modulo 4 est fallas-d

ESTADÍSTICA APLICADA EN

CONFIABILIDAD

• CONFIABILIDAD BASICA• FIABILIDAD EN SISTEMAS• DIAGRAMA DE PARETO• DISTRIBUCION BINOMIAL• DISTRIBUCION DE POISSON• DISTRIBUCION DE WEIBULL

CONTENIDO

CONFIABILIDAD BASICA

COMPONENTE, EQUIPO, SISTEMA

COMPONENTEDEFINIDO COMO LA PARTE PEQUEÑA DE UN ENSAMBLE. EJEMPLOS: UN RESORTE, UN TORNILLO, UN PIÑON, UNA BALINERA, ETC.

EQUIPODEFINIDO COMO UN CONJUNTO DE COMPONENTES INTEGRADOS EN UNA FUNCION PREVIAMENTE DEFINIDA. EJEMPLOS : BOMBAS, MOTORES, LICUADORAS, ETC.

SISTEMADEFINIDO COMO UN CONJUNTO EQUIPOS QUE EN SU INTEGRIDAD PRESTA UN A FUNCION ESPECIFICA. EJEMPLO: FUNCION DE BOMBEO( MOTOR + BOMBA), ETC.

MEGAPROCESOS

MACROPROCESO

PROCESOS

SUBPROCESOS

PROCEDIMIENTOS

TAREAS

ACTIVIDADES

PROCESOS CENTRALES

ESTRUCTURA DE PROCESOS

PROCEDIMIENTO (Es la forma y secuencia como se deben realizar

un conjunto de tareas)

TAREAS (Es el conjunto de actividades que constituyen un

trabajo u oficio)

ACTIVIDADES (Acciones de transformación que la

persona realiza)

ESTRUCTURA DE PROCESOS

FIABILIDAD DE SISTEMAS

CI C2

C1

C3

C2

Sistemas en serie

Sistemas en paralelo

))(),...,(()( 1)( tRtRtR k

s ψ=

∏=

=k

ii tR

1

)(

∏=

−−=k

ii

p tRtR1

)( ))(1(1)(

Sistemas en serie

FIABILIDAD DE SISTEMAS

Sistemas en paralelo

COMPONENTE, EQUIPO, SISTEMA

PARA ENCONTRAR LA CONFIABILIDAD DE UN SISTEMA (Rs ),EN SERIE, SE HACE NECESARIO ENCONTRAR EL PRODUCTO DE LAS CONFIABILIDADES INDIVIDUALES DE SUS COMPONENTES.

R1 = CONFIABILIDAD DEL COMPONENTE 1R2 = CONFIABILIDAD DEL COMPONENTE 2Rn = CONFIABILIDAD DEL COMPONENTE

Rs = R1 X R2 X R3 X........................Rn

MEDICION DE LA CONFIABILIDAD

EJEMPLO No3: Nels Electric, COLORADO, PRODUCE UN SWITHC REVELADOR ELECTRICO, QUE TIENE TRES COMPONENTES DISPUESTOS EN SERIE:

0,90 0,80 0,99

R1 R2 R3

Rs

Rs = 0,90 x 0,80 x 0,99 = 0,713 ( 71% )

EJEMPLO 1:Una tarjeta de computadora tiene 200 componentes que deben funcionar en forma correcta. La confiabilidad de cada componente, para un periodo de 200 hr de funcionamiento, es R=0.9999.

¿Cual es la confiabilidad de la tarjeta para este intervalo?

FIABILIDAD DE SISTEMAS

9802.0)9999.0()( 200)( ==os

sis tR

to = 200 hr

• ¿Que pasaría si cada uno de los componentes tuviera una confiabilidad de 0.99?

134.0)99.0()( 200)( ==os

sis tR

FIABILIDAD DE SISTEMAS

C1

C4

C5

C3

C2

M1

M2

RM1 = R1 .R2

FIABILIDAD DE SISTEMAS

RM2 = R3 (1-(1- R4)(1- R5)) R3= R3(R4+ R5 - R4R5)= R3R4+ R3R5 - R3R4R5

EJEMPLO 2

• Por ultimo la confiabilidad del sistema esRSIS = 1-(1-RM1)(1-RM2)

FIABILIDAD DE SISTEMAS

M1

M2

0,95 0,95 0,95R1 R2 R3

0,95

R4

Rs = 0,95 x 0,95 x 0,95 x 0,95 = 081450625

R1=0,95

R1=0,95

R1=0,95

R1=0,95

( )( )( )( )RRRRR S 4321 11111 −−−−−=

Rs = 1- (0,05 x 0,05 x 0,05 x 0,05) =0,9999935

EJEMPLO COMPARATIVO (serie y paralelo)

SISTEMA EN SERIE

SISTEMA EN PARARLELO

EJEMPLO N2: CALCULO DE CONFIABILIDAD DE UN SISTEMA

RM1= R1 x R2x R3 =0,99 x 0,99 x 0,99=0,970299

RM2= ( 1- (1-R5)(1-R6)(1-R7))

