n c3 bameros 20complejos sucesiones series 20funciones 20de 20una 20y 20varias 20variables...
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-
EJERCICIOS RESUELTOS:
Nmeros Complejos
Matemticas 11
Elena lvarez Siz
Dpto. Matemtica Aplicada y C. Computacin
Universidad de Cantabria
-
Profesora: Elena lvarez Siz
Ejercicios: Nmeros Complejos Ingeniera de Telecomunicacin
Fundamentos Matemticos I
2
Interpretacin geomtrica de la suma y el producto
1 Si 1z y 2z son complejos, qu representa el nmero 1 2
2
z z+. Cul es el lugar geomtrico de los puntos
1 2z z + si y son reales y verifican 1 + = ?
Solucin:
Grficamente el afijo del nmero complejo
1 2 1 2 1 2
2 2 2
z z x x y yi
+ + += +
representa el punto medio del vector que une el origen con el afijo del nmero
complejo 1 2z z+
Los puntos de la forma 1 2z z + son los puntos de la recta
( ) ( )1 2 1 2 1 2 11z z z z z z z + = + = +
es decir, la recta que pasa por 1z y cuyo vector director es 2 1z z .
2 Demustrese que si los puntos 1z , 2z , 3z son los vrtices de un tringulo equiltero, entonces:
2 2 21 2 3 1 2 1 3 2 3z z z z z z z z z+ + = + +
3 1
2 1
arg( )
3 13 1 3arg( )
2 1 2 1
i z zi
i z z
z z ez ze
z z z z e
pi
= =
( )
( )
1 2
3 1
arg1 21 2 3
arg3 2 3 2
i z zi
i z z
z z ez ze
z z z z e
pi
= =
ya que
( ) ( )3 1 2 1arg arg 3z z z z
pi = +
-
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Fundamentos Matemticos I Ejercicios: Nmeros Complejos
3
( ) ( )3 2 1 2arg arg3z z z z
pi + =
Por lo tanto,
3 1 1 2 2 2 23 1 3 2 3 2 1 2 1 2 1 1 2
2 1 3 2
z z z zz z z z z z z z z z z z z
z z z z
= + = +
2 2 21 2 3 1 2 1 3 2 3z z z z z z z z z + + = + +
Veamos si es cierto o no el recproco, es decir, veamos si es cierto que dados 1z , 2z , 3z son
los tres diferentes verificando 2 2 21 2 3 1 2 1 3 2 3z z z z z z z z z+ + = + + entonces forman un
tringulo equiltero.
Se realiza la traslacin del triangulo llevando zo al origen: * 1z z z= . Los nmeros son
ahora:
{ } { }* *2 1 3 1 2 30, , 0, ,z z z z z z =
Entonces, la igualdad 2 2 21 2 3 1 2 1 3 2 3z z z z z z z z z+ + = + + se transforma en
* * *2 *22 3 2 3z z z z= +
despejando
( )
*3
*2 * * *2 * * *2 *23 2 3 2 3 2 2 2
10 4
2resolvemosla ecuacinde segundo
grado en z
z z z z z z z z + = = +
( )* * * * *3 2 2 3 21 1 1
3 32 2 2
z z i z z z i = =
Esto significa que *3z es *2z girado
3
pi radianes (60 grados) y como
1 13 1
2 2i = se tiene
que * *3 2z z= . Por lo tanto, { }* *2 30, ,z z forman un tringulo equiltero lo que significa que
{ } { }* *1 2 1 2 1 1 1 2 3, , , ,z z z z z z z z z+ + = .
3 Un triangulo equiltero tiene su centro en el origen y un vrtice en el punto (1,0). Determinar los otros
dos vrtices.
-
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4
Los ngulos que forman dos lados de un tringulo equiltero son de 3
pi radianes, luego hay que
avanzar 2
2 3 3
pi pi pi+ = . Por lo tanto, como uno de los vrtices es 21 1
iz e pi= = , se tiene que
2 22 3 3
2
2 2 1 3cos
3 3 2 2
i iiz e e e isen ipi pi
pi pi pi = = = + = +
2 2 42 3 3 3
3
4 4 1 3cos
3 3 2 3
i i iiz e e e e isen ipi pi pi
pi pi pi = = = + =
son los otros dos. En forma binmica
3 31 1(1, 0), , , ,2 22 2
Otra forma: Poda haberse resuelto el problema observando si los afijos de 1z , 2z , 3z forman
un tringulo equiltero entonces
1 2 3z z z= =
y el ngulo entre 10z
y 20z
es el mismo que entre 20z
y 30z
y el mismo que entre 20z
y
10z
. Por esta razn los tres vrtices son las tres races cbicas de la unidad. En efecto,
22 4
3 03 3 31 2 31 0,1,2 , ,
ki i iie k z e z e z e
pipi pi
= = = = =
Coordenadas complejas conjugadas
4 Hllese la ecuacin de la circunferencia
2 2( ) 2 2 0a x y bx cy d+ + + + =
en funcin de las coordenadas complejas conjugadas (es decir, en funcin de z y de su conjugado)
Sea z x iy= + y z x iy= entonces
22 2
2 2
z z z zx y x y z z z
i
+ = = + = =
Sustituyendo en la ecuacin dada de la circunferencia
-
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5
( ) 2 2 0 02 2
z z z za z z b c d az z bz bz ciz ciz d
i
+ + + + = + + + + =
( ) ( ) 0azz z b ci z b ci d + + + + =
Mdulo
5 Indicar si es correcto o falso el enunciado siguiente, razonando la respuesta:
Sean 1 2,z z de mdulo 1, entonces
1 2 1 22z z z z+ = =
Como 1 2,z z de mdulo 1, llamando ( )1arg z = y ( )2arg z = en forma
exponencial sern 1iz e = y 2
iz e = . Luego,
( )( ) ( )( )1 2 1 2 1 2 1 2 1 2z z z z z z z z z z+ = + + = + + =
1 1 1 2 2 1 2 2 1 2 2 12z z z z z z z z z z z z= + + + = + +
En consecuencia,
( )1 2 2 11 2 1 2 2 1 1 22 2 4 1 Re 12z z z z
z z z z z z z z+
+ = + + = = =
( )( ) ( )Re 1 cos 1 2ie k pi = = = +
y, por tanto, como 1iz e = y 2
iz e = la ltima afirmacin es lo mismo que decir,
1 2z z= .
La implicacin en el sentido es trivial ya que
si 1 2z z= entonces 1 2 12z z z+ = , y, por tanto 1 2 12 2z z z+ = =
Otra forma.- Tambin puede realizarse la demostracin simplemente operando en forma
binmica. Teniendo en cuenta que 1z y 2z son de mdulo unidad su representacin es
-
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6
1 2cos cosz isen z isen = + = +
se cumplir
( ) ( )2 2
1 22 cos cosz z sen sen = + = + + +
operando,
2 2 2 22 cos cos 2 cos cos 2sen sen sen sen = + + + + + =
( ) ( )2 2 cos cos 2 1 cossen sen = + + = +
Luego,
( )2
1 2 1 22 4 1 cosz z z z = + = + =
1 2
1 2
1
2 2por hiptesisz z
k k z z pi pi
= =
= = + =
y, por tanto 1 2z z= .
6 Dos nmeros complejos no nulos son tales que 1 2 1 2z z z z+ = . Probar que 1
2
z
zes imaginario.
Mtodo 1.- Por hiptesis,
2 2
1 2 1 2 1 2 1 2z z z z z z z z+ = + =
( )( ) ( )( )1 2 1 2 1 2 1 2z z z z z z z z + + =
1 1 1 2 2 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 2z z z z z z z z z z z z z z z z + + + = +
( ) ( )1 2 2 1 1 22 0 Re 0z z z z z z + = =
luego
( ) ( ) ( )2 1 2 1 2 12 2 12 2
1 1 1 1 1
Re Im Imz z i z z z zz z zi
z z z z z
+= = =
donde se ha aplicado que ( )1 2Re 0z z = y, por tanto, 12
z
zes imaginario.
-
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7
Mtodo 2.- Sea
1 2z a bi z c di= + = +
( )( )( )( )
2
2 2 2 2 2 21
( )(1)
ca db i da cbc di a biz ca db da cbi
z a bi a bi a b a b a b
+ + + + = = = +
+ + + +
Por otro lado, por hiptesis
1 2 1 2z z z z+ =
luego,
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2( ) ( ) ( )a c i b d a c i b d a c b d a c b d+ + + = + + + + = +
2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2a c ac b d bd a c ac b d bd + + + + + = + + +
4 4ac bd ac bd = =
Finalmente, sustituyendo en (1)
2
2 21
z da cbi
z a b
=
+
que demuestra que es un nmero imaginario puro.
7 Calcular el valor de a y b para que 3 2
4 3
b ai
i
sea real y de mdulo unidad
Operando
(3 2 )(4 3 ) 12 8 9 6 12 6 9 8
(4 3 )(4 3 ) 16 9 25 25
b ai i b ai bi a b a b az i
i i
+ + + + = = = +
+ +
Si se quiere que sea real
9 8 80 9 8 0
25 9
b a ab a b
= = =
Si adems es de mdulo uno
12 6 96 21 12 6 25 6 25
25 9 3
b a ab a a a
+= + = + = =
-
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8
Luego, los valores pedidos son
2 4
3 3a b= =
Lugares geomtricos
8 Describir los conjuntos de puntos del plano determinados por las siguientes ecuaciones
(a) 2 1z i
Sea z a bi= + entonces 2 ( 2)z i a b i = + , se cumplir
2 2 2 22 1 ( 2) 1 ( 2) 1z i a b a b + +
El conjunto buscado es el interior del crculo de centro (0,2) y radio 1.
