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UNIVERSIDAD SERGIO ARBOLEDA Escuela Internacional de Administración y Marketing

Programa de ContaduríaCálculo Diferencial

Docente: José Francisco Barros Troncoso

2019-1

LA MATEMÁTICA

MATEMÁTICAS

La palabra matemática proviene del griego mathema,que significa ciencia, conocimiento, aprendizaje.

De acuerdo a su etimología es la ciencia formal exactaque basada en los principios de la “lógica” estudia laspropiedades de entes abstractos (números, figurasgeométricas, etc.), así como las relaciones que seestablecen entre ellos.

MATEMÁTICAS

Es la ciencia que permite estimular el desarrollo del pensamiento lógico del ser

humano

Las matemáticas son el arte de la explicación.-Paul Lockhart.

La esencia de las matemáticas no es hacer las cosassimples complicadas, sino hacer las cosascomplicadas simples.-S. Gudder.

¿Cuáles son los problemas de la Enseñanza-Aprendizaje de las Matemática?

• La rigurosidad de las matemáticas,

• el enlace entre sus partes,

• la Políticas de Estado (Promoción automática, Decreto 230),

• la Sociedad,

• la falta de especialistas en los primeros años de escolaridad,

• el maestro de matemáticas,

• la familia (El primer conocimiento numérico es aportado en el hogar) y

• El estudiante

Evolución de la matemáticas

• La propiedad privada (La necesidad de contar)

• El número

Los Números Arábigos

LECTURA DE NÚMEROS

• Ejercicio. Escriba con palabras cada números

1. 12 600 025

2. 325 001 207

3. 1 948 562 354

4. 1 000 000 000 000

5. El número de tu celular

LECTURA DE NÚMEROS

• Ejercicio. Escriba el número que representa cada enunciado

1. Ocho millones setecientos cincuenta y tres mil quinientos veinte y cuatro

2. Cuarenta y dos millones setecientos cuatro mil doscientos cinco

3. Setecientos cinco millones cuatrocientos seis

4. Mil cincuenta dos millones trescientos nueve

5. Ciento veinte y cinco billones

Operadores• Los lógicos, permiten combinar expresiones (y, o, no).

• De relación: permiten realizar comparaciones entre valores (=, <, ≤, >, ≥, ≠).

• Aritméticos: Indican una operación• Adición o Suma (+)• Sustracción o resta (-)• Multiplicación ( x, *, . , la ausencia de signo se asume que hay una

multiplicación 2a) • División ( ÷,/)• Potenciación(Λ)• Radicación (√)

Reglas de Prioridad de los Operadores Aritméticos

Las expresiones de dos o más operandos requieren de reglas que permitan el orden de las operaciones, este orden es:

• Los signos de agrupación: ( ), [ ], { }

• Logaritmación

• Potenciación y radicación

• Multiplicación y división

• Suma y resta

Si en una expresión se encuentran dos operadores del mismo nivel de prioridad se resuelve de izquierda a derecha.

Ejercicios -1

Calcule:

1. 5 + 9 × 2

2. 12 − 6 ÷ 3

3. 4 + 8 ÷ 2 − 1

4. 17 − 23 × 2

5. 15 + 81 ÷ 3

6. 16 + 24 ÷ 8 −364 × 3

7. 3 + 8 − 6 + 5 − 4

= 23

= 10

= 7

= 1

= 18

= 6

= 4

EjercicioUbique los signos de agrupación en el lugar adecuado para obtener el resultado indicado:

6 + 8 ÷ 2 – 3 × 1 = 46 + 8 ÷ 2 – 3 × 1 = −26 + 8 ÷ 2 – 3 × 1 = 76 + 8 ÷ 2 – 3 × 1 = −14

ℚ

CONJUNTO DE NÚMEROS

ℕ𝐼ℝ = +

Conjunto de los Números NaturalesEjercicio -2• 7905 + 8398 + 1027

• 3051 − 1378

• 456 × 98

• 87 ÷ 19

• Tres hermanos tienen un restaurante que venden tres tipos debandejas: la corriente, la especial y la mega a $10 900, $14 900 y $18900 respectivamente. El día anterior se vendieron 25 corrientes, 18especiales y 12 megas, si se invirtieron $250 000 y la gananciaobtenida se reparte en partes iguales ¿Cuánto le corresponde a cadauno?

