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Mtodos Numricos Curso SAI Tema 4. Solucin de Sistemas de Ecuaciones No Lineales.
Tema 4
4. Solucin de Sistemas deEcuaciones No Lineales
4.1. Introduccin
En la prctica de la ingeniera y ciencias se tiene la necesidad de resolver un sistema de
ecuaciones no lineales. En temas pasados se vio la solucin de ecuaciones no lineales. La
solucin de sistemas de ecuaciones no lineales esencialmente consistir en extender losmtodos de solucin de una sola ecuacin no lineal a sistemas de ecuaciones no lineales. Pero
como se vera esto no es sencillo.
4.2. Conceptos Bsicos
Un sistema de ecuaciones no lineales es de la forma
)
( )( )
( ) 0,,,,
0,,,,
0,,,,
0,,,,
321
3213
3212
3211
=
=
=
=
xxxx
xxxxxxxx
xxxx
nn
n
n
n
f
f
f
f
en forma mas compacta
( ) 0=XF
donde
F: vector de funciones.
X: vector solucin.
0: vector de trminos nulos (0).
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Mtodos Numricos. Curso SAI. 24/7/a 21:05:05 Hugo Pablo Leyva
4.3. Mtodos de Solucin
Los mtodos de solucin de un sistema de ecuaciones no lineales se clasifican en:
1. Mtodo Grfico.
2. Mtodos Directos.
3. Mtodos Iterativos.
4.4. Mtodo grfico
El mtodo grfico consiste en trazar la grfica de cada ecuacin del sistema y hallar los puntos
de corte, los cuales son la solucin. La desventaja de este mtodo es que no es muy preciso, y
slo es aplicable cuando tenemos 2 a lo mucho 3 ecuaciones. Adems considerando que sonecuaciones no lineales, las graficas puede ser que no sean fciles de construir.
4.5. Mtodos directos
Los mtodos directos son aquellos que determinan la solucin en un numero determinado de
pasos.
Estos mtodos no son los ms usuales pero cuando sea posible son los ms recomendables, por
que nos dan la solucin analtica, es decir, la solucin terica del problema. Salvo raros casos
estos mtodos no son siempre aplicables, ya que dependen que el sistema permita el despeje y
simplificacin del mismo mediante operaciones algebraicas.
4.6. Mtodos iterativos
Si bien los mtodos directos dan la solucin terica, no siempre se pueden aplicar.
Los mtodos iterativos son aquellos que obtienen la solucin aproximndose a ella en un
numero finito, pero no definido de pasos.
Estos mtodos son propiamente mtodos numricos, los cuales como ya vimos obtienen la
solucin mediante una sucesin que se aproxima a la solucin del problema. En este caso los
mtodos iterativos obtienen una sucesin de vectores que se aproxima a la solucin del sistema.
Como ya mencionamos anteriormente en los temas pasados, los mtodos numricos requierende un criterio de convergencia para determinar cuando parar. El criterio de convergencia
basado en el error relativo, como ya se coment es muy til. Tambin por lo que se comento en
el tema de solucin de ecuaciones lineales mediante mtodos iterativos el criterio de
convergencia ser:
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-
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Mtodos Numricos Curso SAI Tema 4. Solucin de Sistemas de Ecuaciones No Lineales.
( )
1051
1
1
+
+
+
=NCS
k
kk
k
X
XXcc
donde
||X|| |max=
xi | Es una norma vectorial natural.1 i n k: ndice de la iteracin, no la confundas con una potencia, solo es l numero de iteracin.
Xk+1 : Vector de la iteracin k+1.
Xk: Vector de la iteracin k.
NCS: Numero de cifras significativas deseadas.
Tambin se pide que:
( ) ( )10511
+
+
NCSk
Xf
y por seguridad adems
k iter > max
En general es difcil aplicar un mtodo numrico en este caso, ya que no se tiene un teorema
como el de cambio de signo para hallar por donde esta la solucin. Esto es por que es difcil
extender e interpretar el teorema de cambio de signo a sistemas de n ecuaciones no lineales.
