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MODELACIÓN MATEMÁTICA DE SISTEMAS EN EL ESPACIO DE

ESTADO

Sistemas Dinámicos Lineales Invariantes en el Tiempo (LTI)

Un sistema dinámico continuo LTI se expresa matemática-mente mediante una ecuación diferencial lineal de coeficientes constantes.

Para resolver analítica o numéricamente una ecuación diferencial debemos conocer las condiciones iniciales. Si alguno de los parámetros ai, bi es variante en el tiempo entonces el sistema sigue siendo lineal pero variante en el tiempo.

2

1 2 1 22

0 00

( )

(0) , (0)

( ) ( ) ( )( )

( )

t

d d dua a y t b b udt dtdt

dy y y y

dt

y t y t tt

y t

En los modelos de Entrada-Salida se asume que las condiciones iniciales son nulas. Recordemos que un operador actúa sobre una función y da como resultado otra función, por ejemplo el operador derivada.

dpdt

1 2 1 22 2

1 2 1 2

( ) ( )y t up a p a p a p a

b p b b p bt L

1 22

1 2

( ) ( )y t Lu tp a p a

b p bLOperador de Transferencia

Modelos de Entrada-Salida o Externos

2

1 2 1 22( )

( ) ( ) ( )( )

d d dua a y t b b udt dtdt

y t y t tt

Un sistema dinámico LTI verifica:

( ) ( ) ( ) ( )y t L u t y t L u t

La respuesta al impulso de un sistema LTI define el sistema.

( ) ( ) ( ) ( )h t L t h t L t

( ) ( )( ) u t du t

( ) ( )y t L u t

Para una señal de entrada u(t) cualquiera la salida es:

Por la propiedad del cedazo de la delta de Dirac

Modelos de Entrada-Salida o Externos

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )t u t Y s s sy t h H U

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( )

u t d u L t d

u d h t u t

y t L

h t

La señal de salida de un sistema LTI es la convolución de la respuesta al impulso h(t) con la señal de entrada u(t). Por el teorema de convolución en el tiempo se tiene que la transformada de Laplace de la señal de salida es el producto de las transformadas de Laplace de las respuesta al impulso y de señal de entrada.

Respuesta en frecuencia de los Sistemas LTI

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )t u t Yy t h H U

( )( ) ( ) jeH H

Reemplazando s=jw se obtiene la respuesta en frecuencia del sistema en módulo y fase:

H(ω) también es el espectro de la señal de salida para entrada impulsiva (Delta de Dirac) ya que:

( ) ( ), ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( )u t t t U Y H

2

3 2( ) 6 9

( )( ) 7 14 8Y s s s

H sX s s s s

3 2 2

3 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )

7 14 8 ( ) 6 9 ( )d y t d y t dy t d x t dx t

y t x tdt dtdt dt dt

3 2 2( ) 7 ( ) 14 ( ) 8 ( ) ( ) 6 ( ) 9 ( )s Y s s Y s sY s Y s s X s sX s X s

Ejemplo: Se tiene el siguiente sistema dinámico lineal invariante

De la Ec. Diferencial a la Función de Transferencia

1( ) ( )h t H s Es la respuesta del sistema al impulso

2 2

3 2

6 9 ( 3)( )

( 1)( 2)( 4)7 14 84 1 1 1 1 1

3 1 2 2 6 4

s s sH s

s s ss s s

s s s

Para obtener la respuesta al impulso en el tiempo se debe anti transformar mediante el desarrollo en fracciones parciales

1 1 1 14 1 1 1 1 1( ) ( )

3 1 2 2 6 4h t s

s s s

2 44 1 1( )

3 2 6t t th t e e e

22 4

3 2

4 1 1 6 9( ) ( )

3 2 6 7 14 8t t t s s

h t e e e H ss s s

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )IntegraldeConvolución FuncióndeTransferencia

t u t Y s s sy t h H U

Además de la ecuación diferencial, la integral de convolución y la función de transferencia. ¿Existe otra manera de modelar un sistema dinámico?

2

1 2 1 22

0 00

( )

(0) , (0)

( ) ( ) ( )( )

( )

t

EcuaciónDiferencial

d d dua a y t b b udt dtdtd

y y y ydt

y t y t tt

y t

Para convertir una Ecuación Diferencial de orden n en n ecuaciones diferenciales de primer orden se deben seleccionar un conjunto de n variables del sistema a las que llamaremos variables de estado. Esta elección (salvo casos muy simples) no es única.

Si se puede construir otro tipo de modelo a partir de que una Ecuación Diferencial de orden n se puede resolver planteando n ecuaciones diferenciales de primer orden.