= 17330

= 1673

= 44688

= 4 y sobran 11

R/ A cada uno le corresponde $1725000

Los Números Enteros

Se representan con la letra Ζ y son:

𝑍 = −∞,… ,−1,0,1, … ,∞

El origen del uso de Z es el alemán Zahlen 'números'.

Ley de Signos

Multiplicación y División

Signos Iguales+ × + = +− × − = ++ ÷ + = +− ÷ − = +

Signos Contrarios+ × − = −− × + = −+ ÷ − = −− ÷ + = −

Ley de SignosSuma y Resta

Valor Absoluto de un Número: Es la distancia del número al cero, por ello este valor siempre es positivo, es decir no tiene en cuenta el signo. Si 𝑥 es un número entero el valor absoluto de 𝑥 se representa |𝑥|.

Signos Iguales Signos Contrarios

Se suman y el resultadoqueda con el signo de losnúmeros

Se restan y al resultado sele asigna el signo delnúmero de mayor valorabsoluto

Ejercicios-11. −3 × −5

2. 18 ÷ −3

3. 9 − 12

4. −4 − 7

5. 6 + 8 − 4 − 7 − 3 + 1

6. −12 + 6 − 2 − 7

7. −5 × −8 ÷ −4

8. 6 + 28 ÷ 7 − 8

9. −4 {8 × − −21 + 3 ÷ 3 −2 + 4 }

Problema

Un Tanque contiene 23500 litros de agua antes de iniciarel lavado de café.¿Cuántos litros de agua quedan en el tanque después de 5

horas, si se gastan un promedio de 80 litros porminuto?

Problema

Un comerciante ha comprado una caja con 56 manzanas por

$89 600. Si se venden 20 manzanas $2000 la unidad, 10

paquetes de tres manzanas ha $3000 cada paquete y el resto se

estropeo ¿cuántas manzanas se le estropearon? ¿Cuál es la

utilidad obtenida?

Números Decimales

Un número decimal está compuesto por unaparte entera y una parte decimal separadaspor una coma o un punto decimal(calculadora).

Las unidades fraccionarias a la derecha de lacoma se llaman décimas, centésimas,milésimas, diezmilésimas,…, millonésimas.

Números Decimales

Clasificación de los Números Decimales

• Decimal exacto es el que tiene un número limitado de cifrasdecimales.

Por ejemplo: 5,4; 0,97; 8; –0,0725

• Decimal periódico es el que tiene infinitas cifras decimales que serepiten periódicamente.

Por ejemplo: 7,81818181; 0,735735735; 18352222;0,0454545

• Decimales no exactos ni periódicos. Son los números decimales quetienen infinitas cifras que no se repiten periódicamente (Irracionales).

Por ejemplo: √2 = 1,4142135… 𝜋 = 3,14159265…

Números Decimales

• Ejercicio-2. Lea cada número decimal

1. 0,5

2. 0,16

3. 1,73

4. 635,04

5. 2,102

Cinco Décimas

Diez y seis centésimas

Una unidad y setenta y tres centésimas

Seis cientos treinta y cinco unidades y 4 centésimas

Dos unidades y ciento dos milésimas

Ejercicio-3

• Calcule

1. 465,73 + 81,5 + 63,09

2. 22,88 − 11,99

3. 33,5 × 4,2

4. 170,4 ÷ 4,8

610,32

10,89

140,7

35,5

Ejercicios-4

1. Calculara. 15,23 + 7,3 + 0,56b. 204,05 − 67,48c. 161,7 × 4,68d. 768 ÷ 30

2. Resolver

Lucy, Olga y Mafe le organizan una fiesta a su amiga Lucia por sucumpleaños, para ello compran 3 gaseosas a $2,5 cada una, 5 maquetesde mecatos en $0,75 la unidad, 2 pizzas a $20,5 cada una, un pudín quecostó $23,5, y 2 litros de helado a un precio de 12,5 el litro. Si la mamáde Lucia aporto $37 y el resto lo pagaron ellas en partes iguales ¿cuántole corresponde pagar cada una?