Por lo anterior los mtodos basados en cambio de signo como biseccin y regula falsi NO se
pueden extender a sistemas de ecuaciones no lineales con facilidad.
Por esta razn en la practica solo se emplean extensiones de los mtodos de punto fijo, newton
y secante, o de algn otro mtodo que no requiera cambios de signo.
Solo consideraremos los mtodos de:
1. Mtodo de Iteracin de Punto fijo.
2. Mtodo de Newton.
4.7. Mtodo de Iteracin de Punto Fijo
Este mtodo como su contraparte de una sola variable consiste en expresar el sistema en la
forma:
( )XGX =
donde las funciones G se obtienen mediante manipulaciones algebraicas del sistema original de
las funciones F.
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En este mtodo comenzamos con un vector inicial X0. Con este vector calculamos otro vector
X1 , verificamos el criterio de convergencia. Si se cumple bien, si no realizamos otra iteracin
con el vector X1, obtenemos un vector X2, nuevamente verificamos la convergencia, si se
cumple bien, si no repetiremos el procedimiento hasta lograr la convergencia concluir que no
la hay. Las ecuaciones generales del mtodo son:
( )kK XGX =+1
para este caso para asegurar la convergencia se debe de cumplir que:
( )
n
CX
x
g
j
i
donde:
C: constante menor a 1.
n: numero de ecuaciones.
i: 1, 2, 3, ..., n
j: 1,2, 3, ... ,.n
Como en general esto es difcil y tardado de probar se prueba con varias combinaciones hasta
hallar una que sea convergente.
4.7.1. Ejemplo del mtodo de Iteracin de Punto Fijo
Como ejemplo resolveremos el sistema no lineal:1
081602
2
1=+xx
035102
21=+xx
0240321
=++ xxx
Resolvamos nuestro sistema de ejemplo. Los criterios de convergencia a emplear son
1 Este sistema se obtiene al considerar las medidas de la ganadora de un concurso
de Belleza.
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||X||
||X-X||1051k
k1k =
+
+
xcck
k> 100
Despejemos una variable de cada ecuacin
xx
x
x
kkk
kk
kk
x
x
x
12
1
3
1
1
2
2
1
1
240
3510
8160
=
+=
=
+
+
+
Para la aproximacin inicial para este sistema probaremos como solucin aproximada
(50,50,50).2
En la iteracin 1 se tiene
xx
x
x
x
x
x
0
1
0
2
1
3
0
1
1
2
0
2
1
1
240
3510
8160
=
+=
=
sustituyendo valores
1405050240
59.6657351050
90.0555508160
1
3
1
2
1
1
==
=+=
==
x
x
x
Calculemos el criterio de convergencia
cc1 =
||X -X ||
||X ||
1 0
1
X X1 0 =
2 Tomando en cuenta que por la naturaleza del problema la solucin debe de estar
para las 3 variables entre 0 y 100.
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=
50
50
50
140
6657.59
0555.90
90
6657.9
0555.40
=
90
6657.9
0555.40
max1 nj
90
X1
=
=
140
6657.59
0555.90
=
140
6657.59
0555.90
max1 nj
140
0.64285714090
||X||
||X-X||
1 1
01
===
cc
Como el criterio de convergencia no se cumple realizamos otra iteracin.
En la iteracin 2 se tiene
xx
x
x
x
x
x
1
1
1
2
2
3
1
1
2
2
1
2
2
1
240
3510
8160
=
+=
=
sustituyendo valores
4-6
-
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90.278759.665790.0555240
60.0005351059.6657
90.001990.05558160
2
3
2
2
2
1
==
=+=
==
x
x
x
Calculemos el criterio de convergencia
cc2 =
||X - X ||
|| X ||
2 1
2
X X2 1 =
=
140
6657.59
0555.90
90.2787
60.0005
90.0019
=
49.7213-
0.3348
0.0536-
=
49.7213-
0.3348
0.0536-
max1 nj
49.7213
X1
=
=
90.2787
60.0005
90.0019
=
90.2787
60.0005
90.0019
max1 nj
90.2787
0.55075390.278749.7213
||X||
||X-X||
2 2
12
===
cc
Dado que no se cumple el criterio de convergencia continuamos. Los clculos se resumen en la
tabla 1
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Tabla 1 Clculos del Mtodo de Iteracin de Punto Fijo
k X1 X2 X3 cc
0 50 50 50 -
1 90.0555 59.6657 140 0.642857
2 90.0019 60.0005 90.2787 0.550753
3 90 60 89.9977 0.00312273
4 90 60 90 2.56324e-05
5 90 60 90 1.44569e-07
6 90 60 90 1.18669e-09
Podemos observar que la convergencia en este caso no es lenta. Usualmente este no es el caso.
