polinomios, fundamentos básicos

POLINOMIOS

FUNDAMENTOS BÁSICOS

3º ESO

Expresiones algebraicas

Una expresión algebraica es una combinaciónde letras y números ligadas por los signos de la

operaciones:adición, sustracción,multiplicación, división y potenciación.

• Longitud de la circunferencia: L = 2∏r, r es el radio de la circunferencia.

• Área del cuadrado: S = l2, l es el lado del cuadrado.

Valor numérico de una expresión algebraica

El valor numérico de una expresión algebraica, para un determinado valor, es el número que se obtiene al sustituir las indeterminadas por valores concretos

L(r) = 2∏r,

r = 5 cm. L (5)= 2 · ∏ . 5 = 31,41 cm

Tipos de expresiones algebraicas

• Un MONOMIO es una expresión algebraica formada

por un solo término. 5 x2

• Un BINOMIO es una expresión algebraica formada por

dos términos. 6 x7 - 2

• Un TRINOMIO es una expresión algebraica formada

por tres términos. 3 x5 + 4 x3 - x2

• Un POLINOMIO es una expresión algebraica formada

por más de un término. 5 x6 + 3 x4 - x2+ 3 x

Polinomios

• Un polinomio es una suma de términos llamados monomios no semejantes:

P(x)= 5 x6 + 3 x4 - x2+ 3 x+4

Por ello es importante saber más cosas sobre los monomios

MONOMIO

• Un monomio es una expresión algebraica en la que las únicas operaciones que aparecen entre las variables son el producto y la potencia de exponente natural.

2x2 y3 z

– 4 a3bTÉRMINO

PARTE LITERAL

PARTE NUMÉRICA

COEFICIENTE

GRADO 3+1

Partes de un monomio

Partes de un monomio

• El coeficiente del monomio es el número que aparece multiplicando a las variables. – 4 a3b

• La parte literal está constituida por las letras y sus exponentes. – 4 a3b

• El grado de un monomio es la suma de todos los

exponentes de las letras o variables. – 4 a3b1

El grado es: 3 + 1 = 4

GRADO DE UN MONOMIO

• El grado de un monomio es la suma de todos los exponentes de las letras o variables.

El grado de:

2x2 y3 z

es: 2 + 3 + 1 = 6

GRADO DE UN POLINOMIO

• El grado de un polinomio es el mayor grado de los términos que la forman:

El grado de:

P(x)= x4 + x3 − 2x2+ 3x + 2

es: 4

Monomios semejantes

• Dos monomios son semejantes cuando tienen la misma parte literal.

2x2 y3 z es semejante a 5x2 y3 z

Cálculo del valor numérico

2x + 59= 3x + 23 = x + 12=

2x – 4 = 5x – 10 = X=3X=-2

x + 9= 4x – 12=

Cálculo del valor numérico

2x + 59= 65

3x + 23 =32 x + 12= 15

2x – 4 = 2 5x – 10 = 5 X=3X=-2

x + 9=12 4x – 12=0

Cálculo del valor numérico

2x + 59= 55

3x + 23 =17 x + 12= 10

2x – 4 =-8 5x – 10 =-20 X=3X=-2

x + 9= 7 4x – 12=-20

Recordamoscosas de 1º de ESO

¿cómo se hacen las sumas y las restas algebraicas?

• Sumo o resto sólo el coeficiente.• 3 ₧ + 5 € + 7₤- 2 ₧ + 4 € + 9₤= • 3 ₧ - 2 ₧ =• 5 € + 4 € =• 7₤+ 9₤=

¿cómo se hacen las sumas y las restas algebraicas?

• Sumo o resto sólo el coeficiente.• 3 ₧ + 5 € + 7₤- 2 ₧ + 4 € + 9₤= = 1 ₧ + 9 € + 16 ₤• 3 ₧ - 2 ₧ = 1 ₧• 5 € + 4 € =9 €• 7₤+ 9₤=16 ₤

Suma y resta de expresiones algebraicas

• a)5x + 2 - x + 10=• b) 1 + 3x + 2x – 7=• c) 2 + 7x - 4 – 3x=• d) x – 18 + 2x – 3=• e) – 5 – 2x + 3 – 8x – 2=

Suma y resta de expresiones algebraicas

• a)5x + 2 - x + 10= 4x+12• b) 1 + 3x + 2x - 7= 5x-6• c) 2 + 7x - 4 – 3x= 4x - 2• d) x – 18 + 2x – 3= 3x - 21• e) – 5 – 2x + 3 – 8x – 2= - 10x- 2