RM2= ( 1- (1-0,75)(1-0,75)(1-0,75)) =

RM2= (1-(0,25)(0,25)(0,25))= 0,984375

RM3= (R4 x RM2 x R8)= 0.99 x 0,984375 x 0,99

RM3= 0,964785

0,99

0,99

0,99 0,99

0,75

0,75

0,75

0,99

1 2 3

47

8

M1

M2 M3

SUBSISTEMA M1

SUBSISTEMA M2

SUBSISTEMA M3M1

0,99

0,970299

0,9843

0,75

0,99

1

4

5

6

7M2

2

0,970299

0,964785

1 2 3

5

6

78

M34 8

M1

M3

SISTEMA TOTAL (S)

R (S) = (1 – (1-RM1)(1-RM3)) =

R (S) = (1 - (1-0,970299)(1-0,964785)) =0,99895QUIZ No1

SISTEMA DE RESERVA (STANBY)

C1

C2

ES UN SISTEMA QUE ESTA EN ESTADO DESACTIVADO Y EN PARALELO CON UN SISTEMA EN OPERACIÓN, EN ESPERA DE ENTRAR EN SERVICIO UNA VEZ QUE EL SISTEMA BASICO OPERATIVO FALLE.

( )( )( )l

t

S RRR .

2121

21

1 1 λλλλλ

−−

−+

−=

( )l

tt

tR λλ += 1

PARA TASAS DE FALLA DIFERENTES

PARA TASAS DE FALLA IGUALES

OPERANDO

RESERVA

SISTEMA DE RESERVA (STANBY)

EL CIRCUITO DE AGUA DE ALIMENTACION DE UNA CALDERA DE VAPOR DISPONE, PARA UNA MAYOR SEGURIDAD, DE DOS BOMBAS CENTRIFUGAS EN PARALELO, DE LAS CUALES UNA ESTARÁ EN FUNCIONAMIENTO Y LA OTRA EN RESERVA ( TASA DE FALLAS = 0,1 FALLOS/AÑO). LA CONMUTACION DE UNA A OTRA SE HARA EN FORMA MANUAL O AUTOMATICA, RALIZANDOSE CON UN PULSADOR EN EL PANEL DE CONTROL DE LA CALDERA. SE ASUME QUE LA MANIOBRA DE CONMUTACION ES INSTANTANEA Y SIN FALLOS. ¿DETERMINAR LA FIABILIDAD DURANTE DOS AÑOS?.

PARA TASAS DE FALLA IGUALES

P1

P2

OPERANDO

RESERVA

( ) ( ) 2,121,01 2,021,0

2 xxxxR ll−− =+=

9824,02,181873,02 == xR

Y SI SE SUPONE QUE LA CONMUTACION PUEDE FALLAR Y QUE SU FIABILIDAD ES DE 0,002, LA SOLUCION SERIA

( )txt

tR λλ += 1l

( ) ( ) 0004,121,0001,01 2,021,0

2 xxxxxR ll−− =+=

8190,00004,181873,02 == xR

Ya que por lo general, el 80% de los resultados totales se originan en el 20% de los elementos.

DIAGRAMA DE PARETO

Principio de Pareto (pocos vitales, muchos triviales)

Detectar los problemas que tienen más relevancia

Ejemplo de Minorías vitales:– La minoría de clientes que representen

la mayoría de las ventas. – La minoría de problemas causantes del

grueso del retraso de un proceso. – La minoría de personas que controlan la

mayoría de dinero en un país.

DIAGRAMA DE PARETO

• Es una gráfica donde se organizan diversas clasificaciones de datos por orden descendente, de izquierda a derecha por medio de barras sencillas después de haber reunido los datos para calificar las causas, de modo que se pueda asignar un orden de prioridades.

DIAGRAMA DE PARETO

• El Dr. Juran aplicó este concepto a la calidad, obteniéndose lo que hoy se conoce como la regla 80/20.

• Según este concepto, si se tiene un problema con muchas causas, podemos decir que el 20% de las causas resuelven el 80% del problema y el 80% de las causas solo resuelven el 20% del problema.

DIAGRAMA DE PARETO

• Para analizar las causas • Para estudiar los resultados • Para planear una mejora continua • Las Gráficas de Pareto son especialmente

valiosas como fotos de “antes y después”para demostrar qué progreso se ha logrado.

Para que se utiliza:

DIAGRAMA DE PARETO

• Determinar los datos a reunir (diseño de la investigación).• Recoger los datos.• Organización de los datos (tablas de frecuencia, graficas,

etc.)• Calcular índices que permitan resumir los datos

recolectados.• Analizar y evaluar la información.• Tomar de decisiones.• Controlar los cambios realizados.

Pasos para llevar a cabo este diagrama:

DIAGRAMA DE PARETO

• Un fabricante de heladeras desea analizar cuales son los defectos más frecuentes que aparecen en las unidades al salir de la línea de producción.

Ejemplo:

DIAGRAMA DE PARETO

88 Total:

4Rayas en las superficies externasRayas

2La puerta no cierra correctamentePuerta no cierra

0Puerta de refrigerador no cierra herméticamentePuerta Def.

0Otros Defectos no incluídos en los anterioresOtros

2Al enchufar no arranca el motorNo funciona

27El motor arranca pero la heladera no enfríaNo enfría

36No para el motor cuando alcanza TemperaturaMotor no detiene

1El motor no arranca después de ciclo de paradaMotor no arranca

1La heladera se balancea y no se puede nivelarMala Nivelación

1Gavetas interiores con rajadurasGavetas Def.

5Defectos de pintura en superficies externasPintura Def.

