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OBJETIVO DEL ACTUADOR

Regular el movimiento de un cuerpo que se debe trasladar controladamente de una

posición a otra.

El control del movimiento puede ser, según la aplicación:

I.- Control de posición.

A.- Control de la posición final (control de

llegada).

B.- Control de la posición en todo momento (control de trayectoria), en uno, dos o tres ejes

de coordenadas espaciales.

II.- Control de velocidad.

C.- Control del vector velocidad (control de velocidad), en uno, dos o tres ejes de

coordenadas espaciales.

III.- Control de aceleración.

D.- Control del vector aceleración (control de aceleración), en uno, dos o tres ejes de

coordenadas espaciales.

E.- Control del vector de la derivada de la aceleración (control de “jerk”), en uno, dos o

tres ejes de coordenadas espaciales.

Por supuesto, es usual que en una aplicación sea necesario realizar una combinación de dos

o más de los controles básicos .

Adicionalmente el actuador debe:

1.- Operar con la mayor eficiencia energética posible (criterio de eficiencia energética).

2.- Ser lo más sencillo posible (criterio de

simplicidad).

3.-Ser lo más económico posible (criterio de economía).

Criterios de diseño para el sistema de control del actuador.

1-Mantener en todo el ciclo de operación todos los parámetros (mecánicos y eléctricos) dentro

de los límites de seguridad permitidos.

2-Cero error estático en la variable final considerada (usualmente velocidad o posición).

3-Lograr “buena” respuesta dinámica.

“Buena” respuesta dinámica implica, por lo menos:

a- Respuesta transitoria “rápida”.

b- Tiempo de estabilización “corto”.

c- Sobre paso “mínimo” (o cero).

En el estado actual del arte, para cumplir con estos objetivos, tanto en aplicaciones del tipo

máquinas herramienta como en robots y vehículos, el método considerado más efectivo

en la práctica es controlar el movimiento en cada eje con un controlador dedicado.

La coordinación entre los movimientos individuales en cada eje de coordenadas,

necesaria para lograr el objetivo general de control debe ser realizada por un nivel de

control de mayor jerarquía, que fija las demandas a cada uno de los controladores de

eje.

En cada controlador de eje se emplea una arquitectura de control realimentado en

cascada, con tres lazos:

1.-Interno: La variable nominal de realimentación es el torque

2.- Intermedio: La variable nominal de

realimentación es la velocidad.

3.- Externo: La variable nominal de realimentación es la posición.

Diagrama de bloques de un controlador en cascada de tres lazos para control de par,

velocidad y posición.

El proceso de diseño se cumple en tres etapas:

1- Diseño teórico: El sistema se considera lineal y se analiza en pequeña señal.

2- Simulación de la operación bajo condiciones

de “gran señal”.

3- Ajuste del control en base a los resultados de la simulación (también llamado “entonar”

el control).

Durante la primera etapa de diseño (diseño formal), se define un punto de operación

(usualmente el final de llegada), se asume que el sistema es lineal alrededor del punto de

operación, y que los cambios de la demanda y las perturbaciones de carga son pequeños.

En estas condiciones se puede proceder al

diseño empleando las técnicas de análisis de sistemas lineales en “pequeña señal”.

Función de transferencia en lazo cerrado.

Sean Gc(s) y Gp(s) respectivamente las funciones de transferencia de un controlador y de una planta.

La función de transferencia del arreglo en cascada de ambas, en lazo abierto, Gla(s) será:

Gla (s) = Gc(s)Gp(s)

Diagrama de bloques de un arreglo controlador-planta en cascada

Y la función de transferencia en lazo cerrado de la cascada, con realimentación unitaria, Glc(s) será:

Glc(s) =Gla (s)1+Gla (s)

=Gc (s)Gp(s)

1+ Gc (s)Gp(s)( )

Bloque equivalente aplicando operación de realimentación

Frecuencia de cruce. Referida al correspondiente diagrama de Bode,

se define como “frecuencia de cruce” (crossover frequency), fc, la frecuencia para la

cual el módulo de la función de transferencia en lazo cerrado se hace unitaria, esto es, la

frecuencia para la cual se cumple:

Gla (s) = 0db

(ωc es la correspondiente frecuencia angular de cruce)

Diagrama de Bode de una función arbitraria mostrando la frecuencia de corte, fc (ó ωc).

