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MODELOS MATEMÁTICOS USANDO ECUACIONES DE LAGRANGE

Miguel A. Sánchez Bravomasb2009@hotmail.com

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IntroducciónLas ecuaciones de Lagrange (también

conocidas como ecuaciones de Euler-Lagrange) nos permiten contar con un procedimiento analítico para llegar a las ecuaciones que describen el comportamiento físico de un sistema en base a un enfoque energético.

La metodología lagrangiana indica como primer paso la determinación del número de grados de libertad (GDL’s) del sistema, a cada uno de los cuales se debe asociar seguidamente una coordenada generalizada qj.

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ComentariosLos conceptos de funciones lagrangianas

pueden aplicarse a la mecánica clásica, problemas de electromagnetismo, entre otros campos.

No es una nueva teoría para la mecánica, los resultados obtenidos por este método han de ser idénticos a los que proporcionan las leyes de Newton, lo que varía es el procedimiento para llegar al resultado, en este caso se manejan magnitudes asociadas al cuerpo (energías).

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Ecuación d L L D --- ---- - ---- + ---- = Qj

dt qj’ qj qj’ K: Energía cinética total del sistema.U: Energía potencial total del sistema.D: Función de disipación del sistema. Lagrangiana: L = K – Uqj : Coordenada generalizada para cada grado de

libertad.qj’ : Derivada temporal de la coordenada generalizada.

Qj : Fuerzas generalizadas.

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ObservacionesExiste una ecuación por cada grado de libertad, por

lo que la elección de coordenadas generalizadas libres conduce directamente al mínimo número de ecuaciones dinámicas.

Se trata de ecuaciones diferenciales de segundo orden (al existir derivadas temporales de los términos L/ qj’

que dependen, a su vez, de qj’).Es necesario aplicar las reglas analíticas de

derivación, lo cual puede obtenerse con programación de software de matemática simbólica como MATLAB, MAPLE, MATHEMATICA, entre otros.

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Modelo del péndulo invertidoEl sistema a considerar consiste en un carro sobre el cual se encuentra un péndulo invertido sujetado mediante un pivote sin fricción. El carro es movido por un motor que en el instante t ejerce una fuerza u(t) en sentido horizontal, que es la acción de control. Suponemos que todos los movimientos ocurren en un plano, es decir que el carro se mueve a lo largo de una recta.

ϴ: ángulo en el que el péndulo se desvía de la vertical. x: desplazamiento del centro de gravedad del carro con respecto a un punto fijo.

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Modelo del péndulo invertidoEl modelo del péndulo invertido es un ejemplo clásico en la literatura de control porque tiene múltiples aplicaciones: desde el control de misiles, estabilidad de grúas, vehículos de transporte, hasta el análisis de la biomecánica de la marcha, balance y postura humana.

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Modelo del péndulo invertido

Energía cinética:

K = (1/2)Mx’2 + (1/2)mxp’2 + (1/2)myp ’2

donde: xp = x + L senϴ yp = L cosϴ

K = (1/2)Mx’2 + (1/2)m { ( x’ + L cosϴ ϴ’ )2 +

( - L senϴ ϴ’ )2 }

L senϴ

L cosϴ

K = (1/2)Mx’2 + (1/2)m ( x’2 + 2L cosϴ x’ ϴ’ + L2 ϴ’2 )

Grados de libertad: 2: q1 = x , q2 = ϴ

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Modelo del péndulo invertidoEnergía potencial: U = mgLcosϴ

Función Lagrangiana:

L = K – U = (1/2)Mx’2 + (1/2)m ( x’2 + 2L cosϴ x’ ϴ’ + L2 ϴ’2 ) - mgLcosϴ

Aplicando la ecuación de Lagrange, para q1 = x: d L L --- ---- - ---- = u dt x’ x

d--- ( Mx’ + mx’ + mLcosϴ ϴ’ ) – 0 = udt

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Modelo del péndulo invertido ( M+ m ) x’’ + mL ( - senϴ.ϴ’2 + cosϴ.ϴ’’ ) = u ( 1 )

Aplicando la ecuación de Lagrange, para q2 = ϴ: d L L --- ---- - ---- = 0 dt ϴ’ ϴ

d--- ( mLcosϴ x’ + mL2 ϴ’ ) – ( - mLsenϴ ϴ’ x’ + mgLsenϴ ) = 0 dt

cosϴ.x’’ + L ϴ’’ – g.senϴ = 0 ( 2 )

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Péndulo invertidoVeamos :Inverted pendulum with Matlab-Simulink

based control algorithms (Rapid Prototyping solution)running in real time

http://www.youtube.com/watch?v=CdIZmr8ZdRE

Péndulo invertido lineal UPRMhttp://www.youtube.com/watch?v=f4kOPxpRGrk

&NR=1

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Modelo del doble pénduloDe Wikipedia, la enciclopedia libre.

En general, un doble péndulo es un sistema compuesto por dos péndulos, con el segundo colgando del extremo del primero. En el caso más simple, se trata de dos péndulos simples, con el inferior colgando de la masa pendular del superior.

Normalmente se sobreentiende que nos referimos a un doble péndulo plano, con dos péndulos planos coplanarios. Este sistema físico posee dos grados de libertad y exhibe un rico comportamiento dinámico. Su movimiento está gobernado por dos ecuaciones diferenciales ordinarias acopladas. Por encima de cierta energía, su movimiento es caótico.

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Modelo del doble péndulo

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Modelo del doble pénduloNos serviremos de las siguientes

coordenadas:

x,y = posición horizontal y vertical de la masa de un péndulo

θ = ángulo de un péndulo respecto a la vertical (0 = vertical hacia abajo, antihorario es positivo)

l = longitud de la varilla (constante)

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Modelo del doble péndulo

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Modelo del doble pénduloAplicando la ecuación de Lagrange, para q1 = ϴ1 :

d L L --- ------ - ---- = 0 dt ϴ1’ ϴ1

( m1 + m2 ) l1 ϴ1’’ + m2 l2 ϴ2’’ cos (ϴ1 - ϴ2 ) + m2 l2 (ϴ2’)2 sen (ϴ1 - ϴ2 ) + ( m1 + m2 ) g sen ϴ1 = 0 … (1)

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Modelo del doble pénduloAplicando la ecuación de Lagrange, para q2 = ϴ2 :

d L L --- ------ - ----- = 0 dt ϴ2 ’ ϴ2

l2 ϴ2’’ + l1 ϴ1’’ cos (ϴ1 - ϴ2 ) - l1 (ϴ1’)2 sen (ϴ1 - ϴ2 ) + g sen ϴ2 = 0

… (2)

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Doble pénduloVeamos:http://www.youtube.com/watch?v=nfXKUuXr

U6whttp://www.youtube.com/watch?v=st_oZzewc

b4&NR=1