octavo año

OCTAVO AÑO

epresentación de los Números Enteros en la recta numéricaA continuación desarrollaremos el segundo objetivo: Comparar números enteros y hallar la distancias entre ellos, representándolos en la recta numérica.

Ya conocemos la recta numérica en la que se representan los números naturales,  ahora incluyendo el cero, vamos a representar los números negativos.

1. Dibujamos una recta.

2. Señalamos el origen O, que es el valor cero 0.

3. Dividimos la recta en segmentos iguales (unidades), a la derecha e izquierda del cero.

4. A la derecha del origen colocamos los números enteros positivos.

5. A la izquierda del origen colocamos los números enteros negativos.

Lo expuesto y la resolución de las siguientes actividades te ayudarán a alcanzar una parte del segundo de los objetivos: Representar números enteros en la recta numérica.

NOVENO AÑO

Índice de Temas:

1. De Bélgica al mundo 2. Números decimales: característica especial

3. Para saber el tipo de decimal: algunas fórmulas

4. Orden de números decimales

5. Decimales en la recta numérica

6. Adición y sustracción de números decimales

7. Multiplicación y división de decimales

Decimales en la recta numérica

Para representar números decimales en la recta numérica debemos primero transformalos a fracción y luego podremos graficarlos como ya hemos aprendido anteriormente.

Veamos los siguientes números decimales:

0,3 y 2,45

Al leerlos tenemos:

0,3 = tres décimos, ya que, después de la coma tenemos 1 cifra. Si lo representamos

como fracción tenemos 

2,45 = dos enteros y cuarenta y cinco centésimos, ya que, después de la coma tenemos 2 cifras. Como fracción quedaría Foto 23. Si simplificamos la fracción del número mixto

quedará  .

Recuerda que al transformar un decimal a fracción, la cantidad de ceros de la potencia de 10 del denominador será igual al números de cifras que posee el decimal después de la co

DECIMO AÑO

OPERACIONES CON POTENCIAS

PRODUCTO DE POTENCIAS:

Si tenemos que multiplicar dos potencias que tienen la misma base te basta escribir la misma base y como exponente escribes la suma de los exponentes:

=

2.10 Calcula el producto:

2.11 Calcula:

2.12 Calcula:

Respuestas:

2.10

2.11

2.12

Si las bases no son iguales NO SE DEBEN SUMAR LOS EXPONENTES. Primero calculas una potencia y después la segunda, luego la siguiente si es que hubiere, y al final, multiplicas los resultados que has ido obteniendo:

2.13 Calcular:

2.14 Calcular:

Calcula:

2.15

2.16

Respuestas:

2.15 1000 16 = 16 000

2.16 3 16 125 = 6 000

DIVIDIR POTENCIAS DE LA MISMA BASE:

Para dividir potencias que tengan la misma base, se restan los exponentes. Recuerda, para multiplicar se suman los exponentes, para dividir, se restan:

2.17  

2.18  

2.19 Calcula:

2.20  

2.21  

2.22  

2.23  

2.24  

Respuestas:

2.19  

2.20  

2.21  

2.22  

2.23  

2.24   

DIVIDIR POTENCIAS DE BASE DIFERENTE:

Para dividir potencias que no tienen la misma base, calculas el valor de cada una y divides sus cocientes:

ELEVAR UNA POTENCIA A OTRA:

Una potencia elevada a otra potencia tiene por base la misma y por exponente el producto de exponentes:

2.25  

2.26  

Aproximadamente:

Resuelve:

2.27  

Respuesta: equivale a 68.630.377.364.883 aproximadamente.

PRIMERO BGU

DIFERENCIA DE CUADRADOS / EJERCICIOS RESUELTOS

EJEMPLO 1: (Fácil)

x2 - 9 = (x + 3).(x - 3)

x     3

Los dos términos son cuadrados. Las "bases" son x y 3. Se factoriza multiplicando la "suma de las bases" por la "resta de las bases".

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 1

EJEMPLO 2: (Con dos letras)

x2 - y2 = (x + y).(x - y)

x     y

Las dos bases son letras

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 2

EJEMPLO 3: (Con el "1")

b2 - 1 = (b + 1).(b - 1)

b     1

No hay que olvidar que el número 1 es un cuadrado.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 3

EJEMPLO 4: (Con fracciones)

x2 - 9/25 = (x + 3/5).(x - 3/5)

x      3/5

9/25 es cuadrado. Porque 9 es cuadrado (de 3), y 25 también (de 5)

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 4

EJEMPLO 5: (Con potencias distintas de 2)

x6 - 4 = (x3 + 2).(x3 - 2)

x3   2

x6 es también un cuadrado, es el cuadrado de x3. Ya que (x3)2 es igual a x6

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 5

EJEMPLO 6: (Con términos "compuestos")

36x2 - a6b4 = (6x + a3b2).(6x - a3b2) 

6x       a3b2

Los términos pueden estar compuestos por varios factores, y no una sola letra o número. Pero todos deben ser cuadrados.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 6