Tambin se observa algo curioso. A partir de la iteracin 4 ya no cambio la solucin, sin
embargo el criterio de convergencia sigui disminuyendo. Esto se debe a que el programa que
realizo los clculos NO mostr todas cifras obtenidas en los clculos, no obstante estas cifras si
afectaron l calculo del criterio de convergencia como se muestra.
4.8. Mtodo de Newton
El mtodo de Newton-Rapshon se puede extender a sistemas de ecuaciones no lineales. Se
expresa en la forma:
( ) ( )XJXX kkk Fk11 +
=
donde:
Xk: vector de incgnitas en la iteracin k
J(X)-1
: inversa de la matriz jacobiana.F(X): vector de funciones.
La matriz jacobiana se define como:
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
=
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
fx
f
x
f
x
f
n
nnn
n
n
XXX
XXX
XXX
XJ
21
2
2
2
1
2
1
2
1
1
1
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-
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donde
( )x
Xf
j
i
es la derivada parcial de la funcin i respecto a la variable j. Esta derivada se calcula como las
que ya conoces de una variable considerando que excepto la variable xj todas las dems son
constantes.
Como ya se comento en el tema de sistemas de ecuaciones lineales, el mtodo de la matriz
inversa para resolver sistemas de ecuaciones lineales no es muy eficiente, por esta razn
conviene expresar el mtodo de Newton como:
HXX kkk
=+1
donde la Hkse obtiene de:
( ) ( )Hkkk
FJ =
el cual es un sistema lineal con incgnitas h1, h2,..., hn
Se recomienda resolver el sistema por el mtodo ms eficiente, por lo cual recomendamos
resolverlo por el mtodo de Montante con pivoteo parcial, por las razones ya comentadas en el
tema pasado.
Si se considera una sola ecuacin se tiene:
( )( ) ( )
( )xfdx
xdf
x
f XXJ
1
'
1
11
1
1 ===
=
xHxfkfkk111
'
Hxxkkk11
1
1
=+
despejando H1 se tiene
=
xf
xH
k
kfk
1
1
1 '
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sustituyendo y eliminado el subndice 1 se tiene
( )
( )xfx
xxk
k
kk
f'1
=+
que es el mtodo de Newton para una sola variable.
4.8.1. Ejemplo del mtodo de Newton
Repitamos el ejemplo otra vez. Las ecuaciones de Newton en este caso son
hxxhxx
hxx
kkk
kkk
kkk
33
1
3
22
1
2
11
1
1
=
=
=
+
+
+
las hs se obtienen de la solucin de:
( ) ( )Hkkk
FJ =
para este caso
( ) ( ) 81601 22
1+= xxXf
kk k
( ) ( ) 35102212
+= xxXfkkk
24013 32
++= xxxXfkkkk
y la matriz jacobiana es:
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( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
=
=
111
021
012
2
1
3
3
2
3
1
3
3
2
2
2
1
2
3
1
2
1
1
1
xx
xXf
xXf
xXf x
Xf
x
Xf
x
XfxXf
xXf
xXf
Xk
k
kkk
kkk
kkk
kJ
el criterio de convergencia ser
9
||X||
||X-X||1051k
k1k =
+
+
xcck
( )9105
xf
X
k
k> 100
En la iteracin 1 se tiene
( ) ( ) 8160010
2
20
1+= xxXf
( ) ( ) 351020
2
0
1
0
2 += xxXf
24001
03
0
3
0
2++= xxxXf
( )
=
111
021
0120
2
0
10
xx
XJ
( ) ( )H FJ000
=
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hxx
hxx
hxx
0
3
0
3
1
3
0
2
0
2
1
2
0
1
0
1
1
1
=
=
=
sustituyendo valores3
( ) ( ) -561081605050 201
=+=Xf
( ) ( ) 106035105050 202
=+=Xf
( ) 9024050505003
=++=Xf
( )( )
( )
=
=
111
01001
01100
111
05021
015020
XJ
( ) ( )H FJ000
=
( )
