianos

,

V

x y

V

Sea un espacio vectorial sobre los

complejos.

Se dice que tiene un producto escalar

ó producto interno ó producto punto,

si para cualesquiera dos elementos

en se asocia un número complejo

único , .x y

, ,

,

, ,

x y V x y

x y z V

c

x y y x

en se asocia un número complejo único .

Esta asignación tiene las siguientes propiedades:

Para cualesquiera

y para cualquier escalar

1)

C

2) , , ,

3) , ,

4) , 0 0

x y z x y x z

cx y c x y

x x x

Simetría hermitiana

Distributividad o linealidad

Asociatividad o homogeneidad

si Positividad

21 2 1 2

1 1 1 2 2 1 2 2

, ,

, 2

x x x y y y

x y x y x y x y x y

Dados y en ,

se define el producto escalar como

R

21 2 1 2

1 1 1 2 2 1 2 2

, ,

, 2

x x x y y y

x y x y x y x y x y

Dados y en , se define

el producto escalar como

R

1 1 1 2 2 1 2 2

1 1 2 1 1 2 2 2

, 2

2 ,

Propiedad 1

x y x y x y x y x y

y x y x y x y x y x

1 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2

1 1 1 1 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2

1 1 1 2 2 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 2

, 2

2 2

, ,

Propiedad 2

x y z x y z x y z x y z x y z

x y x z x y x z x y x z x y x z

x y x y x y x y x z x z x z x z

x y x z

21 2 1 2

1 1 1 2 2 1 2 2

, ,

, 2

Dados y en , se define

el producto escalar como

x x x y y y R

x y x y x y x y x y

1 1 1 2 2 1 2 2

, 2

2

2 ,

Propiedad 3

cx y cx y cx y cx y cx y

cx y cx y cx y cx y

c x y x y x y x y c x y

21 2 1 2

1 1 1 2 2 1 2 2

, ,

, 2

Dados y en , se define

el producto escalar como

x x x y y y R

x y x y x y x y x y

2 21 1 2 2 1 2

22 2 21 1 2 2 1 1 2

, 2

2 2 0

0

Propiedad 4

si

x x x x x x x x

x x x x x x x

x

21 2 1 2

1 1 1 2 2 1 2 2

, ,

, 2

Dados y en , se define

el producto escalar como

x x x y y y R

x y x y x y x y x y

Este ejemplo muestra que un mismo espacio

vectorial puede haber más de un producto

escalar.

21 2 1 2

1 1 1 2 2 1 2 2

, ,

, 2

Dados y en , se define

el producto escalar como

x x x y y y R

x y x y x y x y x y

, : ,

,b

a

C a b f a b R R f

f g f t g t dt

es continua

, ,

Propiedad 1b b

a a

f g f x g x dx g x f x dx g f

,

, ,

Propiedad 2b

a

b

a

b b

a a

f g h f x g x h x dx

f x g x f x h x dx

f x g x dx f x h x dx f g f h

, : ,

,b

a

C a b f a b R R f

f g f t g t dt

es continua

,

Propiedad 3b b

a a

b

a

cf g cf x g x dx cf x g x dx

c f x g x dx c f g

, : ,

,b

a

C a b f a b R R f

f g f t g t dt

es continua

2, 0 0

, 0 0

Propiedad 4

si

y

si

b b

a a

f f f x f x dx f x dx f

f f f

, : ,

,b

a

C a b f a b R R f

f g f t g t dt

es continua

, : ,

,

0

, .

b

a

C a b f a b R R f

f g w t f t g t dt

w t

C a b

es continua

donde es una función positiva

en

, expb

a

f g t f t g t dt

En el espacio de todos los

polinomios reales, con

2, , ,

V

x y x x y y

x y V

x y

En un espacio euclidiano , todos los productos

escalares satisfacen la desigualdad de

Cauchy-Schwarz

para todos los y en

La igualdad se cumple si y sólo si y son

dependientes.

1/ 2,

.

V

x x x

x

En un espacio euclidiano ,

se define el número no negativo

y es llamado la norma de

0 0

0, 0

En un espacio euclidiano , todas las normas

tienen las siguientes propiedades:

(a) si

(b) si

(c)

(d)

La igualdad se cumple si si o si

para alguna

V

x x

cx c x

x y x y

x y y cx

c

, ,

0,

,cos

En un espacio euclidiano , el ángulo entre

dos elementos no nulos, se define como el

número en el intervalo que satisface la

ecuac

re

ión

al

V

x y

,V

(a) dos elementos son ortogonales si

su

En un

produc

espacio euclidiano

to escalar es cero

,

0S V x y

S

V

(a) dos elementos son ortogonales si su

producto escalar es

(b) es llamado ortogonal si para

todo par

En un espacio eucl

de elementos disti

cer

nto

i

s

diano

en

o

, 0

,V

V

S

S y

V

x

(a) dos elementos son ortogonales si su

producto escalar es cero

(b) es llamado ortogonal si para

todo par de elementos distin

(c

En un espacio euclidiano

) es llamado orto

tos

nor

en

mal si además de ser

ortogonal, todos sus elementos tienen norma 1

,V

S

En un espacio euclidiano

todo conjunto ortogonal

de elementos no nulos,

es independiente.

,V SEn un espacio euclidiano todo conjunto ortogonal

de elementos no nulos, es independiente.

1 1 1 1

1

0 , , ,

, , 0

, 0 0 .

n n n n

i i j i i j i i i j ii i i i

n

i i i ij j j ji

j j j

c x x c x x c x c x x

c x x c x x

S

x x c j

como todos los vectores en son no nulos,

y necesariamente para todo

2

0

0 1 2

0 2 1 2

0,2 : 0,2

,

, , ,...

1, cos , sin ,n n

C f R f

f g f x g x dx

S u u u

u x u x nx u x nx

En el espacio euclidiano real

es continua

donde el producto escalar es

sea el conjunto de funciones trigonométricas

dadas como

1,2,3,...n

0

2 1

2

1

cos

sin

1,2,3,...

n

u x

u x nx

n

¿Cuáles son los ángulos entre los

elementos del conjunto?

sin sin

1sin sin sin cos

1 1sin cos sin cos

1sin cos cos cos

mx nx dx

dmx nx dx mx nx dx

n dxd

mx nx mx nx dxn n dx

mmx nx mx nx dx

n n

cos cos

1cos cos cos sin

1 1cos sin cos sin

1cos sin sin sin

mx nx dx

dmx nx dx mx nx dx

n dxd

mx nx mx nx dxn n dx

mmx nx mx nx dx

n n

2

2 2

1sin sin sin cos cos cos

1cos cos cos sin sin sin

1sin sin sin cos cos sin

sin sin

cos sin sin cossin sin

mmx nx dx mx nx mx nx dx

n nm

mx nx dx mx nx mx nx dxn n

mmx nx dx mx nx mx nx

n n

mmx nx dx

n

m mx nx n mx nxmx nx dx

n m

22

2 200

2 2

cos sin sin cossin sin

cos2 sin 2 sin 2 cos2

0

m mx nx n mx nxmx nx dx

n m

m m n n m n

n mm m n n m n

n m

2

0

2

0

2

0

2

0

2

0

sin 0

cos 0

sin sin 0

cos cos 0

sin cos 0

nx dx

mx nx dx

0

2 1

2

1

cos

sin

1,2,3,...

n

u x

u x nx

n

2

0

, 0Si

Por tanto, es un conjunto ortogonal.