(b) 2 3z z >
Seaz x iy= + entonces 2 ( 2)z x iy = + y 3 ( 3)z x iy = + , sus mdulos
2 2 2 22 ( 2) 3 ( 3)z x y z x y = + = +
y por tanto,
2 2 2 22 3 ( 2) ( 3)z z x y x y > + > +
2 2 2 2 54 4 9 6 2 52
x x y x x y x x + + > + + > >
La solucin es el conjunto
{ }/ 5 / 2, ,R x i y x x y= + >
(c) 1 3 10z z + + =
Forma 1: Por definicin de elipse se trata de una elipse de focos los puntos 1 y =3 y semieje
mayor 5
-
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9
Forma 2: Sea z x iy= + , entonces 1 ( 1)z x iy = + , 3 ( 3)z x iy+ = + + , luego
( ) ( )2 22 21 3 10 1 3 10z z x y x y + + = + + + + =
Pasando una de las races al segundo miembro y elevando al cuadrado
( ) ( )2
2 22 21 10 3x y x y
+ = + +
( )22 2 2 2 21 2 100 ( 3) 20 3x x y x y x y+ + = + + + + +
( )2 28 108 20 3x x y = + +
( )2 22 27 5 3x x y+ = + +
Elevando nuevamente al cuadrado,
( ) ( )( )2 2 22 27 25 3x x y+ = + +
2 2 2 2 2 24 27 108 25( 3) 25( 9 6 )x x x y x x y+ + = + + = + + +
2 221 42 25 504x x y+ + =
Completando cuadrados
2 221( 2 ) 25 504x x y+ + =
( )2 221 ( 1) 1 25 504x y+ + =
2 221( 1) 25 525x y+ + =
Se trata de la elipse
2 22 2
2
( 1) ( 1)1 1
525 525 21521 25
x xy y+ ++ = + =
(d) 4z z >
Sea z x iy= + , z x iy= entonces
( )( )22 24 4 2z z x iy x iy x y z z> + = + = > >
Luego 4z z > es la regin del plano exterior de la circunferencia de centro (0,0) y radio 2.
-
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10
(e) 3 4z i =
Sea z x iy= + , 3 ( 3)z i x i y = + entonces
2 23 4 ( 3) 16z i x y = + =
Se trata de la circunferencia de centro (0,3) = 3i y radio 4.
(f) 1, Im 0z z< >
Se trata del conjunto
{ }2 2/ 1 , 0x iy x y y+ + < >
es decir, del interior del semicrculo superior de radio 1.
(g) 2
2 1z z+ =
Sea z x iy= + , z x iy= , entonces
64 2 4 2 2
6
1 31 1 0
2
i
i
eiz z z z z
e
pi
pi
+ = + = = =
Luego:
12
6
12
12
6
12
i
i
i
i
i
i
ee
ez
ee
e
pi
pi
pipi
pi
pi
pipi
+
+
= = =
9 Consideremos el nmero complejo:
1
2 cosz x iy
t isent= + =
+ +
Probar que cuando t varia en los numeros reales, z se mueve sobre la circunferencia cuyo dimetro es el
segmento que uno los puntos (1/3,0),(1,0).
-
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11
Calculamos en primer lugar la expresin de x y de y en funcin de t . Multiplicando por el
conjugado del denominador
1(2 cos )
(2 cos )(2 cos )
t isent
t isent t isent
+ =
+ + +
2 2 2 2
2 cos 2 cos
5 4 cos 5 4 cos(2 cos ) 4 cos 4 cos tt sent t sent
i it tt sen t t t sen
+ += =
+ ++ + + +
Luego
2 cos
5 4 cos 5 4 cos
t sentx y
t t
+ = =
+ +
Para comprobar que ( ),x y est en la circunferencia de centro ( ),a b y radio r basta verificar
que ( ) ( )2 2 2x a y b r + = . En nuestro caso ( )
2, , 0
3a b
= y
1
3r = . Es evidente que
cualquier punto de la forma
2 cos,
5 4 cos 5 4 cos
t sent
t t
+ + +
cumple la ecuacin de la circunferencia. En efecto,
2 222 2 cos 2
3 5 4 cos 3 5 4 cos
t sentx y
t t
+ + = + = + +
( )
( )
22
2 2
6 3 cos 10 8 cos
(5 4 cos )9 5 4 cos
t t sen t
tt
+ = + =
++
( )
( )
2 2 2 2
2 2
4 5 cos 9 16 25 cos 40 cos 9
9(5 4 cos )9 5 4 cos
t sen t t t sen t
tt
+ + + += = =
++
22
2
25 16 cos 40 cos 1 1
9 39(5 4 cos )
t t
t
+ + = = = +
-
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12
Potencias de exponente natural
10 Escribir en forma binmica el complejo:
1 cos
1 cos
nx isenx
zx isenx
+ + = +
Mtodo 1.- Sea
1 1 cos 12 2
ix ix ix ixe e e ez x isenx i
i
+ = + + = + + =
2 21 11 1
2 2
ix ixix
ix ix
e ee
e e
+ = + + = +
1 1 cos 12 2
ix ix ix ixe e e ez x isenx i
i
+ = + = + =
2 21 11 1
2 2
ix ixix
ix ix
e ee
e e
+ = + = +
Por lo tanto,
( )( )
1
1
11
1 1
nn n ix ixixinx
ix ix
e ez ez e
e ez
+ + = = = = + +
Mtodo 2.- Sea
1 11 cos 1 cosz x isenx z x isenx= + + = +
entonces
1 11 1
11 1 1
n n nn
n nn
z zz zz
z z z z
= = =
Si consideramos que en forma exponencial la expresin de 1z es irese tiene
( ) ( )2 22
1 1 1
2 2 2
1 1
cos cos2 2nn n nn
n n n nn
z z r isen r n isen nzz
r r rz z
+ + = = = =
-
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13
Simplificando,
cos2 2z n isen n = +
Para obtener la expresin en funcin de x se considera que
2
2
1 cos 1 cos
1 cos 1 cos 2 2(1 cos )
senx x x x xarctg arctg arctg arctg tg
x xx
= = = = = + ++
donde se ha utilizado
2 21 cos 2 1 cos 2 cos2 2
x xx sen x = + =
Por lo tanto,
1
1
cos2 2 cos
n
zz n isen n nx isen nx
z
= = + = +
11 Sabiendo que 1
2cosz tz
+ = , t , z , hallar lo ms simplificado posible 1nn
zz
+
Se tiene que
( )2 21
2 cos 1 2 cos 2 cos 1 0z t z z t z t zz
+ = + = + =
2 21(2cos 4 cos 4 cos cos 1 cos2
z t t t t t isent = = =
Por lo tanto, cosnz nt isennt= . Por otro lado,
2 2
1 1 cos 1cos cos
cos cos nt isent
t sent tn sentnz t isent t sen t z= = = =
+
La expresin que nos piden simplificar ser
1 1cos cos 2 cosn n
n nz nt isennt nt isennt z nt
z z+ = + + =
-
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14
Races ensimas
12 Calcular 61 3z i=
Calculando su mdulo y argumento
( )
1 3 2
3arg
1 3
r z
z arctgpi
= = + =
= = =
se tiene que sus races sextas son:
236
6 2 0,1,2, 3, 4,5kk
z kpi pi +
= =
13 (a) Demuestre que la suma de las races n-simas de la unidad es cero.
(b) Demuestre que el producto de las races n- ensimas de la unidad es 1 1.
(a) Las races n- ensimas de la unidad son de la forma:
2
0,1,..., 1k
in
kz e k n
pi
= =
Por tanto,
2 2 4 11 12
0 0
1nn n
i i i in n n n
k
k k
z e e e e
pi pi pipi
= =
= = + + + +
Esto es la suma de los n primeros trminos de una progresin geomtrica de razn 2ine
pi
y
primer termino 1, es decir,
1 2
20
10
1
n i
kikn
ez
e
pi
pi
=
= =
(b) Considerando ahora el producto,
1
0
22 4 12 4 11 0 ... 22
0
1 * * * .... *
n
k
nnn i ki i ii i inn n nn n n
kk
z e e e e e
pipi pipi pi pipi
=
+ + + +
=
= = =
-
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15
como, 1
0
( 1)
2
n
k
n nk
=
= se tiene
1( 1)
0
1
1
nn i
kk
si n parz e
si n imparpi
+
=
= =
Logaritmos complejos
14 De entre todas las races n-simas del complejo 1 3i+ . Hay alguna raz cuyo logaritmo principal sea
real?
Calculamos en primer lugar 1 3n i+ . Por definicin, n z son los nmeros complejos
de mdulo: n r
de argumento: 2
n
pi+con 0,1,2,...( 1)k n= ;
En este caso 1 3z i= + , luego
( )2
1 3 2r = + =
33 21 1 3
2
arctg arctgpi
= = = .
Por tanto, 1 3n
i+ tendr
por mdulo: 2n
por argumento: 2
3n
pi pi+con 0,1,2,...( 1)k n=
es decir,
23
2k
n
n
kz pi pi+= con 0,1,2,...( 1)k n=
2 23 32 cosn
k
k kz isen
n n
pi pipi pi + + = +
con 0,1,2,...( 1)k n=
-
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16
Teniendo en cuenta que el logaritmo principal de kz es
( )log ln argk k kz z i z= +
se cumplir que
( )log arg 0k kz z =
es decir,
2 13 30 2 03 2 6
kk k
n
pi pipipi pi
pi
+= + = = =
Como los valores posibles de k son 0,1,2,...( 1)n entonces la pregunta planteada sobre si
hay alguna raz cuyo logaritmo principal sea real tiene por respuesta que no existe ninguna
raz cuyo logaritmo principal sea real.
15 Calcular el siguiente nmero complejo: 2 1log
1
iz
i i
+ =
Como
(1 )(1 )1
1 (1 )(1 )
i iii
i i i
+ ++= =
+
log 22
i k ipi
pi = +
El valor pedido es:
2log 4z i k ki
pi pi= = +
16 Dado loga bi + = siendo tal que 1 3i
+ es real y el mdulo de es la unidad. Hallar a bi+ .
