metodos numericos mas usuales en quimica

METODOS NUMERICOS DE INTEGRACION Y OPTIMIZACION NO LINEAL NO

RESTRINGIDA PARA SISTEMAS DE REACCIONES EN EL DISEÑO DE REACTORES

Coatzacoalcos, Ver., del 15 de ENERO de 2007.

M.C. CARLOS VALDIVIESO RODRIGUEZ

1 METODOS NUMERICOS

1.1 INTRODUCCION

Coatzacoalcos, Ver., del 15 de ENERO de 2007.

M.C. CARLOS VALDIVIESO RODRIGUEZ

LA IMPORTANCIA DE LOS MET.

NUMÉRICOS

Son ampliamente

utilizados en las distintas ciencias

como un herramienta matemática

que permite principalmente

resolver problemas complejos de

las que solo se puede conocer

una solución numérica.

• En el calculo de sistemas de

ecuaciones lineales y no lineales, en el

diseño de equipos a nivel industrial.

EJEMPLOS

EJEMPLOS

• En la transferencia de calor y medición

de esfuerzos en piezas mecánicas

EJEMPLOS

• En la industria automotriz en las

pruebas de fricción

SOFTWARE

• Excel.

• Fortran ampliamente usado a nivel

profesional en algunos simuladores y

problemas en la ingeniería química.

• C++, Visual C

• Programas como matcad, matlab

¿QUE ES UNA FUNCIÓN?

• Es una relación entre 2 o mas variables

expresada en forma de una ecuación

matemática.

Variable dependiente Variable independiente

Y = ax+bz+cn

• En la ecuación existe una sola variable dependiente, que es

función de n variables independientes, por lo que puede

representarse también de la forma f(x,z,n) o tantas letras como

variables tenga.

¿QUE ES UNA FUNCIÓN?

• Existen muchas ecuaciones sobre todo con

una sola variable independiente

Y = x+3 lineales

Y= x2+5 cuadráticos

Y = x3+5x2+8 cúbicas

Logaritmicas, potenciales, senoidales,

cosenoidales, exponenciales etc.

DERIVADA

• Si una función expresa la dependencia de un

variable con respecto de otra.

• La derivación indica una proporción que

expresa cuanto cambia una variable con

respecto al cambio en otra, por ello escribe

como dy/dx, y matemáticamente se expresa

como una función

DERIVADA

• Conceptualmente esta razón de cambio puede

entenderse como una pendiente

ii

ii

XX

YY

X

Y

1

1

1 METODOS NUMERICOS

1.2 METODOS PARA OBTENER RAICES

Coatzacoalcos, Ver., del 15 de ENERO de 2007.

M.C. CARLOS VALDIVIESO RODRIGUEZ

METODO DE BISECCION

METODO DE BISECCION

METODO DE LA FALSA POSICION

Se usan las

mismas reglas

de convergencia

del método de

bisección

METODO DE NEWTON-RAPHSON

Este método depende demasiado del valor

inicial

METODO DE LA SECANTE

Este método depende demasiado del valor

inicial

PARA SISTEMAS DE ECUACIONES NO

LINEALES

METODO DE NEWTON-RAPHSON

1 METODOS NUMERICOS

1.3 MÉTODOS DE INTEGRACIÓN NUMÉRICA

Coatzacoalcos, Ver., del 15 de ENERO de 2007.

M.C. CARLOS VALDIVIESO RODRIGUEZ

METODO DE LA REGLA TRAPEZOIDAL

METODO DE LA REGLA TRAPEZOIDAL

MULTIPLE

TABLA GENERAL DE METODOS

1 METODOS NUMERICOS

DIFERENCIACION NUMERICA

Coatzacoalcos, Ver., del 15 de ENERO de 2007.

M.C. CARLOS VALDIVIESO RODRIGUEZ

DERIVADAS HACIA ADELANTE

DERIVADAS HACIA ATRAS

DERIVADAS CENTRALES

1 METODOS NUMERICOS

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE 1ER. ORDEN

Coatzacoalcos, Ver., del 15 de ENERO de 2007.