Como todos los miembros de son

diferentes de cero, entonces es un

conjunto independiente.

m m m nm n u u u x u x dx

S

0 0 0 0

22 1 2 1

22 2

, 2

, cos

, sin

n n

u u u x u x dx dx

u u nxdx

2 2

0 0

2

0

2

0

Respecto a las normas:

0 1 2

0 2 1

2

, , ,...

11/ 2 , cos ,

1sin , 1,2,3,...

Por tanto, el conjunto de funciones

trigonométricas

dadas como

es un conjunto ortonormal.

n

S

x u x nx

u x nx n

,

V

n

S

n

En un espacio euclidiano

de dimensión finita

todo conjunto ortogonal

de elementos no nulos,

es una base.

Una base ortonormal de

un espacio vectorial es un

conjunto de vectores

ortonormales, que genera

el espacio.

3

ˆˆ ˆ, ,

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ, , , 0

ˆˆ ˆ2) 1

ˆˆ ˆ3) , ,

R

i j k

i j j k i k

i j k

x y z xi yj zk

En el espacio euclidiano , con el producto

escalar "usual", la base

es una base ortonormal.

1)

1

,

ˆ ˆ,..., .

ˆ

ˆ,1,2,...,

ˆ ˆ,

Sea espacio euclidiano de dimensión finita

y sea una base ortogonal de

Todo elemento de se puede escribir como

donde para

n

i ii

j

j j

V n

S e e V

V

x c e

x ec j n

e e

1

1 1 1

ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, , , , ,

ˆ,1,2,...,

ˆ ˆ,

n

i ii

n n n

j j i i i j i i i i ij j j ji i i

j

j j

x c e

e x e c e c e e c e e c e e

x ec j n

e e

por tanto,

para

1

,

ˆ ˆ,..., .

ˆ

ˆ, 1,2,...,

Sea espacio euclidiano de dimensión finita

y sea una base de

Todo elemento de se puede escr

ortonormal

ibir como

donde para

n

i ii

j j

V n

S e e V

V

x c e

c x e j n

1

*

1

,

ˆ ˆ,..., .

ˆ ˆ, , ,

,

n

i ii

n

i ii

V n

S e e V

x y x e y e

x y x y

Sea espacio euclidiano de dimensión finita

y sea una ortonormabase de

Es deci

l

r,

1

22 2

1 1

,

ˆ ˆ,..., .

ˆ ˆ, , ,

,

ˆ,

n

i ii

n n

i ii i

V n

S e e V

x y x e y e

x y

x x e x

Sea espacio euclidiano de dimensión finita

y sea una base de

En particular, si

ortonorma

se tiene

l

* Todo espacio vectorial de dimensión finita tiene

una base finita.

* En un espacio euclidiano siempre se puede

construir una base ortogonal, y por lo tanto

también una ortonormal

* El proceso de construcción es llamado

proceso de ortogonalización de Gram y

Schmidt

1 2

1

, ,...

,

,...,

Sea una sucesión, finita o infinita, de

elementos en un espacio euclidiano

y denotemos por el subespacio

generado por los primeros elementos de la

sucesión.

Existe entonces una su

k

x x

V

L x x

k

1 2 3, , ,...

cesión de elementos

de que para todo entero tiene

las siguientes propiedades:

y y y V k

1 2 1

1 2

1 2 1 2

, ,..., .

, ,...,

, ,..., :

, ,..., , ,...,

(a) El elemento es ortogonal a todos los elementos del

subespacio

(b) El subespacio generado por es el mismo que

el generado por

(

k

k k

y

L y y y

y y y

x x x

L y y y L x x x

1 2 3

, , ,...

c) La sucesión de elementos de es única, a

no ser por un factor escalar. Es decir, si es otra

sucesión de elementos de que satisface las propiedades

(a) y (b) para todo

y y y V

y y y

V

k

.

, entonces para cada hay un escalar

tal que k k k k

k

c y c y

1 1

11 1

1

,

1,2,3,..., 1

rr i

r r ii i i

y x

x yy x y

y y

r k

para todo

1 2

2 11 2 2 1

1 1

2

1 2

1

(1,1) 2,3

,1,1

,

1,1 2,3 5 12,3 1,1 2,3 1,1 1,1

1,1 1,1 2 2

1, 1,1 1,1 0

2

2 1/ 2

1ˆ ˆ1,1

2

x x

x yy y x y

y y

y

y y

2

11,1

2

2 1 2 1 2 1 12 2 1 2 1 22

1 1 1 11

2 2 2 1

1 1 2

2

, cos cos

,

ˆcos

1ˆ1,1 1,1 2,3

2

13 arctan 3/ 2 arctan 1/1 0.983 / 4 0.198

cos 0.98

cos 3.53

2,3 3.53 1,1 / 2 0.5,0.5

x y x y x y yy x y x y x

y y y yy

y x x y

y y x

x

1,1

2,3

1 2 3

1

2 12 2 1

1 1

2

(1,1,1) 2,3,0 1,1,1

(1,1,1)

,

2,3,0 1,1,1 52,3,0 1,1,1 2,3,0 1,1,1

1,1,1 1,1,1 3

11,4, 5

3

x x x

y

x yy x y

y y

y

3 1 3 23 3 1 2

1 1 2 2

3

, ,

11,1,1 1,4, 51,1,1 1,1,1 131,1,1 1,1,1 1,4, 5

1 11,1,1 1,1,1 31,4, 5 1,4, 53 3

2 /31 11,1,1 1,1,1 1,4, 5

3 14 /3 31 1

1,1,1 1,1,1 1,4, 53 21

33,2,1

7

x y x yy x y y

y y y y

y

1 2 3

1 2

1 3

2 3

(1,1,1) 2,3,0 1,1,1

1 31,1,1 1,4, 5 3,2,1

3 7

1, 1,1,1 1,4, 5 0

33

, 1,1,1 3,2,1 07

1 3( , ) 1,4, 5 3,2,1 0

3 7

x x x

y y y

y y

1. Sistemas de ecuaciones lineales

2. Álgebra de matrices

3. Determinantes

4. Geometría de los vectores

5. Espacios vectoriales

6. Valores propios y diagonalización

7. Transformaciones lineales

8. Espacios euclidianos

* Todo espacio vectorial de dimensión finita tiene

una base finita.

* En un espacio euclidiano siempre se puede

construir una base ortogonal, y por lo tanto

también una ortonormal

* El proceso de construcción es llamado

proceso de ortogonalización de Gram y

Schmidt

1 2

1

, ,...

