números irracionales

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LOS CEROS RACIONALES DE UNA FUNCIÓN POLINOMIAL Y LA IRRACIONALIDAD DE ALGUNOS NÚMEROS

Resumen. En este artículo se presenta un método para determinar la irracionalidad de ciertos números. El método se basa en un teorema conocido sobre ceros de polinomios, que nos dice como determinar las posibles soluciones racionales de un polinomio con coeficientes enteros. El procedimiento consiste en construir una ecuación polinomial con coeficientes enteros, en la cual, una de las raíces sea el número x, cuya irracionalidad se quiere demostrar, después se aplica el teorema para determinar cuales son las raíces racionales posibles del polinomio y se hace ver que ninguna de ellas es el número x , lo cual implicará que x es irracional.

Una función polinomial de grado n es una expresión de la forma ( ) 0y realesson ,,,2,1,0 ; donde , 01

11 ≠=++++= −− ni

nn

nn aniaaxaxaxaxf …

La ecuación f(x) = 0 , es llamada ecuación polinomial de grado n, y los ceros de una función polinomial son las raíces o soluciones de la ecuación correspondiente. El siguiente Teorema nos dice como se determinan las posibles soluciones racionales de una ecuación polinomial con coeficientes enteros. TEOREMA Consideremos a ( ) 0y enteros ,,,2,1,0 ; con , 01

11 ≠=++++= −− ni

nn

nn aniaaxaxaxaxf …

Si qpr = , es un número racional reducido a su mínima expresión y a la vez un cero de

f(x), entonces p es divisor de a0 y q es divisor de an. Demostración.

Como qp es una solución de f(x) = 0 se tiene

001

1

1 =+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

− aqpa

qpa

qpa

n

n

n

n

multiplicando ambos miembros por se tendrá nq (1) , lo cual se puede escribir 00

11

11 =++++ −−−

nnnn

nn qapqaqpapa …

( ) nnnn

nn qaqaqpapap 0

11

21

1 −=+++ −−−

− … y por ser los enteros cerrados bajo la suma y el producto, el número encerrado en paréntesis es un entero t , y por lo tanto la ecuación anterior quedaría

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nqatp 0−=⋅ ó pqa

tn

0−=

lo cual nos indica que p divide al producto , y puesto que p no tiene ningún

factor común con q (recuerde que

nqa0

qp está reducido a su mínima expresión), entonces

debe ser un divisor de a0 . De manera análoga, la ecuación (1) se puede escribir ( ) n

nnnn

nn

n paqapqaqpapaq −=++++ −−−−

−−

10

21

22

11 … , o sea que

, con t entero, lo cual implica que q es divisor de ann patq −=⋅ n .

Con lo cual queda demostrado el Teorema. Debemos hacer notar que el Teorema anterior, no está garantizando que una función polinomial con coeficientes enteros tenga forzosamente ceros racionales; pero, sí nos dice los medios para encontrar los números que “podrían” ser ceros racionales. Con lo dicho en el teorema, es fácil enumerar todos los posibles números racionales que podrían ser ceros del polinomio. Como caso especial del Teorema se tiene el siguiente resultado COROLARIO. Si en el teorema anterior an = 1, entonces las soluciones racionales son enteros y divisores de a0 . Ahora veremos como el resultado del Teorema nos proporciona un método para determinar la irracionalidad de ciertos números.

Descripción del método. 1) Denotando con alguna variable, digamos x, al número cuya irracionalidad se desea

verificar, se construye una ecuación polinomial con coeficientes enteros del menor grado posible, de forma tal que el número susodicho sea una raíz de la ecuación.

2) Se encuentran los divisores primos de a0 y de an y con los enteros así obtenidos se

forman todas las fracciones posibles, cuyo numerador sea divisor de a0 y cuyo denominador sea divisor de an y, según el Teorema visto, solamente estos números podrán ser soluciones racionales de la ecuación.