9Burlete roto o deforme que no ajustaBurlete Def.

Frec. Causa de la fallaModo de falla

DIAGRAMA DE PARETO

88 Total:

880Otros Defectos no incluidos en los anterioresOtros

880Puerta de refrigerador no cierra herméticamentePuerta Def.

881El motor no arranca después de ciclo de paradaMotor no arranca

871La heladera se balancea y no se puede nivelarMala Nivelación

861Gavetas interiores con rajadurasGavetas Def.

852La puerta no cierra correctamentePuerta no cierra

832Al enchufar no arranca el motorNo funciona

814Rayas en las superficies externasRayas

775Defectos de pintura en superficies externasPintura Def.

729Burlete roto o deforme que no ajustaBurlete Def.

6327El motor arranca pero la heladera no enfríaNo enfría

3636No para el motor cuando alcanza TemperaturaMotor no detiene

Frec acum.Frec. Detalle del Problema Tipo de Defecto

DIAGRAMA DE PARETO

DIAGRAMA DE PARETO

PARA CREAR UN MODELO MATEMÁTICO PARA LA PROBABILIDAD DE FALLO, CONSIDERAMOS EL FUNCIONAMIENTO DE UN DETERMINADO ELEMENTO EN EL MEDIO PARA ÉL ESPECIFICADO. DEFINIMOS LA VARIABLE ALEATORIA COMO EL TIEMPO DURANTE EL QUE EL ELEMENTO FUNCIONA SATISFACTORIAMENTE ANTES DE QUE SE PRODUZCA UN FALLO.

LA PROBABILIDAD DE QUE EL ELEMENTO PROPORCIONE UNOS RESULTADOS SATISFACTORIOS EN EL MOMENTO T SE PUEDE DEFINIR COMO FIABILIDAD. LA DESIGNAMOS R (T)

MEDICION DE LA CONFIABILIDAD

DE UNA FORMA PRÁCTICA SI DESIGNAMOS:

NS (T) = Nº DE ELEMENTOS EN FUNCIONAMIENTO EN EL INSTANTE T

N (0) = Nº DE ELEMENTOS EN FUNCIONAMIENTO AL PRINCIPIO

NF (T) = Nº DE ELEMENTOS AVERIADOS HASTA EL MOMENTO T

SE CUMPLIRÁ:

N (0) = NF (T) + NS (T)

MEDICION DE LA CONFIABILIDAD

MEDICION DE LA CONFIABILIDAD

LA FIABILIDAD R (T) ESTÁ RELACIONADA CON LA FUNCIÓN INVERSA LLAMADA INFIABILIDAD Q (T) QUE ES SU PROBABILIDAD CONTRARIA O SEA LA PROBABILIDAD DE QUE OCURRA UN FALLO ANTES DEL INSTANTE T.

POR LO TANTO LA INFIABILIDAD VALDRÁ:

CUMPLIÉNDOSE QUE: la no confiabilidad Q(T)Q (T) = 1 - R (T) (4)

( ) l mt

tR −=

MEDICION DE LA CONFIABILIDAD

( ) l mt

tR −=

( ) l mt

tR −=

[ ] ( )RQ tt−=1

MEDICION DE LA CONFIABILIDAD

FALLA: ES EL CAMBIO EN UN PRODUCTO O SISTEMA DESDE UNA CONDICION SATISFACTORIA ( ESTANDAR ) DE TABRAJO, A UNA CONDICION DE TRABAJO POR DEBAJO DEL ESTANDAR.

LA UNIDAD BASICA DE MEDIDA PARA CONFIABILIDAD ES LA TASA DE FALLA DEL PRODUCTO (FR) . LA TASA DE FALLA MIDE EL PORCENTAJE DE FALLAS ENTRE EL NUMERO TOTAL DE PRODUCTOS PROBADOS, O DE UN NUMERO DE FALLAS DURANTE UN PERIDO DE TIEMPO, ( FR (N) ).

FR (%) = NUMERO DE FALLAS / NUMERO DE UNIDADES PROBADAS

FR (N ) = NUMERO DE FALLAS / UNIDADES DE TIEMPO DE OPERACION

QUIZAS EL TERMINO MAS COMUN EN EL ANALISIS DE CONFIABILIDAD ES EL TIEMPÓ PROMEDIO DE FALLA ( MTBF) QUE ES EL RECIPROCO DE FR(N).

MTBF = 1 / FR (N)λ=)( NFR

MEDICION DE LA CONFIABILIDAD

EJEMPLO No2: VEINTE SISTEMAS DE AIRE ACONDICIONADOS, QUE SERAN UTILIZADOS POR ASTRONAUTAS DE LA NASA EN LOS TRANSBORDADORES, FUERON OPERADOS DURANTE 1000 HORAS, EN LAS INSTALACIONES DE PRUEBA DE LA NASA EN HUNTSVILLE, ALABAMA. DOS DE LOS SISTEMAS FALLARON DURANTE LA PRUEBA, UNO DESPUES DE LAS 200 HORAS Y EL OTRO DESPUES DE LAS 600 HORAS. 1. CUAL ES EL PORCENTAJE DE FALLAS?. 2.CUAL ES EL NUMERO DE FALLAS POR TIEMPO DE OPERACIÓN? 3. CALCULE EL TIEMPO PROMEDIO DE FALLAS?