,

,...,

Sea una sucesión, finita o infinita, de

elementos en un espacio euclidiano

y denotemos por el subespacio

generado por los primeros elementos de la

sucesión.

Existe entonces una su

k

x x

V

L x x

k

1 2 3, , ,...

cesión de elementos

de que para todo entero tiene

las siguientes propiedades:

y y y V k

1 2 1

1 2

1 2 1 2

, ,..., .

, ,...,

, ,..., :

, ,..., , ,...,

(a) El elemento es ortogonal a todos los elementos del

subespacio

(b) El subespacio generado por es el mismo que

el generado por

(

k

k k

y

L y y y

y y y

x x x

L y y y L x x x

1 2 3

, , ,...

c) La sucesión de elementos de es única, a

no ser por un factor escalar. Es decir, si es otra

sucesión de elementos de que satisface las propiedades

(a) y (b) para todo

y y y V

y y y

V

k

.

, entonces para cada hay un escalar

tal que k k k k

k

c y c y

1 1

11 1

1

,

1,2,3,..., 1

rr i

r r ii i i

y x

x yy x y

y y

r k

para todo

1

0 1 2

, ,

, , ,... .

,

En el espacio euclidiano de todos los polinomios reales,

con el producto escalar considera

la sucesión donde

Es claro, que esta sucesión no es ortogonal, ya que

nn

n m

x y x t y t dt

x x x x t t

t t

11 1 11

1 1 1

11 1

1 1

1 , 0,

21 , 0

1

Si es par entonces pero si

es impar entonces

n mn mn m n m

n m

tt t dt t dt

n m n m

n m t t

n m t tn m

0 0

1 01 1 0

0 0

1 1

0 0 1 0

1 1

1 1 0 1

1

,

, 2 , 0

0

2

Llevemos ahora a cabo el proceso de ortogonalización.

y t x t

x yy t x t y t

y y

y y dt x y tdt

y t x t y t x t t

y t t

2 0 2 12 2 0 1

0 0 1 1

1 12 2

1 1 2 0

1 1

13

2 1

1

2 2 0 1 2 0

22

, ,

2 2, ,

3 3

, 0

2 /3 0 1

2 2 /3 31

3

x y x yy t x t y t y t

y y y y

y y t dt x y t dt

x y t dt

y t x t y t y t x t y t

y t t

33

4 24

5 35

2

3

56 3

7 3510 5

9 21...

!1

2 !

Y así sucesivamente

nn

n n

y t t t

y t t t t

n dy t t

n dt

22

2 ! 11

2 !2 !

Polinomios de Legendre

nn

n n n nn

n dP t y t t

n dtn

De manera intuitiva podemos decir

que una función es una relación

entre dos magnitudes, de tal manera

que a cada valor de la primera le

corresponde un único valor de la

segunda.

Conjunto de seres humanos

A cada ser humano se le asocia su padre biológico

Conjunto de seres humanos

A cada ser humano se le asocia su padre biológico

• Todo elemento del dominio tiene asociado un único elemento del contradominio. Todo ser humano tiene un único padre biológico

• No todo elemento del contradominio tiene asociado un elemento del dominio. No todo ser humano es un padre biológico

Conjunto de seres humanos

Sean y dos conjuntos arbitrarios.

Una función de en es una asociación entre elementos

de y donde a todos y cada uno de los elementos de

se les asocia un único elemento de .

El conjunto

A B

A B A

B

A se llama de la función.

Al conjunto

dominio

codominio se le cdenomina ontradom io .nioB

• Todos los elementos del dominio tiene que

tener asociado un elemento del

contradominio

• A un elemento del dominio se le asociara un

único elemento del contradominio

• Elementos del contradominio pueden tener

asociados más de un elemento del dominio

Es el conjunto de todos los valores posibles que puede

tomar la función.

También se le llama imagen del dominio bajo la función.

Dada la función : el rango de , es el conjunto

Rango de : para

f A B f

f x B x f a

alguna

Evidentemente el rango de es un subconjunto del

contradominio:

El rango de Rango de Contradominio de

a A

f

f f

ab

cd

e

ab

cd

e

Dominio

ab

cd

e

Dominio

Codominio

ab

cde

DominioCodominio

Rango

A la calabaza se le asocian dos elementos en el contradominio

A

parcial

nabla

raiz

existe

B

Aparcial

nabla

raiz

existe

B

El elemento en no tiene ningún elemento

asociado en

A

B

Definimos una función de x en y como

toda aplicación (regla, criterio

perfectamente definido), que a un

número x (variable independiente), le

hace corresponder un número y (y solo

uno llamado variable dependiente).

Se llama función real de variable real a

toda aplicación f de un subconjunto no

vacío D de R en R

Una función real está definida, en general, por una ley o

criterio que se puede expresar por una fórmula matemática.

La variable x recibe el nombre de variable independiente y la

y ó f(x) variable dependiente o imagen.

Una función real de una variable real es una función cuyo dominio es un subconjunto de los números reales y su contradominio son los números reales.Su rango es también un subconjunto de los reales.

El subconjunto D de números reales que tienen imagen se llama Dominio de definición de la función f y se representa D(f).

Nota El dominio de una función puede estar limitado por:

1.- Por el propio significado y naturaleza del problema que representa.

2.- Por la expresión algebraica que define el criterio.

: 3 2

Su dominio son todos los números reales

Su contradominio o codominio son todos

los números reales

Su rango son todos los números reales

f R R y f x x

: 3 2f R R y f x x

x f(x)

0 2

1 5

-1 -1

2 8

-2 -4

3 11

-3 -7

4 14

-4 -10

5 17

-5 -13

x f(x)

0.10 2.30

1.76 7.28

-3.45 -8.35

8.97 28.91

2.34 9.02

13.33 41.99

1.41 6.23

16.77 52.31

-44.44 -131.32

0.01 2.03

-123.00 -367.00

: exp

Su dominio son todos los números reales

Su contradominio o codominio son todos

los números reales

Su rango son todos los números reales

positivos

xf R R y x e

exp : exp xR R y x e x f(x)

0.10 1.1051709

11.88 144,350.5506832

-3.45 0.0317456

8.97 7,863.6016055

2.34 10.3812366

13.33 615,382.9278900

6.99 1,085.7214762

-91.23 0.0000000

2.22 9.2073309

0.50 1.6487213

-12.45 0.0000039

x f(x)

0.00 1.000

1.00 2.718

-1.00 0.368

2.00 7.389

-2.00 0.135

3.00 20.086

-3.00 0.050

4.00 54.598

-4.00 0.018

5.00 148.413

-5.00 0.007

log : (0, ) ln

Su dominio son todos los números reales

positivos, ya que no existen el logaritmo de

un número negativo

Su contradominio o codominio son todos

los números reales

Su rango son todos l

R y x

os números reales

log : (0, ) lnR y x

x ln(x) x ln(x)