=
=
90
1060
5610
111
01001
01100
0
3
0
2
0
10
hhh
XJ
o equivalentemente
90
1060
5610
0
3
0
2
0
1
0
2
0
1
0
2
0
1
100100
=
=
=
++
+
hhhhh
hh
resolviendo por el mtodo de montante con pivoteo parcial
3 Comenzaremos otra vez con los valores usados para la iteracin de punto fijo.
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=
22.8517-
11.1599-
55.988-
0
3
0
2
0
1
hhh
( )
( )
( ) 72.85178517.2250
61.15991599.1150
105.988988.5550
1
3
1
2
1
1
==
==
==
x
x
x
Calculemos el criterio de convergencia
cc1 =
||X -X ||
||X ||
1 0
1
= HXX
001
=
22.8517-
11.1599-
55.988-
=
22.8517-11.1599-
55.988-
max1 nj
55.988
X1
=
=
72.8517
61.1599
105.988
=
72.8517
61.1599
105.988
max1 nj
105.988
0.52825105.98855.988
||X||
||X-X||
1 1
01
===
cc
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( ) =
1Xf
=
90-
1060
5610-
=
90-
1060
5610-
max1 nj
5610
Como el criterio de convergencia no se cumple realizamos otra iteracin.
En la iteracin 2 se tiene
( ) ( ) 8160111
2
21
1+= xxXf
( ) ( ) 3510212
1
1
1
2+= xxXf
( ) 24011131
3
1
2++= xxxXf
( )
=
111
021
0121
2
1
11
xxXJ
( ) ( )FJ 111 =
hxxhxx
hxx
1
3
1
3
2
3
1
2
1
2
2
2
1
1
1
1
2
1
=
=
=
sustituyendo valores
( ) ( ) 43134.61604816061.1599988.105 211
=+=Xf
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( ) ( ) 801-124.5453635101599.61988.105 212
=+=Xf
( ) -0.000424072.85171599.61988.10513
=++=Xf
( )( )
( )
=
=
111
0122.31981
01211.976
111
061.159921
01105.98821
XJ
( ) ( )FJ 111 =
( )
=
=
0.0004-
01124.545368-
43134.61604
111
0122.31981
01211.976
1
3
1
2
1
11
h
hh
XJ
o equivalentemente
0004.0
54536801.124
616044.3134
1
3
1
2
1
1
1
2
1
1
1
2
1
1
3198.122976.211
=
=
=
++
+
hhhhh
hh
resolviendo por el mtodo de montante con pivoteo parcial
=
15.9216-
1.139
14.7822
1
3
1
2
1
1
hhh
( )
( )
( ) 88.77339216.1572.8517
60.0209139.161.1599
91.20587822.14105.988
2
3
2
2
2
1
==
==
==
x
x
x
Calculemos el criterio de convergencia
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Mtodos Numricos. Curso SAI. 24/7/a 21:05:05 Hugo Pablo Leyva
||X||
||X-X||
2 2
12
=cc
= HXX
112
=
15.9216-
1.139
14.7822
=
15.9216-
1.139
14.7822
max1 nj
15.9216
=
2X
=
88.7733
60.0209
91.2058
=
88.7733
60.0209
91.2058
max1 nj
91.2058
0.17456891.205815.9216
||X||
||X-X||
2 2
12
===
cc
( ) =
2Xf
=
0.0004-
01124.545368-
43134.61604
=
0.0004-
01124.545368-
43134.61604
max1 nj
3134.7
4-16
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Dado que no se cumple el criterio de convergencia continuamos. Los clculos se resumen en la
tabla 2
Tabla 2 Clculos del Mtodo de Newton
k x0 x1 x2 cc ccy
0 50 50 50 -1 -1
1 105.988 61.1599 72.8517 0.52825 3134.7
2 91.2058 60.0209 88.7733 0.174568 218.524
3 90.008 60.0001 89.992 0.0135393 1.43487
4 90 60 90 8.9338e-05 6.35272e-05
5 90 60 90 3.95438e-09 0
Podemos ver que la convergencia es ms rpida y de hecho salvo raros casos as es, es decir,
generalmente Newton converge ms rpido que iteracin de punto fijo.