Se considera c di = + cumpliendo 2 2 2 1c d = + = . Se cumplir que
-
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17
1 31
ri
= + =
( )( )( )( )
2 2
1 3
1 3 1 3
1
c di ir
i i
c d
+ = + + =
( ) ( )2 2
2 2
3 33 0
4 11
c d i c dc dr
c dc d
+ + + + = = + = + =
1 2
1 3 1 3 1 3
2 2 2 2 2 2c d i i = = = + =
Luego
23
21log ln 2 , 0,1
6
ki
e k k i k Z k
pi pi
pi pi pi
+ = = + + =
2 232
2log ln 2 , 0,13
ki
e k k i k k
pi pi
pi pi pi
+ = = + + =
Observacin: Puede ser interesante considerar la expresin de de la forma:
cosite t isent = = + ya que al tener mdulo uno quedar perfectamente determinado si se
conoce ( )arg t = .
17 (a) Escribir la forma binmica y exponencial el nmero complejo 1 2
xiz
i=
+ dando x = (numero de
lista del alumno en clase) + 1000
(b) Calcular log log1 2
xiz
i
= +
Supongamos que 121 1000 1121x = + =
( )( )( )
1121 4*28 1 1 2 2 2 1
1 2 3 31 2 1 2 1 2 1 2 1 2
i ii i i iz i
i i i i i
+ += = = = = = +
++ + + +
En forma exponencial z se expresar
-
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18
221 2 1 3
3 3 3 33133
23
i
z
z e ya que
arctg
= + = = = =
Calculamos su logaritmo
2 1log log log
3 31 2
xiz i
i
= = + = +
3 1ln 2
3 2i arctg k kpi = + +
La rama principal se obtiene para 0k =
3 1log ln
3 2z i arctg
= +
Potencias complejas
18 Sea z un nmero complejo de representacin binmica z = a + bi y consideramos la potencia ( )1zi+ .
Se pide, para cada una de las condiciones siguientes el conjunto de todos los complejos que la cumplen y un
ejemplo:
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )log 2 2log 1 log 1 41x iy k iz z i x iy i
i e e epi pi+ + ++ + +
+ = = = =
( ) log 2 2log 2 2 44
y x k ix y ke e k
pipipi pi
+ + + =
A - Que la potencia tenga algn valor real.
log 2 2 0 log 2 2 4 4
sen y x k y x k k kpi pi
pi pi pi + + = + + =
-
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19
log 2,
24
k yx k k
k
pi
pipi
=
+
Basta dar valores a y, k y kpara obtener x. En esos casos z x i y= + verificara que su
potencia tiene algn valor real.
B Que la potencia tenga resultado nico.
Si x es entero, 0y = el resultado es nico.
log 2 cos4 4
x x xe isenpi pi +
C Que la potencia tenga slo un nmero finito de resultados
Si /x p q= e 0y = slo hay q resultados correspondientes a 0,1,2,..., 1k q= .
D Que la potencia tenga todos los resultados con el mismo modulo
log 2 24 0
x y k
e cte y
pipi
+ = =
E Que la potencia tenga todos los resultados con el mismo argumento.
log 2 24
y x k cte xpi
pi + + =
19 Calcular 2 2log (1 )i i +
Aplicando la definicin
( )( )
2 2
ln 2 2log(1 ) 4log (1 )log(2 2 ) ln2 2 2 '
4
i
k iii
i k i
pi pi
pi pi
+ +++ = = =
+ +
( ) ( )
( ) ( )22
2 2 2 2 2 '4 4
2 2 2 '4
m k i m k i
m k
pi pipi pi
pi pi
+ + + =+ +
-
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20
siendo , k k
Polinomios
20 Hallar los nmeros complejos z tales que
2
2 2 9 0z z z z+ + + =
Sea z a bi= + debemos encontrar a y b de forma que:
( ) ( ) ( ) ( )2 2
2 9 0a bi a bi a bi a bi+ + + + + =
2 2 2 22 2 2 4 2 9 0a b abi a b abi bi + + + + =
2 22 2 3 3 9 0(3 3 9) ( 2 2 ) 0
2 2 0
a ba b i ab b
ab b
+ = + + + = + =
Se distinguen dos casos:
Caso 1: 0b = , entonces por la primera ecuacin 2 3a = , esto es absurdo pues a y b son
nmeros reales.
Caso 2: 0b , entonces 1a = + , y sustituyendo en la primera ecuacin
23 12 2b b =
Luego los nmeros complejos son:
1 21 2 1 2z i z i= + + = +
21 Cuntas races tienen los polinomios? Puedes decir algo sobre el nmero de races reales? Por qu?
(a) ( ) 5 2( ) 2 2 3 2p x i x x i= + + +
5 races en . No se puede decir nada sobre las reales porque ( )p x no es un polinomio con
coeficientes en .
-
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21
(b) 7 6( ) 2 3 2p x x x= + +
7 races en . Tiene al menos una real por ser el grado impar.
(c) 5 2( ) 3 3 2p x x x= + +
5 races en . Tiene al menos una real por ser grado impar.
(d) 7 6( ) 3 ( 2 2 ) 2p x x i x= + + +
7 races en . No se puede decir nada sobre las reales porque ( )p x no es un polinomio con
coeficientes en .
22 Si ( )F z es un polinomio con coeficientes reales y ( )2 3 1F i i+ = a qu es igual ( )2 3F i . Queda
determinada ( )F a bi conociendo ( )F a bi+ , si los coeficientes de ( )F z no son todos reales?
a) Sea 0 1( ) .... 0n
n nF z a a z a z a= + + + , entonces como sus coeficientes son reales
( )0 1 0 1( ) ... ... ( )n nn nF z a a z a z a a z a z F z= + + + = + + + =
luego,
(2 3 ) (2 3 ) 1 1F i F i i i = = = +
b) En el caso de que los coeficientes de ( )F z no sean todos reales no se determina el
valor de ( )F a bi conocido el de ( )F a bi+ . Por ejemplo, en el caso de 2( )F z iz=
2(2 3 ) (2 3 ) (4 12 9) ( 5 12 ) 12 5F i i i i i i i i+ = + = + = + =
2(2 3 ) (2 3 ) (4 12 9) ( 5 12 ) 12 5F i i i i i i i i = = = =
23 Hallar la relacin que deben verificar los coeficientes a , b , c , d reales para que las races de la ecuacin
2 ( ) ( ) 0z a bi c di+ + + + =
tengan el mismo argumento.
Sean 1z , 2z las races. Expresndolas en forma exponencial sern
-
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22
1 1
2 2
i
i
z e
z e
=
=
Como,
2 21 2 1 2 1 2( )( ) ( ) ( ) ( )z z z z z z z z z z z a bi z c di = + + = + + + +
se cumple que 1 2z z c di= + y ( )1 2z z a bi+ = + . Por lo tanto,
21 2 1 2*
iz z c di e c di = + = +
1 2 1 21 2
1 2
( )( )
( )
ii
z z ee a bi
z z a bi
+ = + + = + = +
luego,
( )( )
1 2
1 2
1 2
1 2
cos2
2
cos
c
sen d
a
sen b
= = + = + =
De donde,
2d b
tg tgc a
= =
de relacionar la tangente del ngulo doble con la tangente se encontrar la relacin entre los
coeficientes. Como
2 2 2
2 2 cos 22
cos2 cos 1
sen sen tgtg
sen tg
= = =
Entonces 2 2 2
2
2 21
b
d aba
c b a ba
= =
La relacin buscada es
2 2
2 22
d absi a b
c a b=
Nota: Si en la solucin de algn ejercicio crees que hay algn error ponte en contacto con la
profesora para su correccin.
-
RESUMEN TEORA:
Sucesiones y Series
Matemticas 11
Elena lvarez Siz
Dpto. Matemtica Aplicada y C. Computacin
Universidad de Cantabria
-
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2
SUCESIONES EN
Prerrequisitos:
Desigualdades de nmeros reales
Conceptos generales de funciones: dominio, cotas, crecimiento,
Conocimiento de las propiedades de las funciones elementales: polinmicas,
racionales, exponenciales, logartmicas, trigonomtricas y del valor
absoluto.
Clculo de lmites, indeterminaciones y regla de LHopital
Clculo de derivadas y estudio del crecimiento de una funcin
Mtodos de demostracin: induccin y reduccin al absurdo.
Objetivos:
1. Tener claros los siguientes conceptos:
Qu es una sucesin
Sucesin acotada, sucesin montona, sucesin
convergente/divergente/oscilante
Relacin entre acotacin, monotona y convergencia de una sucesin
Propiedades de los lmites de sucesiones
rdenes de magnitud de una sucesin:
o Sucesiones del mismo orden
o Sucesiones equivalentes
o Sucesin de orden superior/inferior
2. Saber hacer:
Estudiar la convergencia de una sucesin
-
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3
o Tcnicas de lmites
o Regla del sndwich o Teorema del encaje
o El producto de un infinitsimo por una sucesin acotada es un
infinitsimo
o Sucesiones recursivas
Determinar el orden de magnitud de una sucesin
Comparar el orden de infinitud de una sucesin
DEFINICIONES BSICAS
Dos sucesiones { }na y { }nb son iguales si n na b= para todo n .
Una sucesin admite una representacin en la recta real y en el plano:
Sucesiones montonas
Definiciones:
A) Una sucesin ( )na se denomina montona creciente si verifica:
1 2 3 na a a a
-
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4
esto es si se cumple 1n na a n+
Si verifica 1n na a n+< , se llama estrictamente creciente.
B) Anlogamente, una sucesin ( )na se denomina montona decreciente si se cumple
1n na a n+
Si verifica 1n na a n+> , se llama estrictamente decreciente.
C) Una sucesin se denomina montona si es montona creciente o montona
decreciente.
Applet Laboratorio Sucesiones
Ejemplos :
La sucesin -1, -2, 3, -4, -5, 6, -7, -8, 9 ... no es montona.