0.10 -2.303 0.01 -4.605

0.20 -1.609 0.02 -3.912

0.30 -1.204 0.03 -3.507

0.40 -0.916 0.04 -3.219

0.50 -0.693 0.05 -2.996

0.60 -0.511 0.06 -2.813

0.70 -0.357 0.07 -2.659

0.80 -0.223 0.08 -2.526

0.90 -0.105 0.09 -2.408

1.00 0.000 0.10 -2.303

2

Definición

La gráfica de la función es el lugar geométrico

de los puntos del plano cuyas coordenadas

satisfacen la ecuación ( )

, ,

f

y f x

G x y R x f x

: 3 2f R R y f x x

exp : exp xR R y x e

log : (0, ) lnR y x

: R R y x

1 1 2 2

s 1 2 1 2

Sean dos funciones reales de variable real dadas por las expresiones:

y

Se llama función suma de ambas, a la función:

Análogamente podemos definir la funci

y f (x) y f (x).

y y y f (x) f (x).

d 1 2 1 2

ón diferencia como

El dominio de definición de la función suma, y también el de la

función diferencia será la intersección de los dominios de ambas

funciones.

y y y f (x) f (x)

1 1 2 2

p 1 2 1 2

Sean dos funciones reales de variable real dadas por las expresiones:

( ) ( ).

Se llama función producto de ambas, a la función:

( ) ( )

Análogamente a lo que o

y f x y y f x

y y y f x f x

curre con las funciones suma y diferencia,

el dominio de definición de esta función vuelve aser la intersección

de los dominios.

1 1 2

11C

2 2

Sean dos funciones reales de variable real dadas por las expresiones:

( ) y ( ).

Se llama función cociente de ambas, a la función:

= =

El dominio de definic

y f x y f x

f xyy

y f x

2

ión de esta función es la intersección de los

dominios, menos todos los puntos que anulen a ( ), puesto que

serán puntos que anulen el denominador de dicha función.

f x

Dadas dos funciones ( ), ( ),

se llama función compuesta

a la función

Para que exista la función compuesta es necesario

que el recorrido de la función quede totalmente

incluido en el

y f x z g y

g f

g f x g f x

f

dominio de la función .

Dominio Dom tales que Dom

g

g f x f f x g

2

( ) 2 6, ( ) ,

La función compuesta es en este caso

2 6

El dominio de la función compuesta son aquellos

valores de para los que se cumple que

2 6 0

Esa desigualdad la resolvimo

y f x x x z g y y

g f x x x

x

x x

s (con >) y da

3Dominio y 2

2g f x R x x

2

( ) , ( ) sin ,

La función compuesta es en este caso

sin

Es claro que el rango de la función queda totalmente

incluido en el dominio de la función sin .

Dominio

y f x x z g y y

g f x x

x

y

g f R

1

1( ) , ( ) exp = ,

La función compuesta es en este caso

Dominio 0

y

x

y f x z g y y ex

g f x e

g f R

Se llama función identidad a la función que le hace

corresponder a cada número real el propio número.

Se representa por ( ).

*El dominio de la función identidad

son todos los números reales

*El contradom

I x

inio o codominio de la función identidad

son todos los numeros reales

*El rango de la función identidad

son todos los números reales

Gráfica de la función identidad

:I R R I x x

45

Una función se dice

inyectiva o función uno a uno

si verifica que dos puntos

distintos no pueden tener

la misma imagen.

f

Una función se dice inyectiva o función uno a uno si verifica

que dos puntos distintos no pue

Una relación lineal (cualquier recta

den tener la mi

)

es inyectiva ó uno

sma ima

a uno

gen.

y mx b

f

2

Una función se dice inyectiva o función uno a uno si verifica

que dos puntos distintos no puede

Una relación cuadrática (una parábola)

es inyectiva ó uno a uno

n tener la misma imag

4

en

NO

.

y x

f

1

Sea una función.

Llamamos función inversa (en caso de que exista)

a una función notada que verifica que

con ( ) la función identidad.

Para que exista la función inversa de es nec

y f(x)

f x

f f x I x

I x

f

esario

que la función sea inyectiva. f

ln

La función exponencial

exp : exp

tiene como inversa a la función logaritmo

ln : ln

Como

ln

tenemos

ln exp

x

x x

R R y x e

R R y x

x e e

I

S SF

Es una función entre dos espacios vectoriales y S S

Un mapeo entre dos espacios vectoriales y

A todo elemento del dominio se le asigna un,

y sólo un, elemento del contradomini

Una función es un map

o

eo de en

:

S S

S

F S S

R R

S S

Dominio

F

S

Dominio Contradominio

F S

S S

Imagen o rango de S

F

2 2

2

:

, 2 ,

Dominio:

Contradominio o codominio:

Imagen o rango:

F R R

F x y x y x y

R

2 3

2

3

:

, , ,

Dominio:

Contradominio o codominio:

Imagen o rango:

T R R

T x y x y x y xy

x y R x y x y xy R

R

2 2

2 2 2 2

2

:

, ,

Dominio:

Contradominio o codominio:

Imagen o rango: "La parte derecha de "

T R R

T x y x y xy

x y R x y xy R

R

2

2 2

, : , existe y es continua

: , ,

C a b f a b R f

D C a b C a b

df xDf

dx

Dados

: y :

definimos la suma

:

como

f S S g S S

f g S S

f g x f x g x

Dados

: y cualquier escalar

Definimos la multiplicación por un escalar

:

como

f S S r

rf S S

rf x rf x

Dados dos espacios vectoriales, y ,

el conjunto de todos los mapeos de en ,

con las operaciones de suma y

de multiplicación por un escalar definidas antes,

es un espacio vectorial.

S S

:

El mapeo es inyectivo si para todos

, ,

con ,

se tiene

f S S

f

x y S

x y

f x f y

:

El mapeo es suryectivo si

la imagen o rango

de es todo

f S S

f

f S

:

El mapeo es un isomorfismo

si es inyectivo y suryectivo

Es decir, un isomorfismo es un

mapeo uno a uno.

f S S

f

:

para todo

El mapeo identidad es

inyectivo y suryectivo

s

I S S

I x x

:

Se define la composición como el mapeo

:

tal que

para todo

F U V

G V W

G F U W

G F t G F t

t U

U V WF G

U WG F

:

F U V

G V W

H W S

H G F H G F

:

tiene un inverso si existe un mapeo

:

tal que

y s s

F S S

F

G S S

G F I F G I

:

tiene un inverso si y sólo si

es inyectivo

y

es suryectivo

F S S

F

La operación de composición enriquece

la estructura del espacio vectorial de

mapeos y se vuelve un álge

Otro ejemplo: El espacio vectorial de

matrices , con la multiplicación de

matrices

bra asociat

,

iva.

n n es un álgebra asociativa

Las transformaciones lineales,

mapeos lineales,

ó funciones lineales

es uno de los conceptos fundamentales

del álgebra lineal

Sean y espacios vectoriales sobre un campo

: un mapeo de en

Un mapeo es lineal si:

