Parte Practica Sys

1

SEÑALES Y SISTEMAS

UNIVERSIDAD DE IBAGUE

TALLER GUÍA No 1. Tema: Señales singulares.

Docente: MSc. Ing. Ricardo E. Troncoso H.

PROBLEMAS PROPUESTOS (ALGUNOS CON SOLUCION INCLUIDA) ACERCA DE

SEÑALES CONTINUAS SINGULARES: IMPULSOS, ESCALONES Y RAMPAS

1. Escribir una expresión analítica para la función f(t) mostrada en la siguiente grafica:

Nota: dentro del contexto del curso, es indiferente, a f(t), denominarla función o señal.

SOLUCIÓN

Para t 1, f(t) es descrita por la función rampa unitaria, sin embargo, para t > 1 éste ya no es el caso. Así,

a fin de anular el efecto de r(t) para t > 1, se substrae una rampa de valor k=1, esto es, cero para t<1; o

sea substrae r(t-1) de [ se suma –r(t-1)a] r(t). El resultado se muestra en la figura 1.

2

Ahora, sin embargo sería conveniente agregar una función a r(t)-r(t-1) de tal forma que el resultado no

cambie para t 1 y tenga pendiente de –1 cuando t >1. Esto se logra simplemente agregando –r(t-1). El

resultado, r(t) – r(t-1) - r(t-1) = r(t )- 2r(t-1), se tienen en la figura 2. Vemos que r(t)-2r(t-1) describe a

f(t) mientras t 2. Para obtener la señal que describe a f(t) para toda t, simplemente agregamos r(t-2) a

r(t) – 2r(t-1). El resultado, f(t) = r(t) –2r(t-1) + r(t-2), se muestra en la siguiente figura (figura 3).

NOTA:

, para 0( ) (1)

0, para 0

Kt tKr t

t

3

No olvidar que:

Algunos ejemplos de estas funciones son los siguientes:

2. Usando la ecuación (2)*, derivar y graficar la función f(t) hallada en el ejercicio 1 o sea

f(t)=r(t)-2r(t-1)+r(t-2)

Solución

)2()1(2)( trtrtrdt

dtf

dt

d

)2()1(2)( trdt

dtr

dt

dtr

dt

d

entonces usando (2)*

-

-5(t)

, para 0

( ) ( ) (2) *0, para 0

K tdKr t Ku t

tdt

( ) ( ) (3)d

Ku t K tdt

4

f’ (t) = u(t) -2u(t-1)+ u(t-2)

la respectiva grafica es:

De los ejercicios 1 y 2 podemos concluir que:

Si integró una función escalón obtengo una función rampa gráficamente, de acuerdo a ejercicios

anteriores 1 y 2 :

si tengo obtengo, al integrar

si derivo una función rampa obtengo un escalón:

si tengo al derivar obtengo

3. Un método alternativo y a menudo más sencillo de expresar una función en términos de escalones (y

rampas), es el de utilizar el “pulso de muestreo” que se ilustra e la figura 4. Si f(t) es una función

arbitraria, entonces el producto de f(t) y el pulso de muestreo es:

f(t)= [(u(t-a) –u(t-b)] =

0, para t < a

f(t), para a t < b (4)

0, para t b

5

Utilizando (4) (pulso de muestreo figura 4), hallar una expresión analítica para

Solución:

Dado que puede expresarse f(t) como la suma f(t) = f1(t)+f2(t)

Donde:

1

0, para 0

( ) ( ), para 0 1

0, para 1

t

f t f t t

t

2

0, para 1

( ) ( 2), para 1 2

0, para 2

t

f t t t

t

entonces

Ecuación de una línea recta con

Pendiente negativa

6

f(t) = t[u(t) –u(t-1)] -(t -2)[u(t-1) –u(t-2)]

= tu(t) –tu(t-1) -(t -2)u(t-1) +(t –2)u(t-2)

= tu(t) –(2t-2)u(t-1) +(t –2)u(t-2)

= tu(t) –2(t -1)u(t-1) +(t –2)u(t-2)

sin embargo, a partir de la definición de rampa unitaria,

r(t-a) =

se observa

r(t-a)= (t-a) u(t-a)

Así, puede también expresarse f(t) en la forma

f(t)= r(t) –2r(t-1)+ r(t-2)

como previamente se había encontrado.

4. Para reforzar conceptos, realicemos el siguiente ejercicio:

a) Hallar la expresión (en sumas de rampas y escalón) para la siguiente grafica:

b) Una vez hallada la expresión, derívela y dibuje la gráfica.

0, para t < a

t-a, para t a

7

Solución:

a) Para comenzar se inicia con una función escalón u(t). Ya que no se desea que V(t) sea igual a uno

para t = 0, sino más bien que sea una línea recta con pendiente –½, se suma a u(t) una función rampa

con coeficiente k = -½ . El resultado se muestra en la figura 5.

Para obtener la forma de onda resultante que retorne a cero en t = 4 y permanezca ahí para t > 4,

sumamos primero una rampa que tenga k = ½ y que sea cero para t < 4. Esto se muestra en la figura 6.

FIGURA 6

Finalmente, sólo necesitamos sumar una función unitaria de paso (función escalón) que sea cero para t

< 0. El resultado, V(t)= u(t) – ½r(t) + ½ r(t-4) + u(t-4), se ilustra en la figura 7.

FIGURA 7

8

b)Derivando V(t)= u(t) – ½r(t)+ ½ r(t-4)+ u(t-4) obtenemos

)4()4(

2

1)(

2

1)())(( tutrtrtu

dt

dtV

dt

d

)4()4(2

1)()()('

tu

dt

dtr

dt

dtr

dt

dtu

dt

dtV

)4()4(2

1)(

2

1)()(' ttututtV

FIGURA 8

Para obtener una gráfica de V’(t) simplemente sumamos las formas de onda componentes, como se

muestra en la figura 8.

9

5. Hallar V(t) en términos de escalones (y de rampas) de acuerdo a la gráfica siguiente:

utilizar el método alternativo, usando el pulso de muestreo.

Solución:

Identificamos la ecuación de la línea recta como – ½ t +1.

Evidentemente.

V(t)= (- ½ t+1)[u(t)- u(t-4)]

=(- ½ t+1)u(t)-[(- ½ t+1)u(t-4)]

=- ½ tu(t)+u(t)+ ½ t u(t-4)-u(t-4)

pero dado que (por favor ver el ejercicio 3. Si todavía no ha entendido el procedimiento).

½ tu(t-4)= ½ (t-4)u(t-4)+2u(t-4)

entonces

V(t)= - ½ tu(t)+u(t)+ ½ (t-4)u(t-4)+u(t-4)

= - ½ r(t) + u(t) + ½ r (t-4) + u(t-4)

Como se había obtenido en el ejercicio 5. Parte a).

- ½ t + 1

10

6. Exprese la siguiente función en términos de funciones singulares. Explique paso por paso.

Rta/: -r(t)+3r (t-1) –2 r(t –2)

7. Grafique la función f(t)= 2/3 r(t)- r(t-1)+ 1/3 r(t-2), graficar paso a paso.

Solución

0, para t 0

2/3t, para 0 < t 1

-1/3t, para 1 < t 2

1/3t, para t > 2

F(t)=

11

8. Graficar f(t)=2u(t+1)+u(t) para todo t

Solución

9. Exprese la función g(t), dada en la siguiente gráfica, en terminos de funciones singulares

Solución

g(t) se puede expresar como una suma o una multiplicación de funciones escalón.

Suma

Multiplicación

Pulso de muestreo

12

Nota ojo, ojo ¡importante! Al reflejar (mirar, espejo) una función, debe tenerse en cuenta lo siguiente,

(veámoslo con ejemplos).

(a) Reflexión desde el origen (t = 0)

(b) Reflexión desde otro punto al origen (t 0)

Ejemplo

Graficar 10u(5-t)

13

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Hallar la integral de f(t) dada por:

t

dtttutututtf )2()2()1(2)()()(

Graficar el integrando de la función f(t) y la respuesta también (o sea, hay que dibujar dos gráficas).

2. Hallar una expresión para x(t) dada en la siguiente gráfica. Hacerla como suma y como producto

(multiplicación) de funciones escalón unitarias.

3. Dada la función y(t)= 1-t, acotada en el intervalo -2 t 2, y u(t)= función escalón unitaria,

realizar las respectivas graficas de:

a) f(t) b) f(t)u(t) c) f(t)u(-t) d) f(t)u(t-1) e) f(t)+u(t-1)

f) f(t-1)u(t) g) f(t-1)u(t+1) h) f(t)u(t+1)u(1-t).

4. Sabemos que:

)()( ttudt

d

)()( tudtt

)()( trdttu

)()( tutrdt

d

¿ Cual es la integral de una rampa? o sea:

a) ??)( dttr

b) ??)( dtatr

donde a es una constante; graficar a) y b).

14

5. Graficar la función x(t) dada por:

x(t)= -2r(t)+3r(t-1)-r(t-2)

Hacerlo paso a paso como se hizo en los ejercicios resueltos.

6. Exprese las tres funciones de la siguiente figura en términos de funciones escalón e impulso.

7. Una entrada a un sistema mecánico o eléctrico esta dado por:

x(t)= r(t)-r(t-2)-u(t-2)-r(t-3)+3r(t-4)-4r(t-5)+2r(t-6)

Grafique x(t).

8. Halle una expresión para la entrada x(t) mostrada en la siguiente figura.

De la expresión en términos de señales (funciones) rampa y escalón unitario.

9. Explique porqué la señal x(t) se puede representar mediante:

1

)()()(n

ntutrtx

Halle otra forma de representarla.

Si integro esta señal, ¿qué obtengo?.

Si la derivo, ¿qué gráfica resulta?

Función diente de

sierra

15

10. Esta señal como se puede representar, expresar y porqué?.

BIBLIOGRAFIA

- Haykin, Simon., Van Ven, Barry.: Señales y sistemas. Primera Edición. Limusa Wiley. Mexico, D.F.

México, 2001.

- Soliman, Samir S., Srinath, Mandyan D.: Señales y sistemas continuos y discrétos. Segunda Edición.

Prentice Hall. Madrid. España. 2001.

- Oppenheim, Alan V., Willsky, Alan S., Nawad, Hamid S.: Señales y Sistemas. Segunda Edición.

Prentice Hall Hispanoamericana S.A. México D. F. 1998

- Karris, Steven T.: Signals and systems with Matlab computing and Simulink modeling. Third Edition.

Orchad Publications. New York. USA, 2007.

- Chen, Chi-tsong.: System and signal Analysis. Saunders College Publishing. San Diego. CA. USA,

1994.

- Kamen, Edward W.: Introduction to Signals and Systems. Second Edition. Prentice Hall. New Jersey.

USA. 1990

- Bobrow, L. S. Análisis de Circuitos Eléctricos. Primera edición en español. Nueva Editorial

Interamericana. México, D.F. 1988.

- Scott, Donal E. An Introduction to Circuit Análisis: A Systems Approach. International Edition.

McGraw-Hill Book Company. New York 1987.

MSc. Ing. RICARDO E. TRONCOSO H.

16

SEÑALES Y SISTEMAS

UNIVERSIDAD DE IBAGUE

TALLER GUÍA No 2. Tema: Señales en Matlab.

Docente: MSc. Ing. Ricardo E. Troncoso H.

GRAFICAS DE SEÑALES USANDO MATLAB

En este taller vamos a aprender a graficar en Matlab las señales singulares tales como la señal impulso, la señal escalón o paso

y la señal rampa. También aquí se usaran las propiedades de las señales tales como la reflexión, el desplazamiento en el

tiempo y el escalamiento.

Nota: Copiar las funciones ur.m y us.m en la subcarpeta work del directorio donde esta Matlab o en la carpeta Mis

Documentos\Matlab si se trata de una versión posterior a 2010. Estas funciones no vienen con el Matlab, por lo tanto hay que

incorporarlas al mismo.

Usando el Matlab vamos a graficar las siguientes señales:

1. )2()1(2)()(1 trtrtrty

2. )4()4(2

1)(

2

1)()(2 tutrtrtuty

3. )2(3

1)1()(

3

2)(3 trtrtrty

4. ( ) 3 ( 5) 3 ( 6) 3 ( 5) ( 6)a t u t u t u t u t

5. Realizar un código en Matlab que grafique una señal pulso que tenga un ancho de 8 segundos y una amplitud de 1 segundo.

La grafica debe ser simétrica respecto al eje horizontal (eje de la ordenada)

6. Escribir un código en Matlab para graficar la siguiente señal ( )y t de tiempo continuo:

1.3 3( ) 3.17 cos( ) ( )

4

ty t e t u t

7. (HomeWork) Sean ( )x t y ( )u t dos señales de tiempo continuo definidas así:

1 , para 2 2.( )

0, para otro intervalo

1, para 0( )

0, para 0

t tx t

tu t

t

17

Para las dos anteriores señales realizar las siguientes operaciones:

1

2

3

4

5

a) v ( ). ( )

b) v ( ). ( )

c) v ( 1). ( 1)

d) v ( ). ( 1)

e) v ( ). ( 1). (1 )

x t u t

x t u t u t

Realizar los respectivos códigos en Matlab que muestren las gráficas resultantes.

8. (HomeWork)

Dada la señal 𝒙(𝒕) de tiempo continuo mostrada en la figura 1, realizar las operaciones dadas a continuación:

a) 𝑥(2 − 𝑡) b) 𝑥(2𝑡 + 1) c) 𝑥 (4 −𝑡

2)

d) [𝑥(𝑡) − 𝑥(−𝑡)]𝑢(𝑡), 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑢(𝑡)𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑠𝑒ñ𝑎𝑙 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙ó𝑛.

e) 𝑥(𝑡) [𝛿 (𝑡 +3

2) − 𝛿 (𝑡 −

3

2)]

SOLUCIONES

Abrir el Editor de Matlab usando el menú superior así: File > New > M-file.

Digite y guarde, en algún medio de almacenamiento, los siguientes códigos

1. )2()1(2)()(1 trtrtrty

% Estos son comentarios

18

% Código para graficar 1( ).y t

clear all; % Limpia el “buffer” de memoria del Matlab, o sea, se eliminan las

% variables globales y locales almacenadas anteriormente.

close all; % Cierra todas las graficas abiertas por el matlab.

clc; % Borra lo escrito en la ventana de ordenes (command window) del Matlab.

t1 = -1:0.01:6;

y1 = ur(t1) - 2*ur(t1-1) + ur(t1-2);

figure(1) % Enumera las graficas

plot(t1,y1, 'b') % Grafica la señal, ‘b’ indica que la grafica va a ser de color azul.

gris % Muestra la cuadricula o rejilla en la grafica

axis([-0.5 3 -0.5 1.2]); % Limita el eje de la ordenada y el eje de la abscisa

2. )4()4(2

1)(

2

1)()(2 tutrtrtuty

%

% Codigo para graficar ).(2 ty

t2 = -1:0.01:6;

y2 = us(t2) - 0.5*ur(t2) + 0.5*ur(t2-4) + us(t2-4);

figure(2)

plot(t2,y2, 'r')

grid

axis([-1 6 -1.5 1.5]);

zoom % Se usa para aumentar la imagen en algún sector de la grafica.