Multiplicar y dividir expresiones algebraicas

• Se opera:• la parte NUMÉRICA con la parte

NUMÉRICA

• la parte LITERAL con la parte LITERAL

Multiplicar expresiones algebraicas

• a) 3x . 2 = 3.2.x = 6 x• b) 5x . x = 5 x2

• c) 2x . 4x = 2.4.x.x = 8 x2

Multiplicar expresiones algebraicas

• Cuando se multiplican potencias de la misma base, se suman los exponentes (aplica a la parte literal)

8 x2 . 2 x3 = 8.2 x2. x3 = 16 x2+3 = 16 x5

Multiplicar expresiones algebraicas

• ejemplos

a. 8 . 5 x6 =b. 6x.2 y=c. 3x.-10 . 2x=d. 2x. 5xy2. 3x=

Multiplicar expresiones algebraicas

• ejemplos

a. 8 . 5 x6 = 40 x6

b. 6x.2 y= 12 x yc. 3x.-10 . 2x= -60 x2

d. 2x. 5xy2. 3x= 30 x3 y2

expresiones algebraicaspropiedad distributiva

2 · (6 – x) = 2.6 – 2.x =12-2x

Multiplicar estas expresiones algebraicas

a) 5(2 – x)b) 3(x + 6) = c) 4(6 + 2x) =d) 3 (x + 8) = e) – 5(x – 5) = f) 2(x + 6) = g) 10(x – 2) =

Multiplicar estas expresiones algebraicas

a) 5(2 – x)= 10 – 5xb) 3(x + 6) =3x + 18 c) 4(6 + 2x) = 24 + 8xd) 3 (x + 8) = 3x + 24e) – 5(x – 5) = -5x + 25f) 2(x + 6) = 2x + 12g) 10(x – 2) = 10x-20

Sacar factor común

El FACTOR COMÚN es el elemento que multiplica a TODOS los términos.

Sacar factor común

¿cuál es el FACTOR COMÚN? • 3+ 9- 12- 21 = 3.(1+3-4-7)• 120 + 10 -15= 5.(24+ 2 -3)• 2x2 + 4x +10xy= 2x(x+2+5y)• 6xzy - xz + xy = x(6zy-z+y)• 4@Ω - 2@ +5 Ω = ninguno

Sacar factor común

¿cuál es el FACTOR COMÚN? • 3+ 9- 12- 21 = 3.(1+3-4-7)• 120 + 10 -15= 5.(24+ 2 -3)• 2x2 + 4x +10xy= 2x(x+2+5y)• 6xzy - xz + xy = x(6zy-z+y)• 4@Ω - 2@ +5 Ω = ninguno

Polinomio completoPolinomio completo• Es aquel polinomio que tiene todos los

términos desde el término independiente hasta el término de mayor grado.

P(x) = 2x3 + 3x2 + 5x - 3

Ordenar polinomios

• Un polinomio está ordenado si los monomios que lo forman están escritos de mayor a menor grado.

P(x) = 2x3 + 5x - 3

Reducción de términos semejantes de un polinomio

Polinomios semejantes• Dos polinomios son semejantes si verifican

que tienen la misma parte literal.

P(x) = 2x3 + 5x − 3 Q(x) = 5x3 − 2x − 7

Suma de polinomiosse suman los coeficientes de los términos del

mismo grado. P(x) = 2x3 + 5x − 3 Q(x) = 4x − 3x2 + 2x3

1. Ordenamos los polinomios, si no lo están. Q(x) = 2x3 − 3x2 + 4xP(x) + Q(x) = (2x3 + 5x − 3) + (2x3 − 3x2 + 4x)

2. Agrupamos los monomios del mismo grado. P(x) + Q(x) = 2x3 + 2x3 − 3 x2 + 5x + 4x − 33. Sumamos los monomios semejantes

P(x) + Q(x) = 4x3- 3x2 + 9x - 3

Suma de polinomios• También podemos sumar polinomios

escribiendo uno debajo del otro, de forma que los monomios semejantes queden en columnas y se puedan sumar.

