métodos variacionales y problemas de contorno elípticos semilineales

Mtodos Variacionalesy Problemas de Contorno Elpticos SemilinealesOswaldo Dede MejiaVII Encuentrode Matemticas del CaribeColombiano.Universidad del AtlnticoBarranquilla, ColombiaNoviembre de 2011 1Mtodos Variacionalesy Problemas de Contorno Elpticos SemilinealesOswaldo Dede MejiaResumenEl presentetrabajopretendeintroducir algunosmtodosvariacionalespara estudiar la existencia de solucionesa problemas de contorno formuladospor ecuaciones diferencialeselpticassemilineales con condiciones de Dirichlet.1. INTRODUCCINMuchos fenmenos del mundo fsico, de las finanzas, de la ingeniera y de la fisiologa, se modelanmediante ecuaciones diferenciales acompaadas de condiciones accesorias. Para que tales modelos tengan sentido, las respectivas ecuaciones restringidas por las condiciones sobreel contornodel recinto, deben poseer soluciones que permitan validar la eficacia de aquellos, ya que un modelo sin soluciones es intrascendente.En algunos casos, los problemas pueden estudiarsebuscando solucionesque sean puntos crticos de una cierta funcional definida de un espacio de funciones sobre un dominio n elcualdebe cumplir ciertas condiciones de suavidad.En nuestro caso nos limitaremos a problemasdel tipo: ( )0 enu u f +(1)0 enu ,donde es un dominio acotado en ncon frontera suave, 22 21niix es el operadorde Laplace y : f es una funcin no lineal con algn tipo de suavidad.2Otros problemas a considerar y un tanto ms generales son:( ), enu u u f + .(2)enu g ,( )0,enu u f +:(3)0enu .La existencia de soluciones y el nmero de las mismas dependen de la geometra del dominio.Los mtodos variacionalestratan de encontrar una funcionalJ relacionada con el problema en cuestin y obtener puntos crticos de la mismaque seran soluciones del problema.2. PRELIMINARES2.1 Funciones diferenciables en un espacio de Banach.Definicin 2.1.1. Sea : f donde es un conjunto abierto en un espacio real de Banach X, la funcional f tiene una derivada de Gateaux ' en u X si para todoh X se tiene que.( )( )1lim , 00f u th f u thtt 1 ]+ , donde 'Xes el dual topolgico de X, es decir, es una transformacin lineal continua deX 3La derivada de Gateaux en u se nota por( )'u fy se expresa por ( ) ( ) ( )'0, : limtf u h f u th f u + 1 ] Si X es un espacio de Hilbert y ftiene una derivada de Gateaux enu, el gradientede fen u se define por ( ) ( )', : , f u h f u h Definicin 2.1.2.La funcional fes diferenciable Gateaux en si en cada u existe derivada de Gateaux. En este caso se define la aplicacin derivada de Gateaux( )': L X, f que asocia cadau con la derivada de Gateaux( )'f uenu.Definicin 2.1.3.Una funcional : f , donde es un subconjunto abierto de un espacio real de Banach,tiene una derivada de Frchet 'X en u si ( )( )1lim . 00f u h f u hh h 1 ]+ .Nota 2.1.1. Cualquier derivada de Frchet es una derivada de Gateaux.Definicin 2.1.4. Sea : f , decimos que fes diferenciable Frchet en sif tieneuna derivada de Frchet en cadau. En este caso podemos definir una funcin( )': L X, f que asocia a cadau la derivada ( )'f u . La funcin 'fse denomina la derivada de Frcheten.Nota 2.1.2.El espacio ( ) , LX de las transformaciones lineales continuas de X en los realesse dota de una norma dada por sup T{ : Tx x X}Definicin 2.1.5. Sea : f La funcional fpertenece a ( )1C si la derivada de Frchet de f existe y es continua en.4 La siguiente proposicin aparece en la literatura:Proposicin 2.1.1. Si ftiene una derivada continua