1.FRECUENCIA DE FALLA FR(%) = NUMERO DE FALLAS/ No UNIDADES PROBADAS DE DONDE FR( % ) = 2/20 = 0,10 O 10 %

2. No FALLAS POR HORA DE OPERACIÓN:

FR( N) = NUMERO DE FALLAS/TIEMPO DE OPERACIÓN DE DONDE FR( N ) = 2 / TIEMPO TOTAL OPERACIÓN - TIEMPO PERDIDO REMPLAZANDO FR ( N) = 2/ (1000x 20) – [( 800 hrs . 1 falla) + (400 hrs. 2 falla)]

RESULTADO FR ( N ) = 2 fallas/ 18800 hrs = 0,000106 UNIDADES HORA

POR OTRA PARTE : MTBF = 1 / FR(N) = 1/ 0,000106 = 9434 hrs

MEDICION DE LA CONFIABILIDAD

EJEMPLO2: VEINTE SISTEMAS DE AIRE ACONDICIONADOS, QUE SERAN UTILIZADOS POR ASTRONAUTAS DE LA NASA EN LOS TRANSBORDADORES, FUERON OPERADOS DURANTE 1000 HORAS, EN LAS INSTALACIONES DE PRUEBA DE LA NASA EN HUNTSVILLE, ALABAMA. DOS DE LOS SISTEMAS FALLARON DURANTE LA PRUEBA, UNO DESPUES DE LAS 200 HORAS Y EL OTRO DESPUES DE LAS 600 HORAS.

3. SI EL VIAJE TIPICO DEL TRASBORDADOR DURA 60 DIAS , LA NASA ESTA INTERESADA EN CONOCER CUAL ES LA TASA DE FALLA POR VIAJE?:

TASA DE FALLA = ( No.FALLAS/HORA) X (UNIDADES) X ( TOTAL HORAS DE OPERACIÓN

TASA DE FALLAS = ( 0,000106 ) ( 24 hrs / dia X 60 dias / viaje)

TASA DE FALLAS = 0,000106 x 24 x 60

TASA DE FALLAS = 0,152 FALLAS POR VIAJE

CONFIABILIDAD BASICA

∫=

=

−t

odtt

etR

tRtft

).()(

)()()(

λ

λ

TASA INSTANTÁNEA DE FALLA

λ(t) es la frecuencia con que se presentan los fallos en los componentes, expresada en fallos/hora.

La inversa de λ(t), 1/λ(t) (horas/fallo) es el denominado MTBF (Mean Time Between Failures, Tiempo Medio Entre Fallos).

Falla

1

Falla

2

MTTFMTTF: MEAN TIME TO FAILURE

MTTRMTTF: MEAN

TIME TO REPAIR

MTBFMTTF: MEAN TIME BETWEEN FAILURE

ESTRUCTURA DE TIEMPOS DE FALLA

SI LA RATA DE FALLA DE UN COMPONENTE ES UNA CADA 10 AÑOS O

años101

=λ

λ1

=MTBF

años

MTBF

1011

=

añosMTBF 10=

¿QUÉ ES MTBF

EJEMPLO1 EJEMPLO2

1 0,1 100,00 10,00 90,002 0,1 90,00 9,00 81,003 0,1 81,00 8,10 72,904 0,1 72,90 7,29 65,615 0,1 65,61 6,56 59,056 0,1 59,05 5,90 53,147 0,1 53,14 5,31 47,838 0,1 47,83 4,78 43,059 0,1 43,05 4,30 38,74

10 0,1 38,74 3,87 34,8761,26%Habran fallado

ITEMS RESTANTES

AÑOS RATA DE FALLAS

ITEMS NO FALLADOS

ITEMS FALLADOSλ

DISTRIBUCION EXPONENCIAL DE FALLAS¿ si hay una población de 100 lámparas con rata de fallas de 1/10 años, cuantas habrán fallado cuando regrese a los 10 años.?

En la práctica esto significa que, poniendo en funcionamiento 100 lámparas del mismo tipo, cuando hayan pasado un número de horas t = m = MTBF funcionarán aproximadamente 38, habiendo fallado los 62 restantes

0010

20

30

40

50

60

70

80

90

100

01 03 05 07 09 11 13 15 17 19 21 23MTBF (EN TERMINOS DE WEIBULL )

38%

DISTRIBUCION EXPONENCIAL DE FALLAS

AÑOS

LAM

PAR

AS

η

En la práctica esto significa que, poniendo en funcionamiento 100 lámparas del mismo tipo, cuando hayan pasado un número de horas t = m = MTBF funcionarán aproximadamente 38, habiendo fallado los 62 restantes

1 720 -1 36 (1/36) -0,0278 0,9726046,94 5000 -6,94 36 (6,94/36) -0,1928 0,824665120 10 -120 36 (120/36) -3,3333 0,035674

36 3 -36 36 -1 0,367879

MTBFMESES (por -1)

DATOS DEL EJENPLO

MESES

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

MTBFt

l⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

MTBFt

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

MTBFt

¿CALCULAR LA CONFIABILIDAD ( R ), PARA LOS TIEMPOS INDICADOS EN LA TABLA, TENIENDO EN CUENTA QUE MTBF DE LA BOMBA ES DE 36 MESES?