19

% puede utilizar la funcion help para ver como se usa determinada función

3. )2(3

1)1()(

3

2)(3 trtrtrty

%

% Codigo para graficar ).(2 ty

t3 = -1:0.01:6;

y3 = (2/3)*ur(t3) -ur(t3-1) + (1/3)*ur(t3-2);

figure(3)

plot(t3,y3, 'm')

grid

axis([-1 5 -0.5 1]);

20

4. ( ) 3 ( 5) 3 ( 6) 3 ( 5) ( 6)a t u t u t u t u t

% Aqui empleamos la funcion stepfun.m

t = 0:0.01:10;

t0 =5;

u1 = -3*stepfun(t,t0); % Funcion escalon o paso

t0 = 6;

u2 = 3*stepfun(t,t0);

a = u1 + u2;

figure(4)

plot(t,a);

title('Señal1: a(t)=-3[u(t-5)-u(t-6)]'); %Titulo para la grafica

axis([0 10 -5 1]);

xlabel('t'); %Nombre para el eje de la abscisa

ylabel('a(t)'); %Nombre para el eje de la ordenada

grid;

5. Señal pulso de amplitud 1 segundo y de ancho 8 segundos.

% Este es el codigo en Matlab para graficar dicha señal.

k =-10:1:10; % k = [-10 -9 ... 9 10]

k0=-4;

21

x1=stepfun(k,k0);

k0=5;

x2=stepfun(k,k0);

xk = x1- x2;

% Las siguientes sentencias dibujan y dan nombres a la señal.

figure(5)

stem(k,xk); % Grafica una señal discreta

axis([-10,10,-1,2]);

xlabel ('numero de muestras, k');

ylabel ('x(k)');

title ( 'Señal pulso en tiempo discreto ');

grid;

6. 1.3 3

( ) 3.17 cos( ) ( )4

ty t e t u t

figure(6)

t = 0:0.001:5;

y = 3.17 * exp(-1.3*t) .* cos(3*pi/4*t)

plot(t,y)

grid

7 y 8 Estos puntos del taller se dejan como “tarea para la casa” (homework) para entregar o enviar al correo electrónico

ricardotroncoso@hotmail.com en una fecha acordada en clase.

% Taller No 2, punto 7d

% d) x(t)*u(t-1)

22

clear all;

close all;

clc;

t = -2.5:0.01:3.5;

x = 1-t;

u5 = us(t-1);

a5 = x .* u5;

figure(1)

subplot(1,3,1);

plot(t,x,'b','LineWidth',4);

grid on;

axis([-2.5 2.5 -3.5 3.5])

title('{\it Señal y\it(t) = 1 - t}','FontSize',20);

xlabel('{\itt}','FontSize',20);

ylabel('{y\it(t)}','FontSize',20);

subplot(1,3,2);

plot(t,u5,'m','LineWidth',4);

grid on;

axis([-2.5 2.5 -3.5 3.5])

title('{\it Señal u_5\it(t) = u\it(t-1)}','FontSize',20');

xlabel('{\itt}','FontSize',20);

ylabel('{\it u_5\it(t)}','FontSize',20');

subplot(1,3,3);

plot(t,a5,'r','LineWidth',4);

grid on;

axis([-2.5 2.5 -3.5 3.5])

title('{\it Señal a_3\it(t) = y(t) * u(t-1)}','FontSize',20');

xlabel('{\itt}','FontSize',20);

ylabel('{\it a_3\it(t)}','FontSize',20');

MSc. Ing. RICARDO E. TRONCOSO H.

23

SEÑALES Y SISTEMAS

UNIVERSIDAD DE IBAGUE

TALLER GUIA No 3. Tema: Modelos Matemáticos de Sistemas Dinámicos

Docente: MSc. Ing. Ricardo E. Troncoso H.

INTRODUCCION A LOS MODELOS MATEMATICOS DE SISTEMAS DINAMICOS

En este taller vamos a desarrollar modelos matemáticos de sistemas físicos, especialmente los sistemas mecánicos y los

sistemas eléctricos.

Estos modelos consisten de ecuaciones algebraicas, ecuaciones integro-diferenciales y ecuaciones diferenciales con

coeficientes constantes. Algunas de estas las vamos a implementar en el software Simulink de Matlab.

SISTEMAS MECANICOS:

Hallar las ecuaciones diferenciales lineales que modelan los siguientes sistemas mecánicos

1.

Solución

Definimos a ( )y t como el desplazamiento de un punto entre los resortes 1k y 2

k tal como

se muestra en la siguiente figura:

24

2

1 2

1 2 2

2

1 2

Las ecuaciones diferenciales son:

''( ) [ ( ) ( )] ( ) (1)

( ) [ ( ) ( )] (2)

De la ecuación (2) obtenemos:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) 0

( )[ ] ( )

( )

mx t k x t y t u t

k y t k x t y t

k y t k x t k y t

k y t k y t k x t

y t k k k x t

ky t

k k

2 2

22 2

1 2

2

22

1 2

2

1 2 2

1 2

( ) (3)

Sustituyendo la ecuación (3) en la ecuación (1) :

''( ) ( ) ( )

''( ) ( ) ( ) ( )

''( ) ( ) ( )

x t

mx t k x t k y t u

kmx t k x t k x t u t

k k

kmx t k x t x t u t

k k

k k kmx t x t u t

k k

25

2.

3.

26

SISTEMAS ELECTRICOS:

Hallar los modelos matemáticos de los siguientes sistemas eléctricos

4.

5.

R2R1

C1 C2V1(t) = Entrada

+

V2(t) = Salida

-

+

-

R2

R1

C1

C2

V1(t) = Entrada

+

V2(t) = Salida

-

+

-

27

6.

7.

MSc Ing. RICARDO E. TRONCOSO H.

2R

Troncoso

Vo(t)Vi(t)

+

-

2R

C/2 C/2

C R

L2

L1

R1

C1L3

C2

Troncoso

Vo(t)Vi(t)

+

-

28

CURSO DE SEÑALES Y SISTEMAS

MAESTRIA EN INGENIERIA DE CONTROL INDUSTRIAL

UNIVERSIDAD DE IBAGUE

TALLER GUIA No 4. Tema: Convolución en tiempo continuo

Docente: MSc. Ing. Ricardo E. Troncoso H.

CONVOLUCION EN TIEMPO CONTINUO

El objetivo principal del presente taller es el de realizar la convolución continua en forma analítica. Hay que desarrollar,

solucionar, los ejercicios “a mano”, y luego usar el Matlab para verificar que la respuesta hallada es la correcta.

1. Un sistema de tiempo continuo tiene como respuesta impulso ( ) ( )t

h t e u t

, si la entrada al sistema ahora es

( ) 2 ( 1) 2 ( 2) 2 ( 3)x t u t u t u t , hallar la salida ( )y t del sistema usando la convolución.

2. Un sistema de tiempo continuo tiene como respuesta impulso ( ) (2 ) ( )h t sen t u t , si la entrada ( )x t al sistema ahora

es la señal mostrada en la figura de abajo, hallar la salida ( )y t usando la convolución.

3. En las siguientes graficas se representan la entrada ( )x t al sistema y la respuesta impulso ( )h t del mismo; usando la

convolución, hallar la salida ( )y t del sistema.

29

4.

Usando la convolución en tiempo continuo, determinar la salida y(t) de un sistema donde x(t) es la señal de entrada y h(t) es

la respuesta impulso.

a) b)

Solucion

Se da como ejemplo la solución del ejercicio número 1. 1.

% Encontrar la señal de salida y(t) usando la CONVOLUCION CONTINUA

% Señal de entrada x(t)=-2u(t-1)+2u(t-2)-2u(t-3)

% Respuesta impulso h(t)=exp(-t)

% Señal de entrada x(t)

t = 0:0.01:4;

t0 = 1;

1

2 1

3

2

-2 1 2

te

)(tx

)(th )(tx )(th

t t

30

u1 = -2*stepfun(t,t0);

t0 = 2;

u2 = 2*stepfun(t,t0);

t0 = 3;

u3 = -2*stepfun(t,t0);

x = u1 + u2 + u3;

figure

plot(t,x);

title('Señal de entrada x(t)');

grid

% Respuesta impulso h(t)

t0 = 0;

u5 = 1*stepfun(t,t0);

h = exp(-t).*u5;

figure

plot(t,h);

title('Respuesta impulso h(t)');

grid

31

% Convolucion

y=conv(x,h);

figure

plot(y);title('CONVOLUCION y(t)=x(t)*h(t)');

grid

clear x h

fprintf('pulse una tecla para continuar \n')

pause

NOTA: Solucionar los restantes ejercicios (2, 3 y 4) en forma analítica, a mano (“hand”) y comprobar la respuesta usando

Matlab.

MSc. Ing. RICARDO E. TRONCOSO H.

32

CURSO DE SEÑALES Y SISTEMAS

MAESTRIA EN INGENIERIA DE CONTROL INDUSTRIAL

UNIVERSIDAD DE IBAGUE

TALLER GUIA No 5. Tema: E.D.L. con Transformadas de Laplace

Docente: MSc. Ing. Ricardo E. Troncoso H.

LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

En este taller el estudiante solucionará las ecuaciones diferenciales lineales. Primero lo hará sin ayuda del Matlab y después

lo usara para verificar que la respuesta este correcta.

Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales lineales (EDL):

1. 2

2

( ) ( )3 2 ( ) ,

(0)con condiciones iniciales (0) 4, 5

td y t dy ty t e

dt dt

dyy

dt

2. 2

2

( ) ( )3 2 ( ) ( ),

(0)con condiciones iniciales (0) 2, 3

d y t dy ty t f t

dt dt

dyy

dt

donde ( )f t se muestra en la siguiente figura:

33

3. 2

2

( ) ( )2 10 ( ) 1 5 ( 5),

(0)con condiciones iniciales (0) 1, 2

d y t dy ty t t

dt dt

dyy

dt

SOLUCION

1. Usando Matlab

a) Solución rápida:

y = dsolve('D2y + 3*Dy + 2*y = exp(-t)' , 'y(0)=4', 'Dy(0)=5')

b) Solución más elaborada:

% NOTA: para correr este codigo se debe colocar las funciones

% heaviside.m , dirac.m y setcurve.m

% en el directorio Matlab\toolbox\symbolic o en el directorio

% de trabajo Matlab\work

clear all

close all

clc

% Solucion de ecuaciones diferenciales usando la transformada de Laplace

% Aqui consideramos las condiciones iniciales

% y'' + 3 y' + 2 y = e-t , y(0) = 4 , y'(0) = 5

% Defino las variables simbolicas necesarias:

syms s t Y

% Defino el lado derecho de la ecuacion (la señal de entrada, en este

% caso una señal exponencial):

f = 'exp(-t)'

F = laplace(f,t,s)

% Encuentro la transformada de Laplace de y'(t) : Y1 = s Y - y(0)

Y1 = s*Y - 4

% Encuentro la transformada de Laplace de y''(t) : Y2 = s Y1 - y'(0)

Y2 = s*Y1 - 5

% Ajusto a cero la transformada de Laplace del lado derecho menos

% la del lado izquierdo y resuelvo para Y

Sol = solve(Y2 + 3*Y1 + 2*Y - F, Y)

% Calculo la transformada inversa de Laplace para hallar la solución de

% esta ecuación diferencial lineal (EDL):

solucion = ilaplace(Sol,s,t)

% Dibujo la solucion:

figure()

ezplot(solucion,[0,10])

2 y 3. Ustedes lo realizan utilizando la solución más elaborada.

MSc. Ing. RICARDO E. TRONCOSO H.

34

SEÑALES Y SISTEMAS

UNIVERSIDAD DE IBAGUE

TALLER GUIA No 6. Tema: Aplicaciones de la Transformada de Laplace

Docente: MSc. Ing. Ricardo E. Troncoso H.

APLICACIONES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

En este taller el estudiante calculara la respuesta (salida) de un sistema de tiempo continuo ante determinada entrada usando

las propiedades y teoremas de la transformada de Laplace.

Primero lo hará sin ayuda del Matlab, es decir, “a mano” y luego utilizara dicho software para verificar que la respuesta sea

la correcta.

1.

El sistema mecánico que se representa en la siguiente figura

tiene como modelo matemático la ecuación diferencial lineal:

2

( ) ( ) ( )( ) ( )

d y t dy t dx tm b ky t b kx t

dt dt dt

Para 1000 , 2000 , 5000Kg N

m Kg b ks m

:

a) Hallar la función de transferencia del sistema, es decir, Condicionesiniciales 0

( )( )

( )

Y sG s

X s

b) Analizar la estabilidad del sistema. Explicar porque el sistema es estable o críticamente estable o inestable y dibujar los

ceros y polos en el plano s.

35

c) Si la entrada al sistema es 1, para 0

( )0, para 0

tx t

t

, hallar la respuesta (salida) ( )y t del sistema.

2. El sistema electromecánico que se representa en la siguiente figura

tiene como modelo matemático las ecuaciones diferenciales lineales:

2

( ) ( )( ) (Ecuación mecánica)

d t d tJ b Ki t

dt dt

( ) ( ) ( )( ) , (Ecuación eléctrica)

di t i t d tL R v t K

dt dt dt

2

Donde:

.El momento de inercia del rotor 0.01

Kg mJ

s

El coeficiente de fricción viscosa del motor es 0.1 . .b N m s

.La constante de fuerza electromotriz es 0.01

N mK

A

La resistencia de la armadura es 1R

La inductancia de la armadura es 0.5L H

La corriente eléctrica en la armadura es ( )i t

36

La entrada es el voltaje ( )v t

La salida es el desplazamiento angular

(velocidad rotacional) ( ) del motor, en t radianes

Hallar:

a) La función de transferencia del sistema, es decir, Condicionesiniciales 0

( )( )

( )

sG s

V s

b) Analizar la estabilidad del sistema. Explicar porque el sistema es estable o críticamente estable o inestable y dibujar los

ceros y polos en el plano s.

c) Si a la entrada al sistema se aplica un voltaje de 2 voltios (señal paso de amplitud 2) calcule la respuesta del sistema.

d) Si la entrada es , para 0

( ) ( )0, para 0

tv t t

t

, calcular la respuesta del sistema.

SOLUCION

1. La solución “ a mano” se hará en el tablero

La solución computacional (Matlab) es la siguiente:

clc close all; clear all; pause on fprintf('*************************************************************\n'); fprintf(' CURSO DE SEÑALES Y SISTEMAS \n'); fprintf(' MAESTRIA EN INGENIERIA DE CONTROL INDUSTRIAL \n'); fprintf(' UNIVERSIDAD DE IBAGUE \n'); fprintf(' TALLER No 6. \n'); fprintf('*************************************************************\n'); pause fprintf('************************************\n'); fprintf(' SISTEMA MECANICO\n'); fprintf(' El modelo matematico es\n'); fprintf(' my'''' + by'' + ky = bx'' + kx \n'); fprintf(' Los componentes del sistema son \n'); fprintf(' m=1000 Kg; k=5000 N/m; b=2000 Kg/s \n'); fprintf(' y'''' + 2y'' + 5y = 2x'' + 5x \n'); fprintf('************************************\n');

37

% Aplicando la transformada de Laplace, encontramos % la Funcion de Transferencia con condiciones iniciales % iguales a cero. % Y(s)/X(s) = (bs + k) / (ms^2 + bs + k) % = ((b/m)s + (k/m)) / (s^2 + (b/m)s + (k/m)) % = (2s+5)/(s^2 + 2s + 5) fprintf('------------------------------------------------------- \n'); fprintf(' PRIMER METODO. \n'); fprintf(' La funcion de transferencia G(s) es: \n'); fprintf(' G(s) = Y(s)/X(s) = (bs + k) / (ms^2 + bs + k) \n'); fprintf(' G(s) = Y(s)/X(s) = (2s+5) / (s^2 + 2s + 5) \n'); fprintf('------------------------------------------------------- \n'); fprintf(' Las raices (polos) de G(s) son: \n'); denominador = [1 2 5]; raices = roots(denominador); disp(raices) pause fprintf('-------------------------------------------------- \n'); fprintf(' pero X(s) igual 1/s (ENTRADA PASO) \n'); fprintf(' => Y(s)= G(s) X(s) = (2s+5)/(s^2+2s+5)s \n'); fprintf(' => Hacemos un desarrollo en FRACCIONES PARCIALES \n'); fprintf(' => Y(s) = K/s+1+2j + K*/s+1-2j + k1/s \n'); fprintf(' => donde K* es el conjugado de K \n'); fprintf(' Encontremos los valores de los residuos K, K* y K1 \n'); numerador = [0 0 2 5]; denominador = [1 2 5 0]; [residuos,polos,ganancia] = residue(numerador,denominador); % r=1+(3/4)i y 1-(3/4)i fprintf(' ------------------------------------------------ \n'); fprintf(' Los residuos son: \n'); disp(residuos); pause fprintf(' ------------------------- \n'); fprintf(' Los polos son: \n'); disp(polos); % Los residuos complejos son 0.5+0.25j y 0.5-0.25j ==> x+yj; x-yj % Los polos complejos son -1+2j y -1-2j ==> s+alfa+betaj; s+alfa-betaj