4.9. Primera aproximacin
La primera aproximacin es difcil de hallar ya que no es simple usar el teorema de cambio de
signo, y puede ser que no se pueda trazar una grafica.
Lo ms recomendable es usar la teora referente al sistema de ecuaciones no lineales para
proponer la primera aproximacin.
Si no hay alguna teora que aplicar entonces se puede tratar de usar la solucin del siguiente
problema:
( )( )2min = XG fi
El mnimo de esta funcin es 0 y solo ocurre en las races del sistema original. Para hallar este
mnimo se pueden usar tcnicas de optimizacin no lineal, pero esto va mas all del alcance de
este curso.
Tambin se puede intentar simplificar el sistema usando series de Taylor o despreciando
algunos trminos como los lineales respecto a las potencias ms altas para el caso de sistemas
que tengan trminos polinomiales.
4.10. Resumen
Existen principalmente 2 formas de resolver un sistema lineal: Mtodos directos y mtodos
iterativos.
Los directos se usan cuando hay solucin analtica. Los iterativos cuando no hay solucin
analtica.
Los mtodos numricos son extensiones de los mtodos de una sola ecuacin.
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Mtodos Numricos. Curso SAI. 24/7/a 21:05:05 Hugo Pablo Leyva
Solo se extienden los mtodos de newton, punto fijo y secante, por que no se puede extender
fcilmente el teorema de cambio de signo a sistemas de ecuaciones, y por ende no se puede usar
versiones de los mtodos de biseccin y regula falsi.
El mtodo de iteracin de punto fijo se usa cuando el sistema se tiene ya en forma iterativa por
lo regular.
El mtodo de newton para sistemas de ecuaciones no lineales requiere calcular derivadas parciales y resolver un sistema de ecuaciones lineales en cada iteracin. Este sistema se
recomienda resolverlo por el mtodo de Montante con pivoteo parcial.
La primera aproximacin por lo regular se obtendr de la teora pertinente al sistema de
ecuaciones a resolver.
En ausencia de teora se suele transformar el problema en uno de optimizacin no lineal, del
cual su solucin se usara como aproximacin para la solucin del sistema de ecuaciones no
lineales.
4.11. Ejemplos prcticos
4.11.1. Hallar la mejor curva exponencial
Como veremos mas adelante en el tema de ajuste de curvas, una de las ecuaciones mas usadas
para representar fenmenos de la naturaleza es la curva exponencial.
eBx
py =
Dada una tabla de NP puntos de datos experimentales o de una funcin matemtica complicada
se pueden obtener las constantes A y B de esta ecuacin resolviendo el siguiente sistema nolineal.
Ae y eBx iBxi i2 =
Ae x y e xBx i iBx
ii i2 =
todas las sumatorias son desde 1 hasta NP. Para una PRIMERA APROXIMACINla teora
dice que las constantes pueden obtenerse resolviendo el sistema lineal
=
yx
y
a
a
xx
xNP
ln
ln
1
0
2
donde
A ea= 0
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Mtodos Numricos Curso SAI Tema 4. Solucin de Sistemas de Ecuaciones No Lineales.
B a= 1
esto lo veremos mas detalladamente en el tema 6 de Ajuste de curvas.