Modelos de Espacio de Estado

0 0

12

1

1 1 0 01

11

0 0 0 01

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( )

n n

nn n

nn

nt t t t

nx

d y t d y t dy ta a a y t b u t

dtdt dt

dy t d y ty y y t y

dt dt

xx

Variables de fase: Las denominadas variables de fase es la elección usual de n variables del sistema (variables de estado).

Consideremos la ecuación diferencial de abajo. Se asocian las variables de estado x1, x2,…, xn a y(t), dy(t)/dt,…, dn-1y(t)/dtn-1k . Observar que se corresponden con las variables asociadas a las condiciones iniciales.

Modelos de Estado-Representación en Variables de Fase

1 1 1 2

2

2 2 2 32

2 1

1 1 12 1

1

0 11

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

n n

n n n nn n

n n

n n nn n

dy tx t y t x t x t x t

dtdy t d y t

x t x t x t x tdt dt

d y t d y tx t x t x t x t

dt dtd y t d y t

x t x t x t a x tdt dt

0 ( )b u t

12

1

1 1 0 01

( ) ( ) ( )( ) ( )

n n

nn n

n

d y t d y t dy ta a a y t b u t

dtdt xxdxt

Modelos de Estado-Representación en Variables de Fase

1 2

2 3

1

0 1 1 2 1 0

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n

n n n

x t x t

x t x t

x t x t

x t a x t a x t a x t b u t

1 1

2 2

1 1

0 1 2 1

( ) 0 1 0 0 ( )

( ) 0 0 0 0 ( )

( ) 0 0 0 1 ( )

( ) ( )

( ) (

n n

n n n n

x t x t

x t x t

x t x t

x t a a a a x t

Ax t x

1 0

2 0

1 0

0 0

0 0

0 ( )

0 ( )

( )

0 ( )

( )

) ( )

,

n

n

x t

x t

u t

x t

b x t

Bt x t x

0 0( ) ( ) ( ) , ( )x Ect Ax t Bu uaciónt x deEstadot x

Modelos de Estado-Representación en Variables de Fase

0 0( ) ( ) ( ) , ( )

( ) ( ) ( )

x t Ax t Bu t x t x

y t Cx t Du t

Nos interesa conocer la salida

( ) ( ) ( ) Ecuacióy t Cx t Du ndeS dat ali

Reescribiendo las dos últimas ecuaciones de forma compacta se llega a la forma usual del modelo de estado.

1

2

1

( )

( )

( ) 1 0 0 0 0 ( )

( )

( )

( )

,

n

n

x t

x t

y t u t

x t DCx t

x t

1( ) ( )x t y t

Modelos de Estado-Representación en Variables de Fase

Modelos de Espacio de Estado

Las variables de fase no son la única elección posible de las variables de estado. En el siguiente ejemplo construimos un modelo en el espacio de estados directamente de las leyes físicas.

Ejemplo: Consideremos la red eléctrica siguiente. Supongamos que queremos modelar el voltaje v(t).

Ley de carga del capacitor

0 0

( )( ) , ( )L

L

di tv t L i t i

dt

Ley de Kirchoff (nodos)

1 2

( ) ( ) ( ) ( )( )fL

v t v t dv t v ti t C

R dt R

0 0( )

( ) , ( )cdv t

i t C v t vdt

22( ) Rv t R i

Ley de Lenz

Ley de Ohm

0 0

1 2 1

( ) 1( )

, ,( ) 1 1 1 1

( ) ( ) ( )

L

f

di tv t

dt L i vdv t

i t v t v tdt C RC RC RC

Reordenando y agrupando

0 0

11 2

1( ) 00 ( )( ) , ,11 1 1 ( )( )

LL

f

di ti tLdt v t i vv tdv t

RCC RC RCdt

Pasando a forma vectorial-matricial

Renombrando variables y reemplazando en la ecuación matricial

1 1 1 0 0

2 2 2 0 0

( )( ) ( ) ( ) , ( )

( )( ) ( ) ( ) , ( )

( ) ( )

LL

f

di tx t i t x t x t i

dtdv t

x t v t x t x t vdt

v t u t

1 1 1 0

2 2 2 01

1 2

1 00( ) ( ) ( )( ) ,11 1 1( ) ( ) ( )

x t x t x tL u tx t x t x t

RCC RC RC

Como nos interesa modelar el voltaje v(t) (salida del sistema y(t))

12

2

( )( ) ( ) ( ) [0 1]

( )

x ty t v t x t

x t

0 0

1 1 1 0

2 2 2 01

1 2 ( )

1 00( ) ( ) ( )( ) ,11 1 1( ) ( ) ( )

( ) ( )tx t

x t x t x tL u tx t x t x t

RCC RC RCx t x xBA1

22

( )( ) ( ) ( ) [0 1] 0 ( )

( )