38

pause on fprintf(' ----------------------------------------------------------- \n'); fprintf(' De acuerdo con los anteriores resultados, \n'); fprintf(' tenemos los valores de alfa, beta, y, b \n'); fprintf(' para sustituir en la formula: \n'); fprintf(' (2x(s+alfa)/(s+alfa)^2+beta^2) + (2ybeta/(s+alfa)^2+beta^2) \n'); fprintf(' Despues aplicamos la transformada INVERSA de Laplace \n'); fprintf(' para calcular la respuesta paso y(t) \n'); pause fprintf(' ------------------------------------------------------- \n'); fprintf(' LA RESPUESTA PASO obtenida es la siguiente: \n'); fprintf(' y(t)=1-exp(-t)cos(2t) + (1/2)exp(-)sen(2t) \n'); fprintf('-------------------------------------------------------- \n'); fprintf(' Los valores para t=1 o sea y(1), para t=2 o sea y(2), \n'); fprintf(' para t=3 o sea y(3), para y(4),..., y(n) son: \n'); fprintf('-------------------------------------------------------- \n'); pause t = 0:0.1:5; y = 1 - exp(-t).*cos(2*t) + exp(-t).*sin(2*t); fprintf('y(1)= ');disp(y(1)); fprintf('y(2)= ');disp(y(2)); fprintf('y(3)= ');disp(y(3)); fprintf('y(4)= ');disp(y(4)); fprintf('y(5)= ');disp(y(5)); fprintf('y(10)= ');disp(y(10)); fprintf('y(15)= ');disp(y(15)); fprintf('y(25)= ');disp(y(25)); fprintf('y(50)= ');disp(y(50)); pause fprintf(' La grafica de la respuesta paso (escalon) sera: \n'); pause figure(1) plot(t,y,'r') grid; ylabel('y(t)'); xlabel('t'); title('Respuesta paso'); pause fprintf('*************************************************\n'); fprintf(' SEGUNDO METODO. \n'); fprintf(' Otra forma mas sencilla de hallar la \n'); fprintf(' respuesta paso es la siguiente: \n'); fprintf('*************************************************\n');

39

pause t = 0:0.1:5; numera = [0 2 5]; denomina = [1 2 5]; Y = step(numera,denomina,t); disp(Y) figure(2) plot(t,Y) grid; ylabel('Y(t)'); xlabel('t'); title('Respuesta paso') pause fprintf('**************************************************\n'); fprintf(' TERCER METODO. \n'); fprintf(' Ahora usamos el SISO Design GUI o sisotool \n'); fprintf('**************************************************\n'); nume = [0 2 5]; deno = [1 2 5]; sistema = tf(nume,deno); sisotool(sistema) pause fprintf('*************************************************\n'); fprintf(' CUARTO METODO. \n'); fprintf(' Ahora usamos el SIMULINK \n'); fprintf('*************************************************\n'); open('taller6'); sim('taller6'); figure() plot(resp_paso.time,resp_paso.signals.values),title('respuesta paso'); % NOTAS PARA RECORDAR % la derivada de un escalon es un impulso % syms x % diff(heaviside(x),x) % ans = % dirac(x)

MSc. Ing. RICARDO E. TRONCOSO H.

40

SEÑALES Y SISTEMAS

UNIVERSIDAD DE IBAGUE

TALLER GUIA No 7. Tema: Diagramas de Bloques

Docente: MSc. Ing. Ricardo E. Troncoso H.

ALGEBRA DE BLOQUES PARA SIMPLIFICAR DIAGRAMAS

El objetivo principal del presente taller es el de simplificar los diagramas de bloques usando las reglas del álgebra de bloques.

Los ejercicios primero se realizan “a mano” y luego se utiliza el Matlab para verificar la respectiva respuesta..

1.

Un sistema de tiempo continuo está representado mediante el siguiente diagrama de bloques:

a) Simplificar, usando las reglas del álgebra de bloques.

b) Hallar la función de transferencia ( )

( )( )

C sG s

R s

2.

Un sistema de tiempo continuo está representado mediante el siguiente diagrama de bloques:

+

41

a) Simplificar, usando las reglas del álgebra de bloques. Los valores de ( )G s y ( )H s son:

1 2 3

2 3 1( ) , ( ) , ( ) ,

2 4 5

3 9( ) , ( ) , ( ) ,

6 7 1

G s G s G ss s s

s sH s H s H s

s s s

b) Hallar la función de transferencia ( )

( )( )

C sG s

R s

SOLUCION

Como ejemplo, damos la solución de Ejercicio 1.

1. Con Matlab

Realizar en Simulink el siguiente diagrama de bloques:

Guarde este modelo con el nombre de taller7aa (o con el nombre de su agrado) y en el mismo directorio donde va a correr el

siguiente código:

% Este codigo reduce un diagrama de bloques

% hasta obtener la funcion de transferencia

clear all

close all

[A,B,C,D]=linmod('taller7aa');

[num,den]=ss2tf(A,B,C,D)

42

sys=tf(ss(A,B,C,D));

sys=minreal(sys)

El resultado dado por Matlab es:

num =

0 5.0000 18.0000 16.0000 -0.0000

den =

1.0000 28.0000 71.0000 224.0000 180.0000

Transfer function:

5 s^3 + 18 s^2 + 16 s

-----------------------------------

s^4 + 28 s^3 + 71 s^2 + 224 s + 180

MSc. Ing. RICARDO E. TRONCOSO H.

43

SEÑALES Y SISTEMAS

UNIVERSIDAD DE IBAGUE TALLER GUIA No 8. Tema: Función de Transferencia - Espacio de Estados

Docente: MSc. Ing. Ricardo E. Troncoso H.

FUNCION DE TRANSFERENCIA

REPRESENTACION DE ESPACIO DE ESTADOS

El objetivo principal del presente taller es solucionar varios ejercicios relacionados con las funciones de transferencia y con

la representación en espacio de estado de sistemas continuos. Trataremos con sistemas que pueden tener o no derivadas en la

función de excitación (entrada al sistema).

La función de transferencia la obtendremos a partir de la figura dada, del esquema dado (de la grafica del circuito eléctrico en

el caso de sistemas eléctricos).

1. a) Hallar el diagrama de bloques del sistema mecánico representado en la siguiente figura:

b) Hallar la función de transferencia

( )( )

( )

o

i

x sG s

x s

Realizar el ejercicio únicamente a “mano”.

2.

a) Hallar el diagrama de bloques del sistema eléctrico mostrado en la siguiente figura:

b) A partir del diagrama de bloques hallado en el punto anterior, halle la función de

transferencia

44

( )( )

( )

o

i

v sG s

v s

Realizarlo únicamente a “mano”.

3. Hallar la representación en el espacio de estado del sistema de tiempo continuo mostrado en la siguiente figura:

Realizarlo primero “mano” y luego verificar la respuesta en Matlab asignando los siguientes valores ideales a los elementos

del sistema: 1 ; 1 ; 1R L H C F

45

4. Hallar la representación en el espacio de estado del sistema eléctrico mostrado en el siguiente esquema:

Realizarlo únicamente a “mano”.

La solución o se la representación en espacio de estados para el sistema eléctrico anterior es:

NOTA IMPORTANTE: Esta solución se obtuvo usando un análisis de mallas. En teoría, usando el análisis de nodos, se

debería llegar a la misma solución

2

1 1

2 2

11

10

'1

1 1 '

R

x xL Lu

x xR C

C R C

1

2

0 x

y R ux

0

46

5 Encontrar la representación en el espacio de estado del sistema eléctrico mostrado en la siguiente figura: Realizarlo

únicamente a “mano”.

La solución es siguiente:

NOTA: Esta solución se obtuvo usando un análisis de nodos. En teoría, usando el análisis de mallas, se debería llegar a la

misma solución.

1 1 2 1 2 11 1

2 2

2 2 2 2 3 2

1 1 1

2

3 2

1 1 1

'

' 1 1 1

1 0

1

0

R C R C R Cx x

x x

R C R C R C

R C u

u

R C

47

1

2

1 -1 x

y ux

0

SOLUCIONES

NOTA IMPORTANTE

Use el Matlab, en estos talleres, para verificar que las respuestas a los problemas,

ejercicios, planteados sean las correctas, por ejemplo si usted halla la función de

transferencia ( )G s de un sistema puede, usando el Matlab, hallar la representación en el

espacio de estados.

Veamos el procedimiento:

Sea un sistema lineal de tiempo continuo con función de transferencia:

2

1( )

2.4 5 6

sG s

s s s

El codigo y su respectiva respuesta son:

clear all;

close all;

clc;

% Ingreso el numerador teniendo las potencias de s

numerador = [0 0 1 1];

% Hallamos el producto del denominador

a = [0 1 2.4]; b = [1 5 6];

denominador = conv(a,b)

% Hacemos la transformación de la función de transferencia

% al espacio de estado. Hallamos las matrices A,B,C y D.

[A,B,C,D]=tf2ss(numerador, denominador)

% La solución que da el Matlab es la siguiente:

% No olvide que hay infinitas representaciones en el espacio

% de estado para un mismo sistema

48

A =

-7.4000 -18.0000 -14.4000

1.0000 0 0

0 1.0000 0

B =

1

0

C =

0 1 1

D =

0

Si ya conocemos la representación en espacio de estado (vamos a utilizar las mismas

matrices del código anterior) y necesito hallar la función de transferencia del sistema uso

el siguiente código:

% Le indicamos al Matlab cuales son las matrices

A = [-7.4 -18 -14.4; 1 0 0; 0 1 0]

B = [1; 0; 0]

C = [0 1 1]

D = [0]

% Realizamos la transformación de state space a

% transfer function

[denomina,numera]=ss2tf(A,B,C,D)

% La solucion que da el Matlab es

denomina =

0 -0.0000 1.0000 1.0000

numera =

1.0000 7.4000 18.0000 14.4000

49

Si obtengo “a mano” las soluciones a los problema planteados y estas poseen literales

1 2, , , , ,R L C m k , etc, entonces para verificar dichas soluciones en Matlab podemos sustituir

estos literales por valores numericos o en su defecto usar el toolbox de símbolos

matemáticos (Symbolic Math Toolbox).

1 a) Diagrama de bloques para el sistema mecánico mostrado en la siguiente figura:

Se conocen las ecuaciones del sistema:

(1) )()(

2

0

2

tfdt

txdm )(

1)(2

0

2

tfmdt

txd

(2) )()()()(

)( 00 txtxk

dt

tdx

dt

tdxbtf i

i

Se usan las reglas de álgebra de bloques para simplificar:

(1) )(1

)(''0 tfm

tx , aplicando Laplace con condiciones iniciales iguales a cero: )(1

)(0

2sF

msXs

)(1

)(20 sF

mssX

(2) )()()()(

)( 00 txtxk

dt

tdx

dt

tdxbtf i

i

)()()(')(')( 00 txtxktxtxbtf ii

)()()(')(')( 00 tkxtkxtbxtbxtf ii , Aplicando Transformada de Laplace:

)()()()()( 00 skXskXsbsXsbsXsF ii

50

)()()()()( 00 sXsXksXsXbssF ii

)()()()( 0 sXsXkbssF i

Asigno bloques a cada ecuación transformada

Luego se unen los bloques y se simplifica usando las reglas de álgebra de bloques

b) Función de transferencia.

Usando las reglas necesarias (usted en su informe explicará cuales reglas del álgebra de bloques empleo para simplificarlo)

obtenemos la función de transferencia pedida:

2

1)(

)(

ms

kbsms

ms

kbs

ms

kbsms

kbs

sXi

sXo

kbsms

kbs

sXi

sXo

2)(

)(

2, 3, 4 y 5 Usted da las soluciones. Gracias por su colaboración.

MSc. Ing. RICARDO E. TRONCOSO H.

)(1

)(2

sFms

sXo

)()()()( kbssXosXisF

51

SEÑALES Y SISTEMAS

UNIVERSIDAD DE IBAGUE

Con algunas soluciones TALLER GUIA No 9. Tema: Señales y Sistemas Discretos

Docente: MSc. Ing. Ricardo E. Troncoso H.

SEÑALES Y SISTEMAS EN TIEMPO DISCRETO

El objetivo principal del presente taller es utilizar la teoría de las señales y los sistemas

discretos en la solución de varios ejercicios. Las soluciones para los ejercicios de la parte

A se realizan exclusivamente en Matlab mientras que las de los ejercicios de las partes B

y C se desarrollan a “mano” y en Matlab.

PARTE A. SEÑALES DISCRETAS

NOTA: Indicar, comentar en su código en Matlab la versión del mismo utilizada.

8.1

Escribir la representación analítica y realizar un código en Matlab que grafique la señal

discreta mostrada en la figura de abajo.

Ayuda: Como ejemplo, como guía, vea al final de este taller, una de las muchas posibles

maneras de describir y graficar esta señal.

52

8.2

Para la anterior señal o sea la del ejercicio No 8.1, realizar la siguiente operación de

desplazamiento:

[ ] [ 1]w k v k

Escribir la representación analítica para la señal [ ]w k y realizar un código en Matlab

que grafique dicho desplazamiento o traslación de la señal.

8.3

Escribir la representación analítica y realizar un código en Matlab que grafique la señal

discreta mostrada en la figura de abajo.

Ayuda: Nuevamente, como ejemplo, como guía, vea al final de este taller, una de las

muchas posibles maneras de describir y graficar esta señal.

53

8.4

Para la anterior señal o sea la del ejercicio No 8.3, realizar la siguiente operación:

[ ] 5 [ 3]x k u k

Escribir la representación analítica para la señal [ ]x k y realizar un código en Matlab

que grafique dicha señal discreta.

8.5

Una señal de tiempo discreto esta representada analíticamente así:

2( ) 10(0.9) .cos

16 4

k kh k

Crear un código en Matlab que grafique la señal [ ]h k .

La señal se muestra a continuación:

54

PARTE B. CONVOLUCION DISCRETA

8.6

La convolución en tiempo discreto se define mediante la siguiente relación:

( ) ( ) ( )n

y k x n h k n

Un sistema de tiempo discreto tiene como entrada ( )x k la señal mostrada:

0, para 0

1, para 0

es decir, ( ) 1, para 1

2, para 2

0, para 3.

k

x k k

k

55

Y si la respuesta impulso ( )h k es como la que se muestra en la siguiente figura, hallar la

salida ( )y k del sistema ante dicha entrada ( )x k .

0, para 0

1, para 0

es decir, h( ) 2, para 1

3, para 2

0, para 3.

k

k k

k

56

Utilizar tres métodos: Método analítico, el tabular y el computacional.

Ayuda: En las soluciones, al final de las preguntas, encontrara como se usan estos métodos

de convolución.

8.7

La respuesta impulso ( )h k puede determinarse por medio de la convolución discreta

cuando la señal de entrada ( )x k y la señal de salida ( )y k del sistema son conocidas.

Así, dadas ( )x k y ( )y k , encuentre la respuesta impulso ( )h k :

1 para 0

1 para 0 1 para 1

1 para 1 3 para 2( ) ( )

2 para 2 1 para 3

0 para otro valor de 6 para 4

0 para otro valor de

k

k k

k kx k y k

k k

k

Realizarlo por los 3 métodos; tome como ejemplo el ejercicio anterior, 8.6.