Para cualesquiera elementos y en

y cualesquiera y en , se tiene

También

V W K

F V W V W

u v V

r s K

F ru sv rF u sF v

se les llama HOMOMORFISMOS

2 2

2

:

, 2 ,

Dominio:

Contradominio o codominio:

Imagen o rango:

Este mapeo es lineal

F R R

F x y x y x y

R

2 3

2

3

:

, , ,

Dominio:

Contradominio o codominio:

Imagen o rango:

Este mapeo NO es lineal

T R R

T x y x y x y xy

x y R x y x y xy R

R

2 2

2 2 2 2

2

:

, ,

Dominio:

Contradominio o codominio:

Imagen o rango: "La parte derecha de "

Este mapeo NO es lineal

T R R

T x y x y xy

x y R x y xy R

R

2

2 2

, : , ´́ existe y es continua

: , ,

Este mapeo es lineal

C a b f a b R f

D C a b C a b

df xDf

dx

Un mapeo lineal asocia

el vector cero 0,

al vector 0

Es decir,

0 0F

Un mapeo es lineal si:

Para cualesquiera elementos

Un mapeo lineal asocia el vector cero 0,

al vect

y en

y cualesquiera y en , se tiene

0 0

or 0, es decir, 0 0.

u v V

r s K

F ru

F u F

sv rF u s v

F

u

F

0

2 2 2 2

OJO: No es cierto al revés, es decir,

sin un mapeo m

Un mapeo lineal asocia el vector cero 0,

al vector 0.

anda el cero al cero

no por eso es lineal.

Ejempl

Es decir, 0

,

0

o:

: ,

T R R T x x y x

F

y y

Dados dos espacios vectorias, y ,

el conjunto de funciones lineales de en

es un espacio vectorial.

Normalmente se le denota ( ; ).

Es un subespacio vectorial del conjunto de

todos los mapeos de

V W

V

L

en .W

Sean y dos espacios vectoriales

sobre el campo .

Sea : un mapeo line

El núcleo de es un subespacio vectoria

a

d

l

l e

Núcleo de 0

V W

K

F V W

F V

F v V F v

2

2 2

1) : ,

Núcleo de , 0 Recta

2) : , ,

Núcleo de : , , con

3) : , 2 ,

Núcleo de , 0, 0 El 0

T R R x y x y

T x y x y

D C a b C a b f f

D f a b R f a a R

F R R x y x y x y

T x y x y

Las dos

Sean

afirm

y dos espa

aciones sig

cios vectoriales sobre

uientes son totalmente

el campo .

Sea : un mapeo lineal

Núcleo

equivalentes:

1. El Núcleo de es igual a 0

2. S

de 0

i y s

V W K

F V

F

u

W

F v

v

V F v

on dos elementos arbitrarios de tales que

entonces .

En otras palabras, es inyectivo

V

F u F v u v

F

Las dos

Sean

afirm

y dos espa

aciones sig

cios vectoriales sobre

uientes son totalmente

el campo .

Sea : un mapeo lineal

Núcleo

equivalentes:

1. El Núcleo de es igual a 0

2. S

de 0

i y s

V W K

F V

F

u

W

F v

v

V F v

on dos elementos arbitrarios de tales que

entonces . O sea, es inyectivo

: 0 0

: 0 0 0

V

F u F v u v F

F u v F u F v u v u v

F x F x F u F v F u v F x

La imagen de es un subespacio vectori

Sean y dos espacios vectoriales sobre el campo .

Sea : un mapeo lineal

al de

Imagen ó rango de

Existe tal que

V W K

F

F V

W

F

w W v V F v w

Transformacioneslineales

Matrices

:

.

Definimos el mapeo

mediante la regla

para todo

n mA

A

n

L K K

L X AX

X K

Toda matriz tiene asociada un mapeo lineal

11 12 1

21 22 2

1 2

...

. matriz

.

...

n

m m mn

a a a

m n

a a a

A

:

.

Definimos el mapeo

mediante la regla

para todo

n mA

A

n

L K K

L X AX

X K

:

.

n mA

A

n

L K K

L X AX

X K

Definimos el mapeo

mediante la regla

para todo

A A AL rX sY A rX sY rA X sA Y rL X sL Y

Evidentemente el mapeo asociado con una matriz es lineal,

ya que

2 2:

cos sin cos sin

sin cos sin cos

T R R

x x y

y x y

2 2:

cos sin cos sin

sin cos sin cos

T R R

x x y

y x y

2 2:

3 13 / 2 1/ 2 2 2

1/ 2 3 / 2 1 3

2 2

1/ 23 / 2 1/ 2 1 3 / 2 1/ 2 03 / 2ˆ ˆ;0 11/ 2 3 / 21/ 2 3 / 2 1/ 2 3 / 2

T R R

x yx

yx y

Ti Tj

2 2:

3 13 / 2 1/ 2 2 2

1/ 2 3 / 2 1 3

2 2

T R R

x yx

yx y

30 grados

4 2:

1 1 1 2 2

0 1 1 2 2

1 0

1 1 1 2 0 1 1 1 1 2 1 1;

0 1 1 2 0 0 0 1 1 2 0 1

0 0

0

1 1 1 2 0 1 1;

0 1 1 2 1 1

0

T R R

x

y x y z t

z y z t

t

0

1 1 2 0 2

0 1 1 2 0 2

1

3 21 0.5 1 :

1 2 0.5 AL R R

A

11 0.5 1 1ˆ 01 2 0.5 1

0

01 0.5 1 0.5ˆ 11 2 0.5 2

0

01 0.5 1 1ˆ 01 2 0.5 0.5

1

A

L i

L j

L k

3 21 0.5 1 :

1 2 0.5 AL R R

A

1 0.5 1 0.5

1 2 0.5 2 0.5A

x xx y z

L y yx y z

z z

.A B

A B m n

L L

A B

Si y son matrices

y si

entonces

En otras palabras,

si dos matrices dan lugar la mismo

mapeo, entonces son iguales.

1. Sistemas de ecuaciones lineales

2. Álgebra de matrices

3. Determinantes

4. Geometría de los vectores

5. Espacios vectoriales

6. Valores propios y diagonalización

7. Transformaciones lineales

8. Espacios euclidianos

S SF

Es una función entre dos

espacios vectoriales y S S

Mapeo entre dos espacios vectoriales y .

A todo elemento del dominio se le asigna un,

y sólo un, elemento del contradominio

Una función es un mapeo de en

:

S S

S

F S S

R R

a) Sean y espacios vectoriales sobre un campo .

b) : un mapeo de en .

Un mapeo es lineal si:

Para cualesquiera elementos y en

y cualesquiera y en , se tiene

V W K

F V W V W

u v V

r s K

F ru sv rF u sF

También se les llama HOMOMORFISMOS

v

Transformacioneslineales

Matrices

:

.

Definimos el mapeo

mediante la regla

para todo

n mA

A

n

L K K

L X AX

X K

Toda matriz tiene asociada un mapeo lineal

Transformacioneslineales

Matrices

:

.