La sucesin de trmino general ( 1)n
na
n
= tampoco es montona.
La sucesin de trmino general na n= es montona creciente y tambin
estrictamente creciente.
La sucesin 1, -1, 0, 0, 1, 1, 2, 2 ... es montona creciente, pero no es
estrictamente creciente.
La sucesin de trmino general 2na n= es montona decreciente y es
tambin estrictamente decreciente.
-
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5
La sucesin 1 1 1 1 1 1 1 1 1, , , , , , , , ,
2 2 3 4 4 5 6 6 7 es montona decreciente, sin embargo
no es estrictamente decreciente.
Nota prctica:
En algunos casos, para probar que una sucesin es montona creciente
resulta til probar que 1 0n na a n+ y para sucesiones de
trminos positivos tambin se puede demostrar probando que se cumple:
1 1n
n
an
a
+
Anlogamente, para las sucesiones montonas decrecientes se probar que
1 0n na a n+ , o bien, si es de trminos positivos, que verifica
1 1n
n
an
a
+
Teniendo en cuenta que una sucesin es una aplicacin de los nmeros
naturales en los reales, para ciertas sucesiones, se puede utilizar tcnicas
de clculo diferencial para estudiar la monotona. Bastar considerar la
funcin resultado de cambiar n por x en el trmino general de la sucesin.
Si ( )na f n= y ( )' 0f x > (respectivamente ( )' 0f x < ) para ox n>
entonces na es creciente (respectivamente) para ox n> .
-
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6
Applet Laboratorio Sucesiones
Sucesiones acotadas.
A) Decimos que un nmero real k es cota superior de la sucesin ( )na si verifica
na k n
Se denomina supremo a la menor de las cotas superiores. Si el supremo es un
trmino de la sucesin se denomina mximo.
Anlogamente, dicho nmero k ser cota inferior de la sucesin ( )na si verifica
nk a n
Llamamos nfimo a la mayor de las cotas inferiores. Si el nfimo es un trmino de
la sucesin se denomina mnimo.
B) Una sucesin ( )na decimos que est acotada superiormente si tiene alguna
cota superior. De forma anloga, diremos que la sucesin est acotada
inferiormente si tiene alguna cota inferior.
-
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7
C) Una sucesin ( )na decimos que es acotada si est acotada superior e
inferiormente.
Applet Laboratorio Sucesiones
LMITE DE UNA SUCESIN
Decimos que el lmite de una sucesin ( )na es L, y lo escribimos as
limn n
a L =
o tambin
na L
-
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8
si es posible conseguir que na L sea tan pequeo como queramos, sin ms que
asignarle a n valores tan grandes como sea necesario. Es decir,
0lim 0n n o na L existe N tal que a L n N = > < >
La definicin anterior significa que si queremos que los trminos de la sucesin se
alejen de L una distancia menor que , lo podemos conseguir para todos los
trminos posteriores a un cierto nmero natural N0. Cuanto ms pequeo sea
ms grande habr que tomar el valor de N0.
La definicin anterior se lee lmite cuando n tiende a infinito dena igual a L.
Tambin se puede escribir
limna L=
pues n slo puede tender a infinito.
Las sucesiones que tienen lmite se denominan convergentes.
Applet Laboratorio Sucesiones
-
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9
Sucesiones divergentes:
La sucesin ( )na tiende a infinito ( ) si cualquiera que sea el nmero real k fijado,
por grande que este sea, podemos conseguir que los trminos de la sucesin superen
dicho valor sin ms que tomar valores de n mayores que un nmero natural N0.
Simblicamente esto puede escribirse as
0 0limn n na k N tal que a k n N = > >
Applet Laboratorio Sucesiones
La sucesin ( )na tiende a menos infinito ( ) si cualquiera que sea el nmero real k
fijado, por grande que este sea, podemos conseguir que los trminos de la sucesin
sean menores que k, sin ms que tomar valores de n mayores que un nmero
natural N0. Simblicamente esto puede escribirse as
0 0limn n na k N tal que a k n N = < >
-
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10
Unicidad del lmite: Si la sucesin ( )na tiene lmite, finito o no, este es nico.
Demostracin:
Sea ( )na una sucesin convergente y supongamos que tiene dos lmites L1 y L2,
siendo L1 < L
2. A partir de un cierto valor n
0, todos los trminos de la
sucesin deben pertenecer, simultneamente, a los entornos
1 1 2 2( , ) ( , )L L y L L + +
lo cual es imposible en cuanto tomemos valores 2 12
L L
.
Sucesiones oscilantes
Existen otras sucesiones que no tienen lmite, pero tampoco tienden a infinito ni a
menos infinito. Veamos algunos casos
Ejemplos : La sucesin cuyos primeros trminos son los siguientes
1 1 11, , 3, , 5, , 7,...
2 4 6
Esta sucesin no es convergente, pero tampoco tiende a ni a . Los
trminos impares se hacen infinitamente grandes a medida que n crece. Sin
embargo, los trminos pares tienden a 0, para n suficientemente grande. Se dice
que esta sucesin no tiene lmite o bien que su carcter es oscilante.
Ejemplos : La sucesin de trmino general ( 1)nna n= , cuyos primeros trminos
son:
-
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11
-1, 2, -3, 4, -5, 6, -7, 8,...
Los trminos de esta sucesin tampoco se acercan a un nmero concreto.
Tienden a los trminos pares y tienden a los trminos impares. Por
tanto, tampoco tiene lmite.
Como conclusin, las sucesiones de los dos ejemplos anteriores se denominan
oscilantes.
Resumen: Las sucesiones se clasifican segn la existencia o no de lmite en los
siguientes tipos:
Convergentes
tienden a un nmero finito L
No convergentes
tienden a
Divergentes
tienden a -
Oscilantes
Propiedades de los lmites: Si lim nn
a a
= , y lim nn
a a
= con ,a b se cumplen las
siguientes propiedades:
(1) lim nn
a a
= (2) ( )lim nn
a a
=
(3) ( )lim n nn
a b ab
= (4) lim 0nn
n
a asi b
b b=
-
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12
(5) ( )lim nb bnn
a a
= siempre que 00ba .
Indeterminaciones: 0
0
0 1 00 0
Teorema (Acotacin): Toda sucesin (an) convergente es acotada.
Demostracin:
Para demostrar que una sucesin est acotada, tenemos que demostrar que
est acotada superior e inferiormente.
Si la sucesin (an) es convergente, tomamos =1, entonces todos los trminos
de la sucesin pertenecen, a partir de uno de ellos, al entorno (L- , L+ ); en
consecuencia. Consideramos el valor ms pequeo de los trminos de la
sucesin que no estn en ese intervalo y de L- Si llamamos m a ese valor
todos los trminos de la sucesin sern mayores que m.
Consideramos M el valor ms grande de los trminos de la sucesin que no
estn en el intervalo (L- , L+ ) y el valor L- , es fcil ver que todos los
trminos de la sucesin son menores que M.
En conclusin, la sucesin (an) est acotada, ya que hemos encontrado una
cota inferior (m) y una cota superior (M) de dicha sucesin.
Observacin: El recproco del teorema anterior no es cierto: la sucesin 1, 2, 1, 2, 1,
2,... es acotada y, sin embargo, no es convergente.
-
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13
Teorema (Weierstrass): Toda sucesin montona y acotada es convergente. Toda
sucesin montona y no acotada es divergente.
Convergente Acotada
Divergente No acotada
(No son ciertos los recprocos)
Convergente Acotada y Montona
Divergente No acotada y Montona
(No son ciertos los recprocos)
Nmero e
El nmero e es un nmero irracional de gran importancia en matemticas
superiores. Podemos definirlo como el lmite de la sucesin 1
1n
n
+ .
Puede probarse que esta sucesin es montona y acotada por lo que aplicando el
teorema de Weierstrass se concluye que es convergente. El valor al que converge
es el nmero e.
Se trata de un nmero irracional cuyas diez primeras cifras decimales son:
27182818284
CLCULO DE LMITES
Propiedades de los lmites de sucesiones reales
Si lim nn
a a
= , y lim nn
a a
= con ,a b se cumplen las siguientes propiedades:
-
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14
(1) lim nn
a a
= (2) ( )lim nn
a a
=
(3) ( )lim n nn
a b ab
= (4) lim 0nn
n
a asi b
b b=
(5) ( )lim nb bnn
a a
= siempre que 00ba .
Indeterminaciones
0
0
0 1 00 0
Criterios de comparacin
Teorema del encaje: Sean { }1n n
a
=y { }
1n nb
= dos sucesiones convergentes al mismo
nmero real L entonces si se tiene otra sucesin { }1n n
x
= verificando
n n na x b para todo ndice n salvo un nmero finito (es decir para todo n a partir
de un cierto ndice N) entonces la sucesin { }1n n
x
= tambin converge a L.
Teorema: Si { }1n n
a
=es una sucesin divergente a infinito y para todo ndice n salvo
un nmero finito se verifica n na b entonces { } 1n nb
= tambin es divergente a
infinito.
Infinitsimos e infinitos equivalentes
Definicin (Infinitsimo).- Se dice que na es un infinitsimo si lim 0nn
a
=
Definicin (Infinito).- Se dice que na es un infinito si lim nn
a
=
-
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15
PROPIEDADES DE LOS INFINITSIMOS
1) La suma de un nmero finito de infinitsimos es un infinitsimo.
2) Se verifica lim 0 lim 0n n n n
a a = = .
3) Si ( )na es un infinitsimo y ( )nb es una sucesin acotada superiormente en
valor absoluto, entonces, la sucesin producto de ambas ( )n na b es convergente y
se cumple
lim 0n n n
a b =
Definicin (Sucesiones del mismo orden y asintticamente equivalentes).-
- Se dice que na y nb infinitsimos (infinitos) son del mismo orden si
lim nn
n
ak
b= con { }0k .
- En el caso particular de que k=1 se dicen asintticamente equivalentes.
