números complejos - mate 3171- upra · rectángulo superior incluye al conjunto del rectángulo...

Números Complejos

Presentación 1

Precalculus

Sec. 1.5

Tipos de números reales

• Enteros positivos o números naturales:

• Enteros no-negativos:

• Enteros

1, 2, 3, 4, ...

0, 1, 2, 3, 4, ...

..., 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, ...

Tipos de números reales (con’t)

• Un número racional es un número real que se

puede expresar de la forma donde a

y b son enteros and

• La representación decimal de números

racionales

– decimal finito, por ejemplo

– decimal infinito y periódico, por ejemplo

/ ,a b0 .b

51.25,

4

1773.2181818...

55

Tipos de números reales (cont’d)

• Números Reales que NO son racionales son

irracionales.

• Ejemplos:

– la razón de la circunferencia de un círculo a

su diámetro es apróximadamente 3.14159.

– es apróximadamente 1.414.

• Los irracionales siempre tienen

representaciones decimales infinitas y no-

periódicas.

,

2,

Conjuntos núméricos en Álgebra

Si una línea conecta dos rectángulos, el conjunto del rectángulo superior incluye al conjunto del rectángulo inferior.

La unidad Imaginaria

• La unidad imaginaria, denotada i , tiene las

propiedades:

– i es la raiz cuadrada de -1, esto es,

– i2 = -1 .

• i NO es un número real. Es una nueva entidad

matemática que nos permite definir el

conjunto ℂ de los números complejos.

Los números complejos

Terminología Definición Ejemplos

Número complejo a + bi , donde a y b

son números reales,

i2 = -1

3, 2 + i , -5i

Número imaginario a + bi , donde b≠0

son números reales,

i2 = -1

3 + 2i , 9i

Número imaginario

puro

bi , donde b≠0 -4i , 3𝑖, −𝑖

Igualdad a + bi = c + di si y

solo si a = c y b = d

x + yi = 3 + 4i si y

solo si x = 3 y y=4

Parte real e imaginaria

• Para un número complejo a + bi , llamamosa la parte real y b la parte imaginaria.

• Ejemplo:

• Encontrar los valores de x y y, donde x y y son números reales para

• Igualamos la parte real de ambos números 2x – 4 = 8 2x = 12 x = 6

• Luego la parte imaginaria: 9 = 3y y = 3

Suma y multiplicación

• Expresar en la forma a + bi , donde a y b

son números reales.

• Solución:

Ejemplos AdicionalesExpresar en la forma a + bi , donde a y b

son números reales.

2 + 3𝑖 2 − 3𝑖 =

Conjugados

• Si z = a + bi es un número complejo, entonces

su conjugado, denotado, , es a – bi .

• Sigue que el conjugado de a – bi es

a + bi

Ejemplo: Hallar el conjugado del número complejo:

−6 + 10𝑖

2

Ejemplos Adicionales (cont.)

Potencias de i

Primeramente estudiaremos potencias consecutivos de i.

y luego el ciclo se repite.

División de NumerosComplejos

• La división de números complejos implica

utilizar la multiplicación por el conjugado del

denominador para eliminar la parte

imaginaria del denominador.

• Expresar en la forma a + bi , donde a y b son

reales.

Operaciones con raíces de números

negativos

Expresar en la forma a + bi , donde a y b son números reales

Ejemplo

• Halle el conjunto solución de la ecuación

Es una ecuación polinomial de grado mayor que 2 que factoriza.

Utilizando la propiedad de producto cero,

3 23 4 0x x x

2 3 4 0x x x

0x 2 3 4 0x x

Ejemplo – continuaciónComo no factoriza, utilizamos la fórmula cuadrática para resolverlo.

El conjunto solución de la ecuación es

2 3 4 0x x

b b acx

a

2 4

2

Práctica

• Si r es un número real positivo, entonces la ecuación x2 = r tiene dos

soluciones en los números complejos, , donde 𝑥 = 𝑟 se llama

la raiz principal.

Hallar las soluciones de:

• Resuelva la ecuación x2 – 2x =-26.

• Halle el conjunto solución de la ecuación:

𝑥 = ± 𝑟𝑖

𝑥2 + 24 = 0

3 28 12 2 3 0x x x

• Simplificar las raíces.

a)

b)

c)

4

169

18