SOLUCIONTABLA DE DATOS

?10 AÑOS

?5000 HORAS

?1 MES

¿R?TIEMPO DE

OPERACION

EJERCICIO No. 1 : CONFIABILIDAD

0,00100,00110,00120,00140,00150,00170,00180,00200,00220,00256

0,00270,00300,00330,00370,00450,00450,00500,00550,00610,00675

0,00740,00820,00910,01010,01110,01230,01300,01500,01660,01834

0,20200,02240,02470,02730,32020,03340,03690,04080,04500,04983

0,55000,06080,06720,07430,08210,09070,10030,11080,12250,13532

0,14960,16530,18270,20190,22310,24660,27250,30120,33290,36791

0,090,080,070,060,050,040,030,020,010,00x/m

0,37160,37530,37910,38290,38670,39060,39460,39850,40250,44660,9

0,41070,41480,41900,42320,42740,43170,43600,44040,44490,44930,8

0,45380,45840,46300,46770,47240,47710,48190,48680,49160,49660,7

0,50160,50660,51170,51690,52200,52730,53260,53790,54340,54880,6

0,55430,55990,56550,57120,57690,58270,58860,59450,60050,60650,5

0,61260,61880,62500,63130,63760,64400,65050,65700,66370,67030,4

0,67710,68390,69070,69770,74470,71160,71890,72610,73340,74080,3

0,74830,77580,76340,77110,77880,78660,79450,80250,81060,81870,2

0,82700,85530,84370,85210,86070,86940,87810,88600,89580,90480,1

0,91390,92310,93240,94180,95120,96080,97040,98020,99001,00000,0

0,090,080,070,060,050,040,030,020,010,00x/m

TABLA EXPONENCIAL

1. TASA DE FALLOS ANUAL PARA DICHAS VÁLVULAS. 2. QUÉ PROBABILIDAD TIENE UNA VÁLVULA DE FALLAR ANTES DE

ALCANZAR UN TIEMPO DE FUNCIONAMIENTO DE 4 MESES. 3. CUÁL SERÁ LA PROBABILIDAD DE QUE LA UNA VÁLVULA ESTÉ

EN FUNCIONAMIENTO AL CABO DE 6 MESES. 4. CUÁL SERÁ LA PROBABILIDAD DE QUE EL TIEMPO DE VIDA

ESTÉ COMPRENDIDO ENTRE 4 Y 6 MESES. 5. DETERMINAR UN INTERVALO DE VIDA CON UN NIVEL DE

CONFIANZA (CENTRADO) DEL 90 %.

EJEMPLO PRÁCTICO

DURANTE EL PROGRAMA DE MANTENIMIENTO ANUAL QUE REALIZA UNA EMPRESA SE HAN RECOGIDO LOS DATOS DE FALLOS DE UN CONJUNTO DE 50 VÁLVULAS MECÁNICAS HABIENDO FALLADO 2 DE ELLAS. PARA REPROGRAMAR EL PROGRAMA DE MANTENIMIENTO PREVENTIVO QUE SE LLEVA ACTUALMENTE EN LA EMPRESA SE DESEA SABER:

SOLUCION EJEMPLO PRÁCTICO

1. LA TASA DE FALLOS SERÁ LA RELACIÓN ENTRE EL NÚMERO DE VÁLVULAS FALLADAS Y EL NÚMERO TOTAL DE VÁLVULAS EN FUNCIONAMIENTO:

Q(t)= 1 - exp ( - λt)λ= 4. 10-2t = 4 meses - expresado en años = 1/3 añoLuego, para t = 1/3, se tendrá:Q (t) = 1 - exp (- 4.10 -2 . 1/3) = 1 - 0,986886 = 0,013114

2. LA PROBABILIDAD DE QUE UNA VÁLVULA FALLE ANTES DE UN NÚMERO DETERMINADO DE MESES VIENE EXPRESADO POR LA INFIABILIDAD Q (T):

2. LA PROBABILIDAD DE QUE UNA VÁLVULA FALLE ANTES DE UN NÚMERO DETERMINADO DE MESES VIENE EXPRESADO POR LA INFIABILIDAD Q (T):

R (T) = EXP (-λT) = EXP (- 4. 10-2 . 1/2) = EXP (- 0,002) = 0,998

ESTO QUIERE DECIR QUE EXISTE UNA PROBABILIDAD DEL 99,80 % DE QUE UNA VÁLVULA NO SE AVERÍE ANTES DE LOS SEIS MESES.

SOLUCION EJEMPLO PRÁCTICO

3. LA PROBABILIDAD DE QUE NO SE HAYA PRODUCIDO EL FALLO ANTES DE LOS 6 MESES SERÁ LA FIABILIDAD PARA ESE TIEMPO, QUE RESULTARÁ:

4. LA PROBABILIDAD DE QUE EL TIEMPO DE VIDA ESTÉCOMPRENDIDO ENTRE 4 Y 6 MESES SERÁ LA DIFERENCIA ENTRE LA PROBABILIDAD DE QUE FALLE ANTES DE LOS 6 MESES Y LA DE QUE FALLE ANTES DE LOS 4 MESES; MATEMÁTICAMENTE SERÁ LA DIFERENCIA ENTRE LAS INFIABILIDADES DE AMBOS PERIODOS DE TIEMPO SEA:

Pr = Q (1/2) - Q (1/3) =

=[1 - exp (- 1/2)] - [1 - exp (- 1/3)] =

=exp (- 1/3) - exp (-1/2) =

= 0,7165-0,6065= (11 %)

SOLUCION EJEMPLO PRÁCTICO

LUEGO, DEBE VERIFICARSE QUE LOS VALORES DE LA INFIABILIDAD PARA LOS MOMENTOS T1, Y T 2 SERÁN RESPECTIVAMENTE:

Q (T1) = 0,05

Q (T2) = 0,95

5. SUSTITUYENDO LAS EXPRESIONES ANTERIORES POR SUS RESPECTIVOS VALORES TENDREMOS:1 - EXP (- T1) = 0,05

1 - EXP (-T2) = 0,95

DESPEJANDO:EXP (- T1) = 0,95

EXP (- T2) = 0,05

INVIRTIENDO:EXP (T1) = 1,06 DE DONDE T1 = 0,05826 AÑOS

EXP (T2) = 20 DE DONDE T2 = 2,9957 AÑOS

Luego, para un nivel de confianza del 90 %, la vida de la válvula estará comprendida entre 0,05826 y 2,9957 años.

SOLUCION EJEMPLO PRÁCTICO

DISTRIBUCION DE WEIBULL

EL ANÁLISIS DEL WEIBULL DE DATOS DE FALLA ES UNA HERAMIENTA IMPORTANTE DE LA CONFIABILIDAD. LA DISTRIBUCIÓN DEL WEIBULL FUE INVENTADA POR WALODDI WEIBULL EN LOSAÑOS 1930. ES EL MODELO ESTADÍSTICO MÁS POPULAR PARA LOS DATOS DE VIDA DE UN EQUIPO.

DISTRIBUCION DE WEIBULL

WEIBULL TIENE LA VENTAJA DE USAR LOS TAMAÑOS DE LA MUESTRA MUY PEQUEÑOS PARA HACER JUICIOS RAZONABLE DE CONDUCTA FUTURA DE VIDA DE LOS EQUIPOS

Zona 1 Zona 2 Zona 3

Gamma 2Gamma 1 Gamma 3

Beta < 1 Beta = 1 Beta > 1

Eta =1 Eta =2 Eta =3

Los parámetros de weibull pueden describir cualquier comportamiento de falla durante el ciclo de vida de un equipo, usando las tres zonas de la curva de la bañera.

LAS CURVAS DE WEIBULL

La Distribución Weibull de Tres parámetros

= Parámetro escalar.

= Parámetro de forma.

= Parámetro de posición.

γ

DISTRIBUCION DE WEIBULL

ηβ

γ

ETA

BETA

GAMMA

GAMMA DESCRIBE EL PUNTO A QUE LA CURVA DE WEIBULL CAMBIA DE FORMA.

η ETA, LA CARACTERÍSTICA DE VIDA, O EL PUNTO A QUE 63,2% DE LOS ITEMS PROBABLEMENTE HABRÁN FALLADO CON EL MISMO MODO DE FALLA.

BETA, ES LA CUESTA DE LA CURVA O LA CARACTERÍSTICA DE LA FORMA DE LA CURVA DE FALLAS. LA BETA SE USA PARA AYUDAR ADETERMINAR QUÉ CLASE DE ACTIVIDADES DE MANTENIMIENTO SE DESTINA PARA UN MODO DE FALLA DADO.

βγ

PARAMETROS DE LA DISTRIBUCION DE WEIBULL

Efectos CaracterEfectos Caracteríísticos del Parsticos del Paráámetro de Formametro de Forma

DISTRIBUCION DE WEIBULL

Se puede ver que la forma de la función de densidad puede tomar una variedad de formas basadas en el valor de

.

Efectos CaracterEfectos Caracteríísticos del Parsticos del Paráámetro demetro deEscalaEscala

DISTRIBUCION DE WEIBULL

Efectos CaracterEfectos Caracteríísticos del Parsticos del Paráámetro demetro dePosiciPosicióónn

DISTRIBUCION DE WEIBULL

El valor r(t), en el tiempo t, es la razón de falla instantánea de los componentes que aun existen en el periodo t

La ecuación para la función de densidad Weibull acumulativa de tres parámetros, es dada por

DISTRIBUCION DE WEIBULL

CUAL ES LA CONFIABILIDAD DE UN VENTILADOR PARA UN TIEMPO DE OPERACIÓN DE 17.000 HORAS, SI EL VENTILADOR TIENE UNA CARACTERISTICA DE VIDA DE DE 8760 HORAS Y BETA ES DE 4,07 η β

( ) ( )

ll l94,1 44

876017000

)(−

==⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−= η

β

ttR

10 792,6)( −= XtR

EJERCICIO No. 2 : CONFIABILIDAD

La Media o MTTF

La Desviación Estándar

PROPIEDADES ESTADISITICAS DE LA DISTRIBUCION DE WEIBULL

Convertir la función en una forma lineal

que causa la ecuación lineal de,

REGRESION EN LA DISTRIBUCION DE WEIBULL

x= Ln(T)

( )∑ ∑∑ ∑∑∑

−

−= 22

2

xxn

xyxyxa

( )∑ ∑∑ ∑∑

−

−== 22 xxn

yxxynb β

βη −=a

e

REGRESION EN LA DISTRIBUCION DE WEIBULL

1.1. PrimeroPrimero se alinea los tiempos de fallo en ordenascendente

2.2. SegundoSegundo se Obtiene la mediana trazando posiciones, mediante la siguiente ecuación:

donde i es el número de orden de fallos y N es el tamaño total de la muestra.