Notacin.- Cuando na y nb infinitsimos (infinitos) son del mismo orden se
escribe ( )n na b= .
PRINCIPIO DE SUSTITUCIN.- El lmite de una sucesin convergente o
divergente no se altera al sustituir uno de sus factores o divisores por otro
asintticamente equivalente.
-
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16
INFINITESIMOS EQUIVALENTES INFINITOS EQUIVALENTES: Si n
( )1 log 1n n na entonces a a ! 2n nn e n npi
(Frmula de Stirling)
( )0 log 1n n na entonces a a + 11 1...p p pp p o pa n a n a n a a n+ + + +
( ) log0 1n aa entonces an
> ( ) (11 1log ... logp p pp p o pa n a n a n a a n+ + + +
0n n na entonces sena a 1
1 2 31
kk k k k nn
k
++ + + +
+
0n n na entonces tg a a
0n n n na entonces a arcsena arctg a
2
0 1 cos2n
n n
aa entonces a
Definicin (Infinitsimos e infinitos de orden superior).- Se dice que na es un
infinitsimo de orden superior respecto de nb que nb es un infinito de orden
superior respecto de na , segn se trate de infinitsimos o infinitos, si
lim 0nn
n
a
b= .
Potencial-exponencial
Factorial
Exponencial
Potencial
Logaritmo
a nn
(a>0)
n!
bn
(b>1)
nc
(c>0)
(log
q n)p
(q>1, p>0)
Tabla.- El orden de los infinitos disminuye de izquierda a derecha
-
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17
CRITERIO DE STOLZ
Si
{ }1n n
a
=y { }
1n nb
= son infinitsimos siendo montona
{ }1n n
b
= es divergente
En el caso de que exista el siguiente lmite 11
lim n nn
n n
a a
b b
entonces:
1
1
lim limn n nn n
n n n
a a a
b b b
=
Consecuencias:
1 2...
lim limnn
n n
a a aa
n
+ + += (Criterio de la media aritmtica)
1 2lim ... limn
n nn n
a a a a
= (Criterio de la media geomtrica)
Lmites de expresiones racionales
Si se trata de una sucesin cociente entre expresiones polinmicas, as 1 2
0 1 2
1 20 1 2
p p pp
n q q qq
a n a n a n aa
b n b n b n b
+ + + +=
+ + + +
se resuelve dividiendo numerador y denominador por nk , siendo k el grado del
polinomio de menor grado. En resumen, se cumple que:
Si p>q, limn na = (depende de los signos de a0 y b0)
Si p=q, 00
limn n
aa
b =
Si p < q, lim 0n na =
-
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18
Esta regla dice que el valor del lmite lo marca el trmino de mayor grado de ambos
polinomios.
Lmites de expresiones irracionales
Se resuelven multiplicando y dividiendo por la expresin radical conjugada.
Lmites de la forma 0 0, 0 , 1
Para calcular este tipo de lmites se puede tomar logaritmos, de tal forma
que:
lim logloglim lim n nn n n nb ab b a
nn n
a e e
= =
Observacin: En el caso particular de que la indeterminacin sea del tipo 1 se
cumple que lim 1nn
a
= y lim nn
b
= luego,
( )lim log lim 1lim n n n nn n n
b a b abn
na e e
= =
-
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19
SERIES EN
Prerrequisitos:
Conceptos sobre sucesiones vistos en el tema anterior
Clculo de primitivas inmediatas
Objetivos:
1. Tener claros los siguientes conceptos:
Serie y suma parcial ensima
Convergencia, divergencia de una serie
Orden de magnitud de la suma parcial ensima
Suma aproximada de una serie
2. Saber hacer:
Reconocer las series geomtricas y determinar su carcter
Reconocer las series armnica generalizada y determinar su carcter
Estudiar la convergencia de series de trminos positivos mediante los
criterios del cociente y de la raiz
Estudiar la convergencia de series alternadas con el criterio de Leibniz
Estudiar la convergencia de series de trminos cualesquiera mediante la
convergencia absoluta
Hallar la suma aproximada de una serie con una cota del error prefijada
-
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Sumas infinitas
Ejemplo 1: Imagina un cuadrado de lado unidad y considera la suma de las reas
coloreadas
1 1 1....
2 4 8+ + +
A la vista de la figura cul crees que es el valor de su suma?
Ejemplo 2: Cunto es el rea de color amarillo?
-
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Tambin puedes pensar en el rea de los tringulos naranjas del dibujo siguiente:
Ejemplo 3: Imagina el nmero 1 / 3 se escribe en forma decimal peridico como
1 / 3 0,3= donde se entiende que el 3 se repite infinitas veces. Es decir,
1 / 3 0, 3 0,03 0, 003 0,0003 ....= + + + +
que abreviadamente podemos poner como:
( )1
1 / 3 3 0,1n
n
=
=
pero, qu significa exactamente la suma infinita? Est claro que no podemos sumar
infinitos nmeros. Esta expresin significa que si se suma ms y ms trminos, la
suma se va aproximando cada vez ms a 1 / 3 .
Definiciones
Dada una sucesin infinita de nmeros reales { }na se define:
1 21
... ...n n
n
a a a a
=
= + + + +
Su suma parcial n-sima es:
1 2 ...n nS a a a= + + +
-
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Consideramos la sucesin de sus sumas parciales: { }1n n
S
=se tendr:
Si { }1n n
S
= es convergente entonces la serie
1n
n
a
= es convergente.
Adems
1
limn n
nn
a S S
=
= =
Se dir entonces que S es la suma de la serie.
Si { }1n n
S
= es divergente entonces la serie
1n
n
a
= es divergente
Si { }1n n
S
= es oscilante entonces la serie
1n
n
a
= es oscilante.
El resto n-simo de la serie 1n
n
a
= es:
1 21
...n n n n k
k
R a a a
+ + +=
= + + =
Es fcil ver que:
1k n n
k
a S R
=
= +
Propiedades de las series
Propiedad 1: Si a una serie se la suprime o aade un nmero finito de trminos su
carcter no se ve alterado.
-
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Propiedad 2: Si 1n
n
a
= y
1n
n
b
= son convergentes y convergen respectivamente a los
nmeros reales A y B entonces:
( )1 1 1n n n n
n n n
a b a b A B
= = =
= =
1 1n n
n n
a b A B
= =
= observar que ( )
1 1 1n n n n
n n n
a b a b
= = =
( )1 1
n nn n
a a A
= =
= =
Propiedad 3 (Condicin necesaria de convergencia): Si 1n
n
a
= es convergente
entonces lim 0nn
a
= .
IMPORTANTE.- Se trata de una condicin necesaria pero no suficiente. La serie
0
1
n n
= cumple la condicin necesaria de convergencia y, sin embargo, es divergente.
SERIES NOTABLES
Serie geomtrica: 0
0n
n
ar a
=
. Se cumple:
Si 1r < la serie converge y adems 0 1
n
n
aar
r
=
= . En
general 1
k
n
n k
a rar
r
=
= .
Si 1r > la serie diverge.
-
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Serie armnica generalizada: 1
10
pn
pn
=
> . Se cumple:
Si 0 1p< la serie diverge
Si 1p > la serie converge.
CONVERGENCIA DE SERIES DE TRMINOS NO NEGATIVOS
Una serie de trminos no negativos o bien converge o bien diverge ya que la sucesin
de sus sumas parciales es montona.
1 1n n n n
no negativo
s S a S+ += +
Suma parcial n-sima
En general para una funcin continua f decreciente y positiva en )1, se verifica
( ) ( ) ( ) ( )11 1
1n nn
k
f x dx f k f f x dx=
< < +
-
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25
Por lo tanto la sucesin ( )1
n
k
f k=
verifica que
( ) ( ) ( ) ( )11 1
1n nn
k
f x dx f k f f x dx=
< < +
Si la funcin es continua, creciente y positiva en )1, se verifica
( ) ( ) ( ) ( )11 1
n nn
k
f x dx f k f x dx f n=
< < +
Criterio integral
Si f es positiva, continua y decreciente para 1x y ( )na f n= entonces:
( )11n
k
f x dx y a
=
tienen el mismo carcter.
Criterio de comparacin
Si 1n
n
a
= , y
1n
n
b
= son series de trminos positivos verificando
n na b para todo n salvo un nmero finito
entonces:
(a) Si 1n
n
b
= es convergente entonces
1n
n
a
= tambin es convergente
(b) Si 1n
n
a
= es divergente entonces
1n
n
b
= tambin es divergente.
-
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26
Criterios de comparacin por paso al lmite
Se consideran las series 1n
n
a
= y
1n
n
b
= . Entonces
(a) Si 0
lim nn
n
a
b
= ambas series tienen el mismo carcter
(b) Si lim 0nn
n
a
b= y la serie
1n
n
b
= es convergente entonces
1n
n
a
= es
convergente.
(c) Si lim nn
n
a
b= y la serie
1n
n
b
= es divergente entonces
1n
n
a
= es
divergente.
Criterio del cociente: Se considera la serie 1n
n
a
= cumpliendo
1
lim nn
n
aL
a = 1lim n
nn
aL
a
+
=
entonces si
(a) Si 1L < la serie 1n
n
a
= es convergente
(b) Si 1L > la serie 1n
n
a
= es divergente
Criterio de la raz: Se considera la serie 1n
n
a
= cumpliendo lim n n
na L
= entonces si
(c) Si 1L < la serie 1n
n
a
= es convergente
(d) Si 1L > la serie 1n
n
a
= es divergente
-
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27
SUMA APROXIMADA: SERIES DE TERMINOS NO NEGATIVOS
Supongamos que tenemos la serie 1n
n
a
= de la que conocemos que es convergente pero
no sabemos obtener el valor exacto de la suma. Entonces si sustituimos el valor de la
suma S por la suma parcial n-sima Sn se nos plantean dos problemas:
(a) Qu error cometo cuando utilizo la aproximacin
1 2 ...n nS S a a a = + + + ?