Sea

un mapeo lineal.

Existe una matriz tal que

Es decir, que para todo ,

n m

A

n

L K K

A m n L L

X K

L X AX

A todo mapeo lineal se le puede asociar una matriz

1

ˆ ; 1,2,..., .

ˆ ˆ; 1,2,..., :

ˆ

ˆ 1,2,3,..., :

ni

mi

nn

i i ii

n

i ii

mi

E i n K

e i m K

E i n K X x E

L X x L E

L E R i n

Sea una base de

1) Como es una base de

2) Como el mapeo es lineal:

3) Como para 1

ˆ ˆm

i ij jj

L E a e

1 1 1 1 1 1 1

ˆ ˆ ˆ ˆn n m n m m n

i i i ij j ij i j ij i ji i j i j j

j

i

L X x L E x a e a x e a x e

LX AX

A a

Podemos escribir ahora

Por tanto, si definimos la matriz

vemos que

1

ˆ ˆ ˆ1,2,3,..., :

ij

mm

i i ij jj

A a

L E R i n L E a e

LX AX

A

Como para

Definimos la matriz

entonces

Las columnas de la matriz , son los transformados

de los vectores de la base

2: , 2 3

1)

Sea

¿Es un mapeo lineal?

L R R L x y x y

2

21 1 1 2 2 2

: , 2 3

1)

, , ,

, ).

Sea

¿Es un mapeo lineal?

Bueno, es obvio que sí, pero demostremoslo.

Sea dos vectores en

y dos escalares (es decir, elementos de

Por

L R R L x y x y

v x y v x y R

r s K

1 2 1 2 1 2

1 2 1 2

1 1 2 2 1 1 2 2

1 2

,

2 3

2 3 2 3 , ,

la definición

L rv sv L rx sx ry sy

rx sx ry sy

r x y s x y rL x y sL x y

rL v sL v

2: , 2 3

2)

ˆ ˆ2 1 3 0 2 2 0 3 1 3

. 2, 3 2 3

L R R L x y x y

L i L j

a

xL v a v x y

y

Sea

¿Cuál es la matriz asociada a este mapeo?

Así que el vector es (2,-3).

Es obvio que

3 21 2 3 1 2

11

22

3

: , , ,

1 0 0

0 1 0

1,0,0 1,0 0,1,0 0,1 0,0,1 0,0

En este caso a simple vista se encuentra la matriz

asociada,

Pero ...

Ahora la matriz es

F R R F x x x x x

xx

A xx

x

F F F

A F

1 0 01,0,0 0,1,0 0,0,1

0 1 0F F

2)

3) : :

Propiedades:

1) Ya que

Ya que

Si y son mapeos lineales,

y y

o sea

A B A B

rA A

n m m s

L L L A B X AX BX

L rL rA X r AX

F K K G K K

A F B G

G F X G F X B AX BA X

G F BA

;n mR R

F

V W

Hasta ahora hemos considerado mapeos

lineales de en sin embargo, todos

los conceptos son facilmente generalizables

a mapeos lineales de un espacio vectorial

a otro espacio vectorial de dimens

.nn R

ión

finita, ya que todo espacio vectorial de

dimensión finita es isomorfo a

.

1,2,...,i

V

R

V v i n

V

Sean un espacio vectorial de dimensión

finita sobre los reales

Sea

Base

una base de

1

1 2, ,...,

n

i ii

n

nn

v V v x v

V R

v V x x x R

Si , tenemos que

El espacio vectorial es isomorfo a

bajo el mapeo

:n m

F V W

R R

M F

Usando este isomorfismo,

podemos interpretar un mapeo

como un mapeo de

La matriz asociada

dependerá de las bases elegidas.

:T V V

T V

lineal de dimensión finita

• Se llaman propiedades intrínsecas a las que no

dependen del sistema de coordenadas.

• Si la matriz asociada a la transformación lineal es

diagonal, muchas de estas propiedades pueden ser

descubiertas fácilmente.

2 2:

2 0

0 3

2 0 2

0 3 3

T R R

T A

x xAx

y y

2 2

1 2

2 0:

0 3

2 0 1 2 1 2 0 0 0 0ˆ ˆ2 3

0 3 0 0 0 0 3 1 3 1

T R R T A

Ae Ae

X

Y

Estira el eje en 2

Estira el eje en 3

2 2

2 0:

0 3

1

2 3

/ 2 , / 3

14 9

T R R T A

x y

u x v y

x u y v

u v

¿Qué le hace a un círculo de radio 1?

Haciendo el cambio de variable

y

tenemos

T

1

.

,...,

Sea una transformación lineal de en , con

un espacio vectorial de dimensión finita

Si tiene una representación matricial diagonal,

entonces existe un conjunto de elemen-

tos independn

T V V

V n

T

u u

,...,

1,2,3,...,

1

ientes en y correspondientemente

un conjunto de escalares, tales que

para

n

k k k

V

T u u k n

11 22

1

: , ,...,

(dim )

,...,

1,...,

nn

n

k k k

T V V A diag a a a

V n

u u V

Tu u k n

1

lineal con

Entonces siempre existen

linealmente independientes

escalares

tales que

para

1 2

11

22

ˆ ˆ ˆ, ,...,

0 ... 0 0 0 0

0 ... 0 . . .

. . . .

. 1 1

. . . .

0 0 ... 0 0 0

n

iiii

nn

e e e

A

a

aa

a

Sea la base respecto a la

cual la matriz es diagonal

ˆ ˆi ii iAe a e

11 22, ,...,ij nnA a A diag a a a

1

.

,...,

,...,1

Sea una transformación lineal de en , con

un espacio vectorial de dimensión finita

Si existe un conjunto de elemen-

tos independientes en y correspondientemente

un conjunto

n

T V V

V n

u u

V

1 2

1

1,2,3,...,

, ,...,

,..., .

de escalares, tales que

para

entonces la matriz diagonal

es una representación de relativa a la base

k k k

n

T u u k n

A diag

T

u u

1

,.

,...,

..,

,...,

1,...,

n

k k k

n

u u V

Tu u k n

T

u u

1

la matriz asocia

Si existen

linealmente independientes

escal

da a es diagonal en la base

formada por l

ares

tales que

para

entonc

os vectores

es

: (dim )T V V V n lineal

Se dice que los vectores son los

y los escalares son los .

También se les llama eigenvectores y eigenvalores

respectivamente.

Tambié

vectores propi

n se les ll

os

valo

ama vectores y valores

res propiosk

k

u

caracterís-

ticos

1,2,3,...,para k k kT u u k n

Por lo tanto, el problema de diagonalizar

una matriz se transformó ahora en el

problema de encontrar los vectores y

valores propios de la transformación,

es decir de una matriz.

:

,

Sea un espacio vectorial

Sea un subespacio vectorial de .

Sea una transformación lineal.