de Gateaux en entonces ( )1f C Definicin 2.1.6.Sea ( )1f C . La funcional ftiene una segunda derivada de Gateaux( )', XX L enu si para todo par h, v en X( )( )( )1' 'lim , 00f u th f u th vtt + .La segunda derivada de Gateaux se expresa por( ) ( ) ( )'' ' '01, : lim ,tf uh v f u th f u vt + .Si en cadauexiste derivada segunda de Gateaux, podemos definir la funcin segunda derivadacomo ( )'': .nf L donde( ).nL es el conjunto de todas las transformaciones lineales deen el conjunto de las transformaciones lineales de n en . Tal funcin asocia acadau la segunda derivada de Gateaux en u. Definicin 2.1.7.La funcional ftiene una segunda derivada de Frchet en u si es una transformacin lineal de X en el dual topolgico de X tal que ( )( )1' 'lim 00f u h f u hh h 1 1 ]+ .Anlogamente al caso de la derivada de Gateaux, podemos definir la funcin segunda derivada de Frchet en.Definicin 2.1.8.La funcional fes de la clase ( )2C si la derivada segunda de Frchet defexiste y es continua en.5Nota 2.1.3. Cualquier segunda derivada de Frchet es una segunda derivada de Gateaux.Proposicin2.1.2. Si f tiene segunda derivada continua de Gateauxen entonces( )2f C .Existe un isomorfismo natural entre ( ) ( ) ( )2, ,y, L L L que asocia a cada transformacin lineal( ) : , T L una transformacin bilineal : T % tal que ( ) ( ) , Tu v Tuv %. Esto nos permite considerar la segunda derivadacomo una transformacin bilineal. ( ) ( ) , Tu v Tuv %.2.2. Derivadas de orden superior y los espacios ( )kC .Podemos definir inductivamente las derivadas de orden superior.Definicin2.2.1.Si: f es ( )1 k vecesdiferenciable, entoncessu ( )1 k -sima derivada es una aplicacin ( )1: ,1knf Lk _ , deen el espacio de aplicaciones lineales de en n . Si1 kfes diferenciable en unpuntoudiremosque fesk vecesdiferenciableenu.Medianteel isomorfismo cannico ( ) ( ) ( )1, , ,n n nk kL L L , identificamos ( )kf u _ , , la derivada de f en u, como una aplicacin k-lineal de en n que denominaremos la k-sima derivada de f en el punto u.Cuando ( ) ukf _ ,existe en cadau, diremos que f es k veces diferenciable en. En este caso se define una aplicacin( )( ): ,k nf L . Diremos que f es k veces continuamente diferenciable en o de clase ( )kC si kf _ ,es continua, en cuyo caso escribimos ( )kf C .6Definicin 2.2.2.La clase de las funciones infinitamente diferenciables en. ( ) C, es la interseccin de todas las clases ( )kC , es decir ( ) C:=( )0kCIdonde( )0C es el conjunto de las funciones continuas de en .Definimos adems ( )( )( ): : :tiene una extensin continua a k k kC f f C f { }.Definicin 2.2.3.El soporte de una funcin : f es la clausura del conjunto( ) : 0 x f x { }. Denotamos el soporte de fpor( ) sop f y ( ) ( ) ( ) : :es compactok kcC f C sop f { }.El conjunto ( ) ( ) :cC Dse denominaconjunto de funciones de prueba. Nota 2.2.1.Los conjuntos( ) ,0kC k son espacios vectoriales de dimensin infinita sobre .Las siguientes proposiciones de vital importanciase hallan demostradas en muchas obras.Proposicin 2.2.1.(a) Si( )1cC entonces 0para1,2,...,ii nx .(b) [ ]Integracin por partes. Si( )1cC y( )1f C entonces

( ) ( ) ( ) ( )' '0 f x xdx f x xdx + . (c) [ ]Frmula de Green Si( )2f C y( )1cC entonces ( ) ( ) ( ) +. 0 f f .72.3. Los espacios pL Consideraremos las medida de Lebesgue en n con la relacin dada porf g f g casi en todas partes.Definicin 2.3.1.Si fes una funcin medible sobre y( ) 0, p definimos 1pppf f 11 ]Definicin 2.3.2.Sean( ) 0, p y n definimos ( ) : :: es medible y ppL f f f {