Si se tiene la siguiente tabla
Tabla 3
x y
0.05 0.956
0.11 0.890
0.15 0.832
0.31 0.717
0.46 0.571
0.52 0.539
0.70 0.378
0.74 0.370
0.82 0.306
0.98 0.242
1.17 0.104
La ecuacin exponencial que la representa
eBxpy =
se puede obtener resolviendo el sistema no lineal
( )++++++++++ 34.296.164.148.140.104.192.062.030.022.01.0 BBBBBBBBBBB eeeeeeeeeeeA
0104.0242.0306.0370.0378.0539.0
571.0717.0832.0890.0956.0
17.198.082.074.070.052.0
46.031.015.011.005.0
=
+++++
+++++BBBBBB
BBBBB
eeeeee
eeeee
+++++
+++++
17.198.082.074.070.052.0
46.031.015.011.005.0
34.296.164.148.140.104.1
92.062.030.022.01.0
BBBBBB
BBBBB
eeeeee
eeeeeA
23716.025092.027380.02646.028028.0
26266.02227.01248.00979.00478.0
98.082.074.070.052.0
46.031.015.011.005.0
+++++
+++++BBBBB
BBBBB
eeeee
eeeee
12168.0 1.1
e
la primera aproximacin se puede calcular del sistema lineal
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11 6 010 1a a+ =. -8.69000470253179
6 01 4 65450 1. .a a+ = -7.15128319177075
con
A ea= 0
B a= 1
resolviendo por el mtodo de newton con los siguientes criterios de convergencia
9
||X||
||X-X||1051k
k1k=
+
+
xcck
( ) 9105
xfXk
k> 100
se tiene la siguiente tabla
Tabla 4
k A B cc ccy0 1.18 -1.75 -1 -1
1 1.0404 -1.4025 0.247775 0.0141769
2 1.05514 -1.45424 0.0355824 0.000720143
3 1.05557 -1.45642 0.00149539 1.84958e-06
4 1.05557 -1.45642 3.0453e-06 8.97001e-12
5 1.05557 -1.45642 1.34684e-11 5.08106e-16
Por lo cual la ecuacin buscada es
xey 45642.105557.1=
como se vera en el tema de ajuste de curvas se sugiere otra forma mas fcil de hallar las
constantes A y B.
4.11.2. Hallar las poblaciones de equilibrio
4-20
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Mtodos Numricos Curso SAI Tema 4. Solucin de Sistemas de Ecuaciones No Lineales.
En un ecosistema es muy comn que la poblacin de una especie dependa de otra. Esto ocurre
si una especie es un depredador y la otra su presa. O tambin si ambas especies se alimentan de
la misma fuente.
Supongamos que para cierto ecosistema tenemos 2 especies compiten por la misma fuente de
alimento. Supongamos tambin que las ecuaciones que representan las poblaciones de las
especies son:
( )( ) ( ) ( )( )ttt
dt
tppp
dp211
1 0005.00004.05 =
( )( ) ( ) ( )( )ttt
dt
tppp
dp212
2 0002.00003.03 =
Si deseamos hallar las poblaciones de equilibrio de ambas especies entonces las ecuaciones
anteriores deben de cumplir que:
( )01 =
dt
tdp
( )02 =
dt
tdp
Esto se puede cumplir si se considera que se extingue una especie y la otra se queda con la
fuente de alimento. Si se extingue la primera especie se tendr de la segunda ecuacin una
poblacin de 15000 para la segunda especie. Si se extingue la segunda especie de la primera
ecuacin se tendr una poblacin de 12500 para la primera especie.
Deseamos saber si se puede lograr el equilibrio sin que se extinga alguna especie. Esto nos
lleva al siguiente sistema:
( ) ( ) ( )( ) 00005.00004.05211
= ttt ppp
( ) ( ) ( )( ) 00002.00003.03212
= ttt ppp
las incgnitas sern las poblaciones p1(t) y p2(t).