( )

x ty t v t x t u t

x tC D

x t

Agrupando las dos últimas ecuaciones

Reescribiendo de forma compacta :

0 0( ) ( ) ( ) , ( )

( ) ( ) ( )

EcuacióndeEstadox t Ax t Bu t x t x

y t Cx t Du t

s

Ecuaciónde Salida

0 0( ) ( ) ( ) , ( )

( ) ( ) ( )

EcuacióndeEstadx t Ax t Bu t x t x

y t Cx t Du t

o

Ecuaciónde Salida

( )

( )

( )

, ( )

entrada, ( )

, (

x t Vector deestadodedimensión n

u t Vector deentradadedimensión p

y t Vector desalidadedimensiónq

A Matriz del sistema de medición deorden n n

B Matriz de deorden n p

C Matriz de salida deorden q n)

, ( )D Matriz deacopledirecto deorden q p

Modelos de Espacio de Estado

Definición de los términos

Señales descritas en espacios de estado

Las representaciones en variables de estado además de describir sistemas o procesos, pueden ser también muy útiles para representar una gran variedad de señales. Para esto se utilizan generalmente modelos de estado, lineales e invariantes en t, sin excitaciones. Como consecuencia de ello, la señal que se obtiene como salida del sistema sólo depende de la condición inicial del vector de estado. Este tipo de sistemas sin señal de entrada se denominan homogéneos o autónomos:

Modelos de Espacio de Estado Homogeneos o Autónomos

0 0

( ) ( ); ( )

( ) ( )

x t Ax tx t x

y t Cx t

MODELOS EN ESPACIO DE ESTADO

CONCEPTO, DEFINICIÓN

VENTAJAS Y DESVENTAJAS DE LA TEORÍA MODERNA DE CONTROL CON RESPECTO A LA TEORÍA CLÁSICA

Modelos de Espacio de Estado

Concepto de Estado: La teoría moderna de control se basa en la representación matemática de los sistemas dinámicos por medio del concepto de estado, en contraposición con la teoría clásica de control, que utiliza únicamente la relación entre su entrada y su salida (función de transferencia).

Se define estado de un sistema como la mínima cantidad de información necesaria en un instante para que, conociendo la entrada a partir de ese instante, se pueda determinar cualquier variable del sistema en cualquier instante posterior.

La información se concentra en un conjunto mínimo de variables del sistema (variables de estado) que permite calcular cualquier otra variable del sistema t to como

función del estado en t = to y de los valores presentes de las entradas del sistema t to .

Modelos de Espacio de Estado

El Vector de Estado se define sobre un Espacio Vectorial denominado Espacio de Estado (es el conjunto de todos los vectores de estado que obviamente tiene la misma dimensión que el vector de estado).

Al ser el espacio de estado un espacio vectorial, admite infinitas bases, relacionadas entre sí mediante transforma-ciones lineales de semejanza.

La representación del estado depende entonces de la base elegida. Esta dependencia no afecta a las variables externas (entrada y salida), que no modifican su expresión sea cual sea la representación del estado elegida.

Luego, existe una sola Función de Transferencia e infinitas representaciones en modelos de Espacio de Estados.

Modelos de Espacio de Estado

Como existen infinitas representaciones en variables de estado solo algunas pocas tendrán significado físico.

El estado del sistema en un instante t determina la energía que el sistema posee en ese instante. Estas variables pueden ser cantidades físicas del sistema, tales como velocidad, posición, presión, voltaje y corriente, entre otras, o bien ciertas funciones de esas variables del sistema.

TRAYECTORIAS EN EL ESPACIO DE ESTADOS

La variable de estado x(t) es una función explícita del tiempo t, pero también depende del tiempo inicial t0, del estado inicial x(t0)=x0 y de la entrada u(t). Esta dependencia funcional se escribe como x(t) =f (t, t0, x0 , u(t)) , y se denomina trayectoria. Esta trayectoria puede ser graficada en el espacio de estado de dimensión n a medida que el tiempo evoluciona desde t0 a t .

Ventajas de la teoría moderna de control, con respecto a la teoría clásica

Es aplicable directamente a sistemas de multivariables (MIMO) en los que existe un elevado grado de interacción entre las variables del sistema.

Es aplicable a sistemas no-lineales cuyo comportamiento no puede ser aproximado por un modelo lineal dentro del rango de funcionamiento.

Es aplicable a sistemas variantes en el tiempo donde los parámetros varían con el tiempo a velocidades comparables con la evolución de las variables (LPV Linear Parameter-Varying systems).

Ventajas de la teoría moderna de control, con respecto a la teoría clásica

Es aplicable a la optimización del comportamiento de sistemas, (Control Optimo). Esto se logra mediante la minimización de una función objetivo que refleja la calidad en el cumplimiento de los objetivos de control.