Margen de fase.

Referido al correspondiente diagrama de Bode, se define como Margen de Fase (MF ó PM) al retardo de fase introducido por la función de

transferencia en lazo abierto del sistema considerado a la frecuencia de cruce, fc, medido

con respecto a –180º, esto es:

MF = φla | fc − −180º( ) = φla | fc +180º

Diagrama de Bode de una función arbitraria mostrando el margen de fase.

Implicaciones físicas:

1. Si el margen de fase es cero, el sistema es oscilante.

2. Por experiencia, para lograr una respuesta “satisfactoria”, el margen de fase debe ser

superior a 45º y, preferiblemente, estar cercano a 60º (estos son valores en módulo, los MF son

numéricamente negativos).

Información gráfica sobre la estabilidad del sistema.

a) Diagrama de Bode de una función arbitraria mostrando la frecuencia de corte, y el margen de fase

b) Definición del ancho de banda de la función arbitraria.

Controlador Proporcional-Integral (PI)

Implementación en paralelo del controlador PI

La entrada al controlador es el error, E(s), dado por:

E(s) = X * (s) − X(s)

donde:

X*(s) es la entrada de referencia

X(s) es el valor de salida medido (realimentación unitaria)

Si la función de transferencia del bloque proporcional es kp, y la del bloque integral es ki/s, se tiene:

Vbp(s) = kpE(s)

Vbi (s) =kisE(s)

donde Vbp(s) y Vbi(s) son respectivamente las salidas

de los bloques proporcional e integral

por lo tanto, la función de transferencia del controlador PI es:

VcPI (s)E(s)

= kp + kis

⎛ ⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ = kis1+ s

ki / kp

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟

Bloque PI equivalente

Objetivos:

Diseñar un sistema de control de posición empleando un motor DC, con el máximo

rendimiento dinámico posible en una estructura de control clásica.

A- Se desea que la arquitectura del control sea en cascada, con lazos de par, velocidad y posición.

B- Se desea que el bloque electrónico de manejo de potencia tenga la respuesta más rápida que sea

posible.

Diagrama de bloques de un controlador en cascada de tres lazos para control de par,

velocidad y posición.

Para mantener la mayor libertad de diseño la velocidad de respuesta de cada lazo debe ser por lo menos un orden de magnitud menor que la del lazo inmediatamente interior, de forma que el lazo interno

responda “inmediatamente” desde el punto de vista del lazo externo.

I-Diseño del lazo interno (“lazo de par”).

Aunque la variable nominal a controlar es el par, por razones de factibilidad se trabajará en función de la corriente de armadura, que es proporcional al par y

mucho más fácil de medir.

Modelo equivalente de la máquina DC a) Esquema electro-mecánico

b) Diagrama de bloques.

Diagrama de bloques completo del lazo interno de control de par

Si además en primera aproximación se desprecia el efecto del par de carga, la fuerza contraelectromotriz inducida se puede escribir en función de la corriente

como:

Ea (s) =kTkesJeq

Ia(s)

Diagrama de bloques del lazo interno de control de par simplificado despreciando las variaciones del

par de carga

Si además se asume que la inercia mecánica, Jeq, es suficientemente grande, la realimentación más

interna puede ser ignorada, con lo que se obtiene el diagrama más simplificado con un solo lazo.

Diagrama de bloques del lazo interno de control de par simplificado despreciando las variaciones del par de carga y considerando una constante de tiempo mecánica mucho mayor que la eléctrica.