Pasos para la regresión

DESARROLLO DE LAREGRESION EN LA DISTRIBUCION DE WEIBULL

3.3. Tercero Tercero debemos hallar los Xi y Yi para poder aplicar represión lineal mediante las siguientes ecuaciones:

DESARROLLO DE LAREGRESION EN LA DISTRIBUCION DE WEIBULL

Pasos para la regresión

4.4. Cuarto Cuarto debemos realizar la tabla de regresion lineal

y2x2xyyxF(T)Tiempo de falla

Pasos para la regresión

DESARROLLO DE LAREGRESION EN LA DISTRIBUCION DE WEIBULL

5.5. Quinto Quinto debemos hallar a y b

Donde

( )∑ ∑∑ ∑∑∑

−

−= 22

2

xxn

xyxyxa

( )∑ ∑∑ ∑∑

−

−== 22 xxn

yxxynb β

βη −=a

e

Pasos para la regresión

DESARROOLLO DE LAREGRESION EN LA DISTRIBUCION DE WEIBULL

6.6. SextoSexto se puede hallar la confiabilidad o razón de falla instantánea de los componentes

Pasos para la regresión

DESARROOLLO DE LAREGRESION EN LA DISTRIBUCION DE WEIBULL

EJEMPLO:

Asuma que seis unidades idénticas con la fiabilidad probada en la misma aplicación y niveles de tensión de operación. Todas estas unidades fallan durante la prueba después de haber funcionado el número siguiente de horas : 93, 34, 16, 120, 53 y 75. Estime los valores de los parámetros para una distribución Weibull de dos parámetros y determine la fiabilidad de las unidades a la 15 horas puesto a operar 1 semana después de haber sido compradas

DISTRIBUCION DE WEIBULL

1.1. Primero,Primero, alinee los tiempos a falla en ordenascendente así:

Tiempo a Fallar (horas)

Orden de numerode fallas

16 1

34 2

53 3

75 4

93 5

120 6

DISTRIBUCION DE WEIBULL

2.2. Paso :Paso : Se Obtiene la mediana trazando posiciones, mediante la siguiente ecuación:

donde i es el número de orden de fracaso y N es el tamaño total de la muestra.

MR% = (1 – 0.3 / 6 + 0.4) *100

MR% = 10.91

DISTRIBUCION DE WEIBULL

2.2. SegundoSegundo .Los tiempos a falla, con sus filas correspondientes medianas, son las siguientes

Tiempo a Fallar (horas) MR o F (T)

16 10.91

34 26.44

53 42.14

75 57.86

93 73.56

120 89.1

DISTRIBUCION DE WEIBULL

Tamaño de muestraNumero

de

fallos

3.3. TerceroTercero: Luego debemos hallar los Xi y Yi para poder aplicar regresión lineal mediante las siguientes ecuaciones:

X1 = ln 16

X1 = 2.77

DISTRIBUCION DE WEIBULL

Yi = ln ( -ln (1 - 0.1091))

Y1 =2,15

3.3. TerceroTercero: Luego debemos hallar los Xi y Yi para poder aplicar regresión lineal mediante las siguientes ecuaciones:

X1 = ln 34

X1 = 3,52

DISTRIBUCION DE WEIBULL

Yi = ln ( -ln (1 - 0.2644))

Y1 = -1,18

Tiempo a Fallar F(t) Y X xy x2 y2

16 10.91 -2,15 2,77 -5,955 7,672 4,6225

34 26.44 -1,18 3,52 -4,1536 12,39 1,3924

53 42.14 -0,6 3,97 -2,382 15,76 0,36

75 57.86 -0,14 4,31 -0,6288 18,57 0,02128

93 73.560,28

4,53 1,2910 20,52 0,08122

120 89.1 0,79 4,78 3,8039 22,84 0,63329

391 -2,99 23,8 -8,0249 97,76 7,11070

DISTRIBUCION DE WEIBULL

4.4. Cuarto Cuarto debemos realizar la tabla de regresion lineal

Luego a través de las ecuaciones de Represión hallamos a y b

( )15.6

))88.23(7696.97(6)0249.8*88.23()99.2*76.97(

2

22

2

−=−

−−−=

−

−=

∑ ∑∑ ∑∑∑

a

xxn

xyxyxa

( )42.1

))88.23(7696.97(6))99.2*88.23(0249.8(6

2

22

=−

−−−=

−

−==

∑ ∑∑ ∑∑

b

xxn

yxxynb β

DISTRIBUCION DE WEIBULL

Nos queda la siguiente ecuación:

Y = -6.15 + 1.42x

La cual utilizamos para hallar

7642.115.6

== −−

eη

y

βη −=a

e

= 1.42

DISTRIBUCION DE WEIBULL

β η

Tabla No1

Por ultimo determinamos la fiabilidad de las unidades a las 15 horas, puesto a operar 1 semana después de haber sido compradas.