Un escalar es un valor propio, si hay

un elemento no nulo en tal que

El elemento se llama v

V

S V

T S V

x S

T x x

x

.

ector propio de

perteneciente a .

El escalar es llamado vector propio

correspondiente a

T

x

0

,

T x x

Aunque el cumple con la ecuación

para todo no se le considera vector propio.

0, ,

T x x T x x

x x x

Si

con

Hay solo un

enton

valor propio para cada vector prop

ces y por tanto,

i

.

=

o

.

:

.

T S S

T S S T

U S U S

T U U

T

Sea una transformación lineal de en

lineal

A un subespacio de , ,

se le llama ,

si mapea cada element

invariante bajo

o de en

.

T

El subespacio generado

por un vector propio de ,

es invariante bajo

.

U S T

T U U

Un subespacio de se le llama invariante bajo ,

si mapea cada elemento de en

,

x U c

T cx cT x c x

cx U

x y U

T x y T x T y x y x y

x y U

Si y es un escalar

es decir,

Si

es decir,

.

U S T

T U U

T

- Un subespacio de se le llama invariante bajo ,

si mapea cada elemento de en

- El subespacio generado por un vector propio de ,

es invariante bajo

, : , ,

: , ,

C a b f a b R f a b

D C a b C a b D f f

f

infinitamente diferenciable en

¿Es lineal esta transformación?

Los vectores propios de este operador son todas las

funciones no nulas, que satisfacen la ecuación

exp

f

D

f x c x

Es decir, las funciones propias de , son todas

las funciones de la forma

22

d xE x

m dx

0x x a

( 0) 0 ( ) 0x x a

22

d xE x

m dx

( 0) 0 ( ) 0x x a

2 22

2

2sin

1,2,3,...

n

nE nma

nx x

a a

n

22

2

H E

V Em

1 2

:

, ,...,

,..., ,k

k

V

S V

T S V

u u u T

1

Sea un espacio vectorial.

Sea un subespacio vectorial de .

Sea una transformación lineal.

Sean vectores propios de ,

con valores propios diferentes

entonces los vectores 1 2, ,..., ku u u son

linealmente independientes.

1

11 2 3 4 ...

2

n

i

n ni n

1

11 2 3 4 ...

2

n

i

n ni n

1

1 1 11

2

n

Lo probamos para

¡Es cierto, está probado!

1

11 2 3 4 ...

2

n

i

n ni n

1

11 2 3 4 ...

2

m

i

m

m mi m

Lo suponemos para

1

11 2 3 4 ...

2

n

i

n ni n

1

1 2 3 4 ... 1

1 1 21

2 2

m

i

m

i m m

m m

m m m mm

Lo probamos para

1 2

:

, ,...,

,..., ,k

k

V

S V

T S V

u u u T

1

Sea un espacio vectorial.

Sea un subespacio vectorial de .

Sea una transformación lineal.

Sean vectores propios de ,

con valores propios diferentes

entonces los vectores 1 2, ,..., ku u u son

linealmente independientes.

1 1 1

1

1 1 1

1

1.

,

0 0

0

k

Tu u

u

c u c

u

Demostración por inducción:

1) Lo probamos para

Es decir, probamos que si

es linealmente independiente.

implica necesariamente que

ya que

1 2 3 1

-1.

, , ,..., k

k

u u u u

Demostración por inducción:

2) Lo suponemos para

Es decir, suponemos que el

conjunto es

linealmente independiente

1

1 1

.

0

0 1,2,3...,

k

i ii

i

k k

i i i i i i ii i

k

c u

c i k

T c u c T u c u

Demostración por inducción:

3) Lo probamos para

Es decir, queremos probar ahora que si

entonces para toda

Como el mapeo es lineal, tenemos

1

k

i

1 1 1

1 1 1 1

1 1

1

0

k k k

i i i i i i ii i i

k k k k

i i k i i i i i k i ii i i i

k k

k k k i i i k k k k i ii i

k

i i k ii

T c u c T u c u

T c u c u c u c u

c u c u c u c u

c u

Como el mapeo es lineal, tenemos

así que

1

1 2 3 1

0

, , ,...,

0 1,2,..., 1

k

i i k ii

k

i i k

i k

i

c u

u u u u

c i k

Como hemos supuesto que el conjunto

es linealmente independiente

entonces

para

Como se supuso entonces

para

1

0 1,2,..., 1

0

i

k

i ii

k k

k

c i k

c u

u

c

para

Regresando a la expresión original

tenemos

y como obligatoriamente

1 2

2

, ,...,

, ,...,1

El inverso del teorema anterior no es válido.

Si tiene vectores propios independientes

, entonces los valores propios

correspondientes no son necesa-

riamente distintos.

Por eje

k

T

u u u

0

mplo, para la transformación identidad ,

, todo vector es un vector propio,

pero solo hay un valor propio, el 1.

I

I x x x

dim :V n T V V

n

T n

V

Si , toda transformación lineal

tiene como máximo distintos valores propios.

Si tiene exactamente distintos valores propios,

los vectores propios correspondientes forman una

base de y T la matriz de relativa a esta base es

una matriz diagonal con los valores propios como

elementos diagonales.

n

La existencia de es una

condición suficiente, pero no necesaria

para tener una representación diagonal.

Hay transformaciones line

valores propios

valores prop

ales con menos

de diferentes cuya

re

ios

presentación es diagonal.

La existencia de

linealmente independientes es una

condición necesaria y suficiente para

que la transformación lineal tenga

una representación ma

v

t

ectores

ricial d

p

iagonal.

ropiosn

T

: (dim )

0

,

0

lineal

con

Queremos encontrar entonces los valores tales

que la ecuación tenga solución

O sea,

con

T V V V n

Tx x x

Tx x

I T

Tx Ix

x

Ix Tx

x

: (dim ); 0

,

0

lineal, con

Si es la matriz asociada a la transformación

entonces la ecuación

tiene una solución diferente de cero, si y sólo

si, la matriz es singular, es deci

T V V V n Tx x x

A

I

T

x

I A

A x

r, no tiene

inversa, es decir, su determinante es igual a cero

: (dim )

0

det 0

.

lineal,

con

Si es un valor propio de , entonces satisface

la ecuación

Inversamente, si satisface esta ecuación,

entonces es un valor propio de

T V V V n T A

Tx x x

T

I A

T

det

0

det 1 det

matriz la matriz identidad

Definimos la función

Entonces

a) es un polinomio de grado en

b) El término de mayor grado es

c) El término constante, , es

es lla

n

A n n I n n

f I A

f n

f

A A

f

mado el polinomio característico de A

dim

:

,

.

V R

V n

T V V T A

T

A

R

espacio vectorial sobre

lineal, y

Los de son las raices del

polinomios característico de la matriz , q

valores

ue

caen e

propi

n

os

dim

:

,

.

V R

V n

T V V T A

T

A

espacio vectorial sobre

lineal, y

Los valores propios de son también

los valores propios de la matriz

Lo mismo se dice de los vectores propios.