(b) Cuntos trminos tengo que considerar para que la diferencia entre S
y Sn sea menor que un cierto valor, es decir,
nS S valor <
Ambas cuestiones quedan resueltas si consigo acotar el resto n-simo:
1 2 ... cotan n nR a a+ += + + <
Encontrada una cota se tendr resuelto el problema (a) si bien esta cota debe
elegirse de forma adecuada. Para el segundo problema dado el error permitido
bastar encontrar el ndice n que verifica la siguiente relacin:
1 2 ... cota errorn n nR a a+ += + + < <
Es importante hacer notar que la cota depender de n y adems que debe elegirse
con cuidado para que no sea una acotacin excesiva que no nos d ninguna
informacin.
-
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28
Estimacin del error por el criterio integral
Supongamos que ( ) nf n a= para todo n natural, donde f es una funcin continua,
decreciente y positiva en el intervalo )1, . Supongamos que ( )1
limn
nf x dx
existe y
es finito. Entonces el resto de la serie 1n
n
a
= cumple que:
( )1
0 limk
n nk
k n n
R a f x dx
= +
=
SERIES ALTERNADAS
Son de la forma
( ) ( )1 1 21
1 .... 0n
n nn
a a a a
=
= + >
TEOREMA DE LEIBNIZ: La serie alternada ( ) 11
1n
nn
a
=
( )0na > converge si
(a) la sucesin { }1n n
a
= es montona decreciente
(b) se verifica lim 0nn
a
= .
Estimacin del error de sustituir la suma de la serie por la suma parcial ensima:
Supongamos que se tiene la serie alternada ( ) 11
1n
nn
a
=
( )0na >
convergente verificando
-
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29
(a) la sucesin { }1n n
a
= es montona decreciente
(b) lim 0nn
a
= .
Entonces el resto n-simo es
( ) ( ) ( ) ( )11 2 1 2 31 1 ... 1 ...n n n
n n n n n n nR S S a a a a a+
+ + + + += = + + = + +
como la sucesin es montona decreciente el valor absoluto del resto n-simo
es:
( ) ( )1 2 3 1 2 3 4 50 0
... ...n n n n n n n n nR a a a a a a a a+ + + + + + + +
= + =
es decir,
1n nR a +<
Obsrvese que este error ser:
por exceso si el primer trmino despreciado es negativo
por defecto si el primer trmino despreciado es positivo.
Series de trminos cualesquiera
Una serie de trminos cualesquiera, 1n
n
a
= , es absolutamente convergente si es
convergente la serie de sus valores absolutos, es decir, si 1n
n
a
= es convergente.
TEOREMA: Si una serie es absolutamente convergente entonces es convergente.
-
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30
Si una serie es convergente pero no es absolutamente convergente se dice
condicionalmente convergente.
Nota: Si detectas algn error o errata ponte en contacto con la profesora para su correccin.
-
EJERCICIOS RESUELTOS:
Sucesiones numricas
Matemticas 11
Elena lvarez Siz
Dpto. Matemtica Aplicada y C. Computacin
Universidad de Cantabria
-
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Ejercicios: Sucesiones numricas Ingeniera de Telecomunicacin
Fundamentos Matemticos I
2
Sucesiones montonas y sucesiones acotadas
1 Sucesiones montonas: ejemplos
La sucesin -1, -2, 3, -4, -5, 6, -7, -8, 9 ... no es montona.
La sucesin de trmino general ( 1)n
na
n
= tampoco es montona.
La sucesin de trmino general na n= es montona creciente y tambin
estrictamente creciente.
La sucesin 1, -1, 0, 0, 1, 1, 2, 2 ... es montona creciente, pero no es
estrictamente creciente.
La sucesin de trmino general 2na n= es montona decreciente y es
tambin estrictamente decreciente.
La sucesin 1 1 1 1 1 1 1 1 1, , , , , , , , ,
2 2 3 4 4 5 6 6 7 es montona decreciente, sin embargo
no es estrictamente decreciente.
2 Estudiar la monotona de las siguientes sucesiones:
2 1n
na
n
=
8
1 2nn
bn
=+
3
1nn
cn
=+
3
1nd
n=
Solucin:
a) Vamos a probar que los trminos de esta sucesin verifican
1 0n na a n+ > , es decir que se trata de una sucesin montona
estrictamente creciente.
1
2 2
2( 1) 1 2 1 2 1 2 1
1 1(2 1) ( 1)(2 1) 2 2 1 1
0( 1) ( 1) ( 1)
n n
n n n na a
n n n n
n n n n n n n n
n n n n n n
+
+ + = = =
+ ++ + + +
= = = >+ + +
-
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Fundamentos Matemticos I Ejercicios: Sucesiones numricas
3
el carcter positivo del anterior cociente est garantizado porque n es un
nmero natural.
b) En este caso vamos a demostrar que 1n nb b n+ , con lo cual la
sucesin ser montona creciente.
1
2 2
8 ( 1)8
1 2 1 2 ( 1)8 8 8
1 2 1 2 28 16 16 8 8 16 16 0 8
n n
nnb b
n n
n n
n n
n n n n n n
+
+
+ + ++
+ + +
+ + + + +
lo cual es siempre cierto.
c) La sucesin dada es creciente, ya que 1n nc c n+ , pues
1
2 2
3 ( 1)3 3 3 3
1 ( 1) 1 1 2
3 6 3 3 3 3 0 3
n n
nn n nc c
n n n n
n n n n n
+
+ +
+ + + + +
+ + + +
la expresin ltima a la cual hemos llegado es siempre cierta, luego la
desigualdad inicial tambin lo es.
d) En este caso demostraremos que 1n nd d n+> , es decir que la sucesin
es montona estrictamente decreciente.
3 31 3 3
1 1( 1)
( 1)n nd d n n
n n+> > + >
+
esta desigualdad es cierta para cualquier nmero natural, luego se cumple
siempre.
3 Convergencia, divergencia: ejemplos
-
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4
1. La sucesin cuyos primeros trminos son los siguientes
1 1 11, , 3, , 5, , 7,...
2 4 6
Esta sucesin no es convergente, pero tampoco tiende a ni a . Los trminos
impares se hacen infinitamente grandes a medida que n crece. Sin embargo, los
trminos pares tienden a 0, para n suficientemente grande. Se dice que esta sucesin
no tiene lmite o bien que su carcter es oscilante.
2. La sucesin de trmino general ( 1)nna n= , cuyos primeros trminos son:
-1, 2, -3, 4, -5, 6, -7, 8,...
Los trminos de esta sucesin tampoco se acercan a un nmero concreto. Tienden a
los trminos pares y tienden a los trminos impares. Por tanto, tampoco
tiene lmite, son oscilantes.
4 Monotona y acotacin de
11
n
n
+
El trmino general de esta sucesin es una expresin indeterminada del tipo 1 ,
luego no es evidente que sea convergente. Se trata de una sucesin de nmeros reales
positivos.
Comprobamos en primer lugar que la sucesin es creciente.
Por aplicacin de la frmula del binomio de Newton, tenemos
-
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5
2
2
1 1 1 11 ...
0 1 2
( 1) ( 1) ( 1) ( 1)1 1 ...
2! !
1 1 1 1 22 1 ... 1 1
2! !
n
n n
n
n n n na
nn n n n
n n n n n n n
n n n
n n n
= + = + + + + = +
= + + + + =
= + + +
11
n
n n
la expresin de an consta de n sumandos. El trmino siguiente se expresar as
1
1 1 1 1 2 12 1 ... 1 1 1
2! 1 ! 1 1 11 1 2
1 1 1( 1)! 1 1 1
n
na
n n n n n
n
n n n n
+
= + + + + + + + + + + + + +
Esta expresin consta de n+1 sumandos. Como los sumandos de an+1 son
mayores que sus correspondientes de an, salvo el primero que es igual, resulta
que
an < a
n+1 n
luego la sucesin an es creciente.
Vamos a comprobar ahora que la sucesin est acotada. Consideramos
para ello las siguientes expresiones:
1 1 1 1 22 1 1 1 ...
2! 3!1 1 2 1
1 1 1!
nan n n
n
n n n n
= + + + + +
1 1 12 ...
2! 3! !nb
n= + + + +
2 1
1 1 12 ...
2 2 2n n
progresion geometrica
c
= + + + +
Comparndolas trmino a trmino resulta que, a partir de n = 3, se verifica:
1
12 3
2n n n n
a b c
< < < =
-
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6
es decir, 2 3na< < ,
luego la sucesin an est acotada. Se puede asegurar, por tanto, que la sucesin
de trmino general 1
1
n
nan
= + es convergente, estando su lmite
comprendido entre 2 y 3. A este lmite se le designa con el nombre de nmero
e. Se trata de un nmero irracional cuyas diez primeras cifras decimales son:
e 27182818284
5 Se considera para cada nmero natural n la ecuacin:
6 2 13 5
2 2n x =
y se define para cada natural n el nmero na como la suma de las races
positivas de esta ecuacin. Se pide: encontrar el supremo, nfimo, mximo y
mnimo del conjunto formado por los nmeros reales na , es decir, el conjunto
{ }/na n
Solucin (Curso 03-04)
Para cada nmero natural n consideramos la ecuacin 6 213 5
2 2n x = . Las
races de esta ecuacin son los valores x que cumplen:
6 2 13 5
2 2n x = 6 2
13 5
2 2n x
=
Nota: En este paso aplico la definicin de valor absoluto. Si el valor absoluto
de A es 5/2 es porque A es 5/2 A es 5/2. Tambin podra haber elevado
al cuadrado y resolver la ecuacin pero me quedara de grado cuatro y habra
que realizar ms clculos.
-
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Fundamentos Matemticos I Ejercicios: Sucesiones numricas
7
Resolviendo 6 2 6 2 26 3
13 5 9 39
2 2n x n x x x
n n = = = =
Resolviendo 6 2 6 2 23 3
13 5 4 24
2 2n x n x x x
n n
= = = =
Para cada n la suma de las races positivas de la ecuacin 6 213 5
2 2n x = es
3 3
3 2
n n+ .