57

PARTE C. SOLUCION DE ECUACIONES DE DIFERENCIAS Y CALCULO DE

LA RESPUESTA DE UN SISTEMA DE TIEMPO DISCRETO UTILIZANDO LA

TRANSFORMADA Z.

Utilizando el “Symbolic Math Toolbox” es possible hallar la transformada z y la

transformada z inversa de una función. Como ejemplo, hallemos la transformada z y su

inversa de la siguente función:

( ) 5 3k

v k k

El código en Matlab es el siguiente:

clear all;

close all;

clc;

syms k

fn = (5^k)+ k + 3;

'Transformada Z'

Z = ztrans(fn);

pretty(Z)

'AntiTransformada Z'

Fz = iztrans(Z);

pretty(Fz)

figure(1)

subplot(211)

ezplot(fn)

subplot(212)

ezplot(Fz)

La respuesta que da el Matlab son las siguientes, incluyendo las graficas:

58

ans =

Transformada Z

z z z

1/5 --------- + -------- + 3 -----

1/5 z - 1 2 z - 1

(z - 1)

ans =

AntiTransformada Z

n

5 + n + 3

59

8.8

Se conoce la ecuación de diferencias. Las condiciones iniciales son diferentes de cero.

Resolver (unicamente en Matlab) la siguiente ecuación de diferencias para

0,1,...,10n usando la función recur que se le entrega a usted.

donde

y las condiciones iniciales son ( 2) 1y , ( 1) 2y , y ( 2) 0x , ( 1) 0x .

La ecuación recursiva que se utiliza en el código es:

1 0

( ) ( 1) ( 1)N M

i i

y n a y n b x n

Nota: la función recur , que se va a utilizar exclusivamente para esta clase de ecuaciones

de diferencias, debe estar ubicada en la subcarpeta work del Matlab.

Ayuda: En las soluciones, al final de las preguntas, encontrara el código que resuelve,

soluciona, la anterior ecuación de diferencias.

( ) 0.6 ( 1) 0.08 ( 2) ( 1)y n y n y n x n

1 para 0,1,2,...( )

0 para 0

kx n

k

60

8.9

Resolver la siguiente ecuación de diferencias (unicamente en Matlab) para

0,1,...,50n usando la función recur tal como se hizo en el ejercicio anterior.

donde ( )x n es la función escalón o paso unitaria.

Las condiciones iniciales son ( 2) 2y , ( 1) 3y , y ( 2) 0x , ( 1) 0x .

8.10

Como se conoce la respuesta impulso del sistema y la entrada al mismo entonces se

puede utilizar la convolución y tambien la transformada z y su inversa. Las

condiciones iniciales deben ser iguales a cero

Un sistema de tiempo discreto tiene como condiciones iniciales (2) (1) 0.y y

La respuesta impulso del sistema es ( ) 5 0.4 0.2 ( )k k

h k u k .

La señal de entrada ( ) ( )x k u k es un paso unitario.

Hallar la salida ( )y k del sistema

a) Usando la convolución (unicamente en Matlab)

b) Utilizando la función filter (unicamente en Matlab). Debe hallar antes

( ) ( ) ( )Y z H z X z , teniendo la precaución de trabajar con ( )Y z

z

c) Usando la transformada z y su inversa (unicamente a “mano”)

No olvide que ( ) ( ) ( )Y z X z H z y que 1 1

( ) Z ( ( )) ( ( ) ( ))y k Y z Z X z H z

Ayuda: En las soluciones, al final de las preguntas, encontrara los códigos para las partes

a) y b).

( ) 1.5 ( 1) 0.7 ( 2) ( )y n y n y n x n

61

8.11

Hallar la salida ( )y k de un sistema conociendo que la entrada al mismo es

1, para 0,1,2,...( )

0, para 0

kx k

k

y que su respuesta impulso es

( ) (0.9) (0.8)k k

h k

Resolver :

a) Usando la convolución (unicamente en Matlab)

b) Utilizando la función filter (unicamente en Matlab). Debe hallar antes

( ) ( ) ( )Y z H z X z , teniendo la precaución de trabajar con ( )Y z

z

c) Usando la transformada z y su inversa (unicamente a “mano”)

No olvide que ( ) ( ) ( )Y z X z H z y que 1 1

( ) Z ( ( )) ( ( ) ( ))y k Y z Z X z H z

8.12

Se conoce la función de transferencia del sistema, obtenida a partir de una ecuación

de diferencias, con condiciones iniciales iguales a cero

Hallar la respuesta paso unitaria de un sistema de tiempo discreto que tiene como modelo

matemático la siguiente ecuación de diferencias;

Resolverlo a “mano” y en Matlab.

Ayuda: Puede usar la función dstep o la función filter del Matlab.

( ) 0.6 ( 1) 0.08 ( 2) ( 1)y k y k y k x k

62

SOLUCIONES

PARTE A. SEÑALES DISCRETAS

1. La grafica se muestra nuevamente en la siguiente figura:

La representación analítica de esta señal es:

0, si 2

[ ] 2 4, si 2 4

4 , si 4

k

v k k k

k k

Uno de los muchos códigos en Matlab que se pueden escribir para hacer una

representación grafica de [ ]v k es el siguiente:

63

% Ejercicio No 8.1

% Se utilizo la VERSION 7.2 de Matlab.

% Señal discreta No 1

close all;

clear all;

clc;

k1 = -6:1;

v1 = zeros(size(k1));

k2 = 2:3;

v2 = 2 * k2 - 4;

k3 = 4:8;

v3 = 4 - k3;

k = [k1 k2 k3];

v = [v1 v2 v3];

figure(1)

stem(k,v)

% Para cambiar el color, el tamaño

% de las lineas, el tipo de letra, etc,

% en la pestaña o menu view pueden abrir el

% el Property Editor

xlabel('k')

ylabel('v(k)')

title('Ejercicio No 8_1')

grid

axis([-8 10 -6 4])

8.2 Ustedes lo solucionan.

8.3 La grafica dada se muestra en la figura:

64

Su representación analítica es:

1, para 0,1,2,3,...[ ]

0, para 0

ku k

k

Un posible código que grafique esta función o señal, sin usar una función de Matlab creada

específicamente para tal propósito (como la función stepfun), sería el siguiente:

% Ejercicio No 8.3

% Se utilizo la VERSION 7.2 de Matlab.

% Señal discreta No 3

k = -10:1:20; % k = [-10 -9...19 20]

q = size(k); % Tamaño del arreglo (size of array),1 a 31

u = zeros(q(1), q(2)); % u = [0 (en n = -10)0...0 0 (en n = 20)]

q = size(11:31); % Tamaño del arreglo (size of array),1 a 21

u(11:31) = ones(q(1), q(2));% u = [1 (en n=11)1...1 1 (en n=31)]

% Se grafica la secuencia discreta (discrete sequence or "stem" plot)

65

stem(k,u);

axis([-10, 20, -1, 2])

xlabel('numero de muestras, k')

ylabel('u[k]')

title('Ejercicio No 8_3')

grid

8.4 Ustedes lo solucionan.

8.5 Ustedes encuentran la solución.

66

PARTE B. CONVOLUCION DISCRETA

8.6

Método 1: Solución analítica.

Ahora desarrollamos cada término:

(0) ( 1) (1) ( ) (1) ( 1) (2) ( 2) (0) ( 3)h k h k h k h k h k

( ) ( 1) ( 1) (0) ( ) (1) ( 1) (2) ( 2) (3) ( 3)y k x h k x h k x h k x h k x h k

0 ( ) ( 1) 2 ( 2) 0h k h k h k

67

( ) :h k

( 1) :h k

68

2 ( 2) :h k

Luego sumamos punto a punto para obtener ( ) :y k

69

70

Entonces ( )y k , la salida (respuesta) del sistema es:

Método 2: Solución usando una tabulación.

0, para 0

1, para 0

1, para 1( )

3, para 2

1, para 3

6, para 4

k

ky k

k

71

De las sumas diagonales obtenemos la salida ( )y k con la siguiente secuencia:

Método 3: Solución computacional (utilizando el Matlab).

% Ejercicio No 8.6

% Se utilizo la VERSION 7.2 de Matlab.

% La convolución discreta.

% Señal de entrada: x(k) = [1, 1, 2]

% Señal de respuesta impulso: h(k) = [1, -2, 3]

% Hallar la salida (respuesta) del sistem ausando la convolucion

k = 0:1:4;

x = [1, 1, 2];

h = [1, -2, 3];

y = conv(x,h);

stem(k,y);

axis([-1, 6, -4, 8]);

xlabel('numero de muestras, k');

ylabel('y(k)');

title('Ejercicio No 8_6. Convolucion Discreta');

grid;

La grafica se puede observar en la siguiente figura:

(0) 1

(1) 1

(2) 3

(3) 1

(4) 6

(5) 0

(6) 0,...

y

72

8.7 Ustedes lo desarrollan.

73

PARTE C. SOLUCION DE ECUACIONES DE DIFERENCIAS Y CALCULO DE

LA RESPUESTA DE UN SISTEMA DE TIEMPO DISCRETO UTILIZANDO LA

TRANSFORMADA Z.

8.8

% Ejercicio No 8.8

% Se utilizo la VERSION 7.2 de Matlab.

% solucion de la ecuación de difeencias

% y(n)-0.6y(n-1)+0.08y(n-2) = x(n-1)

% usando la funcion recur

close all;

clear all;

clc;

a = [-06 0.08]; % a = [a1 a2 ... aN]

b = [0 1]; % b = [b0 b1 ... bM]

x0 = 0; % condiciones iniciales x(-2)=x(-1)=0

y0 = [1 2]; % condiciones iniciales y(-2)= 1, y(-1)=2

n = 0:10;

x = ones(1,11); % x(n) es una señal paso unitaria

y = recur(a, b, n, x, x0, y0)

% este vector y contiene los valores de y(n)para n= 0, 1, ..., 10.

8.9 Ustedes solucionan el ejercicio.

8.10

a) % Ejercicio No 8.10a % Se utilizo la VERSION 7.2 de Matlab.

% la entrada es una señal paso unitaria

% la respuesta impulso es h(k) = 5[(0.4)^k - (0.2)^k]

% Hallar la salida y(k) usando la CONVOLUCION

close all;

clear all;

clc;

k = 0:35;

x = ones(1,36);

h = 5*(0.4).^k - 5*(0.2).^k;

y = conv(x,h);

y = y(1:length(k))

74

stem(y)

b) % Ejercicio No 8.10b

% Se utilizo la VERSION 7.2 de Matlab.

% la entrada es una señal paso unitaria

% la respuesta impulso es h(k) = 5[(0.4)^k - (0.2)^k]

% y(z)/z = z/z^2-0.6z+0.08

% Hallar la salida y(k) usando la funcion filter

close all;

clear all;

clc;

syms k

h = 5*[(0.4)^k - (0.2)^k];

Hz = ztrans(h)

simple(Hz)

% escoja combine(trig) y divida todo por el coeficiente

% que acompaña a la potencia mas alta de z, en este caso

% se obtiene 25*z/(25*z^2-15*z+2), entonces se divide por 25

% para obtener z/z^2 - 0.6z + 0.08

% Recuerdan el ejercicio No 8.8 !!

k = 0:1:35;

b = [0, 1, 0];

a = [1, -0.6, 0.08];

x = [ones(size(k))];

y = filter(b,a,x);

75

plot(k,y,'b')

stem(y)

grid;

Compare las dos graficas, una se obtuvo usando conv y la otra utilizando filter.

8.11 Ustedes lo resuelven.

8.12 Ustedes lo solucionan.

NOTA: El Matlab es una poderosa herramienta computacional pero el ingeniero de

control debe estar en capacidad de resolver “a mano” algunos problemas que se le

plantean. Cuando el problema implique cálculos tediosos y/o complicados entonces si se

debe acudir a la ayuda del Matlab.

MSc. Ing. RICARDO E. TRONCOSO H.

76

SEÑALES Y SISTEMAS

UNIVERSIDAD DE IBAGUE

TALLER GUIA No 10. Tema: Transformada Z

Docente: MSc. Ing. Ricardo E. Troncoso H.

LA TRANSFORMADA Z Y SUS APLICACIONES

El objetivo principal del presente taller es la aplicación de la transformada z y su inversa en la solución de algunos

problemas. Se tomo como texto referencia el citado en la bibliografía, especialmente el capitulo 2.

Procedimiento:

Obtenga las respectivas soluciones de los diez ejercicios siguientes; no olvidar entregar los programas en Matlab

para los ejercicios 1, 3, 6, 8, 9 y 10.

1. Encuentre la transformada z inversa de

a. Use el método de expansión en fracciones parciales.

Escriba un programa en Matlab para encontrar x(k), la transformada inversa de X(z).

2. Dada la transformada z

a. Determine el valor inicial y el valor final de x(k).

b. Encuentre x(k) en forma “cerrada”.

3. Obtenga la transformada inversa de

Use el método de de expansión en fracciones parciales

4. Obtenga la transformada inversa de

211

11

)8.01)(5.01(

)5.0()(

zz

zzzX

)4.03.11)(1()(

211

1

zzz

zzX

1

21

1

1)(

z

zzzX

77

en forma “cerrada”.

5. Usando el método de expansión en fracciones parciales, obtenga la transformada z inversa de

6. Encontrar la transformada z inversa de

a. Use el método de la división directa.

b. Use el método del Matlab.

7. Obtenga la transformada inversa de

mediante el método de expansión en fracciones parciales.

8. Encontrar la solución de la siguiente ecuación de diferencia

donde x(0)=x(1)=0 y x(k)=0 para k<0. Para la función de entrada u(k), considere los siguientes dos casos:

a. Solucione el problema analíticamente.

)2.01)(1()(

11

3

zz

zzX

)2.01)(1(

61)(

11

32

zz

zzzX

22

21

)1(

)1()(

z

zzzX

2

)1(

154.0478.0368.0)(

zz

zzzX

)()(4.0)1(3.1)2( kukxkxkx

0 ,0)(

1)0(

y

0 ,0

,.....2,1,0 ,1)(

kku

u

k

kku

78

9. Resuelva la siguiente ecuación de diferencia:

donde x(0)=1 y x(1)=2. No olvide que x(0) y x(1) son las condiciones iniciales.

La función de entrada u(k) esta dada por u(k)=1, k=0,1,2,...

a. Solucione el problema analíticamente.

10. Considere la ecuación de diferencia:

donde x(k)=0 para k0. La entrada u(k) está dada mediante

Encontrar la salida x(k):

Analíticamente

BIBLIOGRAFIA

• Ogata, Katsuhiko.: Sistemas de Control en Tiempo Discreto. Segunda Edición. Pearson Educación S.A.

Madrid. España. 1996.

MSc. Ing. RICARDO E. TRONCOSO H.

)2()(25.0)1()2( kukxkxkx

)(2642.0)1(3679.0)(3679.0)1(3679.1)2( kukukxkxkx

,...4,3,2 ,0)(

5820.0)1(

5820.1)0(

0 ,0)(

kku

u

kku

79

SOLUCIONES DE LOS TALLERES

SEÑALES Y SISTEMAS

UNIVERSIDAD DE IBAGUE

SOLUCIONES

TALLER GUÍA No 1. Tema: Señales singulares.

Docente: MSc. Ing. Ricardo E. Troncoso H.

% SOLUCION AL TALLER No 1

%ejercicio 2.