R(183) = e – (183-168/76)

= 0.9049

1.42

DISTRIBUCION DE WEIBULL

horashorasXdiassemana 1682471 ===γ

9114,0=η

MTBF

horasxMTBF 26,699114,0769114,0 ===η

659,0=ησ

horasx 08,50659,076659,0 ===ησ

Finalmente procedemos a calcular el MTBF Y desviación estándar.

DISTRIBUCION DE WEIBULL

WEIBULL- C

WEIBULL- S

WEIBULL- P

EJERCICIOS

EJERCICIO N:1

Analizar y evaluar la fiabilidad de la Torre de Limpieza de Malta

ELABORAR LA ESTADISTICA DE FALLAS DE TODOS LOS EQUIPOS DE LA UNIDAD, PLANTA O EN EL CASO ESPECIFICO LA TORRE DE LIMPIEZA DE MALTA

PASO No. 1

APLICAR LA MATRIZ DE CRITICALIDAD PARA SELECCIONAR LOS EQUIPOS DE MAYOR IMACTO NEGATIVO AL NEGOCIO EN CASO DE FALLA.

PASO No. 2

1/10RECURRENTE: Hay certeza que las fallas serepetirán5

1/100CONCEBIBLE: Basado en diseños similares que han causado problemas.4

1/1000BAJA O ESPORADICO: Basado en diseños similares que han experimentado fallas esporádicas3

1 / 10000MUY BAJA O AISLADO: Basado en diseños similares y teniendo numero de fallas bajo. 2

Fallas mayores de 3 años.

REMOTA O RARO : No es razonable que este modo de falla ocurra 1

FRECUENCIA DE FALLA

PROBABILIDAD DE FALLAPUNTOS

PO = PROBABILIDAD DE OCURRENCIA

CATASTROFICA: Una falla que puede causar muerte(s) o daños graves a la propiedad.

5

CRITICA: Causa un alto grado de insatisfacción. Perdida de la función del sistema.

4

MODERADO: Causa insatisfacción. Alguna degradación en el sistema.

3

MARGINAL: Fastidiosa. No hay degradación de sistema.

2

MENOR : No hay efecto informado1CRITERIO DE SEVERIDADPUNTOS

PS = PROBABILIDAD DE SEVERIDAD

0 % - 20%REMOTA PROBABILIDAD DE DETECCIÓN de la falla hasta que esta ocurra. Siempre sin ninguna señal de precaución

5

20 % - 40%BAJA PROBABILIDAD DE DETECCIÓN de la falla hasta que esta ocurra. La mayoría de las veces hay una pequeña o ninguna señal de precaución.

4

40 % - 60%PROBABILIDAD DE DETECCIÓN MODERADA de la falla hasta que esta ocurra. Cerca del 50% de oportunidad de tener una señal de precaución

3

60 % - 80%ALTA PROBABILIDAD DE DETECCIÓN de la falla hasta que esta ocurra. La mayoría de las veces está precedida por una señal de precaución.

2

80 % - 100%MUY ALTA PROBABILIDAD DE DETECCIÓN de la falla hasta que esta ocurra. Casi siempre hay señales de precaución.

1

FRECUENCIA DE FALLA

PROBABILIDAD DE FALLAPUNTOS

PS = PROBABILIDAD DE DETECCION

FRECUENCIA DE FALLA4 CONCEBIBLE 1/194

PUNTOS PROBABILIDAD DE FALLAPO = PROBABILIDAD DE OCURRENCIA

PUNTOS

4

PS = PROBABILIDA DE SEVERIDAD

CRITERIO DE SEVERIDAD

CRITICO

EQUIPO 1: ELEVADOR No. 10

GRADO CRITICALIDAD = PO x PS = 4x4= 16

FRECUENCIA DE FALLA3 ESPORADICO 1/375

PUNTOS PROBABILIDAD DE FALLAPO = PROBABILIDAD DE OCURRENCIA

PUNTOS

3

PS = PROBABILIDA DE SEVERIDAD

CRITERIO DE SEVERIDAD

MODERADO

EQUIPO 1: LIMPIADORA A

GRADO CRITICALIDAD = PO x PS = 3x3= 9

FRECUENCIASEVERIDAD

PERDIDA MASIVA

PERDIDA INDIVIDUA

L

INSATISFACION

VARIOS

FASTIDIO INDIVIDUA

L

NO HAY EFECTO

CLIENTES

IMPACTO INTER.

EFECTO MASIVO

GRAVES DAÑOS

VARIASMUERTE5

IMPACTO NACIONAL

EFECTO MAYOR

ALTA INESTABILIDAD

UNA MUERTE4

IMPACTO MAYOR

EFECTO LOCALIZ.

INESTABILIDAD

LESION MAYOR3

IMPACTO LIMITAD0

EFECTO MENOR

FASTIDIOLESION MENOR2

IMPACTO LEVE

EFECTO LEVE

NO HAYLESION LEVE1

54321IMAGENMEDIO AMBIENTE

PROCESOPERSONASPUNTOS

RIESGO BAJO

RIESGO MEDIO

RIESGO ALTO

MATRIZ DE RIESGO

EQ1

EQ2

EQUIPO SELECCIONADO ELEVADOR No10

EQUIPO DE MAYOR IMPACTO

APLICAR LA DISTRIBUCION DE WEIBULL A LA DATOS ESTADISTICOS DE FALLA DEL ELEVADOR No 10.

PASO No. 3

WEIBULL-C REGRESION

Fin de la

sección