3) Comparando estas soluciones racionales con el número x , se hace ver que este

número no es igual a ninguna de ellas, lo cual implica que tiene que ser irracional. Ejemplos. Ejemplo 1. Empecemos con el ejemplo clásico de demostrar que 2 es un número irracional.

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Solución. Sea 2=x , elevando ambos miembros al cuadrado se tiene 022 ó , 22 =−= xx Se obtiene, pues, una ecuación polinomial con coeficientes enteros, que tiene como solución a 2=x , y de acuerdo al resultado del Corolario del Teorema, las soluciones son enteros y divisores de -2, de manera que las únicas soluciones racionales “posibles” serán { 1, -1, 2 y -2 } y como ninguna de ellas es raíz de la ecuación, se concluye que el número 2 no puede ser racional, siendo por lo tanto un irracional. Este método nos permite fácilmente demostrar la irracionalidad de números del tipo

2entero y primo con , ≥nppn . Ejemplo 2. Demuestre que el número 523 + es irracional. Solución. Sea 523 +=x Pongamos 25 3=−x , y , para construir la ecuación polinomial, elevemos ambos miembros al cubo

( ) ( ) 535215 ó 2555353 2323 +=−+=−+− xxxxxx y ahora elevando al cuadrado ambos miembros y simplificando, se tiene

01216075415 2346 =−−+−− xxxxx aplicando el corolario vemos que las únicas soluciones racionales posibles serían los enteros divisores de -121, o sea los números {1, -1, 11, -11, 121 y -121} y como ninguno de estos números puede ser ( 523 + ) se sigue que este número es irracional. Ejemplo 3. Demuestre que cos(20°) es un número irracional. Demostración. Si en la identidad trigonométrica ( ) θθθ cos3cos43cos 3 −= ponemos θ = 20° se tiene ( ) 20cos320cos460cos 3 −= .

Si hacemos y sustituyendo 20cos=x ( )2160cos = , tendremos la ecuación

0168 3 =−− xxque es un polinomio con coeficientes enteros, siendo una de sus soluciones

( )20cos=x .

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Aplicando el teorema vemos que las soluciones racionales posibles tiene como numerador a {1 ó -1} y como denominador a los enteros divisores de 8, o sea a

, por lo que las posibles soluciones racionales serán: { 8,4,2,1 ±±±± }

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ±±±±

81,

41,

21,1 , aquí, en este caso podemos ver, por sustitución directa, que

ninguno de estos números es solución de la ecuación y por lo tanto, dicha ecuación no tiene soluciones racionales y como cos (20°) es solución, entonces este número es irracional. Conociendo que cos(2θ) es irracional se puede determinar una cadena de números trigonométricos irracionales, basados en el hecho siguiente. Si θ es cualquier ángulo tal que cos(2θ) es irracional, entonces cos(θ), sen(θ) y tan(θ) también son irracionales. En efecto teniendo en cuenta que , podemos argumentar que si: senθ fuera racional, entonces, por la cerradura de los racionales bajo las operaciones básicas, sen

θ22 sen211cos22cos −=−= θθ

2θ y 1 - 2 sen2θ , también lo serían, lo cual es una contradicción ya que 1 - 2 sen2θ = cos(2θ) y este último es irracional. De manera similar, cosθ racional implicaría que 2cos2θ - 1 fuese racional, lo cual es una contradicción y también, si tanθ fuese racional entonces 1 + tan2θ = sec2θ = 1/cos2θ sería racional y esto implicaría que cos2θ sea racional y de nuevo se tendría que 2cos2θ - 1 = cos2θ es racional. Así por ejemplo sabiendo que cos(20°) es irracional, se tiene la siguiente cadena infinita de irracionales:

Cos 10° Sen 10° Tan 10° Cos 5° Sen 5° Tan 5°

Cos 2° 30’ Sen 2° 30’ Tan 2° 30’ Cos 1° 15’ Sen 1° 15’ Tan 1° 15’

Cos 37’ 30’’ Sen 37’ 30’’ Tan 37’ 30’’ … … …

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