% sumas

t=-1:0.01:1;

x1=us(t+1/2);

x2=us(t-1/2);

x=x1-x2;

figure(1)

subplot(1,3,1),plot(t,x1,'b'),grid on,axis([-1.5 1.5 -0.5 1.5])

title('Señal u(t+1/2)'); xlabel('t'); ylabel('u(t)');

subplot(1,3,2),plot(t,x2,'r'),grid on,axis([-1.5 1.5 -0.5 1.5])

title('Señal u(t-1/2)'); xlabel('t'); ylabel('u(t)');

subplot(1,3,3),plot(t,x,'m'),grid on,axis([-1.5 1.5 -0.5 1.5])

title('Señal x(t)=u(t+1/2)-u(t-1/2)'); xlabel('t'); ylabel('x(t)');

% producto

t= -1:0.01:1;

y1=us(t+1/2);

y2=us(-t+1/2);

y=y1.*y2;

figure(2)

subplot(1,3,1),plot(t,y1,'b'),grid on,axis([-1.5 1.5 -0.5 1.5])

title('Señal u(t+1/2)'); xlabel('t'); ylabel('u(t)');

subplot(1,3,2),plot(t,y2,'r'),grid on,axis([-1.5 1.5 -0.5 1.5])

title('Señal u(-t+1/2)'); xlabel('t'); ylabel('u(t)');

subplot(1,3,3),plot(t,y,'m'),grid on,axis([-1.5 1.5 -0.5 1.5])

title('Señal x(t)=u(t+1/2)*u(-t+1/2)'); xlabel('t'); ylabel('x(t)');

%ejercicio 3

% Sea la FUNCION y(t)=1-t -2<=t<02 Y ESCALON UNITARIO u(t) grafique:

%a. y(t)

t=-2.5:0.01:3.5;

y=1-t;

80

figure(1)

plot(t,y,'b'),grid on,axis([-2.5 2.5 -3.5 3.5])

title('Señal y(t)=1-t'); xlabel('t'); ylabel('y(t)');

%b. y(t)*u(t)

t=-2.5:0.01:3.5;

y=1-t;

u=us(t);

a=y.*u;

figure(2)

subplot(1,3,1),plot(t,y,'b'),grid on,axis([-2.5 2.5 -3.5 3.5])

title('Señal y(t)=1-t'); xlabel('t'); ylabel('y(t)');

subplot(1,3,2),plot(t,u,'m'),grid on,axis([-2.5 2.5 -3.5 3.5])

title('Señal u(t)'); xlabel('t'); ylabel('u(t)');

subplot(1,3,3),plot(t,a,'r'),grid on,axis([-2.5 2.5 -3.5 3.5])

title('Señal a=y(t)*u(t)'); xlabel('t'); ylabel('a');

%c. y(t)*u(-t)

t=-2.5:0.01:3.5;

y=1-t;

u1=us(-t);

a1=y.*u1;

figure(3)

subplot(1,3,1),plot(t,y,'b'),grid on,axis([-2.5 2.5 -3.5 3.5])

title('Señal y(t)=1-t'); xlabel('t'); ylabel('y(t)');

subplot(1,3,2),plot(t,u1,'m'),grid on,axis([-2.5 2.5 -3.5 3.5])

title('Señal u(-t)'); xlabel('t'); ylabel('u(t)');

subplot(1,3,3),plot(t,a1,'r'),grid on,axis([-2.5 2.5 -3.5 3.5])

title('Señal a1=y(t)*u(-t)'); xlabel('t'); ylabel('a1');

%d. y(t)*u(t-1)

t=-2.5:0.01:3.5;

y=1-t;

u2=us(t-1);

a2=y.*u2;

figure(4)

subplot(1,3,1),plot(t,y,'b'),grid on,axis([-2.5 2.5 -3.5 3.5])

title('Señal y(t)=1-t'); xlabel('t'); ylabel('y(t)');

subplot(1,3,2),plot(t,u2,'m'),grid on,axis([-2.5 2.5 -3.5 3.5])

title('Señal u(t-1)'); xlabel('t'); ylabel('u(t)');

subplot(1,3,3),plot(t,a2,'r'),grid on,axis([-2.5 2.5 -3.5 3.5])

title('Señal a2=y(t)*u(t-1)'); xlabel('t'); ylabel('a2');

%e. y(t)+u(t-1)

t=-2.5:0.01:3.5;

y=1-t;

u2=us(t-1);

a3=y+u2;

figure(5)

81

subplot(1,3,1),plot(t,y,'b'),grid on,axis([-2.5 2.5 -3.5 3.5])

title('Señal y(t)=1-t'); xlabel('t'); ylabel('y(t)');

subplot(1,3,2),plot(t,u2,'m'),grid on,axis([-2.5 2.5 -3.5 3.5])

title('Señal u(t-1)'); xlabel('t'); ylabel('u(t)');

subplot(1,3,3),plot(t,a3,'r'),grid on,axis([-2.5 2.5 -3.5 3.5])

title('Señal a3=y(t)+u(t-1)'); xlabel('t'); ylabel('a3');

%f. y(t-1)u(t)

t=-2.5:0.01:3.5;

y1=2-t;

u3=us(t);

a4=y1.*u3;

figure(6)

subplot(1,3,1),plot(t,y1,'b'),grid on,axis([-2.5 2.5 -3.5 3.5])

title('Señal y(t)=2-t'); xlabel('t'); ylabel('y(t)');

subplot(1,3,2),plot(t,u3,'m'),grid on,axis([-2.5 2.5 -3.5 3.5])

title('Señal u(t)'); xlabel('t'); ylabel('u(t)');

subplot(1,3,3),plot(t,a4,'r'),grid on,axis([-2.5 2.5 -3.5 3.5])

title('Señal a3=y(t-1)+u(t)'); xlabel('t'); ylabel('a4');

%g. y(t-1)u(t+1)

t=-2.5:0.01:3.5;

y1=2-t;

u4=us(t+1);

a5=y1.*u4;

figure(7)

subplot(1,3,1),plot(t,y1,'b'),grid on,axis([-2.5 2.5 -3.5 3.5])

title('Señal y(t)=2-t'); xlabel('t'); ylabel('y(t)');

subplot(1,3,2),plot(t,u4,'m'),grid on,axis([-2.5 2.5 -3.5 3.5])

title('Señal u(t+1)'); xlabel('t'); ylabel('u(t)');

subplot(1,3,3),plot(t,a5,'r'),grid on,axis([-2.5 2.5 -3.5 3.5])

title('Señal a5=y(t-1)*u(t+1)'); xlabel('t'); ylabel('a5');

%h. y(t)u(t+1)u(1-t)

t=-2.5:0.01:3.5;

y=1-t;

u5=us(t+1);

u6=us(1-t);

a6=y.*u5.*u6;

figure(8)

subplot(1,4,1),plot(t,y,'b'),grid on,axis([-2.5 2.5 -3.5 3.5])

title('Señal y(t)=1-t'); xlabel('t'); ylabel('y(t)');

subplot(1,4,2),plot(t,u5,'m'),grid on,axis([-2.5 2.5 -3.5 3.5])

title('Señal u(t+1)'); xlabel('t'); ylabel('u(t)');

subplot(1,4,3),plot(t,u6,'g'),grid on,axis([-2.5 2.5 -3.5 3.5])

title('Señal u(1-t)'); xlabel('t'); ylabel('u(t)');

subplot(1,4,4),plot(t,a6,'r'),grid on,axis([-2.5 2.5 -3.5 3.5])

title('Señal a6=y(t)*u(t+1)*u(1-t)'); xlabel('t'); ylabel('a6');

82

% ejercicio 4.

tt=0:0.1:10;

syms t r

y=int(r*t,t)

pretty(y)

g=1/2*(tt.^2);

figure(1)

plot(tt,g),title('Integral de r(t)'); xlabel('t'); ylabel('g(t)');

grid

t=0:0.01:2

tt=2:0.1:10;

g1=1/2*((tt-2).^2);

figure(2)

plot(t,0,tt,g1),title('Integral de r(t-a)'); xlabel('t'); ylabel('g1(t)');

grid

% ejercicio 5.

t = 0:0.01:3;

x1=-2*ur(t);

x2= x1+3*ur(t-1);

x=x2-ur(t-2);

figure(1)

subplot(1,3,1),plot(t,x1,'y'),grid on,axis([-0.2 3 -3 2])

title('funcion -2r(t)'); xlabel('t'); ylabel('r(t)');

subplot(1,3,2),plot(t,x2,'b'),grid on,axis([-0.2 3 -3 2])

title('funcion -2r(t)+3r(t-1)'); xlabel('t'); ylabel('r(t)');

subplot(1,3,3),plot(t,x,'g'),grid on,axis([-0.2 3 -3 2])

title('funcion -2r(t)+3r(t-1)-r(t-2)'); xlabel('t'); ylabel('r(t)');

% ejercicio 6.

% a. x(t)

t=-0.2:0.001:1.5;

x1=3*us(t);

x2=x1-3*us(t-1);

x3=-3*ui(t-1);

x=x2+x3;

figure(1)

subplot(2,2,1),plot(t,x1),grid on,axis([-0.2 1.5 -3.5 3.5])

subplot(2,2,2),plot(t,x2),grid on,axis([-0.2 1.5 -3 3.5])

subplot(2,2,3),plot(t,x3,'r'),grid on,axis([-0.2 1.5 -3 3.5])

subplot(2,2,4),plot(t,x),grid on,axis([-0.2 1.5 -3 3.5])

% b. y(t)

t=-0.2:0.001:2.5;

x1=2*ui(t);

x2=-4*ui(t-1);

x3=2*ui(t-2);

83

x=x1+x2+x3;

figure(2)

subplot(2,2,1),plot(t,x1,'r'),grid on,axis([-0.2 2.5 -4.5 2.5])

subplot(2,2,2),plot(t,x2,'r'),grid on,axis([-0.2 2.5 -4.5 2.5])

subplot(2,2,3),plot(t,x3,'r'),grid on,axis([-0.2 2.5 -4.5 2.5])

subplot(2,2,4),plot(t,x),grid on,axis([-0.2 2.5 -4.5 2.5])

% c. z(t)

t=-0.2:0.001:3.5;

x1=2*us(t);

x2=x1-3*us(t-1);

x3=x2+us(t-2);

x4=-2*ui(t-3);

x=x3+x4;

figure(3)

subplot(3,2,1),plot(t,x1),grid on,axis([-0.2 3.5 -2.5 2.5])

subplot(3,2,2),plot(t,x2),grid on,axis([-0.2 3.5 -2.5 2.5])

subplot(3,2,3),plot(t,x3),grid on,axis([-0.2 3.5 -2.5 2.5])

subplot(3,2,4),plot(t,x4,'r'),grid on,axis([-0.2 3.5 -2.5 2.5])

subplot(3,2,5),plot(t,x),grid on,axis([-0.2 3.5 -2.5 2.5])

% ejercicio 7.

t = 0.1:0.01:8;

x1 =ur(t);

x2=x1-ur(t-2);

x3=x2-us(t-2);

x4=x3-ur(t-3);

x5=x4+3*ur(t-4);

x6=x5-4*ur(t-5);

x=x6+2*ur(t-6);

figure(1)

subplot(2,4,1),plot(t,x1),grid on,axis([-0.2 7 -3 3])

subplot(2,4,2),plot(t,x2),grid on,axis([-0.2 7 -3 4])

subplot(2,4,3),plot(t,x3),grid on,axis([-0.2 7 -3 4])

subplot(2,4,4),plot(t,x4),grid on,axis([-0.2 7 -3 4])

subplot(2,4,5),plot(t,x5),grid on,axis([-0.2 7 -3 4])

subplot(2,4,6),plot(t,x6),grid on,axis([-0.2 7 -3 4])

subplot(2,4,7),plot(t,x),grid on,axis([-0.2 7 -3 4])

% ejercicio 8

t=-0.2:0.1:4;

x1=us(t);

x2=x1-us(t-1);

x3=x2+2/3*ur(t-1);

x=x3-2/3*(t-5/2).*us(t-3);

figure(1)

subplot(2,2,1),plot(t,x1,'m'),grid on,axis([-0.2 4 -1 2])

subplot(2,2,2),plot(t,x2,'b'),grid on,axis([-0.2 4 -1 2])

84

subplot(2,2,3),plot(t,x3,'g'),grid on,axis([-0.2 4 -1 2])

subplot(2,2,4),plot(t,x,'r'),grid on,axis([-0.2 4 -1 2])

%ejercicio 9

t=-10:0.01:10

x=ur(t)-us(t-1)-us(t-2)-us(t-3)-us(t-4)-us(t-5)-us(t-6)-us(t-7);

plot(t,x)

t=0:0.1:10

m=us(t);

n=ui(t)+ui(t-1)+ui(t-2)+ui(t-3)+ui(t-4)+ui(t-5)+ui(t-6)+ui(t-7);

b=m-n;

figure(1)

plot(t,b)

t1=0:0.01:1;

t2=1:0.01:2;

t3=2:0.01:3;

t4=3:0.01:4;

z=(t1).^2;

z1=(t2-1).^2;

z2=(t3-2).^2;

z3=(t4-3).^2;

plot(t1,z)

hold on

plot(t1,0,t2,z1)

hold on

plot(t1,0,t2,0,t3,z2)

hold on

plot(t1,0,t2,0,t3,0,t4,z3)

grid

%ejercicio 10

t=-1:0.1:7;

x=us(t-1)+us(t-2)+us(t-3)+us(t-4)+us(t-5)

y=-5*us(t-6);

z=x+y;

figure(1)

subplot(1,3,1),plot(t,x,'m'),grid on,axis([-0.2 7 -5.5 5.5])

title('Señal x1(t)=u(t-1)+u(t-2)+u(t-3)+u(t-4)+u(t-5)')

subplot(1,3,2),plot(t,y,'m'),grid on,axis([-0.2 7 -5.5 5.5])

title('Señal x2(t)=-5*u(t-6')

subplot(1,3,3),plot(t,z,'m'),grid on,axis([-0.2 7 -5.5 5.5])

title('Señal x(t)=x1(t)+x2(t)')

MSc. Ing. RICARDO E. TRONCOSO H.

85

SOLUCION : GRAFICAS DEL TALLER No 1

EJERCICIO No 2.