El conjunto para el que hay que calcular el supremo, nfimo, mximo y
mnimo es 3
5/A n
n
=
se cumple que el supremo es 5 y el nfimo es 0.
Como el supremo est en el conjunto (para n=1) se trata del mximo pero el
nfimo no es mnimo porque no es un elemento del conjunto A.
Clculo de lmites: Definicin
6 Demostrar, segn la definicin de lmite, que se verifica: 1
lim 0 , 1n ncon r
r = > . Qu
sucede si r < 1?
- Supongamos r>1. Segn la definicin de lmite, hay que encontrar la
expresin de n0 para cada 0 > , tal que 0
10
nsi n n
r < > .
1log
1 1 1 10 log log( )
log( )n
n nr n r n
rr r
< < < < 1, luego log (r) > 0. As pues, si
tomamos 0
1log
log( )n
r
= se cumple
10
nr <
-
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8
Si r < 1, ser log (r) < 0. Como es muy pequeo, verifica < 1, es
decir log( )< 0, luego 1
log log( )
= > 0.
Teniendo en cuenta que siempre es n > 0, nunca puede ser
1log log( )n r
< , puesto que n. log (r) ser siempre negativo, mientras
que 1
log
es positivo. Por lo tanto, si r < >
Observamos que
1 3 3 11 2 2
2 2
nn n
n n
+ < < < + basta tomar 01
2n E
= + para que se cumpla la definicin
de lmite.
-
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Fundamentos Matemticos I Ejercicios: Sucesiones numricas
9
Nota.- E(x) denota la parte entera de x.
(b) Calcularemos la diferencia 22 1
2( 1)( 2)
n
n n
+ + y la haremos menor que .
2
2 2 2
6( 1)2 1 6 5 6 52
( 1)( 2) 3 2 3 2 3 2
nn n n
n n n n n n n n
+ + = = +
Cualquiera que sea el valor de , tomando 06
2n E
= , se puede asegurar que
si n > n0 entonces
22 12
( 1)( 2)
n
n n
Entonces, cualquiera que sea el valor de , tomando 02
n E
= , se puede
asegurar que
si n > n0 entonces
3 3
2
(2 1) (2 1)8
3 1
n n
n
+
-
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Fundamentos Matemticos I Teora: Funciones una variable
13
(6) Si 0x entonces 1 logxa x a
(7) Si 0x entonces arcsenx x
(8) Si 0x entonces arctgx x
(9) Si 0x entonces ( )1 1ax ax+ +
(10) Si 0x entonces ( ) trmino de menor gradonP x
Definicin (Infinitos).- Llamaremos infinito para x tendiendo a ox a cualquier
funcin ( )x que tienda a infinito. Es decir, ( )x es un infinito para ox x= si ( )lim
ox x
x
=
OBSERVACION.- Todo lo visto anteriormente para infinitsimos puede aplicarse a
infinitos teniendo en cuenta que si ( )x es un infinito para ox x= entonces
( ) ( ) o1
es un infinitsimo para x=xxx
=
es un infinitsimo. En particular, la sustitucin de infinitos en la expresin de
un lmite se rige por las mismas reglas que las de los infinitsimos.
Definicin (Infinitos de orden inferior, superior).- Se dice que ( )x y ( )x dos infinitos para
ox x= se dice que:
( )x es un infinito de orden inferior a ( )x para ox x= si ( )( )
lim 0o
x x
x
x
=
( )x es un infinito de orden superior a ( )x para ox x= si
( )( )
limo
x x
x
x
=
-
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Teora: Funciones de una variable Ingeniera de Telecomunicacin
Fundamentos Matemticos I
14
( )x es un infinito del mismo orden que ( )x para ox x= si ( )( )
lim 0,o
x x
x
x
=
En el caso particular de que entonces se dice que son equivalentes.
Definicin (Infinito de orden p).- Decimos que un infinito ( )x para ox x= es de orden p si
( )
( )
lim 0,1ox x
p
o
x
x x
=
continuacin, se dan en la tabla los denominados rdenes fundamentales de
infinitud. Segn se avance de izquierda a derecha en las columnas los rdenes van
decreciendo.
Potencial -
Exponencial
Exponencial Potencial Logaritmo
0
axx
a >
1
xb
b >
0
cx
c > ( )log
1 0
p
qx
q p> >
APLICANDO POLINOMIOS DE TAYLOR
Sea ( )y f x= una funcin que es infinitsimo para x=a que tiene todas sus derivadas nulas hasta el orden k-1 en el punto a y que ( )( 0kf a , entonces se cumplir:
( ) ( )( ) ( )(
!
kk kf a
f x x a o x ak
= +
-
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15
de lo que se deduce que el orden del infinitsimo ( )y f x= para x=a es k y su parte
principal es ( )(!
kf a
k.
Estudio local de una funcin
Consideremos una funcin ( )y f x= con derivadas hasta el orden n+1 en el punto a. Se cumple que:
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )(
2''' ...
2! !
nn nf a f a
f x f a f a x a x a x a o x an
= + + + +
Supongamos que ( ) ( ) ( )( 1' '' ... 0nf a f a f a= = = = , entonces
Si n es par y ( )( 0nf a > entonces en el punto a la funcin tiene un mnimo local
Si n es par y ( )( 0nf a < entonces en el punto a la funcin tiene un mximo local
Si n es impar en el punto a hay un punto de inflexin.
SERIES DE POTENCIAS. SERIES DE TAYLOR
Una expresin de la forma
( ) ( ) ( )21 20
...n
o nn
a a x a a x a a x a
=
+ + + =
Recibe el nombre de serie de potencias centrada en el punto a. Una serie de
potencias puede ser interpretada como una funcin de x
-
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16
( ) ( )0
n
nn
f x a x a
=
=
Convergencia de una serie de potencias
El dominio de la funcin ( ) ( )0
n
nn
f x a x a
=
= ser el conjunto de valores de x
donde la serie converge y el valor de ( )f x ser precisamente la suma de la serie.
Nota: Es evidente que la serie converge en el punto a
( ) ( )0
n
n on
f a a a a a
=
= =
TEOREMA DE ABEL.
Se considera la serie ( )0
n
nn
a x a
=
. Entonces se cumple una y solo una de las afirmaciones siguientes:
(a) La serie converge solo en a
(b) Existe un nmero 0R > de forma que la serie converge en x a R < y no
converge en x a R >
(c) La serie converge para todo x
Puede decirse que la serie converge siempre en un intervalo de la forma
( ),a R a R + considerando que en el caso (a) el valor de R es cero y en el caso (c) el valor de R es infinito. Al nmero R se le llama radio de convergencia y al
intervalo ( ),a R a R + intervalo de convergencia. Es importante notar que el teorema no dice nada sobre la convergencia en los extremos de dicho intervalo.
-
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17
TEOREMA.
Si la funcin viene definida por una serie de potencias ( )0
n
nn
a x a
=
. Entonces se cumple una y solo una de las afirmaciones siguientes:
(a) La serie converge solo en a
(b) Existe un nmero 0R > de forma que la serie converge en x a R < y no
converge en x a R >
(c) La serie converge para todo x
TEOREMA.
Si la funcin f viene definida por una serie de potencias ( )0
n
nn
a x a
=
con radio de convergencia 0R > entonces
(a) f es continua en todo punto interior al intervalo de convergencia.
(b) f es derivable en el intervalo de convergencia y su derivada ( )'f x puede
obtenerse mediante la derivacin trmino a trmino: ( ) ( ) 11
'n
nn
f x na x a
=
= siendo el radio de convergencia de esta serie tambin R.
(c) f es integrable en el intervalo de convergencia y, adems, se puede integrar
trmino a trmino:
( ) ( ) ( ) 10 0 1
n nn
nn n
af x dx a x a dx x a k
n
+
= =
= = + +
siendo el radio de convergencia de esta serie tambin R.
-
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Desarrollo de una funcin en serie de potencias
Ahora analizamos el problema de encontrar el desarrollo en serie de potencias de una
funcin ( )f x analizando qu condiciones debe cumplir ( )f x para que pueda
encontrarse una serie de potencias ( )0
n
nn
a x a
=
que converja a ( )f x .
Recordemos ahora el Teorema de Taylor que permita expresar el valor de una
funcin mediante su polinomio de Taylor.
FRMULA DE TAYLOR: Si la funcin f es derivable n+1 veces en un intervalo
( ),a R a R + entonces
( ) ( ) ( );n nf x T f a R x= +
siendo ( ) ( )( )(
0
;!
kn
k
nk
f aT f a x a
k== el polinomio de Taylor de grado n de f
en el punto a y Rn el resto del polinomio que cumple:
( )( )
lim 0nnx a
R x
x a
=
Considerando la expresin de Lagrange del resto se tendr:
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ( 1
1
0 ! 1 !
k nn
k n
k
f a f cf x x a x a
k n
++
=
= + +
con c un punto intermedio entre a y x.
TEOREMA: Si la funcin f es infinitamente derivable en un intervalo I abierto
centrado en a y si ( )nR x es el resto de la frmula de Taylor entonces:
( ) ( )( ) ( )(
0
lim 0!
nn
nnn
f af x x a R x
n
=
= =
-
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La serie ( )( )
(
0 !
nn
n
f ax a
n
=
se llama Serie de Taylor de la funcin ( )f x .