= 23,09= 136,57

= 756,756

= 25,51

A cada una le corresponde pagar $21,25

Números Racionales

El conjunto de los números racionales se designan con "Q" por"quotient" que significa "cociente" en varios idiomas europeos. Elconjunto Q de los números racionales está compuesto por los númerosenteros y por los fraccionarios.

• En general

𝑄 =𝑎

𝑏/𝑎, 𝑏 ∈ ℤ 𝑐𝑜𝑛 𝑏 ≠ 0

• Donde 𝑎 se denomina el numerador y 𝑏 denominador.

• Un racional es una división indicada.

Números Racionales

Existen dos tipos de racionales,

• Los propios: son aquellos menores que la unidad es decir elnumerador es menor que el denominador, ejemplo: 1 2, 2 3 y 1115

• Los impropios: son aquellos mayores que la unidad, es decir elnumerador es mayor que el denominador, ejemplo: 5 2,

73 𝑦 19

4.

Los racionales impropios se pueden convertir en números mixtos,ejemplo: 21

3, 5

1

4, 7

3

8

• Dado el racional 𝑎

𝑏se cumple

Números Racionales -Propiedades

Si 𝒃 = 𝟏

Si 𝒂 = 𝒃

Si 𝒂 = 𝟎

Si 𝒃 = 𝟎

𝒂

𝒃= 𝒂

𝒂

𝒃= 𝟏

𝒂

𝒃= 𝟎

𝒂

𝒃= ∞

Números FraccionariosOperaciones

• Multiplicación𝑎

𝑏×𝑐

𝑑=𝑎 × 𝑐

𝑏 × 𝑑• División

𝑎

𝑏÷𝑐

𝑑=𝑎

𝑏×𝑑

𝑐=𝑎 × 𝑑

𝑏 × 𝑐,también

𝑎𝑏𝑐𝑑

=𝑎 × 𝑑

𝑏 × 𝑐

“Ley de la Oreja”

• Suma y Resta• Homogéneos

𝑎

𝑏±𝑐

𝑏=𝑎 ± 𝑐

𝑏• Heterogéneos

𝑎

𝑏±𝑐

𝑑=𝑎 × 𝑑 ± 𝑏 × 𝑐

𝑏 × 𝑑

𝑎

𝑏±

𝑐

𝑑

“Carita Feliz”

Ejercicio-3

1.2

3+

5

3

2.𝟑

𝟒×

𝟏

𝟓

3.𝟑

𝟒÷

𝟐

𝟕

4.𝟓

𝟑−

𝟏

𝟔

5.2

3+ 3

Ejercicio-3

3

4+2

5

Ejercicio-4

8

3+5

6−1

4

Ejercicio-5

𝟑

𝟓−𝟒

𝟓×𝟒

𝟑+𝟏

𝟑÷𝟑

𝟕

3

8×

5

3−1

2÷

4

11×

3

4+1

5

Problema-6De un tanque de gas se gastó 2/5 en la primera semana, 1/4 en lasegunda, 3/20 en la tercera y 1/5 la cuarta semana ¿Qué fracción degas queda en el tanque? Si el tanque se llena con 5000 cc ¿qué fracciónde gas se gastó cada semana?

Problema-6

En una estación de gasolina se llena el depósito el lunes con2500 galones, el mismo día se venden 600 galones, el martes 500galones y el miércoles 300 galones ¿Qué fracción de gasolina sevendió cada día? ¿Qué fracción de gasolina queda en el depósito?

Número Irracional

Son aquellos números infinitos que tienen una expresión decimal no

periódica y se representan con la letra I. Estos números no se pueden

representar como racionales, es decir de la forma a/b.

Ejemplo:

Las raíces pares de los números primos son decimales infinitos no periódicos

por lo tanto hacen parte del conjunto de los números irracionales:

2, 3, 5…

Número Irracional• El número pi (𝜋 = 3,14159265… ) que es la proporción entre la

longitud de una circunferencia y su diámetro.

• El número Euler 𝑒 = lim𝑛→∞

1 +1

𝑛

𝑛= 2.71828182845905… que

aparece en procesos de crecimiento y decrecimiento, e es la base de los logaritmos naturales.

• El número áureo 𝜙 =1+ 5

2= 1.618033988749… utilizado por

artistas de todas las épocas (Fidias, Leonardo da Vinci, AlbertoDurero, Dalí,..) en las proporciones de sus obras.