Suma

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-0.5

0

0.5

1

1.5Señal u(t+1/2)

t

u(t

)

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-0.5

0

0.5

1

1.5Señal u(t-1/2)

t

u(t

)

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-0.5

0

0.5

1

1.5Señal x(t)=u(t+1/2)-u(t-1/2)

t

x(t

)

Producto

86

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-0.5

0

0.5

1

1.5Señal u(t+1/2)

t

u(t

)

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-0.5

0

0.5

1

1.5Señal u(-t+1/2)

t

u(t

)

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-0.5

0

0.5

1

1.5Señal x(t)=u(t+1/2)*u(-t+1/2)

t

x(t

)

EJERCICIO No 3

a) y(t)=1-t

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

-3

-2

-1

0

1

2

3

Señal y(t)=1-t

t

y(t

)

b) y(t)*u(t)

87

-2 -1 0 1 2

-3

-2

-1

0

1

2

3

Señal y(t)=1-t

t

y(t

)

-2 -1 0 1 2

-3

-2

-1

0

1

2

3

Señal u(t)

t

u(t

)

-2 -1 0 1 2

-3

-2

-1

0

1

2

3

Señal a=y(t)*u(t)

t

a

c) y(t)*u(-t)

-2 -1 0 1 2

-3

-2

-1

0

1

2

3

Señal y(t)=1-t

t

y(t

)

-2 -1 0 1 2

-3

-2

-1

0

1

2

3

Señal u(-t)

t

u(t

)

-2 -1 0 1 2

-3

-2

-1

0

1

2

3

Señal a1=y(t)*u(-t)

t

a1

d) y(t)*u(t-1)

88

-2 -1 0 1 2

-3

-2

-1

0

1

2

3

Señal y(t)=1-t

t

y(t

)

-2 -1 0 1 2

-3

-2

-1

0

1

2

3

Señal u(t-1)

t

u(t

)

-2 -1 0 1 2

-3

-2

-1

0

1

2

3

Señal a2=y(t)*u(t-1)

t

a2

e) y(t)+u(t-1)

-2 -1 0 1 2

-3

-2

-1

0

1

2

3

Señal y(t)=1-t

t

y(t

)

-2 -1 0 1 2

-3

-2

-1

0

1

2

3

Señal u(t-1)

t

u(t

)

-2 -1 0 1 2

-3

-2

-1

0

1

2

3

Señal a3=y(t)+u(t-1)

t

a3

f) y(t-1)*u(t)

89

-2 -1 0 1 2

-3

-2

-1

0

1

2

3

Señal y(t)=2-t

t

y(t

)

-2 -1 0 1 2

-3

-2

-1

0

1

2

3

Señal u(t)

t

u(t

)

-2 -1 0 1 2

-3

-2

-1

0

1

2

3

Señal a3=y(t-1)+u(t)

t

a4

g) y(t-1)*u(t+1)

-2 -1 0 1 2

-3

-2

-1

0

1

2

3

Señal y(t)=2-t

t

y(t

)

-2 -1 0 1 2

-3

-2

-1

0

1

2

3

Señal u(t+1)

t

u(t

)

-2 -1 0 1 2

-3

-2

-1

0

1

2

3

Señal a5=y(t-1)*u(t+1)

t

a5

h) y(t)*u(t+1)*u(1-t)

90

-2 -1 0 1 2

-3

-2

-1

0

1

2

3

Señal y(t)=1-t

t

y(t

)

-2 -1 0 1 2

-3

-2

-1

0

1

2

3

Señal u(t+1)

t

u(t

)

-2 -1 0 1 2

-3

-2

-1

0

1

2

3

Señal u(1-t)

t

u(t

)

-2 -1 0 1 2

-3

-2

-1

0

1

2

3

Señal a6=y(t)*u(t+1)*u(1-t)

t

a6

EJERCICIO No 4

a)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50Integral de r(t)

t

g(t

)

b)

91

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

5

10

15

20

25

30

35Integral de r(t-a)

t

g1(t

)

EJERCICIO No 5

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2funcion -2r(t)

t

r(t)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2funcion -2r(t)+3r(t-1)

t

r(t)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2funcion -2r(t)+3r(t-1)-r(t-2)

t

r(t)

EJERCICIO No 6

a) x(t)

92

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

-3

-2

-1

0

1

2

3

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4-3

-2

-1

0

1

2

3

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4-3

-2

-1

0

1

2

3

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4-3

-2

-1

0

1

2

3

b) y(t)

0 0.5 1 1.5 2 2.5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

0 0.5 1 1.5 2 2.5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

0 0.5 1 1.5 2 2.5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

0 0.5 1 1.5 2 2.5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

c) z(t)

93

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

-2

-1

0

1

2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

-2

-1

0

1

2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

-2

-1

0

1

2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

-2

-1

0

1

2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

-2

-1

0

1

2

EJERCICIO No 7

x(t)= r(t)-r(t-2)-u(t-2)-r(t-3)+3r(t-4)-4r(t-5)+2r(t-6)

0 2 4 6-3

-2

-1

0

1

2

3

0 2 4 6-3

-2

-1

0

1

2

3

4

0 2 4 6-3

-2

-1

0

1

2

3

4

0 2 4 6-3

-2

-1

0

1

2

3

4

0 2 4 6-3

-2

-1

0

1

2

3

4

0 2 4 6-3

-2

-1

0

1

2

3

4

0 2 4 6-3

-2

-1

0

1

2

3

4

EJERCICIO No 8

94

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

EJERCICIO No 9

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

EJERCICIO No 10

95

0 1 2 3 4 5 6 7

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

Señal x1(t)=u(t-1)+u(t-2)+u(t-3)+u(t-4)+u(t-5)

0 1 2 3 4 5 6 7

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

Señal x2(t)=-5*u(t-6

0 1 2 3 4 5 6 7

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

Señal x(t)=x1(t)+x2(t)

MSc. Ing. RICARDO E. TRONCOSO H.

96

SEÑALES Y SISTEMAS

UNIVERSIDAD DE IBAGUE

SOLUCIONES

TALLER GUÍA No 2. Tema: Señales en Matlab.

Docente: MSc. Ing. Ricardo E. Troncoso H.

% SOLUCION AL TALLER GUIA No 2

clear all;

close all;

clc;

% FUNCION x(t) Y PASO UNITARIO u(t)

t=-2.5:0.01:3.5;

x=1-t;

u=us(t);

%a. v1=x(t)*u(t)

v1=x.*u;

figure(1)

subplot(1,3,1),plot(t,x,'b'),grid on,axis([-2.5 2.5 -3.5 3.5])

title('Señal x(t)=1-t');

xlabel('t');

ylabel('x(t)');

subplot(1,3,2),plot(t,u,'m'),grid on,axis([-2.5 2.5 -3.5 3.5])

title('Señal u(t)');

xlabel('t');

ylabel('u(t)');

subplot(1,3,3),plot(t,v1,'r'),grid on,axis([-2.5 2.5 -3.5 3.5])

title('Señal v1=x(t)*u(t)');

xlabel('t');

ylabel('v1');

%b. v2=x(t)*u(-t)

t=-2.5:0.01:3.5;

x=1-t;

u1=us(-t);

v2=x.*u1;

figure(2)

subplot(1,3,1),plot(t,x,'b'),grid on,axis([-2.5 2.5 -3.5 3.5])

title('Señal x(t)=1-t');

xlabel('t');

ylabel('x(t)');

subplot(1,3,2),plot(t,u1,'m'),grid on,axis([-2.5 2.5 -3.5 3.5])

97

title('Señal u(-t)');

xlabel('t');

ylabel('u(t)');

subplot(1,3,3),plot(t,v2,'r'),grid on,axis([-2.5 2.5 -3.5 3.5])

title('Señal v2=x(t)*u(-t)');

xlabel('t');

ylabel('v2');

%c. v3=x(t-1)*u(t+1)

t=-2.5:0.01:3.5;

x1=2-t;

u2=us(t+1);

v3=x1.*u2;

figure(3)

subplot(1,3,1),plot(t,x1,'b'),grid on,axis([-2.5 2.5 -3.5 3.5])

title('Señal x(t)=2-t');

xlabel('t');

ylabel('x(t)');

subplot(1,3,2),plot(t,u2,'m'),grid on,axis([-2.5 2.5 -3.5 3.5])

title('Señal u(t+1)');

xlabel('t');

ylabel('u(t)');

subplot(1,3,3),plot(t,v3,'r'),grid on,axis([-2.5 2.5 -3.5 3.5])

title('Señal v3=x(t-1)*u(t+1)');

xlabel('t');

ylabel('v3');

%d. v4=x(t)*u(t-1)

t=-2.5:0.01:3.5;

x=1-t;

u3=us(t-1);

v4=x.*u3;

figure(4)

subplot(1,3,1),plot(t,x,'b'),grid on,axis([-2.5 2.5 -3.5 3.5])

title('Señal x(t)=1-t');

xlabel('t');

ylabel('x(t)');

subplot(1,3,2),plot(t,u3,'m'),grid on,axis([-2.5 2.5 -3.5 3.5])

title('Señal u(t-1)');

98

xlabel('t');

ylabel('u(t)');

subplot(1,3,3),plot(t,v4,'r'),grid on,axis([-2.5 2.5 -3.5 3.5])

title('Señal v4=x(t)*u(t-1)');

xlabel('t');

ylabel('v4');

%e. v5=x(t)*u(t+1)*u(1-t)

t=-2.5:0.01:3.5;

x=1-t;

u2=us(t+1);

u3=us(1-t);

v5=x.*u2.*u3

figure(5)

subplot(1,4,1),plot(t,x,'b'),grid on,axis([-2.5 2.5 -3.5 3.5])

title('Señal x(t)=1-t');

xlabel('t');

ylabel('x(t)');

subplot(1,4,2),plot(t,u2,'m'),grid on,axis([-2.5 2.5 -3.5 3.5])

title('Señal u(t+1)');

xlabel('t');

ylabel('u(t)');

subplot(1,4,3),plot(t,u3,'g'),grid on,axis([-2.5 2.5 -3.5 3.5])

title('Señal u(1-t)');

xlabel('t');

ylabel('u(t)');

subplot(1,4,4),plot(t,v5,'r'),grid on,axis([-2.5 2.5 -3.5 3.5])

title('Señal v5=x(t)*u(t+1)*u(1-t)');

xlabel('t');

ylabel('v5');

MSc. Ing. RICARDO E. TRONCOSO H.

99

GRAFICAS DE LA SOLUCION TALLER No 2

Ejercicio No 7. a.) x(t) u(t)

-2 -1 0 1 2

-3

-2

-1

0

1

2

3

Señal x(t)=1-t

t

x(t

)

-2 -1 0 1 2

-3

-2

-1

0

1

2

3

Señal u(t)

t

u(t

)

-2 -1 0 1 2

-3

-2

-1

0

1

2

3

Señal v1=x(t)*u(t)

t

v1

b) x(t) u(-t)

-2 -1 0 1 2

-3

-2

-1

0

1

2

3

Señal x(t)=1-t

t

x(t

)

-2 -1 0 1 2

-3

-2

-1

0

1

2

3

Señal u(-t)

t

u(t

)

-2 -1 0 1 2

-3

-2

-1

0

1

2

3

Señal v2=x(t)*u(-t)

t

v2

100

c) x(t-1) u(t+1)

-2 -1 0 1 2

-3

-2

-1

0

1

2

3

Señal x(t)=2-t

t

x(t

)

-2 -1 0 1 2

-3

-2

-1

0

1

2

3

Señal u(t+1)

t

u(t

)

-2 -1 0 1 2

-3

-2

-1

0

1

2

3

Señal v3=x(t-1)*u(t+1)

t

v3

d) x(t) u(t-1)

-2 -1 0 1 2

-3

-2

-1

0

1

2

3

Señal x(t)=1-t

t

x(t

)

-2 -1 0 1 2

-3

-2

-1

0

1

2

3

Señal u(t-1)

t

u(t

)

-2 -1 0 1 2

-3

-2

-1

0

1

2

3

Señal v4=x(t)*u(t-1)

t

v4

101

e) x(t) u(t+1) u(1-t)

-2 0 2

-3

-2

-1

0

1

2

3

Señal x(t)=1-t

t

x(t

)

-2 0 2

-3

-2

-1

0

1

2

3

Señal u(t+1)

t

u(t

)

-2 0 2

-3

-2

-1

0

1

2

3

Señal u(1-t)

t

u(t

)

-2 0 2

-3

-2

-1

0

1

2

3

Señal v5=x(t)*u(t+1)*u(1-t)

t

v5

MSc. Ing. RICARDO E. TRONCOSO H.

102

SEÑALES Y SISTEMAS

UNIVERSIDAD DE IBAGUE

SOLUCIONES

TALLER GUIA No 4. Tema: Convolución en tiempo continuo

Docente: MSc. Ing. Ricardo E. Troncoso H.

% 1.

% Copyright

% Encontrar la señal de salida y(t) usando la CONVOLUCION CONTINUA

% Señal de entrada x(t)=-2u(t-1)+2u(t-2)-2u(t-3) y

% Respuesta impulso h(t)=exp(-t)

% Señal de entrada x(t)

t=0:0.01:4;

t0=1;

u1=-2*stepfun(t,t0);

t0=2;

u2=2*stepfun(t,t0);

t0=3;

u3=-2*stepfun(t,t0);

x=u1+u2+u3;

figure

plot(t,x);title('Señal de entrada x(t)'); grid

% Respuesta impulso h(t)

t0=0;

u5=1*stepfun(t,t0);

h=exp(-t).*u5;

figure

plot(t,h);title('Respuesta impulso h(t)'); grid

% Convolucion

y=conv(x,h);

figure

plot(y);title('CONVOLUCION y(t)=x(t)*h(t)');grid

clear x h

fprintf('pulse una tecla para continuar \n')

pause

103

% 2.

% Copyright

% Encontrar la señal de salida y(t) usando la CONVOLUCION CONTINUA

% Señal de entrada x(t)= pulso de amplitud 1 y ancho 3

% Respuesta impulso h(t)=sin(2t)

%

t=0:0.01:10;

t0=2;

u1=1*stepfun(t,t0);

t0=5;

u2=1*stepfun(t,t0);

u=u1-u2;

figure

plot(t,u);title('Señal de entrada x(t)');

grid

h=sin(2*t);

figure

plot(t,h);title('Respuesta impulso h(t)');

y=conv(u,h);

figure

plot(y);title('Convolucion x(t)*h(t)');

clear x h

fprintf('pulse una tecla para continuar \n')

pause

% 3.

% Copyright

% Encontrar la señal de salida y(t) usando la CONVOLUCION CONTINUA

% Señal de entrada x(t)= rampa recortada en 1

% Respuesta impulso h(t)=u(t)-u(t-2)

t=0:0.01:3;

t0=0;

ua=1*stepfun(t,t0);

t0=1;

ub=1*stepfun(t,t0);

uc=ua-ub; % Señal recortadora para formar la señal de entrada

figure

plot(t,uc);title('Señal pulso recortadora');

104

% Señal de entrada

x=t.*uc; % P

figure

plot(t,x);title('Señal de entrada x(t)');

% Señal respuesta impulso

t0=0;

ud=1*stepfun(t,t0);

t0=2;

ue=1*stepfun(t,t0);

h=ud-ue;

figure

plot(t,h);title('Señal respuesta impulso h(t)');

% Convolucion

y=conv(x,h);

figure

plot(y);title('Convolucion y(t)=x(t)*h(t)');grid

clear x h

fprintf('pulse una tecla para continuar \n')

pause

MSc. Ing. RICARDO E. TRONCOSO H.

105

SEÑALES Y SISTEMAS

UNIVERSIDAD DE IBAGUE

SOLUCIONES TALLER GUIA No 5. Tema: E.D.L. con Transformadas de Laplace

Docente: MSc. Ing. Ricardo E. Troncoso H.

CON SOLUCIONES EN MATLAB:

LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

En este taller el estudiante solucionará las ecuaciones diferenciales lineales. Primero lo hará sin ayuda del Matlab o sea “a

mano”, y después lo usara para verificar que la respuesta este correcta.

Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales lineales (EDL):

1. 2

2

( ) ( )3 2 ( ) ,

(0)con condiciones iniciales (0) 4, 5

td y t dy ty t e

dt dt

dyy

dt

2. 2

2

( ) ( )3 2 ( ) ( ),

(0)con condiciones iniciales (0) 2, 3

d y t dy ty t f t

dt dt

dyy

dt

donde ( )f t se muestra en la siguiente figura:

106

3. 2

2

( ) ( )2 10 ( ) 1 5 ( 5),

(0)con condiciones iniciales (0) 1, 2

d y t dy ty t t

dt dt

dyy

dt

SOLUCIONES

1. Usando Matlab

a) Solución rápida:

y = dsolve('D2y + 3*Dy + 2*y = exp(-t)' , 'y(0)=4', 'Dy(0)=5')

b) Solución más elaborada: % NOTA: para correr este codigo se debe colocar las funciones

% heaviside.m , dirac.m y setcurve.m

% en el directorio Matlab\toolbox\symbolic o en el directorio

% de trabajo Matlab\work

clear all

close all

clc

% Solucion de ecuaciones diferenciales usando la transformada de Laplace

% Aqui consideramos las condiciones iniciales

% y'' + 3 y' + 2 y = e-t , y(0) = 4 , y'(0) = 5

% Defino las variables simbolicas necesarias:

syms s t Y

% Defino el lado derecho de la ecuacion (la señal de entrada, en este

% caso una señal exponencial):

f = 'exp(-t)'

F = laplace(f,t,s)

% Encuentro la transformada de Laplace de y'(t) : Y1 = s Y - y(0)

Y1 = s*Y - 4

% Encuentro la transformada de Laplace de y''(t) : Y2 = s Y1 - y'(0)

Y2 = s*Y1 - 5

% Ajusto a cero la transformada de Laplace del lado derecho menos

% la del lado izquierdo y resuelvo para Y

Sol = solve(Y2 + 3*Y1 + 2*Y - F, Y)

% Calculo la transformada inversa de Laplace:

solucion = ilaplace(Sol,s,t)

figure()

ezplot(solucion,[0,10])

pause

% How can I change the plot style and color in ezplot ?