Importante: Puede probarse que si existe una constante 0k > de forma que
( )(nf x k para todo 0n , x I
entonces
( ) ( )( )(
0 !
nn
n
f af x x a
n
=
=
Ejemplos: Teniendo en cuenta los ltimos resultados se pueden obtener los siguientes
desarrollos en serie de Taylor de algunas funciones elementales:
2
0
1 ...! 1! 2!
nx
n
x x xe x
n
=
= = + + +
-
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Teniendo en cuenta la dificultad de encontrar la derivada ensima para muchas
funciones y de probar que el resto ensimo tiende a cero cuando n tiende a infinito es
frecuente, para encontrar el desarrollo de una funcin en serie de potencias, utilizar
funciones de las que ya se conoce su desarrollo y luego integrar, derivar o realizar
operaciones algebraicas como se indican en el siguiente resultado:
Si ( )0
n
nn
f x a x
=
= y ( )0
n
nn
g x b x
=
= en ( ),R R entonces
( ) ( ) ( )0
n
n nn
f x g x a b x
=
= en ( ),R R
( )0
n n
nn
f kx a k x
=
= en ,R Rk k
( )0
k nk
nn
f x a x
=
= en ( ),k kR R siendo k>0
DERIVACIN IMPLCITA
Una ecuacin de la forma ( ), 0F x y = define a la variable y como funcin x ( ( )y f x= ) en un cierto dominio D si se verifica que para todo x en D existe un nico y de forma que ( ), 0F x y = .
Cuando, para este tipo de funciones no se pueda despejar la variable y
explcitamente en trminos de x , y se quiere obtener la derivada, dy
dx , se procede
de la siguiente forma:
1. Se deriva ambos miembros de la expresin con respecto a x,
aplicando la regla de la cadena sabiendo que y es funcin de
x , es decir, ( )y y x= .
-
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2. Se despeja la expresin dy
dx.
En general, el valor obtenido para dy
dx es
derivar la funcin F respecto a x considerando y como constante
derivar la funcin F respecto a considerando como constantedy
dx y x=
DERIVACIN PARAMTRICA
En algunas ocasiones la ecuacin de una curva no est dada en la forma ( )y f x= ( ), 0F x y = sino que est determinada por un par de ecuaciones en trminos de una
misma variable.
Por ejemplo, consideremos las ecuaciones 2 2
1
x t t
y t
= = + con t .
Se tiene que a cada valor de t le corresponde un punto (x,y) del plano. En el ejemplo
anterior, la siguiente tabla de valores:
t -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
x 24 15 8 3 0 -1 0 3 8 15
y -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
nos permite hacer la representacin grfica de la relacin de la siguiente manera:
-
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22
En general, las ecuaciones ( )( )
x g t
y h t
= = , con g, h funciones continuas en un intervalo
real I, reciben el nombre de ecuaciones paramtricas o representacin paramtrica de
una curva en el plano XY. La grfica de las ecuaciones paramtricas est dada por el
conjunto de puntos del plano XY, que se obtiene cuando t, que recibe el nombre de
parmetro, toma todos sus valores posibles en el dominio I.
TEOREMA: Sean ( ) ( ),g t h t funciones derivables en un intervalo (c, d). Supongamos que g tiene una inversa derivable en ese intervalo. Entonces en cada punto donde
( )' 0g t , las ecuaciones ( )( )x g t
y h t
= =implican que existe una funcin derivable f tal
que ( )y f x= , y adems
( )( )'
'
dyh tdy dt
dx dx g t
dt
= =
Nota: Si detectas algn error o errata ponte en contacto con la profesora para su
correccin.
-
EJERCICIOS RESUELTOS:
Funciones de una variable
Matemticas 11
Elena lvarez Siz
Dpto. Matemtica Aplicada y C. Computacin
Universidad de Cantabria
-
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Ejercicios: Funciones una variable Ingeniera de Telecomunicacin
Fundamentos Matemticos I
2
1 En el siguiente grfico se considera una funcin ( )y f x= . Representa la derivada en el
punto x, el incremento de ( )y f x= para un incremento de x, x , y la diferencial de
( )y f x= en x para x . Calcula estos dos valores para xy x= en el punto 2x = .
f(x+ x)-f(x)
x
x+ xx
f(x+ x)
f(x)
Solucin:
log logxx y x x y= =
Derivando implcitamente
( ) ( )'
log ' log 1 ' log 1xx y
x y y x y x xx y
+ = = + = +
Para x=2
( ) ( )2' 2 2 log2 1y = +
( )22 log2 1dy x= +
2 Deduce la derivada de la funcin y arcsenx=
Solucin:
Sea y arcsenx= entonces
-
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Fundamentos Matemticos I Ejercicios: Funciones una variable
3
seny x=
Derivando respecto a x:
( )2 2
1 1 1cos ' 1 '
cos 1 1y y y
y sen y x= = = =
3 Hallar la derivada ensima de ( ) ( ) ( )2 cos 2f x sen x x= en x=0 (utilizar frmula del seno del
ngulo doble)
Solucin:
Teniendo en cuenta que: ( ) ( ) ( ) ( )1
2 cos 2 42
f x sen x x sen x= = se tiene:
( ) ( )' 2 cos 4f x x=
( ) ( )'' 2 4 4f x sen x=
( ) ( )2''' 2 4 cos 4f x x=
( ) ( )32 4 4ivf x sen x=
Luego, para todo 1n
( ) ( ) ( )(2 2 11 2 4 4nn nf x sen x=
( ) ( ) ( )1(2 1 2 21 2 4 cos 4
nn nf x x+ =
Otra forma: Teniendo en cuenta que:
( )cos2
senpi
= +
se tiene que:
( ) ( )' 2 cos 4 2 42
f x x sen xpi = = +
( )'' 2 4 cos 4 2 4 42 2 2
f x x sen xpi pi pi = + = + +
( ) 2 2''' 2 4 cos 4 2 2 4 4 32 2
f x x sen xpi pi = + = +
-
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4
-
Frmula que se demuestra por induccin sobre n.
4 Se considera la ecuacin: 2
2 3
24 6
d y dyx x y x
dxdx + =
y se realiza el cambio tx e= . Escribir la ecuacin despus de haber realizado el cambio
considerando la variable y dependiente de t .
Solucin:
Se tiene el siguiente rbol de dependencia:
y-----x-----t
Aplicando la regla de la cadena:
tdy dy dx dy dyedt dx dt dx dt
= = (1)
Aplicando nuevamente la regla de la cadena derivando respecto de x sabiendo
que
x-----t
2 2
2 2
log1 t
t t t t
t xdt
edx x
d y d dy d dy dt dy d ye e e e
dx dx dt dt dx dtdx d t
=
= =
= = = + (2)
Sustituyendo en la ecuacin dada:
-
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Fundamentos Matemticos I Ejercicios: Funciones una variable
5
2
2 2 2 3
24 6t t t t t t
dy d y dye e e e e y e
dt dtd t
+ + =
2
3
24 6 t
dy d y dyy e
dt dtd t
+ + =
2
3
25 6 t
d y dyy e
dtd t + =
5 Sea ( ) ( )g x f senx= , sabiendo que ( )' 0 0f = calcular ( )'g pi . Comprueba adems el
resultado obtenido para una funcin f concreta.
Solucin:
Aplicando la regla de la cadena,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )' ' cos ' ' cos ' 0 1 0g x f senx x g f sen fpi pi pi= = = =
Por ejemplo, podemos considerar ( ) ( ) ( ) ( )22f x x g x f senx senx= = =
Se tendra para este ejemplo ( ) ( )( ) ( )' 2 cos ' 2 cos 0g x senx x g senpi pi pi= = =
6 Dada la curva 2 2 2 6 6 0x y x y+ + + = , se pide representarla y calcular la recta tangente y
normal a dicha curva en el punto P( )2, 3 3 + .
Solucin:
Completando cuadrados
( ) ( )22 22 2 22 6 6 2 6 1 1 66 3 9x y x y x yx y yx++ + + = + + = + ++
Se tiene que
-
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Fundamentos Matemticos I
6
( ) ( )2 22 2 2 6 6 0 1 3 4x y x y x y+ + + = + + =
luego la curva es una circunferencia centrada en el punto (1, -3) y de radio 2.
Para calcular la pendiente de la recta tangente calculamos la derivada en el
punto P. Derivando implcitamente:
2 22 2 ' 2 6 ' 0 '
2 6
xx yy y y
y
+ + = =
+
en el punto P
( )2 2 2 1
'2 3 3 6 3
Py
= = + +
la ecuacin de la recta tangente es:
( ) ( )13 3 23
y x= +
y la de la recta normal
( ) ( )3 3 3 2y x= + +
-3 -2 -1 1 2 3
-5
-4
-3
-2
-1
1
x
y
P
recta tangenterecta normal
-
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Fundamentos Matemticos I Ejercicios: Funciones una variable
7
7 Un punto P se mueve sobre la parbola 2x y= situada en el primer cuadrante de forma
que su coordenada x est aumentando a razn de 5 cm/seg. Calcular la velocidad a la que
el punto P se aleja del origen cuando x=9.
Solucin:
Se trata de un problema de razn de cambio relacionadas. La funcin
distancia de un punto situado en las coordenadas (x, y) al origen es:
( ) ( ) ( )2 2d t x t y t= +
Si el punto (x, y) est en la parbola 2x y= ser:
( ) ( ) ( )2d t x t x t= +
-
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Ejercicios: Funciones una variable Ingeniera de Telecomunicacin
Fundamentos Matemticos I
8
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
x=y2
y(t)
x(t)
d(t)
La velocidad a la que se aleja del origen aplicando la regla de la cadena es:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )1/2
21' 2 ' '2
d t x t x t x t x t x t
= + +
En el instante en que x=9 y teniendo en cuenta que ( )' 5 /x t cm seg= se
concluye que la velocidad a la que el punto P se aleja del origen es:
( ) ( )1/2
21 95 959 9 2 9 5 52 2 90 6 10
+ + = =
8 Determina el punto de corte de la recta tangente a la grfica de ( ) logxf x x= en el punto x=e
con el eje X.
-
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Fundamentos Matemticos I Ejercicios: Funciones una variable
9
Utilizando la regla de la cadena (derivacin logartmica)
( ) ( ) ( )( )( )
2log' 2 log
log log logxf x x
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