presentacion sobre matrices rosa depena

Rosa Cristina De Pena Olivares

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE SANTO DOMINGOUASD

FACULTAD DE CIENCIASESCUELA DE MATEMATICAS

Rosa Cristina De Pena Olivares

• Definición de matriz• Clasificación de las matrices atendiendo al orden• Igualdad de matrices y sus propiedades• Operaciones matriciales• Traza de una matriz cuadrada• Matriz traspuesta y sus propiedades• Potencia entera positiva de una matriz cuadrada• Propiedades de la suma de matrices• Diferencia de matrices• Multiplicación de una matriz por un escalar• Producto de matrices• Propiedades de la multiplicación de matrices• Tipos especiales de matrices• Ecuaciones que contienen matrices.

Rosa Cristina De Pena Olivares

Una matriz

Es un arreglo cuadrado o rectangular de elementos ordenados en filas y columnas, donde una fila es cada una de las líneas horizontales de la matriz y una columna es cada una de las líneas verticales

Regularmente, se denotan a las matrices con letras mayúsculas mientras que se utilizan las correspondientes letras en minúsculas para denotar a los elementos de las mismas.

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Ejemplo:

Amxn=

Nota: m= fila n= columna

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A una matriz con m filas y n columnas se le denomina matriz m-por n (escrito m×n), y a m y n dimensiones de la matriz.

Las dimensiones de una matriz siempre se dan con el número de filas primero y el número de columnas después. Comúnmente se dice que una matriz m-por-n tiene un orden de m × n ("orden" tiene el significado de tamaño).

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Dos matrices se dice que son iguales si son del mismo orden y tienen los mismos elementos.

Al elemento de una matriz que se encuentra en la fila i-ésima y la columna j-ésima se le llama elemento i,j o elemento (i,j)-iésimo de la matriz. Se vuelve a poner primero las filas y después las columnas.

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Se llama matriz de dimensión m x n a un conjunto de números reales dispuestos en m filas y n columnas de la siguiente forma:

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Matriz Nula

Es aquella matriz cuyos elementos son iguales a cero

Ejemplo:

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Matriz Fila

Es aquella matriz que tiene una sola fila. Ejemplo:

La matriz es una matriz 1×9, o un vector fila con 9 elementos.

Matriz ColumnaEs aquella matriz que tiene una sola columnaEjemplo:

Amx1=

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Matriz Nula

Es aquella matriz cuyos elementos son iguales a ceroEjemplo:

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SI !! SI !!

Podemos sumar, restar, y Podemos sumar, restar, y multiplicar por un escalar y multiplicar por un escalar y

multiplicar matrices.multiplicar matrices.

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Para poder sumar o restar matrices, éstas deben tener el mismo número de filas y de columnas. Es decir, si una matriz es de orden 3 x 2 y otra de 3 x 3, no se pueden sumar ni restar.

Esto es así ya que, tanto para la suma como para la resta, se suman o se restan los términos que ocupan el mismo lugar en las matrices.

Veamos ejemplos de Adicción y Sustracción

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Propiedades de la suma de matrices

Existe 0mxn ε Rmxn , tal que Amxn + 0mxn = AmxnLa matriz 0mxn es aquella cuyos elementos son todos iguales a cero, y a la que llamaremos Matriz Cero o Matriz Nula. Se presentara por 0n, si m = n.

La matriz cero es el elemento identidad para la suma de matrices.

= =

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En el conjunto Rmxn la suma de matrices es una operación:

*Conmutativa por ser los elementos de las matrices números reales y por verificarse la conmutatividad de la suma de números reales. Es decir: Amxn + Bmxn = Bmxn +Amxn

* Asociativa, es decir, si A, B y C ε Rmxn, entonces: (A + B) + C = A+ (B + C)

*Toda matriz Amxn ε Rmxn tiene una inversa aditiva: -Amxn, tal que:Amxn + (-Amxn) = 0mxn

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Sumamos cada término con su correspondiente en el espacio en la otra matriz.

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Operaciones Con Matrices

Adición:

A+B = [aij ]mxn + [bij]mxn = [aij + bij]mxn

Nota: Donde: i→ es la i-esima fila j→ es la j-esima columna

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Ejemplo

Efectuar la siguiente suma:

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Si A y B ε Rmxn, entonces la diferencia de A y B, que se denota por :

A - B es una matriz C ε Rmxn, tal que C es la suma de la matriz A y la negativa de B, es decir:

C = A – B = A + (-B)

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Para realizar la sustracción de matrices procedemos como en la suma. Pero sumamos al minuendo el opuesto del sustraendo.

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No necesariamente para poder sumar o restar matrices, éstas tienen que ser cuadradas. Sin embargo, en una operación definida el orden de las matrices a operar debe ser el mismo para poder efectuar la adición o sustracción matricial.