% First save the file setcurve.m in your home directory.

% To change the curve color to red, use the following command after the

% ezplot command:

107

setcurve('color','red')

% To change the curve color to green, use a dashed instead of a solid

% line, and make the lines thicker, use the following command after the

% ezplot command:

setcurve('color','green','linestyle','--','linewidth',2)

2. % Ejemplo utilizando una señal de entrada "compuesta"

% La ecuacion diferencial y sus respectivas condiciones iniciales son:

% y'' + 3 y' + 2 y = f(t) ,

% y(0) = 2 , y'(0) = 3

% la señal de entrada es:

% f(t) = 1 for t<3

% f(t) = t -2 for 3<t<6

% f(t) = 2 for t>6

% Defino las variables simbolicas necesarias:

syms s t Y

% Escribimos la entrada en terminos de escalones (funcion Heaviside):

% es decir, f(t) = f1(t) + (f2(t)-f1(t))H(t-t1) + (f3(t)-f2(t))H(t-t2)

f = '1 + ((t-2)-1)*heaviside(t-3) + (2-(t-2))*heaviside(t-6)'

figure(1)

ezplot(f,[0,10])

pause

% Encuentro la transformad de Laplace del lado derecho de la

%funcion f(t):

F = laplace(f,t,s)

% Encuentro la transformada de Laplace de y'(t) : Y1 = s Y - y(0)

Y1 = s*Y - 2

% Encuentro la transformada de Laplace de y''(t) : Y2 = s Y1 - y'(0)

Y2 = s*Y1 - 3

% Resolvemos:

Sol = solve(Y2 + 3*Y1 + 2*Y - F, Y)

% Calculo la transformada inversa de Laplace:

sol = ilaplace(Sol,s,t)

% Dibujo la solucion:

figure(2)

ezplot(sol,[0,10])

3.

% Ejemplo con la funcion delta de Dirac

% Consider the initial value problem

% y'' + 2 y' + 10 y = 1 + 5 delta(t-5) , y(0) = 1 , y'(0) = 2

% Define the necessary symbolic variables:

syms s t Y

108

%Define the right hand side function:

f = '1 + 5*dirac(t-5)'

% Find the Laplace transform of the right hand side function:

F = laplace(f,t,s)

% Find the Laplace transform of y'(t) : Y1 = s Y - y(0)

Y1 = s*Y - 1

% Find the Laplace transform of y''(t) : Y2 = s Y1 - y'(0)

Y2 = s*Y1 – 2

% Set the Laplace transform of the left hand side minus the

% right hand side to zero and solve for Y:

Sol = solve(Y2 + 2*Y1 + 10*Y - F, Y)

% Find the inverse Laplace transform of the solution:

sol = ilaplace(Sol,s,t)

% Plot the solution:

figure(3)

ezplot(sol,[0,10])

MSc. Ing. RICARDO E. TRONCOSO H.

109

SEÑALES Y SISTEMAS

UNIVERSIDAD DE IBAGUE TALLER GUIA No 6. Tema: Aplicaciones de la Transformada de Laplace

SOLUCION Docente: MSc. Ing. Ricardo E. Troncoso H.

APLICACIONES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

En este taller el estudiante calculara la respuesta (salida) de un sistema de tiempo continuo ante determinada entrada usando

las propiedades y teoremas de la transformada de Laplace.

Primero lo hará sin ayuda del Matlab, es decir, “a mano” y luego utilizara dicho software para verificar que la respuesta sea

la correcta.

1.

El sistema mecánico que se representa en la siguiente figura

tiene como modelo matemático la ecuación diferencial lineal:

2

( ) ( ) ( )( ) ( )

d y t dy t dx tm b ky t b kx t

dt dt dt

Para 1000 , 2000 , 5000Kg N

m Kg b ks m

:

a) Hallar la función de transferencia del sistema, es decir, Condicionesiniciales 0

( )( )

( )

Y sG s

X s

110

b) Analizar la estabilidad del sistema. Explicar porque el sistema es estable o críticamente estable o inestable y dibujar los

ceros y polos en el plano s.

c) Si la entrada al sistema es 1, para 0

( )0, para 0

tx t

t

, hallar la respuesta (salida) ( )y t del sistema.

2.

El sistema electromecánico que se representa en la siguiente figura

tiene como modelo matemático las ecuaciones diferenciales lineales:

2

( ) ( )( ) (Ecuación mecánica)

d t d tJ b Ki t

dt dt

( ) ( ) ( )( ) , (Ecuación eléctrica)

di t i t d tL R v t K

dt dt dt

2

Donde:

.El momento de inercia del rotor 0.01

Kg mJ

s

El coeficiente de fricción viscosa del motor es 0.1 . .b N m s

.La constante de fuerza electromotriz es 0.01

N mK

A

La resistencia de la armadura es 1R

La inductancia de la armadura es 0.5L H

111

La corriente eléctrica en la armadura es ( )i t

La entrada es el voltaje ( )v t

La salida es el desplazamiento angular

(velocidad rotacional) ( ) del motor, en t radianes

Hallar:

a) La función de transferencia del sistema, es decir, Condicionesiniciales 0

( )( )

( )

sG s

V s

b) Analizar la estabilidad del sistema. Explicar porque el sistema es estable o críticamente estable o inestable y dibujar los

ceros y polos en el plano s.

c) Si a la entrada al sistema se aplica un voltaje de 2 voltios (señal paso de amplitud 2) calcule la respuesta del sistema.

d) Si la entrada es , para 0

( ) ( )0, para 0

tv t t

t

, calcular la respuesta del sistema.

SOLUCION

1. La solución “ a mano” se hará en el tablero

La solución computacional (Matlab) es la siguiente:

clc close all; clear all; pause on fprintf('*************************************************************\n'); fprintf(' CURSO DE SEÑALES Y SISTEMAS \n'); fprintf(' MAESTRIA EN INGENIERIA DE CONTROL INDUSTRIAL \n'); fprintf(' UNIVERSIDAD DE IBAGUE \n'); fprintf(' TALLER No 6. \n'); fprintf('*************************************************************\n'); pause fprintf('************************************\n'); fprintf(' SISTEMA MECANICO\n'); fprintf(' El modelo matematico es\n'); fprintf(' my'''' + by'' + ky = bx'' + kx \n'); fprintf(' Los componentes del sistema son \n');

112

fprintf(' m=1000 Kg; k=5000 N/m; b=2000 Kg/s \n'); fprintf(' y'''' + 2y'' + 5y = 2x'' + 5x \n'); fprintf('************************************\n'); % Aplicando la transformada de Laplace, encontramos % la Funcion de Transferencia con condiciones iniciales % iguales a cero. % Y(s)/X(s) = (bs + k) / (ms^2 + bs + k) % = ((b/m)s + (k/m)) / (s^2 + (b/m)s + (k/m)) % = (2s+5)/(s^2 + 2s + 5) fprintf('------------------------------------------------------- \n'); fprintf(' PRIMER METODO. \n'); fprintf(' La funcion de transferencia G(s) es: \n'); fprintf(' G(s) = Y(s)/X(s) = (bs + k) / (ms^2 + bs + k) \n'); fprintf(' G(s) = Y(s)/X(s) = (2s+5) / (s^2 + 2s + 5) \n'); fprintf('------------------------------------------------------- \n'); fprintf(' Las raices (polos) de G(s) son: \n'); denominador = [1 2 5]; raices = roots(denominador); disp(raices) pause fprintf('-------------------------------------------------- \n'); fprintf(' pero X(s) igual 1/s (ENTRADA PASO) \n'); fprintf(' => Y(s)= G(s) X(s) = (2s+5)/(s^2+2s+5)s \n'); fprintf(' => Hacemos un desarrollo en FRACCIONES PARCIALES \n'); fprintf(' => Y(s) = K/s+1+2j + K*/s+1-2j + k1/s \n'); fprintf(' => donde K* es el conjugado de K \n'); fprintf(' Encontremos los valores de los residuos K, K* y K1 \n'); numerador = [0 0 2 5]; denominador = [1 2 5 0]; [residuos,polos,ganancia] = residue(numerador,denominador); % r=1+(3/4)i y 1-(3/4)i fprintf(' ------------------------------------------------ \n'); fprintf(' Los residuos son: \n'); disp(residuos); pause fprintf(' ------------------------- \n'); fprintf(' Los polos son: \n');

113

disp(polos); % Los residuos complejos son 0.5+0.25j y 0.5-0.25j ==> x+yj; x-yj % Los polos complejos son -1+2j y -1-2j ==> s+alfa+betaj; s+alfa-betaj pause on fprintf(' ----------------------------------------------------------- \n'); fprintf(' De acuerdo con los anteriores resultados, \n'); fprintf(' tenemos los valores de alfa, beta, y, b \n'); fprintf(' para sustituir en la formula: \n'); fprintf(' (2x(s+alfa)/(s+alfa)^2+beta^2) + (2ybeta/(s+alfa)^2+beta^2) \n'); fprintf(' Despues aplicamos la transformada INVERSA de Laplace \n'); fprintf(' para calcular la respuesta paso y(t) \n'); pause fprintf(' ------------------------------------------------------- \n'); fprintf(' LA RESPUESTA PASO obtenida es la siguiente: \n'); fprintf(' y(t)=1-exp(-t)cos(2t) + (1/2)exp(-)sen(2t) \n'); fprintf('-------------------------------------------------------- \n'); fprintf(' Los valores para t=1 o sea y(1), para t=2 o sea y(2), \n'); fprintf(' para t=3 o sea y(3), para y(4),..., y(n) son: \n'); fprintf('-------------------------------------------------------- \n'); pause t = 0:0.1:5; y = 1 - exp(-t).*cos(2*t) + exp(-t).*sin(2*t); fprintf('y(1)= ');disp(y(1)); fprintf('y(2)= ');disp(y(2)); fprintf('y(3)= ');disp(y(3)); fprintf('y(4)= ');disp(y(4)); fprintf('y(5)= ');disp(y(5)); fprintf('y(10)= ');disp(y(10)); fprintf('y(15)= ');disp(y(15)); fprintf('y(25)= ');disp(y(25)); fprintf('y(50)= ');disp(y(50)); pause fprintf(' La grafica de la respuesta paso (escalon) sera: \n'); pause figure(1) plot(t,y,'r') grid; ylabel('y(t)'); xlabel('t'); title('Respuesta paso'); pause fprintf('*************************************************\n');

114

fprintf(' SEGUNDO METODO. \n'); fprintf(' Otra forma mas sencilla de hallar la \n'); fprintf(' respuesta paso es la siguiente: \n'); fprintf('*************************************************\n'); pause t = 0:0.1:5; numera = [0 2 5]; denomina = [1 2 5]; Y = step(numera,denomina,t); disp(Y) figure(2) plot(t,Y) grid; ylabel('Y(t)'); xlabel('t'); title('Respuesta paso') pause fprintf('**************************************************\n'); fprintf(' TERCER METODO. \n'); fprintf(' Ahora usamos el SISO Design GUI o sisotool \n'); fprintf('**************************************************\n'); nume = [0 2 5]; deno = [1 2 5]; sistema = tf(nume,deno); sisotool(sistema) pause fprintf('*************************************************\n'); fprintf(' CUARTO METODO. \n'); fprintf(' Ahora usamos el SIMULINK \n'); fprintf('*************************************************\n'); open('taller6'); sim('taller6'); figure() plot(resp_paso.time,resp_paso.signals.values),title('respuesta paso');

115

% NOTAS PARA RECORDAR % la derivada de un escalon es un impulso % syms x % diff(heaviside(x),x) % ans = % dirac(x) 2.

(1) )()()(

2

tKidt

tdb

dt

tdJ

(Ecuación Mecánica)

(2) dt

tdKtv

dt

tiR

dt

tdiL

)()(

)()( (Ecuación Eléctrica)

J=0.01, b=0.1, K=0.01, R=1, L=0.5.

(1) )()()(2

sKIsbssJs

(2) )()()()( sKssVsRIsLsI (Ecuación Eléctrica)

(3) De (1) K

sbssJssI

)()()(

2

Substituyendo (3) en (2) )()()()()()(

22

sKssVK

sbssJsR

K

sbssJsLs

)()()()()()(

2223

sVK

ssKsbRssJRssLbssLJs

)(

)(2223

sVK

sKbRsJRsLbsLJss

22)(

)(

KbRsJRLbLJss

K

sV

s

Asignando los valores dados y con las condiciones iguales a cero, calculamos la función de transferencia:

a. 22

)01.0()11.0()101.0()1.05.0()5.0)(01.0(

01.0

)(

ssssV

s

)0001.01.0()01.005.0(005.0

01.0

)(

)(2

ssssV

s

005.01001.0

005.006.0

005.0005.0

005.001.0

)(

)(2

ssssV

s

2012

2

)(

)(2

ssssV

s

b) Se hallan los polos y ceros y se grafican en el plano s

116

los polos son

2

10

0

s

, debido al polo en cero, el sistema es críticamente estable.

c). Entrada paso de 2 voltios de amplitud.

2012

2

)(

)(2

ssssV

s pero )()( sVtv

st

2)(2

)10)(2(

4

2012

4)(

222

ssssss

s

2

4321

102)(

s

k

s

k

s

k

s

ks

2

221)10(

4

)10)(2(

4)2()()2(

ss

ssssss

sssk

32

4

)8)(4(

4

)102()2(

42

8

11 k

10

2

10

2102)2(

4

)10)(2(

4)10()()10(

ss

ssssss

sssk

800

4

)8)(100(

4

)210()10(

42

200

12 k

00

2

0

2

4)10)(2(

4

)10)(2(

4)(

ss

ssssss

sssk

20

4

)10)(2(

4

)100)(20(

4

5

14 k

0

2

0

2

0

2

1

32012

4

)10)(2(

4)(

!1

1

sssssds

d

ssss

ds

dss

ds

dk

2

0

22

0

22

2

)20(

48

)2012(

488

)2012(

)122)(4()0)(2012(

ssss

s

ss

sss

25

33 k

2

1

5

11

25

3

10

1

200

1

2

1

8

1)(

sssss

1

2

1111 1

5

11

25

3

10

1

200

1

2

1

8

1)(

sssss

teettt

5

1

25

3

200

1

8

1)(

102

117

d) Calculo de la respuesta impulso :

s

k

s

k

s

k

ssssssssH 321

22 1022012

2)1(

2012

2)()(

22

21)10(

2

)10)(2(

2)2()()2(

ss

ssssss

sssk

16

2

)8)(2(

2

)102)(2(

2

8

11 k

1010

102)2(

2

)10)(2(

2)10()()10(

ss

ssssss

sssk

80

2

)8)(10(

2

)210)(10(

2

40

12 k

00

03)10)(2(

2

)10)(2(

2)(

ss

ssssss

sssk

20

2

)10)(2(

2

)100)(20(

2

10

13 k

sssssH

1

10

1

10

1

40

1

2

1

8

1)()(

10

1

40

1

8

1)()(

102

tteetht

La cual es la respuesta impulso.

Además el sistema es críticamente estable ya que hay un polo en s=0.

MSc. Ing. RICARDO E. TRONCOSO H.

118

SEÑALES Y SISTEMAS

UNIVERSIDAD DE IBAGUE

SOLUCION TALLER GUIA No 7. Tema: Diagramas de Bloques

Docente: MSc. Ing. Ricardo E. Troncoso H.

ALGEBRA DE BLOQUES PARA SIMPLIFICAR DIAGRAMAS

El objetivo principal del presente taller es el de simplificar los diagramas de bloques usando las reglas del álgebra de bloques.

Los ejercicios primero se realizan “a mano” y luego se utiliza el Matlab para verificar la respectiva respuesta..

1.