La realimentación del vector de estado en lugar de solamente la salida permite abordar el control de sistemas mucho más complejos.

Ventajas de la teoría moderna de control, con respecto a la teoría clásica

El acondicionamiento numérico de los algoritmos es mucho mejor en el control moderno (los vectores y matrices son el lenguaje natural de Matlab y en general de cualquier computadora digital. Las funciones de transferencia son mal condicionadas numéricamente.

Desventajas de la teoría moderna de control, con respecto a la teoría clásica

El control clásico es más intuitivo que el control moderno (Espacio de Estados). La respuesta de un sistema al escalón, la constelación de polos y ceros, los diagramas de Bode o Nyquist, el lugar de las raíces son herramientas gráficas muy potentes para los humanos (es nuestro lenguaje natural)

En el control moderno (espacio de estados) se pierde la noción de ancho de banda y en general de todos los aspectos del dominio de la frecuencia.

Desventajas de la teoría moderna de control, con respecto a la teoría clásica

La interconexión de sistemas es más sencilla con las funciones de transferencia que con los modelos en el espacio de estados (interconección serie, parelelo, realimentación, etc.).

El fue concebido para los humanos en nuestro lenguaje natural. El control moderno (en el dominio del tiempo) fue concebido para las computadoras en su lenguaje natural.

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS

MODELOS DE ESTADO

DIAGRAMAS DE BLOQUES

Representación Gráfica de los Modelos de Estado Diagrama de Bloques

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )y t ay t by t u t y t ay t by t u t

El modelo de estado de un sistema lineal admite varias formas graficas:

Representación Gráfica-Diagrama de Bloques

1 11 12 1 1

2 21 22 2 2

11 2

2

( ) ( )

( ) ( )

( )( ) 0 ( )

( )

x t a a x t b

x t a a x t b

x ty t c c u t

x t

Representación Gráfica-Diagrama de Bloques

Con vectores y matrices la representación es más compacta y eficiente

CONVERSIÓN DE FUNCIONES DE TRANSFERENCIA

EN MODELOS EN EL ESPACIO DE ESTADOS CONVERSIÓN DE FUNCIONES DE TRANSFERENCIA CON UN TÉRMINO CONSTANTE EN EL NUMERADOR CONVERSIÓN DE FUNCIONES DE TRANSFERENCIA CON UN UN POLINOMIO EN EL NUMERADOR

La conversión de una función de transferencia en un modelo en el espacio de estado se denomina REALIZACIÓN. Para un sistema dado existe una y solo una Función de Transferencia pero existen infinitas realizaciones en modelos de Espacio de Estados. Cuando el número de estados coincide con el número de polos de la función de transferencia se dice que LA REALIZACIÓN ES MÍNIMA.

Conversión de Funciones de Transferencia en Modelos de Espacio de Estados

Número Mínimo de Variables de Estado

Como sabemos el número mínimo de variables de estado que debemos seleccionar? Normalmente el número mínimo de variables coincide con el orden de la ecuación diferencial que describe al sistema. Como el orden de la ecuación diferencial coincide con el orden del denominador de la función de transferencia, el número de variables de estado debe coincidir con el número de polos de la función de transferencia (después de haber cancelado los factores comunes entre el numerador y el denominador).

Número Mínimo de Variables de Estado

Otra manera de determinar el número de variables de estado es contando el número de elementos independientes que almacenan energía en el sistema. El número de esos elementos almacenadores de energía es igual al orden de la ecuación diferencial y al número de polos de la función de transferencia.

1 1 1 0

2 2 2 01

1 2

1 00( ) ( ) ( )( ) ,11 1 1( ) ( ) ( )

x t x t x tL u tx t x t x t

RCC RC RC

2

0

2

0

1

21

2

C C

L L

V

C

I

L

W L v dv CV

W L i di LI

1) Se pasa de la Función deTransferencia a la Ecuación Diferencial.

3 2 3 2

3 2

( )9 26 24 9 26 24

( ) 9 ( ) 26 ( ) 24 ( ) 24

( ) 9̈ ( ) 26 ( ) 24 ( ) ( )

24 24( ) , ( )

( )

24

Y s Rs s s s s s

s Y s s Y s sY s Y s U

y t y t y t y t u t

s G s

s

Función de Transferencia

Conversión de Funciones de Transferencia con un término constante en el numerador

Ecuación Diferencial

2) Se eligen como vimos anteriormente n variables de fase (variables de estado).

( ) 9 ( ) 26 ( ) 24 ( ) ( )24y t y t y t y t u t

Conversión de Funciones de Transferencia con un término constante en el numerador

Ecuación Diferencial

1 1 2

2 2 3

3 3 3 2 1

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) 9 ( ) 26 ( ) 24 ( ) ( )24

x t y t x t x t

x t y t x t x t

x t y t x t x t x t x t u t

3) Se reescriben las ecuaciones de manera vectorial-matricial.

