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MM442 - Introducao aos SistemasDinamicos

Segundo semestre de 2020

Ricardo M. Martins

rmiranda@unicamp.br

http://www.ime.unicamp.br/~rmiranda

Aula 4: aplicacao de Poincare

Diagrama traco-determinante

Podemos fazer uma classificacao topologica muito boa dos campos

vetoriais lineares usando a equivalencia topologica.

TeoremaSeja x = Ax um sistema de equacoes diferenciais. Seja J a forma

de Jordan de A. Entao x = Jx e topologicamente equivalente a

x = Ax .

Diagrama traco-determinante

No caso 2× 2, como o polinomio caracterıstico de A e dado por

pA(t) = t2 − tr(A)t + det(A),

os autovalores sao

λ1,2 =tr(A)±

√tr(A)2 − 4 det(A)

2

e portanto eles podem ser descritos por T = tr(A) e D = det(A).

Diagrama traco-determinante

Diagrama traco-determinante

Diagrama traco-determinante

Diagrama traco-determinante

Diagrama traco-determinante

Um campo vetorial linear da forma x = Ax e chamado de

hiperbolico se os autovalores de A tem parte real diferente de zero.

Nas figuras anteriores, note que para campos vetoriais lineares,

parece ser verdade que “arbitrariamente perto” de campos vetoriais

lineares hiperbolicos so existem outros campos vetoriais

hiperbolicos.

Isto e verdade, mas a prova nao e obvia.

ExercıcioSe A e uma matriz 2×2, mostre que os autovalores de A dependem

continuamente de A.

Aplicacao de Poincare

Seja (x , y) = (ax − by , bx + ay) e Σ = {(x , 0), x > 0}. Suponha

que b > 0.

Dado um ponto (p, 0) ∈ Σ, seja ϕt(p, 0) o fluxo por (p, 0).

Existe T > 0 tal que ϕT (p, 0) ∈ Σ. Seja (q, 0) = ϕT (p, 0).

Defina uma funcao P : Σ→ Σ por P(p) = q.

Neste caso, q e definido da seguinte forma: seja T > 0 o menor

numero real tal que eaT sin(bT ) = 0. Entao q = peaT cos(bT ).

A aplicacao P e chamada de aplicacao de Poincare (associada a

equacao diferencial).

O conjunto Σ e uma secao transversal do fluxo.

Aplicacao de Poincare

Seja (x , y) = (ax − by , bx + ay) e Σ = {(x , 0), x > 0}. Suponha

que b > 0.

Dado um ponto (p, 0) ∈ Σ, seja ϕt(p, 0) o fluxo por (p, 0).

Existe T > 0 tal que ϕT (p, 0) ∈ Σ. Seja (q, 0) = ϕT (p, 0).

Defina uma funcao P : Σ→ Σ por P(p) = q.

Neste caso, q e definido da seguinte forma: seja T > 0 o menor

numero real tal que eaT sin(bT ) = 0. Entao q = peaT cos(bT ).

A aplicacao P e chamada de aplicacao de Poincare (associada a

equacao diferencial).

O conjunto Σ e uma secao transversal do fluxo.

Aplicacao de Poincare

Seja ϕ : M → M um fluxo associado ao campo vetorial X . Seja Σ

uma subvariedade de codimensao 1 de M satisfazendo:

# toda orbita de ϕ encontra Σ para tempos arbitrariamente

grandes (positivos e negativos)

# se x ∈ Σ entao X (x) nao e tangente a Σ.

Neste caso dizemos que Σ e uma secao global do fluxo. Dado

y ∈ Σ, seja τ(y) > 0 o menor valor de t tal que ϕτ(y)(y) ∈ Σ.

A aplicacao de Poincare (do fluxo ϕ em Σ) e definida por

P : Σ→ Σ, P(y) = ϕτ(y)(y).

Aplicacao de Poincare

Exemplo

Encontre a aplicacao de Poincare do fluxo associado a equacao

diferencial x = −y , y = x com Σ = {(x , 0), x > 0}.

Exemplo

Encontre a aplicacao de Poincare do fluxo associado a equacao

diferencial r = r(1−r), θ = 1, considerando Σ = {(r , θ), θ = 0}.

Aplicacao de Poincare

Exemplo

Encontre a aplicacao de Poincare do fluxo associado a equacao

diferencial x = −y , y = x com Σ = {(x , 0), x > 0}.

Exemplo

Encontre a aplicacao de Poincare do fluxo associado a equacao

diferencial r = r(1−r), θ = 1, considerando Σ = {(r , θ), θ = 0}.

Aplicacao de Poincare

Exercıcio

Mostre a aplicacao de Poincare do fluxo θ = m, φ = n no toro

S1× S1, com m, n > 0, com respeito a secao ϕ = ϕ0 e a rotacao

no cırculo Rm/n (ou R2πm/n, dependendo de como voce considera

S1).

Aplicacao de Poincare

Note que P : Σ→ Σ e um difeomorfismo e dim Σ = dimM − 1.

Ou seja, conseguimos produzir um difeomorfismo a partir de um

fluxo ϕ, e este difeomorfismo consegue captar as propriedades da

dinamica de ϕ.

Nem todo fluxo admite secao global, entao isto nao funciona

sempre.

ExercıcioDe exemplo de um fluxo sem secao global.

Por outro lado, a construcao reversa sempre pode ser feita.

Suspensao

Seja f : M → M um difeomorfismo. Entao o fluxo

ψt(x , θ) = (f [t+θ](x), t + θ − [t + θ]),

onde x ∈ M, θ ∈ [0, 1] e [·] e a parte inteira, definido em

M = M × [0, 1]/ ∼ com a identificacao (x , 1) ∼ (f (x), 0), e

chamado de suspensao de f .

Qual e a aplicacao de Poincare deste fluxo com respeito a secao

θ = 0?

Exemplo

Construa a suspensao da rotacao Rα : S1 → S1.

Proxima aula: Fluxos hamiltonianos e reversıveis.

Se cuidem: usem mascaras, limpem as maos com alcool em gel.

Fique em casa.