Resolvamos por el mtodo de Newton. Hagamos cambios de variables:
( )tpx 11 =
( )tpx =2 2
las funciones son:
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Mtodos Numricos. Curso SAI. 24/7/a 21:05:05 Hugo Pablo Leyva
( ) ( ) 00005.00004.051 211
== xxxxf
( ) ( ) 00002.00003.032122
== xxxf x
la matriz jacobiana es:
( )
( ) ( )
( ) ( )
=
=
xxxxxx
212
121
2
2
1
2
2
1
1
1
.0004-.0003-30.0003-
0.0005-.0005-.0008-5
x
f
x
fx
f
x
f
XX
XX
XJ
Para la primera aproximacin supondremos que las poblaciones de equilibrio sern la mitad de
la poblacin de cada especie suponiendo que se extinga la otra. Por esto para la primera especie
supondremos una poblacin de 7000 y para la segunda de 6000.
Los criterios de convergencia sern:
9
||X||
||X-X||1051k
k1k=
+
+
xcck
( ) 9105
xfXk
k> 100
los clculos se resumen en la siguiente tabla:
Tabla 5
k x0 x1 cc ccy
0 7000 6000 -1 -1
1 9333.33 2000 0.428571 2488.89
2 4666.67 6000 0.777778 2400
3 6480.25 4919.43 0.279863 354.386
4 7093.68 4315.25 0.0864747 38.1786
5 7142.34 4286.2 0.00681285 0.25529
6 7142.86 4285.71 7.30136e-05 2.8855e-05
7 7142.86 4285.71 5.75011e-09 2.3837e-13
8 7142.86 4285.71 5.54461e-17 2.3837e-13
4-22
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Mtodos Numricos Curso SAI Tema 4. Solucin de Sistemas de Ecuaciones No Lineales.
Por lo cual para la primera especie en el equilibrio se tiene 71424 individuos y para la segunda
42855
Es importante tener una buena primera aproximacin. Para ver esto supongamos que invertimos
los valores de la primera aproximacin. En este caso se tiene:
Tabla 6
k x0 x1 cc ccy0 6000 7000 -1 -1
1 10352.9 411.765 0.636364 6759.86
2 17679.3 -3219.33 0.414404 8168.92
3 14249.4 -1220.21 0.240708 1277.37
4 12858 -268.896 0.108211 216.09
5 12521.7 -16.8953 0.0268583 12.7243
6 12500.1 -0.0698994 0.00172824 0.0524254
7 12500 -1.16762e-06 7.06882e-06 8.75716e-07
8 12500 -3.21373e-16 1.1732e-10 2.99039e-12
En este caso se obtiene la solucin en la que se extingue la segunda especie.
4 Lo mas correcto es redondear hacia arriba es decir 7143, al menos que se
considere un individuo chaparrito de 0.86.
5 Lo mas correcto es redondear hacia arriba es decir 4285, al menos que se
considere un individuo chaparrito de 0.71
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Mtodos Numricos. Curso SAI. 24/7/a 21:05:05 Hugo Pablo Leyva
4.12. ndice
4. Solucin de Sistemas de Ecuaciones No Lineales ................................................ 4-1
4.1. Introduccin ................................................................................................................... 4-1
4.2. Conceptos Bsicos.......................................................................................................... 4-1
4.3. Mtodos de Solucin...................................................................................................... 4-2
4.4. Mtodo grfico ............................................................................................................... 4-2
4.5. Mtodos directos ............................................................................................................ 4-2
4.6. Mtodos iterativos.......................................................................................................... 4-2
4.7. Mtodo de Iteracin de Punto Fijo............................................................................... 4-34.7.1. Ejemplo del mtodo de Iteracin de Punto Fijo ....................................................................4-4
4.8. Mtodo de Newton ......................................................................................................... 4-84.8.1. Ejemplo del mtodo de Newton .......................................................................................... 4-10
4.9. Primera aproximacin................................................................................................. 4-17
4.10. Resumen.................................................................................................................... 4-17
4.11. Ejemplos prcticos ................................................................................................... 4-184.11.1. Hallar la mejor curva exponencial.......................................................................................4-184.11.2. Hallar las poblaciones de equilibrio .................................................................................... 4-20
4.12. ndice......................................................................................................................... 4-24
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