pautas control nº1 formas a-b y c-algebra lineal-udp-01-2014
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UNIVERSIDAD DIEGO PORTALES Primer Semestre 2014 FACULTAD DE ECONOMA Y EMPRESAS 31 de Marzo de 2014 INGENIERIA COMERCIAL Asignatura: lgebra Lineal
PAUTA Control N1 Horario A
ALGEBRA LINEAL
1.- a) Sabiendo que :
131
122
111
= C ; 213
514 = B ;
35
12
23
A , determine la matriz
X tal que: 2(C Xt ) = (AB)
2.
Desarrollo:
2(C Xt ) = (AB)
2 C X
t =
2
AB 2)( X
t = C
2
AB 2)( X = (C
2
AB 2)() t
.
AB
19811
835
1156
= , luego, 2
AB 2)(
19811
835
1156
19811
835
1156
2
1=
C 2
AB 2)(
131
122
111
=
546231315
23198133
315133182
2
1
548225317
22994137
313131180
2
1 =
Luego, X = (C 2
AB 2)() t
548229313
22594131
317137180
2
1 =
2742
229
2
3132
22547
2
1312
317
2
13790
=
b) Resuelva para XM2 la ecuacin (AXt + B)
t = X + B
tA con A =
11
12 y B =
22
42.
Desarrollo:
(AXt + B)
t = X + B
tA XAt + Bt = X + BtA XAt X = BtA Bt X(At I) = Bt(A I)
Luego, si existe inversa de (At I), entonces X = Bt(A I) (At I) 1. Pero como A =
11
12 es
simtrica pues At = A , obtenemos X = B
t =
24
22.
-
UNIVERSIDAD DIEGO PORTALES Primer Semestre 2014 FACULTAD DE ECONOMA Y EMPRESAS 31 de Marzo de 2014 INGENIERIA COMERCIAL Asignatura: lgebra Lineal
2.- Cuando R, S y TMn, se dice que R es simtrica ssi Rt = R; se dice que S es ortogonal ssi SS
t= In;
y decimos que T es involutiva ssi T 2 = In. Usando estas definiciones,
a) Demuestre que si AMn es una matriz simtrica y ortogonal, entonces A es involutiva.
Demostracin:
Hiptesis o datos: AMn es una matriz simtrica y ortogonal, es decir, At = A y AA
t= In.
Tesis o por demostrar: A es involutiva, o por demostrar que A 2 = In.
Dem.: A2
= AAt, por ser A simtrica.
= In, por ser A ortogonala.
Luego, A 2 = In y por lo tanto A es involutiva.
b) Considerando A, BMn, demuestre que si A es simtrica y B es involutiva, entonces se cumple que (AB
t)1
= (A1
B)t.
Demostracin:
Si A es simtrica y B es involutiva, sabemos que At = A y B
2 = In.
Debemos demostrar la igualdad. Para hacerlo desarrollaremos (ABt)1
.
(ABt)1
= (AtB
t)1
= [(BA) t]1
= [(BA) 1]
t = [A
1 B
1]
t = [A
1 B]
t, pues, si B
2 = In
entonces B 1= B.
Luego, por transitividad de la igualdad, hemos demostrado que (ABt)1
= (A1
B)t.
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UNIVERSIDAD DIEGO PORTALES Primer Semestre 2014 FACULTAD DE ECONOMA Y EMPRESAS 31 de Marzo de 2014 INGENIERIA COMERCIAL Asignatura: lgebra Lineal
PAUTA Control N1 Horario B
ALGEBRA LINEAL
1.- Sabiendo que 13
21= C ;
3
123
211= B ;
23
11
21
= A
; obtenga [A tB
t C 1.
Desarrollo:
Como [A tB
t C 1= [(BA) t C 1, calculamos BA =
3
123
211
23
11
21
=
3
102
36.
Luego, (BA) t C =
3
103
26
13
21 =
3
136
45
Luego, [A tB
t C 1 =
1518
1213
137
1
2.- Determine X en la ecuacin X1
+2(A+BA2 + A
3) = B(B
2+ B + I2) + I2, sabiendo que A =
21
32
es involutiva y B =
11
22 es idempotente.
(Se dice que P es idempotente ssi P2 = P. Y decimos que Q es involutiva ssi Q
2 = In)
Desarrollo:
X1
+2(A+BA2 + A
3) = B(B
2+ B + I2) + I2 . Pero, A
3 = A
2A = A y A
2 = In, por ser A involutiva,
luego, la ecuacin queda: X1
+2(A+B I2 + A) = BB2+ B
2 + B + I2; pero B es idempotente, luego
X1
+ 4A+2B = B + B + B + I2; y despejando, X1
= B + I2 4A ; y finalmente X = (B + I2 4A) 1
Ahora, calculando, X =
1
83
105
=
53
108
10
1
=
53
108
10
1
=
2
1
10
3
15
4
-
UNIVERSIDAD DIEGO PORTALES Primer Semestre 2014 FACULTAD DE ECONOMA Y EMPRESAS 31 de Marzo de 2014 INGENIERIA COMERCIAL Asignatura: lgebra Lineal
3.- a) Demuestre que A, BMn con A invertible, si AB = BA entonces BA1
= A1
B.