En estas condiciones, la función de transferencia en lazo abierto del lazo de corriente (controlador PI

+ conversor DC/DC + motor), Gila(s), es:

Gila (s) = ki1s1+ s

ki1 / kp1

⎡

⎣ ⎢ ⎢

⎤

⎦ ⎥ ⎥ kpu

1/ Ra1+ s1/τe

Ajustando el cero del controlador PI (ki1/kp1) para cancelar el polo del motor (1/τe):

ki1kp1

= 1τe

kp1 = τeki1

con esta cancelación, la función de transferencia en lazo abierto del lazo más interno, Gila(s), es:

Gila (s) =kilas

donde

kila =ki1kpuRa

Con esta función de transferencia en lazo abierto, se cumple que:

ωc1 = kila

para evitar interferencias, se puede elegir una frecuencia de cruce para el lazo interno, fc1, que sea uno o dos órdenes de magnitud menor que la frecuencia de conmutación del conversor DC/DC.

En todo caso:

ki1 =ωc1Rakpu

kp1 = τeki1

kp1 = τ eω c1Rakpu

Diagrama de Bode del lazo interno de control de par.

a) En lazo abierto b) En lazo cerrado

Debe recordarse que en el análisis básico con diagramas de bloques no se consideran los efectos que

los límites físicos tienen en la respuesta del sistema.

Por ejemplo no se toma en cuenta que la tensión máxima de salida del conversor DC-DC esta acotada,

que el integrador en el controlador PI puede saturar, o que los valores máximos de corriente y par no deben

ser superados.

Un diagrama de bloques más realista tomando en cuenta alguna de estas limitaciones es:

a) Limitaciones físicas en el lazo

b) Control de la saturación en el bloque I

II-Diseño del lazo intermedio (velocidad)

Como punto de partida se asigna a este lazo un ancho de banda un orden de magnitud inferior al lazo de corriente. Esto hace que, para propósitos

de este diseño, el lazo de corriente pueda representarse como un bloque de ganancia unitaria: la corriente siempre alcanza su valor de demanda en un tiempo instantáneo desde el punto de vista

del lazo de velocidad.

Diagrama de bloques del lazo intermedio de control de velocidad simplificado considerando instantánea

la respuesta del lazo interno de control de par.

En estas condiciones, la función de transferencia en lazo abierto del lazo de control de velocidad,

Gvla, es:

Gvla (s) = ki2s1+ s

ki2 / kp2

⎡

⎣ ⎢ ⎢

⎤

⎦ ⎥ ⎥ 1 kTsJeq

�

Gvla (s) =ki2kTJeq

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟

1+ ski2 /kp2s2

Función de transferencia del lazo intermedio de control de velocidad simplificado.

La función presenta un polo doble en el origen, lo cual implica que, a bajas frecuencias, la magnitud de la función cae a -40db por década y el ángulo

de fase es -180º.

Seleccionando una frecuencia angular de cruce, ωc2 un orden de magnitud menor que la del lazo de corriente (para asegurar las simplificaciones ya

consideradas), y un margen de fase “cómodo”, φ2, se tiene:

ki2kTJeq

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟

1+ ski2 / kp2s2

s= jω2

= 1

∠ ki2kTJeq

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟

1+ ski2 / kp2s2

s= jω2

= −180º+φ2

Diagrama de Bode del lazo intermedio de control de velocidad.

a) En lazo abierto b) En lazo cerrado

III-Diseño del lazo externo (posición)

Nuevamente, se define para este lazo un ancho de banda un orden de magnitud menor que el considerado para el lazo de velocidad,

de manera que este puede ser considerado como un bloque unitario respecto al control de posición (la velocidad siempre

alcanza su valor final en forma instantánea desde el punto de vista de la velocidad de respuesta del lazo de control de posición).

Si se desea un lazo de control PI para la posición, el procedimiento

es idéntico al empleado en el lazo de control de velocidad. Normalmente eso no se hace, ya que el lazo, por si solo, introduce una integración, por lo que un control proporcional se considera

suficiente.

Si se desea solo un lazo de control proporcional (P) en el lazo de velocidad, la función de transferencia en lazo abierto de este lazo,

Gpla, resulta:

Gpla (s) =kp3s

por lo que la frecuencia angular de cruce, ωc3, resulta:

ωc3 = kp3

por lo tanto, una vez que se fije la frecuencia de cruce deseada, cumpliendo la condición de que sea una década menor que la del lazo de velocidad, el último parámetro del diseño, kp3 resulta:

kpe =ωc3