Sustracción o Diferencia:A-B = A + (-B)A-B = [aij]mxn + [-bij]mxn = [aij - bij]mxn

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Ejemplo de Sustracción de matrices

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Propiedades de la Igualdad de matrices

A = A Propiedad Reflexiva

[A=B]→[B=A] Propiedad Simétrica

Si [A=B]^ [B=C]→[A=C] Propiedad Transitiva

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Para poder multiplicar dos matrices AB, la matriz A debe tener el mismo número de columnas que filas posea B. La matriz resultante del producto quedará con el mismo número de filas de la primera y con el mismo número de columnas de la segunda.

Es decir, si tenemos una matriz 2 x 3 y la multiplicamos por otra de orden 3 x 5, la matriz resultante será de orden 2 x 5. (2 x 3) x (3 x 5) = (2 x 5)

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El producto de matrices no cumple la propiedad conmutativa. Si quisiéramos multiplicar una matriz de orden 3x5 por otra de 2x3 no podríamos efectuar la operación, puesto que la primera matriz no tiene el mismo número de columnas que filas la segunda.

Supongamos que A = (aij ) y B = (bij ) son matrices tales que el número de columnas de A coincide con el número de filas de B; es decir, A es una matriz mxp y B una matriz p x n.

Entonces el producto AB es la matriz mxn cuyos elementos ij se obtiene multiplicando la fila i de A por la columna j de B.

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Propiedades de la multiplicación de matrices

a) A + (B + C) = A.B + A.C Propiedad Distributivab) (A +B). C = A.C + B.C Propiedad Distributiva c) A (B.C) = (A.B) C Propiedad Asociativad) A.B ≠ B.A No se cumple la Propiedad Conmutativae) Si A.B = 0 Esto no implica necesariamente que A = 0 o que B = 0 f) Si A.B = A.C Esto no implica necesariamente que B = C

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1)

2)

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El producto de un escalar k por la matriz A, escrito k·A o simplemente kA, es la matriz obtenida multiplicando cada elemento de A por k:

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A partir de las matrices dadas , realizar las A partir de las matrices dadas , realizar las operaciones indicadas.operaciones indicadas.

A= B=

C

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1) A+2B

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-( 3 - 4 )

2)

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AD =AD =3)

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+

++

−

=

3

4

21

65

wz

yx

w

x

wz

yx

Sencillo: Mediante la Igualdad de Matrices. Si quieres hallar x, y, z, w?

4)

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El conjunto solución es: (x, y, z, w)=(1,7/4,0,1)

+−++++321

64

wwz

yxx=

wz

yx

55

55

4

7

7614

64

65

65

=

=+=+=

+=−++=

y

y

xy

xyy

yxy

0

04

0

0114

15

15

=

==

=−=−=−−+=

z

z

z

wzz

wzz

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La traza de una matriz cuadrada A de nxn está definida como la suma de los elementos de la diagonal principal de A.

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La traza de la matriz A será igual: 4 + 9 + 8 = 21.

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En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros.

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En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros

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Una matriz cuadrada se dice que es diagonal si todos los elementos que no están en la diagonal principal son cero. La matriz identidad es un caso particular de matriz diagonal.

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Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal que son iguales a uno.

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Es toda matriz cuyos elementos de su diagonal principal toman el mismo valor, y los restantes elementos tanto arriba como debajo de la diagonal principal son ceros. La matriz identidad es un caso particular de una matriz diagonal.

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Se llama matriz simétrica a toda matriz cuadrada que coincide con su transpuesta. En una matriz simétrica cualquier par de elementos equidistante respecto a la diagonal principal son iguales.

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Se llama matriz anti simétrica a toda matriz cuadrada que coincide con la opuesta de su transpuesta y cuya diagonal principal es cero. En una matriz simétrica cualquier par de elementos equidistante respecto a la diagonal principal son opuestos.

−−

−

013

107

370

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( )( )( )( ) ttt

tt

ttt

tt

ABAB

kAkA

BABA

AA

=

=

+=+

=

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−

=12

14A

2A

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( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

−−−−++

=11122142

111421442A

−

=12

14A

2A3A =

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( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

−++−++

=13162346

13118234183A

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La ecuación matricial: A+X = B donde A y B son matrices del mismo orden tienen la solución única: X = B + (-A)

La ecuación matricial: AX= Bdonde A y B existen para siempre que exista.La ecuación matricial: XA = Btiene solución única siempre que exista.

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BAX 1−=

1−= BAX 1−A

1−A

=−

37

02

76

42X

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Consideramos X como la matriz:

COMPROBACIONCOMPROBACION

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=

−

37

02

76

42

dc

ba

−−

=

54

23

37

25X

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2)

232 −=+ ba375 =+ ba

475 =+ dc 532 −=+ dc

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232)2

375)1

−=+=+

ba

ba

101510

61410

=−−=+ba

ba( )( ) →−

→5

2

Por

Por

16=− b → 16−=b

23

1151123)16(73735

==+=−−=−=

a

ba

532)4

475)3

−=+=+

dc

dc ( )( ) →−

→5

2

Por

Por

251510

81410

=−−=+dc

dc

3333 −=→=− dd

232)2

375)1

−=+=+

ba

ba

47

2352314)33(74745

==+=−−=−=

c

dc

−−

=

=

3347

1623

dc

baX