Ecuaciones en Variables de Fase 1 1 2

2 2 3

3 3 3 2 1

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) 9 ( ) 26 ( ) 24 ( ) ( )24

x t y t x t x t

x t y t x t x t

x t y t x t x t x t x t u t

1 1

2 2

3 3

( ) 0 1 0 ( ) 0

( ) 0 0 1 ( ) 0 ( )

( ) 24 26 9 ( ) 24

( ) ( )

x t x t

x t x t u t

x t x t

BAx t x t

4) Se construye la ecuación de salida y se reescribe de manera vectorial-matricial.

1

2

3

( )

( ) 1 0 0 ( )

( )

( )

x t

y t x t

x tC

x t

( ) ( ) ( )y t Cx t Du t

Ecuación de salida

3 2( )

9 26 24

24 ( )Y s Rs s s

s

1 1

2 2

3 3

1

2

3

( ) 0 1 0 ( ) 0

( ) 0 0 1 ( ) 0 ( )

( ) 24 26 9 ( ) 24

( )

( ) 1 0 0 ( )

( )

x t x t

x t x t u t

x t x t

x t

y t x t

x t

Conversión de Funciones de Transferencia con un polinomio en el numerador

En este caso la ecuación diferencial original tiene términos con las derivadas de u(t). El numerador y denominador de la función de transferencia deben manejarse por separado. Se separa la función de transferencia original en dos funciones de transferencia conectadas en serie o cascada, como indica la figura.

Conversión de Funciones de Transferencia con un polinomio en el numerador

La primera función de transferencia es el caso anterior (Función de Transferencia con un término constante en el numerador), cuya salida coincide con X1(t) como se indica la figura.

1 3 22 1 0

1( ) ( )X s R

s a s a s as

El modelo en el espacio de estados (Representación de las Variables de Fase) es:

1 3 22 1 0

1( ) ( )X s R

s a s a s as

1 1

2 2

3 0 1 2 3

1

1 2

3

( ) 0 1 0 ( ) 0

( ) 0 0 1 ( ) 0 ( )

( ) ( ) 1

( )

( ) 1 0 0 ( )

( )

x t x t

x t x t u t

x t a a a x t

x t

x t x t

x t

22 1 0 1( ) ) ( )(Y s s b s b X sb

23

21 1

2 1 0 12

( )( )

( ) ( )( ) ( )

x tx t

d x t dx ty t b b x t

dtdtb

0 1 1 2 2 3( ) ( ) ( ) ( )y t b x t b x t b x t

La segunda función de transferencia (el numerador de la original) es:

Conversión de Funciones de Transferencia con un polinomio en el numerador

La salida de esta segunda función de transferencia es la combinación lineal de las variables de estado de la primera función de transferencia. Desde otra perspectiva, el denominador de la función de transferencia original lleva a la ecuación de estados, mientras que el numerador lleva a la ecuación de salida.

22 1 0

3 22 1 0

( ) ( )s b s b

Y s Rs a s a s a

bs

1 1

2 2

3 0 1 2 3

1

0 1 2 2

3

( ) 0 1 0 ( ) 0

( ) 0 0 1 ( ) 0 ( )

( ) ( ) 1

( )

( ) ( )

( )

x t x t

x t x t u t

x t a a a x t

x t

y t b b b x t

x t

Figura ampliada

CONVERSIÓN DE MODELOS EN EL ESPACIO DE ESTADOS A FUNCIONES DE TRANSFERENCIA

Conversión de modelos en el Espacio de Estado a Funciones de Transferencia

0 0( ) ( ) ( ) , ( )

( ) ( ) ( )

EcuacióndeEstadx t Ax t Bu t x t x

y t Cx t Du t

o

Ecuaciónde Salida

Ahora se tiene el modelo en Espacio de Estado y se quiere obtener la Función de Transferencia G(s).

Se aplica la transformada de Laplace a las ecuaciones de estado y de salida (recordar que para funciones de transferencia no se tiene en cuenta las condiciones iniciales)

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

sX s AX s BU s

Y s CX s DU s

1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )sX s AX s BU s X s sI A BU s

1( ) ( ) ( )Y s C sI A B D U s 1( ) ( )G s C sI A B D

Conversión de modelos en el Espacio de Estado a Funciones de Transferencia

Propiedad de la inversa de una matriz: Si A es una matriz cuadrada invertible, entonces:

1( )( ) ( )

( )

Y sG s C sI A B D

U s

1 ( ), ( 1)

det( )i j

ij ijadj A

A c AA

Donde adj(A) es la matriz adjunta de A que se define como la transpuesta de la matriz cofactor C de A y det(A) es el determinante de A.

