otro caso mas de riemann

OTRO CASO MAS DE RIEMANN

CALCULO INTEGRAL

En este caso se dará a conocer otro tipo de solución a esta suma de Riemann. Este método consiste en que nuestra función la queremos

dividir en “n” rectángulos pero no de una sola misma medida con respecto al eje x, sino de varias medidas diferentes, siempre y cuando

no rebase los límites o el intervalo dado.

FORMULA PARA CALCULAR ESTE TIPO DE CASOS:

𝐴 =

𝑘=1

𝑛

𝑓(ξ𝑘)∆𝑥𝑘

DONDE:

𝑓(ξ𝑘) ES LA ALTURA DE LA FUNCION

∆𝑥𝑘 LA BASE DE LA FUNCION Y SE CALCULA ASI: ∆𝑥𝑘 = 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1

Y PARA “n” RECTANGULOS:

𝐴 = lim𝑛→∞

𝑘=1

𝑛

𝑓(ξ𝑘)∆𝑥𝑘

ξ𝑘 = 𝑎 + 𝑘∆𝑥

DADA 𝑓 𝑥 = 𝑥3 − 4, CON 0 ≤ 𝑥 ≤ 3, HALLAR LA SUMA RIEMANN PARA LA FUNCION 𝑓 𝑥 EN EL

INTERVALO [0,3] PARA LA PARTICION ∆: 𝑥0 = 0, 𝑥1 =1

2, 𝑥2 = 1

1

4, 𝑥3 = 2

1

4, 𝑥4 = 3 𝑦 ξ1 =

1

4, ξ2 =

1, ξ3 = 11

2, 𝑦 ξ4 = 2

1

2DONDE EL NUMERO DE RECTANGULOS DEBE DE SER 4.

SOLUCION:

𝐴 =

𝑘=1

𝑛

𝑓(ξ𝑘)∆𝑥𝑘

𝑘=1

4

𝑓 ξ𝑘 ∆𝑥𝑘 = 𝑓 ξ1 ∆𝑥1 + 𝑓 ξ2 ∆𝑥2 + 𝑓 ξ3 ∆𝑥3 + 𝑓 ξ3 ∆𝑥3 + 𝑓 ξ4 ∆𝑥4

𝑘=1

4

𝑓 ξ𝑘 ∆𝑥𝑘 = 𝑓1

4

1

2− 0 + 𝑓 1 1

1

4−1

2+ 𝑓 1

1

221

4− 11

4+ 𝑓 2

1

23 − 21

4

=1

4

3

− 41

2+ 1 3 − 4

3

4+3

2

3

− 4 1 +5

2

3

− 43

4

=1

64− 4

1

2+ 1 − 4

3

4+27

8− 4 1 +

125

8− 4

3

4

= −63

64

1

2+ −3

3

4+ −

5

81 +

93

8

3

4

= −63

128−9

4−5

8+279

32=685

128𝑈2

POR LO REGULAR ESTE METODO NO SE USA DEBIDO A QUE EL AREA NO ES EXACTA COMO LA SUMA DE RIEMANN O COMO LA INTEGRAL DEFINIDA.

PERO, SI LO HACEMOS POR “n” RECTANGULOS, USAREMOS LA FORMULA SIGUIENTE:

𝐴 = lim𝑛→∞

𝑘=1

𝑛

𝑓(ξ𝑘)∆𝑥𝑘

Y SU PROCEDIMIENTO ES EL SIGUIENTE:

𝐴 = lim𝑛→∞

𝑘=1

𝑛

𝑓(ξ𝑘)∆𝑥𝑘

∆𝑥 = ∆𝑥𝑘 =𝑏 − 𝑎

𝑛=3 − 0

𝑛=3

𝑛ξ𝑘 SERA COMO EN CADA SUBINTERVALO, Y ENTONCES OBTENEMOS LO SIGUIENTE:

ξ𝑘 = 𝑎 + 𝑘∆𝑥

ξ𝑘 = 0 + 𝑘3

𝑛

ASI QUE:

𝐴 = lim𝑛→∞

𝑘=1

𝑛

0 + 𝑘3

𝑛

3

− 43

𝑛= lim𝑛→∞

𝑘=1

𝑛

𝑘3

𝑛

3

− 43

𝑛

= lim𝑛→∞

𝑘=1

𝑛27

𝑛3𝑘3 − 4

3

𝑛= lim𝑛→∞

𝑘=1

𝑛81

𝑛4𝑘3 −12

𝑛=

= lim𝑛→∞

81

𝑛4

𝑘=1

𝑛

𝑘3 −12

𝑛

𝑘=1

𝑛

1 = lim𝑛→∞

81

𝑛4𝑛2 𝑛 + 1 2

4−12

𝑛𝑛

= lim𝑛→∞

81

4

𝑛2 𝑛2 + 2𝑛 + 1

𝑛4− 12 = lim

𝑛→∞

81

4

𝑛4 + 2𝑛3 + 𝑛2

𝑛4− 12

= lim𝑛→∞

81

41 +2

𝑛+1

𝑛2− 12 =

81

4lim𝑛→∞

1 +2

𝑛+1

𝑛2− lim𝑛→∞12 =

=81

4− 12 =

33

4𝑈2

ESTE ES EL RESULTADO EXACTO DE ESTA AREA. SI QUIERES COMPRUEBALO CON LAS INTEGRALES. ESTE METODO TAMBIEN NOS

SIRVE PARA CALCULAR OTRAS INTEGRALES.

BIBLIOGRAFIA

Garza Olvera, Benjamín, Cálculo Integral, Matemáticas V DGETI, 1ra Edición, 35-38 págs.