M.C. CARLOS VALDIVIESO RODRIGUEZ

METODO DE EULER

• La pendiente esta definida por:

• Predicción:

• Ejemplo:

),( ii yxf

hyxfyy iiii ),(1

Partiendo del punto x=0 donde y =1

5.820122 23 xxxdx

dy

METODO DE HEUN

• Con la pendiente del pinicial se calcula un valor

inicial de la predicción

• Se recalcula la pendiente con el valor de y

predicho y se hace un promedio

• Se calcula el valor de la yi+1, (es iterativo)

hyxfyy iiii ),(10 ),(1 ii yxf

),( 10

12 ii yxf2

21

prom

hyy promii 1

METODO DEL PUNTO MEDIO

• Se calcula el valor medio en el intervalo analizado

• Se calcula una pendiente media

• Esta pendiente se usa para calcular yi+1

2),(2/1

hyxfyy iiii ),( ii yxf

),( 2/12/1 iimedia yxf

hyxfyy iiii ),( 2/12/11

MÉTODO DE RUNGE-KUTTA

• Forma generalizada

• La pendiente o función de incremento

• Las a son constantes y k, dependiendo del orden

hhyxyy iiii ),,(1

nnkakaka ....1111

),(

),(

),(

22212123

11112

1

hkqhkqyhpxfk

hkqyhpxfk

yxfk

ii

ii

ii

.

.

Kn

¿DE DONDE PROVIENE?

• De introducir términos de la serie de Taylor

para lograr mayor predicción

• Entre mayor orden tenga mas términos de la

serie de Taylor considera

11

2

1¡

),(...

¡2

),('),(

nnii

n

iiiiii hOh

n

yxfh

yxfhyxfyy

PARA SEGUNDO ORDEN

• Los valores de las a pueden ser diferentes y dan

lugar a la deducción de los métodos antes

mencionados.

• Si a2=1/2 es el método de Heun, pero si vale 1 es

el método del punto medio, con a2=2/3 resulta el

metodo de Ralston

hkakayy ii )( 22111

),(

),(

11112

1

hkqyhpxfk

yxfk

ii

ii

METODO DE RALSTON

hkkyy ii )3

2

3

1( 211

)4

3,

4

3(

),(

12

1

hkyhxfk

yxfk

ii

ii

MÉTODO DE RUNGE-KUTTA DE 3ER. Y 4º.

ORDEN

MÉTODO DE RUNGE-KUTTA DE ORDEN

SUPERIOR

MÉTODO ADAPTIVO DE RUNGE-KUTTA

MÉTODO ADAPTIVO DE RUNGE-KUTTA

FEHLBERG

1 METODOS NUMERICOS

1.3 METODOS DE OPTIMIZACION NO RESTRINGIDA

Coatzacoalcos, Ver., del 15 de ENERO de 2007.

M.C. CARLOS VALDIVIESO RODRIGUEZ

SECCION DORADA

SECCION DORADA

INTERPOLACION CUADRATICA

METODO DE NEWTON

OPTIMIZACION MULTIDIMENCIONAL SIN

RESTRICCIONES

DERIVADA DIRECCIONAL

GRADIENTE

HESSIANO

APROXIMACIONES DE LAS DERIVADAS MULTI

DIMENCIONALES POR DIFERENCIAS FINITAS

METODO DE PASOS ASCENDENTE

METODO DE NEWTON

METODO DE QUASI-NEWTON

ALGORITMO DEL METODO DE QUASI-

NEWTON

ALGORITMO DEL METODO DE QUASI-

NEWTON

GRADIENTE CONJUGADO

GRADIENTE CONJUGADO

GRADIENTE CONJUGADO

SI no desea que quede en función de la matriz A

GRADIENTE CONJUGADO PARA

FUNCIONES NO LINEALES

GRADIENTE CONJUGADO PARA

FUNCIONES NO LINEALES