EJEMPLO 7: (Con números decimales)

x2 - 0,16 = (x + 0,4).(x - 0,4)

x     0,4

También se puede hacer pasando los números decimales a fracción (Ver en la EXPLICACIÓN) 

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 7

EJEMPLO 8: (Con la resta "al revés")

-x2 + 4 = 4 - x2 = (2 + x).(2 - x)

x       2

El primer término es negativo y el segundo es positivo. Pero puedo escribirlos "al revés", y ahí tengo la resta que necesito.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 8

EJEMPLO 9: (Uno "con todo")

4/25 x6

SEGUNDO BGU

Dominio de definición

El Dominio de definición D de una función es el subconjunto de X que tienen imagen en Y:

Sin pérdida de la generalidad, consideramos, tanto el conjunto X como Y sea el de los números reales R, siendo X un intervalo o la unión de varios intervalos, podemos diferenciándose los siguientes casos:

El dominio un intervalo abierto: (a,b). Se puede expresar:

El dominio D es el conjunto de elementos x, número real y a sea menor que x y x menor de b, tal que existe y número real é y= f(x).

La forma de representar el intervalo abierto, da lugar a la expresión:

El dominio D es el conjunto de elementos x, número real en el intervalo abierto (a,b) , tal que existe y número real é y= f(x).

Si el dominio un intervalo semiabierto: (a,b]. Tenemos la expresión:

El dominio D es el conjunto de elementos x, número real y a sea menor o igual que x y x menor de b, tal que existe y número real é y= f(x).

Tomando la forma de representar un intervalo semiabierto, tenemos la expresión:

El dominio D es el conjunto de elementos x, número real en el intervalo semiabierto [a,b) , tal que existe y número real é y= f(x).

Si el dominio es el intervalo semiabierto: [a,b). Tenemos la expresión:

El dominio D es el conjunto de elementos x, número real y a sea menor que x y x menor o igual que b, tal que existe y número real é y= f(x).

Tomando la forma de representar un intervalo semiabierto, tenemos la expresión:

El dominio D es el conjunto de elementos x, número real en el intervalo semiabierto [a,b) , tal que existe y número real é y= f(x).

Si el dominio un intervalo cerrado: [a,b] la expresión resultante es:

El dominio D es el conjunto de elementos x, número real y a sea menor o igual que x y x menor o igual que b, tal que existe y número real é y= f(x).

Tomando la forma de representar un intervalo cerrado, tenemos que:

El dominio D es el conjunto de elementos x, número real en el intervalo cerrado [a,b] , tal que existe y número real é y= f(x).

En estos ejemplos hemos podido ver, las distintas formas de representar los distintos tipos de intervalos, tanto abiertos semiabiertos o cerrados, en una expresión o en una gráfica.

TERCERO BGU

SUCESIONES GEOMETRICAS

Una sucesión es una función cuyo dominio es el conjunto de los números naturales: {1, 2, 3, …}. Una sucesión geométrica es aquélla en la cual el cociente entre dos términos consecutivos es una constante. La fórmula para el término general de una sucesión geométrica es a . rn–1, en donde a y r son constantes, y n es el número del término deseado. Específicamente, la constante r es el cociente entre un término y el anterior.

Si sumamos n términos de la sucesión geométrica con término general a . rn–1 obtendremos el valor:

EJEMPLO A:

Notemos la sucesión: 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, …

El cociente entre dos términos consecutivos es 2, de modo que el término general sería: a . 2n–1.

Para encontrar el valor de a podemos utilizar el primer término, en donde n = 1.

De esta forma, a . 20 = 3. Como 20 = 1, se deduce que a = 3.

Por lo tanto, el término general de la sucesión es: 3 . 2n–1.

Si queremos encontrar el término 13 de la sucesión, sustituimos 13 en la anterior fórmula:

3 . 213–1 = 12288. De modo que el término 13 de la sucesión tiene el valor de 12288.

Si queremos encontrar la suma de los primeros 9 términos de esta sucesión, utilizamos la fórmula número (1) arriba, con a = 3, r = 2 y n = 13, obtenemos 1533.

EJEMPLO B:

Notemos la sucesión: 0.5, –1.5, 4.5, –13.5, 40.5, –121.5, 364.5,…

El cociente entre dos términos consecutivos es -3, de modo que el término general sería: a . (–3)n–1.

Para encontrar el valor de a podemos utilizar el primer término, en donde n = 1.

De esta forma, a . (–3)0 = 0.5. Como (–3)0 = 0.5, se deduce que a = 0.5.

Por lo tanto, el término general de la sucesión es: 0.5 . (–3)n–1.

Si el valor de r es negativo, los términos alternan entre positivo, negativo, positivo, etc.

Si queremos encontrar el término 9 de la sucesión, sustituimos 9 en la anterior fórmula:

0.5 . (–3)9–1 = 3280.5. De modo que el término 9 de la sucesión tiene el valor de 3280.5.

Si queremos encontrar la suma de los primeros 6 términos de esta sucesión, utilizamos la fórmula número (1) arriba, con a = 0.5, r = –3 y n = 6, obtenemos –91.