Un sistema de tiempo continuo está representado mediante el siguiente diagrama de bloques:

a) Simplificar, usando las reglas del álgebra de bloques.

b) Hallar la función de transferencia ( )

( )( )

C sG s

R s

2.

Un sistema de tiempo continuo está representado mediante el siguiente diagrama de bloques:

+

119

a) Simplificar, usando las reglas del álgebra de bloques. Los valores de ( )G s y ( )H s son:

1 2 3

2 3 1( ) , ( ) , ( ) ,

2 4 5

3 9( ) , ( ) , ( ) ,

6 7 1

G s G s G ss s s

s sH s H s H s

s s s

b) Hallar la función de transferencia ( )

( )( )

C sG s

R s

SOLUCION

1.

A “mano”

3

1

s

8

2

2s

210

s

s s

TALLER No 7. Ejercicio 1.

Realizado “a mano”

3

( 1)8

s

210

s

s s 8

2

2s

120

3

( 1)8

s

8 210

s

s s

(2)8

2s

2

8

10

s

s s

3

( 1)8

s

16

2s

121

3

( 1)8

s

16

2s

2

8

10

s

s s

2

8

10

s

s s

3

( 1)8

s

16

2s

Este alambre tiene un

valor de 1

122

16

2s

2

8

10

s

s s

31

( 1)8

s

31

( 1)8

s

2

8

10

s

s s

16

2s

Este alambre

tiene un valor de 1

123

2

8

10

s

s s

1

161

2s

31

( 1)8

s

31

8 8

s

2

1 8

16 101

2

s

s s

s

124

5 8

8 8

s

2

8 ( 2)

( 10)( 18)

s s

s s s

5 8

8 8

s

2

3 2

8 16

19 28 180

s s

s s s

125

5 8

8 8

s

2

3 2

8 16

27 44 180

s s

s s s

2

3 2

2 2

3 2 3 2

2 3 2 2

3 2 3 2

La regla 6 se aplico así:

( ) 8s 16, donde ( ) y ( ) 1

1 ( ) ( ) s 19 28 180

8s 16 8s 16

s 19 28 180 s 19 28 180 8s 16 s 19 28 180 8s 16

1s 19 28 180 s 19 28 180

G s sG s H s

G s H s s s

s s

s s s ss s s s

s s s s

2

3 2

8 16

27 44 180

s s

s s s

3 2

4 3 2

40 144 128

8 224 568 1792 1440

s s s

s s s s

3 2

4 3 2

40 144 128

8 8 8Dividimos por 8 8 224 568 1792 1440

8 8 8 8 8

luego la función de transferencia es

s s s

s s s s

3 2

4 3 2

( ) 5 18 16( )

( ) 28 71 224 180

Y s s s sG s

R s s s s s

126

Con Matlab

Realizar en Simulink el siguiente diagrama de bloques y guardarlo con el nombre de taller7aa (o con el nombre de su

agrado).

Guarde este modelo en el mismo directorio donde va a guardar el siguiente código:

% Este codigo reduce un diagrama de bloques

% hasta obtener la funcion de transferencia

clear all

close all

[A,B,C,D]=linmod('taller7aa');

[num,den]=ss2tf(A,B,C,D)

sys=tf(ss(A,B,C,D));

sys=minreal(sys)

El resultado dado por Matlab es:

num =

0 5.0000 18.0000 16.0000 -0.0000

den =

1.0000 28.0000 71.0000 224.0000 180.0000

Transfer function:

5 s^3 + 18 s^2 + 16 s

-----------------------------------

s^4 + 28 s^3 + 71 s^2 + 224 s + 180

127

2. Con Matlab

Realizo el siguiente diagrama de bloques en simulink:

Digito el siguiente código en el editor de Matlab:

% Este codigo reduce un diagrama de bloques

% hasta obtener la funcion de transferencia

clear all

close all

[A,B,C,D]=linmod('taller7bb');

[num,den]=ss2tf(A,B,C,D)

sys=tf(ss(A,B,C,D));

sys=minreal(sys)

El resultado que da el Matlab es:

num =

0 -0.0000 2.0000 30.0000 162.0000 386.0000 252.0000

den =

1.0e+003 *

0.0010 0.0340 0.4020 2.2300 6.1990 7.4580 2.4720

Transfer function:

2 s^4 + 30 s^3 + 162 s^2 + 386 s + 252

------------------------------------------------------------

s^6 + 34 s^5 + 402 s^4 + 2230 s^3 + 6199 s^2 + 7458 s + 2472

MSc. Ing. RICARDO E. TRONCOSO H.

128

SEÑALES Y SISTEMAS

UNIVERSIDAD DE IBAGUE

SOLUCION TALLER GUIA No 8. Tema: Función de Transferencia - Espacio de Estados

Docente: MSc. Ing. Ricardo E. Troncoso H.

FUNCION DE TRANSFERENCIA

REPRESENTACION DE ESPACIO DE ESTADOS

El objetivo principal del presente taller es solucionar varios ejercicios relacionados con las funciones de transferencia y con

la representación en espacio de estado de sistemas continuos. Trataremos con sistemas que pueden tener o no derivadas en la

función de excitación (entrada al sistema).

La función de transferencia la obtendremos a partir de la figura dada, del esquema dado (de la grafica del circuito eléctrico en

el caso de sistemas eléctricos).

1. a) Hallar el diagrama de bloques del sistema mecánico representado en la siguiente figura:

b) Hallar la función de transferencia

( )( )

( )

o

i

x sG s

x s

Realizar el ejercicio únicamente a “mano”.

2.

a) Hallar el diagrama de bloques del sistema eléctrico mostrado en la siguiente figura:

b) A partir del diagrama de bloques hallado en el punto anterior, halle la función de

transferencia

129

( )( )

( )

o

i

v sG s

v s

Realizarlo únicamente a “mano”.

3. Hallar la representación en el espacio de estado del sistema de tiempo continuo mostrado en la siguiente figura:

Realizarlo primero “mano” y luego verificar la respuesta en Matlab asignando los siguientes valores ideales a los elementos

del sistema: 1 ; 1 ; 1R L H C F

130

4. Hallar la representación en el espacio de estado del sistema eléctrico mostrado en el siguiente esquema:

Realizarlo únicamente a “mano”.

La solución o se la representación en espacio de estados para el sistema eléctrico anterior es:

NOTA IMPORTANTE: Esta solución se obtuvo usando un análisis de mallas. En teoría, usando el análisis de nodos, se

debería llegar a la misma solución

2

1 1

2 2

11

10

'1

1 1 '

R

x xL Lu

x xR C

C R C

1

2

0 x

y R ux

0

131

5 Encontrar la representación en el espacio de estado del sistema eléctrico mostrado en la siguiente figura: Realizarlo

únicamente a “mano”.

La solución es siguiente:

NOTA: Esta solución se obtuvo usando un análisis de nodos. En teoría, usando el análisis de mallas, se debería llegar a la

misma solución.

1 1 2 1 2 11 1

2 2

2 2 2 2 3 2

1 1 1

2

3 2

1 1 1

'

' 1 1 1

1 0

1

0

R C R C R Cx x

x x

R C R C R C

R C u

u

R C

1

2

1 -1 x

y ux

0

132

SOLUCIONES

NOTA IMPORTANTE

Use el Matlab, en estos talleres, para verificar que las respuestas a los problemas,

ejercicios, planteados sean las correctas, por ejemplo si usted halla la función de

transferencia ( )G s de un sistema puede, usando el Matlab, hallar la representación en el

espacio de estados.

Veamos el procedimiento:

Sea un sistema lineal de tiempo continuo con función de transferencia:

2

1( )

2.4 5 6

sG s

s s s

El codigo y su respectiva respuesta son:

clear all;

close all;

clc;

% Ingreso el numerador teniendo las potencias de s

numerador = [0 0 1 1];

% Hallamos el producto del denominador

a = [0 1 2.4]; b = [1 5 6];

denominador = conv(a,b)

% Hacemos la transformación de la función de transferencia

% al espacio de estado. Hallamos las matrices A,B,C y D.

[A,B,C,D]=tf2ss(numerador, denominador)

% La solución que da el Matlab es la siguiente:

% No olvide que hay infinitas representaciones en el espacio

% de estado para un mismo sistema

A =

-7.4000 -18.0000 -14.4000

133

1.0000 0 0

0 1.0000 0

B =

1

0

C =

0 1 1

D =

0

Si ya conocemos la representación en espacio de estado (vamos a utilizar las mismas

matrices del código anterior) y necesito hallar la función de transferencia del sistema uso

el siguiente código:

% Le indicamos al Matlab cuales son las matrices

A = [-7.4 -18 -14.4; 1 0 0; 0 1 0]

B = [1; 0; 0]

C = [0 1 1]

D = [0]

% Realizamos la transformación de state space a

% transfer function

[denomina,numera]=ss2tf(A,B,C,D)

% La solucion que da el Matlab es

denomina =

0 -0.0000 1.0000 1.0000

numera =

1.0000 7.4000 18.0000 14.4000

134

Si obtengo “a mano” las soluciones a los problema planteados y estas poseen literales

1 2, , , , ,R L C m k , etc, entonces para verificar dichas soluciones en Matlab podemos sustituir

estos literales por valores numericos o en su defecto usar el toolbox de símbolos

matemáticos (Symbolic Math Toolbox).

1

a) Diagrama de bloques para el sistema mecánico mostrado en la siguiente figura:

Se conocen las ecuaciones del sistema:

(1) )()(

2

0

2

tfdt

txdm )(

1)(2

0

2

tfmdt

txd

(2) )()()()(

)( 00 txtxk

dt

tdx

dt

tdxbtf i

i

Se usan las reglas de álgebra de bloques para simplificar:

(1) )(1

)(''0 tfm

tx , aplicando Laplace con condiciones iniciales iguales a cero: )(1

)(0

2sF

msXs

)(1

)(20 sF

mssX

(2) )()()()(

)( 00 txtxk

dt

tdx

dt

tdxbtf i

i

)()()(')(')( 00 txtxktxtxbtf ii

)()()(')(')( 00 tkxtkxtbxtbxtf ii , Aplicando Transformada de Laplace:

)()()()()( 00 skXskXsbsXsbsXsF ii

135

)()()()()( 00 sXsXksXsXbssF ii

)()()()( 0 sXsXkbssF i

Asigno bloques a cada ecuación transformada

Luego se unen los bloques y se simplifica usando las reglas de álgebra de bloques

b) Función de transferencia.

Usando las reglas necesarias (usted en su informe explicará cuales reglas del álgebra de bloques empleo para simplificarlo)

obtenemos la función de transferencia pedida:

2

1)(

)(

ms

kbsms

ms

kbs

ms

kbsms

kbs

sXi

sXo

kbsms

kbs

sXi

sXo

2)(

)(

)(1

)(2

sFms

sXo

)()()()( kbssXosXisF

136

2

a) Diagrama de bloques del sistema eléctrico:

Paso 1: Leyes de la física.

Usando la ley de Ohm y la ley de Kirchoff de los voltajes: ( ) 0.nv t

Para la malla de 1( )i t :

1 1 1( ) ( ) (1)Rv t R i t

1 1 2

1

1( ) ( ) ( ) (2)Cv t i t dt i t dt

C

2 2 2( ) ( ) (3)

Rv t R i t

137

2 2

2

1( ) ( ) (4)Cv t i t dt

C

Para la malla de 1( )i t tenemos:

(Ι) 1 1( ) ( ) ( ) 0 (5)R C iv t v t v t

Para la malla de 2( )i t tenemos:

(ΙI) 2 2 1( ) ( ) ( ) 0 (6)R C Cv t v t v t

Remplazando las ecuaciones (1) , (2) , (3) y (4) en las ecuaciones (5) y (6) :

(Ι)

1 1 1 2

1

1( ) ( ) ( ) ( ) (7)iR i t i t dt i t dt v t

C

(ΙI)

2 2 2 1 2

2 1

1 1( ) ( ) ( ) ( ) 0 (8) R i t i t dt i t dt i t dt

C C

138

De la grafica del sistema eléctrico vemos que:

2 2

2

1( ) ( ) ( ) (9)C ov t v t i t dt

C

Paso 2: Transformada de Laplace

Ahora aplicamos la transformada de Laplace (con condiciones iniciales iguales a cero) a

las ecuaciones (7) , (8) y (9)

(Ι)

1 1 1 2

1

1( ) ( ) ( ) ( ) (10)iR I s I s I s V s

C s

(ΙI)

2 2 2 1 2

2 1

1 1( ) ( ) ( ) ( ) 0 (11)R I s I s I s I s

C s C s

(ΙII)

2

1( ) ( ) (12)oV s I s

C s

139

De la ecuación (10) obtenemos:

1 2 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) (13)iI s I s C s V s R I s

De la ecuación (11) tendremos:

2 2 2 1 2

2 1

1 1( ) ( ) ( ) ( ) R I s I s I s I s

C s C s

2 2 1 2

2 1

1 1( ) ( ) ( ) I s R I s I s

C s C s

2 22 1 2

2 1

1 1( ) ( ) ( )

R C sI s I s I s

C s C s

22 1 2

2 2 1

1( ) ( ) ( ) (14)

1

C sI s I s I s

R C s C s

140

Paso 3: Asignación de bloques

Asignamos los respectivos bloques a las ecuaciones transformadas (12) , (13) y (14) .

Bloques para la ecuación (12) :

3Bloques para la ecuación (1 ) :

141

4Bloques para la ecuación (1 ) :

Paso 4: Unificación de los bloques

Uniendo los anteriores bloques obtenemos el diagrama de bloques que representa el

sistema eléctrico:

b Función de transferencia

Usando las reglas necesarias (usted en su informe explicará cuales reglas del álgebra de

bloques empleo para simplificarlo) obtenemos la función de transferencia pedida:

1 1 2 2

2 1 1 2 2 1 2

1 1 2 2 1 1 2 2

1

( )( )

1( )

o

i

v s R C R CG s

R C R C R Cv ss s

R C R C R C R C

142

3

Vamos a hallar la representación en espacio de estado para el sistema mostrado a

continuación

Sabemos que la ecuación diferencial que modela este sistema es

2

( ) ( ) 1 1( ) ( ) (1)o o

o i

d v t R dv tv t v t

dt L dt LC LC

La entrada al sistema es ( ) ( )iv t u t y la salida es ( ) ( )ov t y t . Esto con el fin de

hacer compatibles las notaciones para el espacio de estado; no olvidemos que la

representación en forma estandar de este es

( ) ( ) ( )

x t x t u t

y t x t u t

A B

C D

Asignamos las variables de estado así:

1( ) ( ) (2)

ox t v t

143

2

( )( ) (3)o

dv tx t

dt

Derivamos las anteriores relaciones:

12

( ) ( )( ) (4)o

dx t dv tx t

dt dt

2

( ) ( ) (5)o

dx t d v t

dt dt

De la ecuación diferencial lineal (1) despejamos

2

( )o

d v t

dt y lo reemplazamos en la

ecuación (5) :

2

( ) ( ) 1 ( ) 1( ) ( ) (6)o o

o i

dx t d v t R dv tv t v t

dt dt LC L dt LC

Las relaciones (2) y (3) las sustituimos en la ecuación (6) :

21 2

( ) 1 1( ) ( ) ( ) (7)

dx t Rx t x t u t

dt LC L LC

Ahora bien, las ecuaciones (4) y (7) me van a formar la representación en espacio de

estados: La ecuación de estado y la ecuación de salida en forma de ecuaciones matriciales

son:

144

1

2 2

( ) 0 1 0

( )( )1 1

( ) ( )

dx t

x tdtu tR

dx t x tLC L LC

dt

La ecuación de salida se obtiene de (2) , no olvide que ( ) ( )ov t y t

1

2

( )( ) 0 1 ( )

( )

x ty t u t

x t

0

En forma abreviada:

1 1

22

0 1 0

1 1

x xuR

xx LC L LC

1

2

0 1x

y ux

0

MSc. Ing. RICARDO E. TRONCOSO H.

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