Conversión de modelos en el Espacio de Estado a Funciones de Transferencia

Aplicando la propiedad de la inversa de una matriz.

1( )( ) ( )

( )

Y sG s C sI A B D

U s

1adj[ ]

[ ]det[ ]

sI AsI A

sI A

a la función de transferencia

Se llega a:

1adj[ ]( )

( ) ( )( ) det[ ]

Cadj[ ] det[ ]

det[ ]

sI AY sG s C sI A B D C B D

U s sI AsI AB sI AD

sI A

Conversión de modelos en el Espacio de Estado a Funciones de Transferencia

( ) det[ ] 0P s sI A

El denominador de la Función de transferencia det[sI-A]=0 es el polinomio característico del sistema.

Las raíces de det[sI-A]=0 son entonces los polos del sistema expresado en variables de estado.

Ejemplo: 1 1 1, , 0 1 , 0

0 3 2A B C D

La función de transferencia es:

13 1 11

( ) ( ) [0 1]0 1 2( 1)( 3)

2( 2)

( 1)( 3)

sG s C sI A B

ss s

s

s s

clear;clc

A=[-1 1;0 -3]; B=[1 ; 2]; C=[0 1]; D=0;

syms s;

I=sym(eye(sum(size(A))/2));

As=sym(A); Bs=sym(B); Cs=sym(C); Ds=sym(D);

G=(Cs*adjoint(s*I-As)*Bs)/det(s*I-As);

disp(['G(s) = ' char(G)])

pretty(G)

VALORES PROPIOS (AUTOVALORES)

Y

VECTORES PROPIOS (AUTOVECTORES)

Los vectores propios o autovectores de una matriz A son todos los vectores xi0, a los que la transformación A convierte en colineales o múltiplos de si mismo, esto es,

, 0i i i iAx x xLas constantes li son los valores propios o autovalores de la matriz A.

Autovalores y Autovectores

Para encontrar los autovectores la anterior se escribe como:

0 , 0i i iI A x x

1 ( )0 0 0

det( )i

i ii

adj I Ax I A

I A

Como los autovectores son distintos de cero, existe solución si:

det( ) 0iI A

Con esta ecuación se encuentran los autovalores li, y con la primera ecuación se obtienen los autovectores.

i i i iAx x x

Autovalores y Autovectores

Ejemplo:

los autovalores son l=-2 y l=-4.

1 1 1 2 11 2

2 2 11

2 2

3 1 3 22

1 3 3 12

1x x x x xx x

x x x x xx

3 1

1 3A

2 2

0 3 1 3 1det( )

0 1 3 1 3

( 3) 1 6 8

I A

Reemplazando l=-2 en Ax=lx

1 1 1 2 11 2

2 2 1 2 22

3 1 3 44

3 4

1

3 11

x x x x xx x

x x x x xx

Reemplazando l=-4 en Ax=lx

Con Matlab Devuelve la matriz diagonal D con

los autovalores y la matriz V cuyas

columnas son los autovectores.

1 12-1 12

V

[V,D]=eig(A)

-4 0

0 -2D

Devuelve un vector e con los autovalores. e=eig(A)

P=poly(e) Devuelve el polinomio característico P.

-4

-2e

1 6 8P

Vimos anteriormente que la función de transferencia G(s) de un modelo expresado en el espacio de estados es:

1adj[ ]( )

( ) ( )( ) det[ ]

Cadj[ ] det[ ]

det[ ]

sI AY sG s C sI A B D C B D

U s sI AsI AB sI AD

sI A

Polos y Autovalores

y que el denominador de la Función de transferencia det[sI-A]=0 es el polinomio característico del sistema.

( ) det[ ] 0P s sI A

Polos, Autovalores y Estabilidad

Luego, las raíces si = li del polinomio característico son los autovalores de la matriz A, pero también sabemos que las raíces del polinomio característico son los polos de la función de transferencia.

Autovaloresde Polosde ( )A G s

Observaciones del Algebra Lineal

Una matriz A de nxn es definida negativa cuando para todo vector x se verifica:

0Tx Ax

Si la desigualdad no es estricta ( ) la matriz A es semidefinida negativa.

Obviamente la definición no es operativa porque no podemos probar con infinitos vectores si cumple la desigualdad. Existen varias maneras de verificar si una matriz es semidefinida negativa, la más útil para el curso es la que está relacionada con los autovalores: Una matriz A es definida negativa si la parte real de sus autovalores son negativas.

0Tx Ax

Observaciones del Algebra Lineal

Todo lo anterior vale para matrices definidas y semidefinidas positivas:

0 ó 0T Tx Ax x AxUna matriz A es definida positiva si la parte real de sus autovalores son positivas.