Calculo de los valores propios de una matriz 3x3 multiplicidad 1_1.tex

Calculo de los valores propios de una matriz 3x3 multiplicidad 1_2.tex

Calculo de los valores propios de una matriz 3x3.tex

2

de

, ,...,

t

n

f I A

A n n

A

1Sean las raices del polinomio caracterís-

tico de , donde cada raiz está escri

Sea el polinomio caracter

ta tanta veces

como lo ind

ístico de

una

ica su multip

matriz

licidad.

-

1 2

11 1 0

...

n

n nn

f

f n

f c c c

Podemos escribir

Como es un polinomio de grado , con primer

coeficiente 1, también podemos poner

-

1 2

11 1 0

0 1 2

0

1 2

... ;

...

1 ...

det

det ...

n

n nn

n

f

f c c c

c

c A

A

Es claro, que

Pero ya sabíamos que así que

El determinante de una matriz esigual al producto de las raices desu polinomio característico.

1

2

3

1 2

0 0 . ... 0

0 0 0 ... 0

. .

. . 0

0 0

det ...

n

nA

El determinante de una matriz es igual al productode las raices de su polinomio característico.

1

1 2 1 1 0

1 1 2

... ; ...

...

.

Es claro también, que

A la suma de las raices del polinomio característico de

una matriz, se le llama y se denota como

Así

traz

q

a

ue

tr

n n

n

f f c c c

c

A

1 .trA

0

11 1 0

0

det

...

de

t

n

ii

n nn

f I A

A n n

A

I A

f c c c

c A

Tenemos por definición Tr

Si calculamos explicitamente obtenemos

el p

Sea el polinomio característico de

una matriz

olinomio

con

y 11

1

n

ii

n

n i

i

c A

A a

E

nto

tr

nces tr

11 1211 22 12 21

21 22

211 22 121 2 211 2

1) 2k

a aa a a a

a a

a a a a

Lo demostramos para

11 12 1, 1

21 22

1,1 1,2 1, 1

1 20

1

2) 1

. . .

.

. . .

...k

iii

k

k k k k

k k

k

a a a

a a

a a a

a c

Lo suponemos para

11 12 1

21 22

1,1 1,2

1 2

11 12 1

21 22

1,1 1,2 1, 1

-2

. . .

.

. . .

.

. . .

k

k k

k k kk

k

kk

k k k k

k

a a a

a a

a a a

a a

a

a a a

terminos en o menor

11 12 1

21 22

-2

1,1 1,2 1, 1

11 2 -2

01

11 1

01

. . .

.

. . .

...

k

kkk

k k k k

kk k k

kk iii

kk k k

ii kk kk iii i

a a a

a a

a

a a a

a a c

a c a a a

terminos en o menor

12 -2

01

11 2 -2

01

...

... ...

kk k

kk

kk k k k

kk ii kk

k

iii i

a c

c a a a ca

terminos en o menor

La traza de una matriz cuadrada es la suma de los elementos diagonales

Son matrices que representan

la misma transformación, pero

respecto a diferentes bases

y por ello parecen diferentes

1 2

: ; ; dim ; dim

, ,...,

n

m

n

i

n

T V W V n W m

e e e V

w w w W

T A T e T e T e

T e W

w w w

lineal

una base de

donde los están escritos

en la base

Si usamos bases diferentes

para y para , tenemos

representaciones diferentes

de la misma transformación,

es decir, matrices diferentes.

V W

1 1

: . ; dim

,..., ,...,

1,2,..., 1,2,...,

n n

e ik u kj

n n

k ik i j kj ki k

T V V T V n

e e u u

A a B b

T e a e T u b u

k n j n

lineal

1

1,2,...,n

j kj kk

kj

u

e

u c e j n

c

C c

n n

Los elementos de la base pueden ser escritos

en términos de los elementos de la base

Los coeficientes constituyen una matriz

que es una matriz no singular (porq

V V

ue

mapea una base de en otra base de )

1 1

1

,..., ,...,n n

n

j kj kk

n

E e e U u u

u c e

U EC

Si definimos las matrices

y

cuyos elementos son los vectores de

las dos bases, tenemos que la relación

se escribe matricialmente como

1

1 1

1,2,...,n

j kj kk

n n

j kj k kj kk k

u c e j n

T

T u T c e c T e

Tenemos

Como el mapeo es lineal

1 1

1

,..., ,...,n n

n

k ik ii

n

j kj kk

n

j kj kk

E T e T e U T u T u

T e a e E EA

T u b u U UB

T u c T e U E C

Definiendo ahora

y

tenemos las siguientes traducciones:

1

1 1

1

,..., ,...,

n n

E e e U u u

E T e T e U T u T u

U E

U E C EAC

U EC E UC

U EAC UC AC

U UB UC AC

C E EA U UB U E

B C

C

C A

y

1 1

1

: dim

,..., ,...,

lineal

Siempre existe , no singular, tal que

y

n n

e ik u kj

T V V T V n

e e u u

A a B b

C

B C AC

U EC

1

.Sean y dos matrices

Si existe una matriz no singular que

las relaciona de la siguiente manera

entonces y representan la misma

transformación lineal

A B n n

C

B C AC

A B

1

.Sean y dos matrices

Si existe una matriz no singular que

las re

SIMILARE

laciona de la siguiente manera

entonces se dice que son

S

A B n n

C

B C AC

n nDos matrices son similares

si y sólo si

representan la misma

transformación lineal

Las matrices similares tienen•El mismo determinante•La misma traza•Los mismo valores propios•El mismo polinomio característico•El mismo polinomio minimal•El mismo rango

1

: ; ; dim

,..., n

T V V V n

T n

V

lineal

Suponemos que el polinomio característico

de tiene raices diferentes (en el campo

correspondiente):

a) Los correspondientes vectores propios

forman una base de

1

: ; ; dim

,...,

n

T V V V n

T n

T

u u

lineal

Suponemos que el polinomio característico

de tiene raices diferentes (en el campo

correspondiente):

b) La matriz que representa a , respecto

a la base ordenada ,

,..., n 1

es la matriz

diagonal

=diag

1

: ; ; dim

,...,

n

T V V V n

T n

A T

E e

lineal

Suponemos que el polinomio característico

de tiene raices diferentes (en el campo

correspondiente):

c) Si es la matriz que representa a , respecto

a otra base -1

ne

C AC

C

U EC

, entonces

donde es la matriz que relaciona las dos bases

k

Si los valores propios no son todos

diferentes,no quiere decir que no haya

una representación diagonal.

Tendremos una representación diagonal,

si y sólo si se tienen vectores linealmente

independientes c

.k

on cada valor propio de

multiplicidad

• Calcular todos los valores propios

• Calcular los vectores propios correspondientes

• Formar la matriz C con los vectores propios

• Aplicar C-1AC

•Ejemplo 1

•Ejemplo 2

•Ejemplo 3

det

0

A n n

f I A

f A

Sea una matriz

y

su polinomio característico,

entonces

Ejemplo 1

Ejemplo 2

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