P(x) = 7x4 + 4x2 + 7x + 2 Q(x) = 6x3 + 8x +37x4 + 4x2 + 7x + 2

+ 6x3 + 8x +3 7x4 + 6x3 + 4x2 + 15x + 5

P(x) + Q(x) = 7x4 + 6x3 + 4x2 + 15x + 5

Resta de polinomiosconsiste en sumar el opuesto del sustraendo. P(x) = (2x3 + 5x − 3) Q(x) =(2x3 − 3x2 + 4x)

P(x) − Q(x) = (2x3 + 5x − 3) − (2x3 − 3x2 + 4x)

P(x) − Q(x) = 2x3 + 5x − 3 − 2x3 + 3x2 − 4x

Se agrupan los términos semejantes

P(x) − Q(x) = 2x3 − 2x3 + 3x2 + 5x − 4x − 3 operando:P(x) − Q(x) = 3x2 + x − 3

Resta de polinomios• También podemos restar polinomios escribiendo

uno debajo del otro, de forma que los monomios semejantes queden en columnas y se puedan sumar después de cambiarle el signo

P(x) = 2x3 + 5x − 3 Q(x) =2x3 − 3x2 + 4x 2x3 + 5x − 3

+ − 2x3 + 3x2 − 4x 3x2 + x − 3

P(x) + Q(x) = 3x2 + x − 3

Multiplicación de polinomios Multiplicación de un número por un polinomio

• Se multiplica el número por los coeficientes del polinomio

3 · (2x3 − 3 x2 + 4x − 2) = 6x3 − 9x2 + 12x − 6

Multiplicación de polinomios Multiplicación de un monomio por un

polinomio• Se multiplica la parte numérica por los

coeficientes del polinomio y la parte literal del monomio por la parte literal del polinomio

3 x2 · (2x3 − 3 x2 + 4x − 2) = 6x5 − 9x4 + 12x3− 6 x2

Multiplicación de polinomios Multiplicación de polinomios P(x) = 2x2 − 3 Q(x) = 2x3 − 3x2 + 4x• Se multiplica cada monomio del primer

polinomio por todos los elementos segundo polinomio.

P(x) · Q(x) = (2x2 − 3) · (2x3 − 3x2 + 4x) = = 4x5 − 6x4 + 8x3 − 6x3 + 9x2 − 12x = • Se suman los monomios del mismo grado. P(x) · Q(x) = 4x5 − 6x4 + 2x3 + 9x2 − 12x

Multiplicación de polinomios Multiplicación de polinomios P(x) = 2x2 − 3 Q(x) = 2x3 − 3x2 + 4x• Haciendo la operación en vertical

2x4 − 3x2 + 4x 2x2 − 3

-6x4 + 9x2 - 12x2x4 − 3x2 + 4x

4x6 -4x4 + 8x3

4x6 − 2x4 + 8x3 -3x2 +4x

P(x) · Q(x) = 4x6 − 2x4 + 8x3 -3x2 +4x

Igualdades notables Se denominan así a algunas operaciones con

polinomios que aparecerán frecuentemente en los cálculos.

Las más usuales son:

• Cuadrado de un binomio: suma (a + b)2 o diferencia (a - b)2

• Suma por diferencia: (a + b) · (a - b)

Igualdades notables • Cuadrado de un binomio: suma (a + b)2 o

diferencia (a - b)2

(a + b)2 = (a + b ) · (a + b) = a2 + ab + ba + b2 = a2 + 2ab + b2

De modo similar: (a - b)2 = a2 - 2ab + b2

El cuadrado de un binomio es igual al cuadrado del primero más o menos dos veces el primero por el segundo más el cuadrado del segundo

Igualdades notables • Suma por diferencia: (a + b) · (a - b)

• (a + b) · (a - b) = a2 - ab + ba + b2 = a2 - b2

• Siempre recordamos que " suma por diferencia es igual a la diferencia de los cuadrados

División de polinomios • P(x) = 2x5 + 2x3 − x − 8 Q(x) = 3x2 − 2x + 1 • P(x) : Q(x)A la izquierda se situa el dividendo. Si el

polinomio no es completo se dejan huecos en los lugares que correspondan.

• Se divide el primer monomio del dividendo entre

el primer monomio del divisor.x5 : x2 = x3

División de polinomios

• Se multiplica cada término del polinomio divisor

por el resultado anterior y se resta del polinomio dividendo:

División de polinomios

Se vuelve a dividir el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor. Y el resultado lo multiplicamos por el divisor y lo restamos al dividendo.

2x4 : x2 = 2 x2

División de polinomios

División de polinomios

Se procede igual que antes.5x3 : x2 = 5 x

División de polinomios

Se vuelven a hacer las mismas operaciones.8x2 : x2 = 8

10x − 6 es el resto, porque su grado es menor que el del divisor y por tanto no se puede continuar dividiendo.