0 Matriz definida positiva

0 Matriz semidefinida positiva

0 Matriz definida negativa

0 Matriz semidefinida negativa

A

A

A

A

Para que una matriz sea semidefinida (positiva o negativa) alguno de sus autovalores es nulo.

Símbolos de las matrices definidas

Polos, Autovalores y Estabilidad

Autovaloresde Polosde ( )A G s

si la parte real de los autovalores

de A son negativa

Un sistema expresado en variables de estado es

ESTABLE

o s si

A es def

lo que es e

inida negat

q

i

uivale

va (A

nte

<0).

Vimos que:

Si A0 el sistema es marginalmente estable (polos en el eje jw).

TRANSFORMACIONES DE SEMEJANZA

Transformaciones de Semejanza

Como ya se ha señalado en la clase anterior, la elección de variables de estado o realización para un sistema LTI dado no es única. Concretamente podemos tener un sistema con

entrada u(t), salida y(t) y dos elecciones o realizaciones diferentes para el vector de estado: x(t) y z(t)n, con sus

matrices asociadas {A,B,C,D} y {Az,Bz,Cz,Dz} respectiva-mente. Ambos modelos se dicen similares o equivalentes y están relacionados entre ellos por una transformación de semejanza o similitud.

Teorema: Supongamos un sistema cuyo vector de estado es

x(t)n con matrices {A,B,C,D}. Si queremos pasar a otra realización o representación de estado equivalente con vector de estado z(t)n con matrices {Az,Bz,Cz,Dz}. Entonces se

debe elegir una matriz de transformación T nxn no singular (invertible) que define la relación entre los vectores de

estado x(t) y z(t) :

1( ) ( ) , ( ) ( )x t Tz t z t T x t

Entonces, el modelo de estado para la nueva realización queda determinado por las matrices:

1 1, , ,z z z zA T AT B T B C CT D D

Transformaciones de Semejanza

La transformación T es una transformación de similitud.

1 2

11 2

2x x

xx xU x U

x 1 2

11 2

2z z

zz zU z U

z

Una Transformación de Similitud representa un cambio de coordenadas sin traslación (cambio de base del espacio vectorial).

Significado Geométrico de las Transformaciones de Semejanza

1 2

11 2

2x x

xx xU x U

x 1 2

11 2

2z z

zz zU z U

z

1 1 2

2 1 2

11 21

12 22

z x x

z x x

U t U t U

U t U t U

1 2 1 2 1 2

1 2

1 2 1 11 21 2 12 22

1 11 2 12 1 21 2 22

( ) ( )

( ) ( )z z x x x x

x x

x z zU z U z t U t U z t U t U

z t z t U z t z t U

11 12 1

21 22 2

t t zx Tz

t t z1z T x

1 2x xcon T U U

Significado Geométrico de las Transformaciones de Semejanza

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

x t Ax t Bu t

y t Cx t Du t

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

Tz t ATz t Bu t

y t CTz t Du t

1 1( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )zz

z z

BA

C D

z t T AT z t T Bu t

y t CT z t D u t

1( )( ) ( )

( )

Y sG s C sI A B D

U s

1 1 1( )( ) ( )

( )

Y sG s CT sI T AT T B D

U s

Función de transferencia para La primera realización

Función de transferencia para la segunda realización

VEREMOS QUE LAS DOS FUNCIONES DE TRANSFERENCIA SON IGUALES

Transformación de semejanza de las ecuaciones de estado

1 1 1( )( ) ( )

( )

Y sG s CT sI T AT T B D

U s

1 1 1( )MN N M

11

1 1 1

( )

1

1

1 1

1

1 1 1

( ) ( )

( )

T sI T AT

I IsI

G s CT sI T AT T B D

C T sI T AT T B D

C TsIT TT ATT B D C sI A B D

Operamos sobre la segunda realización aplicando la propiedad de la inversa del producto de matrices

La función de transferencia es la misma para las dos realizaciones.

Transformación de las ecuaciones de estado

11 1 1( ) ( )G s CT sI T AT T B D C sI A B D

Luego para un sistema LTI existe una función de transferencia e infinitas realizaciones o representaciones de estado

Transformación de las ecuaciones de estado

Recordemos que los autovalores de la matriz A en cada realización coincide con los polos del sistema. Como la función de transferencia es única esto significa que:

LOS AUTOVALORES NO CAMBIAN EN LAS DISTINTAS REALIZACIONES.

FORMAS CANÓNICAS

DE LOS MODELOS EN EL

ESPACIO DE ESTADO

Formas Canónicas de los Modelos de Estado

Como existen infinitas matrices de transformación no singulares Tnxn existen infinitas realizaciones del sistema LTI. Algunas de las realizaciones tienen significado físico, otras por su estructura simple se las denomina formas canónicas, otras por su estructura particular tienen nombre. Todas son realizaciones mínimas.