Demostracin:
Debemos demostrar la igualdad BA1
= A1
B, sabiendo que AB = BA. Partamos de nuestro dato,
AB = BA A1 AB = A1 BA, multiplicando por la izquierda por A1 B = A1 BA, y multiplicando por la derecha por A1 BA1 = A1 BAA1 BA1 = A1 B Y por transitividad de la equivalencia hemos probado que si AB = BA entonces BA
1 = A
1B.
b) Sea A = 21 (I P), con PMn una matriz simtrica y ortogonal. Demuestre que AA
t = A.
(Se dice que R es simtrica ssi Rt = R. Y decimos que Q es ortogonal ssi QQ
t= In)
Demostracin:
Para probar lo pedido desarrollaremos AAt, sabiendo que P
t = P y que PP
t= In.
AAt = 2
1 (I P)[ 21 (I P)]t = 2
1 (I P) 2
1 [(I P)]t = 41 (I P) (I t P t) = 4
1 (I P) (I P t)
= 41 (I P P t + P P t), desarrollando el producto,
= 41 (I 2P + I), por ser P simtrica y ortogonal,
= 41 (2I 2P) = 4
1 2(I P) = 21 (I P) = A
Y por transitividad de la igualdad hemos probado que AAt = A.
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UNIVERSIDAD DIEGO PORTALES Primer Semestre 2014 FACULTAD DE ECONOMA Y EMPRESAS 31 de Marzo de 2014 INGENIERIA COMERCIAL Asignatura: lgebra Lineal
PAUTA Control N1 Horario C
ALGEBRA LINEAL
1.- Sabiendo que :
131
122
111
= C ; 211
302= B ;
32
11
01
A . Determine:
a) La matriz X tal que: 2(AB Xt ) = C
2.
Desarrollo: Despejamos X en la ecuacin:
2(AB Xt ) = C
2 AB Xt =
2
1C
2 Xt = AB
2
1C
2 X= (AB 2
1C
2) t
Y calculamos: AB =
037
113
302
; 2
1C
2 =
131
122
111
131
122
111
2
1 =
326
157
162
2
1
(AB 2
1C
2) t
=
t
2
3410
2
1
2
3
2
12
533
=
2
3
2
1
2
5
42
33
102
13
. Luego, X =
2
3
2
1
2
5
42
33
102
13
b) Resuelva para XM2 la ecuacin ( BA ) X = D con
42
31= D .
Desarrollo: Despejamos X en ( BA )X = D ; multiplicando por inversa de BA, si existe, nos queda
X = ( BA ) 1
D. Ahora, calculamos BA
52
98= y ( BA )
1
82
95
22
1= .
Luego, ( BA ) 1
D
82
95
22
1=
42
31
382
5123
22
1= .
De donde X
382
5123
22
1=
-
UNIVERSIDAD DIEGO PORTALES Primer Semestre 2014 FACULTAD DE ECONOMA Y EMPRESAS 31 de Marzo de 2014 INGENIERIA COMERCIAL Asignatura: lgebra Lineal
2.- Determine X en la ecuacin X1
+ 2(B + AB2 + B
3) = A(A
2 + A + I2) + I2, sabiendo que
A =
11
22 es idempotente y B =
42
84 es nilpotente de ndice 2.
(Se dice que P es idempotente ssi P2 = P. Y diremos que Q es nilpotente de ndice k ssi Q
k = 0)
Desarrollo:
X1
+ 2(B + AB2 + B
3) = A(A
2 + A + I2) + I2. Pero, B
3 = B
2B = 0 y B
2 = 0, por ser B nilpotente,
luego, la ecuacin queda: X1
+ 2(B + 0 + 0) = AA2 + A
2 + A + I2; pero A es idempotente, luego
X1
+ 2B = A + A + A + I2; y despejando, X1
= 3A + I2 2B ; y finalmente X = (3A + I2 2B) 1
Ahora, calculando, X =
1
107
2215
=
157
2210
4
1
=
4
15
4
72
11
2
5
3.- A,BMn matrices conmutables, demuestre que si A es invertible entonces A1 y B son tambin conmutables.
Demostracin: Debemos probar que A1
B = BA1
, sabiendo que AB = BA.
A1
B = A1
BIn= A1
B(AA 1
)= A1
(BA)A 1
= A1
(AB)A 1
; por A y B conmutables.
= (A1
A)BA 1
= InBA 1
= BA 1
.
Y por transitividad de la igualdad hemos probado que A1
B = BA1
.
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