Las realizaciones con nombre más conocidas son:

Representación en las Variables de Fase

Forma Canónica Controlable

Forma Canónica Observable

Forma Canónica de Modal o de Jordan

Forma Canónica Diagonal (caso particular de la de Jordan)

Realizaciones balanceadas

Formas Canónicas de los Modelos de Estado

Representación en las Variables de Fase

Este tipo de realización la vimos en la clase anterior, es la más común. Las variables de estado se asignan de la siguiente manera:

12

1

1 1 0 01

( ) ( ) ( )( ) ( )

n n

nn n

n

d y t d y t dy ta a a y t b u t

dtdt xxdxt

La salida es: 1( ) ( )x t y t

La forma general de la representación en variables de fase es para una función de transferencia con ceros es:

Representación en Variables de Fase

1 1

2 2

1 1

0 1 2 1

( ) 0 1 0 0 ( )

( ) 0 0 0 0 ( )

( ) 0 0 0 1 ( )

( ) ( )

( ) (

n n

n n n n

x t x t

x t x t

x t x t

x t a a a a x t

Ax t x

1 0

2 0

1 0

0

0 0

0 ( )

0 ( )

( )

0 ( )

1 ( )

) ( )

,

n

n

x t

x t

u t

x t

x t

Bt x t x

1

2

0 1 2 1

1

( )

( )

( )

( )

( )

( )

n n

n

n

x t

x t

y t b b b b

x tCx t

x t

22 1 0

3 22 1 0

( ) ( )s b s b

Y s Rs a s a s a

bs

1 1

2 2

3 0 1 2 3

1

0 1 2 2

3

( ) 0 1 0 ( ) 0

( ) 0 0 1 ( ) 0 ( )

( ) ( ) 1

( )

( ) ( )

( )

x t x t

x t x t u t

x t a a a x t

x t

y t b b b x t

x t

Formas Canónicas de los Modelos de Estado

Forma Canónica Controlable Este tipo de realización se utiliza para el caso de una entrada (lo normal en este curso).

Formas Canónicas de los Modelos de Estado

Forma Canónica Observable

Formas Canónicas de los Modelos de Estado

Forma Canónica Observable

Ejemplo: El comando canon de Matlab con la opción

companion devuelve la forma canónica observable.

G=zpk([],[-2 -2 -2 -1+2i -1-2i -3 -4],480)

sys = canon(G,'companion’)

0 0 0 0 0 0 - 480

1 0 0 0 0 0 - 1192

0 1 0 0 0 0 - 1316

0 0 1 0 0 0 - 858

0 0 0 1

A

0 0 - 361

0 0 0 0 1 0 - 97

0 0 0 0 0 1 - 15

0 0 0 0 0 0 480C 0D

1

0

0

0

0

0

0

B

Formas Canónicas de los Modelos de Estado

Forma Canónica Modal o de Jordan

Este tipo de realización trata de diagonalizar la matriz A lo más posible (en bloques). Si se puede diagonalizar la matriz A todas las variables de estado están desacopladas. Existen tres casos: a) Todos los autovalores son reales y distintos (este es el

único caso en que la matriz A puede diagonalizarse).

b) Existen autovalores reales y múltiples (repetidos).

c) Existen autovalores complejos conjugados.

a) Todos los autovalores son reales y distintos

Forma Canónica Diagonal Este tipo de realización solo es posible cuando todos los autovalores son reales y distintos ya que de lo contrario no es posible diagonalizar una matriz.

Forma Canónica Modal o de Jordan b) Autovalores reales y múltiples (repetidos).

Forma Canónica Modal o de Jordan c) Autovalores complejos conjugados

1 2 3,4 1 1 5,6 2 2, , ,j j

Forma Canónica Modal o de Jordan c) Autovalores complejos conjugados

G=zpk([],[-1+2i -1-2i -2 -2 -2 -3 -4],480);

sys = canon(G,'modal')

Ejemplo: El comando canon de Matlab con la opción

modal devuelve la forma canónica de Jordan (ver

también el comando jordan).

-2 2 0 0 0 0 0

0 -2 2 0 0 0 0

0 0 -2 0 0 0 0

0 0 0 -1 2 0 0

0 0 0 -2 -1 0 0

0 0 0 0 0 -3 0

0 0 0 0 0 0 -4

A

14.21

-7.04

3.2

-1.307

0.2614

19.18

5.864

B

3.75 0 0 -1.554 0.2825 -3.128 0.787C

Formas Canónicas de los Modelos de Estado

Realizaciones Balanceadas

Las veremos mas adelante.