métodos numéricos 02

4. Errores de truncamiento

Los errores de truncamiento son aquellos que resultan al usar unaaproximación en lugar de un procedimiento matemático exacto.

4.1 Teorema de Taylor

f(x i+1) = f (xi) + f ’ (xi) ·h + h + h2 + ....

......+ h(n) + Rn

Rn = hn+1

f ’’( xi)2!

f (3)( xi)3!

f (n)( xi)n!

f (n+1)(ξ)(n+1)!

Ejericio 4.1 Aproximación de un polinomio mediante la serie de Taylor

Use expansiones de la serie de Taylor de los órdenes cero hastacuatro para aproximar la función

f(x)=-0.1x4 – 0.15x3 – 0.5x2 – 0.25x + 1.2Desde xi = 0 con h=1. Esto es prediga el valor de la función en xi+1.

Calcule el error verdadero.

Utilice expansiones en series de Taylor con n desde 0 hasta 6 paraaproximar f(x)=sen(x) en xi+1=π/3 con base en el valor de f(x) y susderivadas en xi=π/4.

Ejericio 4.2 Aproximación mediante la serie de Taylor

4.2 Residuo en la expansión en series de Taylor

Ro

f(xi)

f(x)

Ro

f(xi)

f(x)f ’(ξ)

Predicción exacta

Predicción de orden 0

xi xi+1 xi xi+1x xξ

)x(f)x(f i1i ≅+

...h!3

fh!2

)x(''fh)x('fRo 3)3(

2ii +++=

h)x('fRo i≅

4.5 Diferenciación numérica

Aproximación a la primera derivada con diferencia hacia adelante

Aproximación a la primera derivada con diferencia hacia atrás

Aproximación a la primera derivada con diferencias centradas

)h(Ohf

)x('f o )xx(Oxx

)x(f)x(f)x('f i

ii1ii1i

i1ii +

∆=−+

−−

= ++

+

)h(Oh

)x(f)x(f)x('f o )xx(O

xx)x(f)x(f

)x('f 1iii1ii

1ii

1iii +

−=−+

−−

= −−

−

−

)h(Oh2

)x(f)x(f)x('f o )h(O

h2)x(f)x(f

)x('f 21i1ii

21i1ii −

−=−

−= −+−+

Ejercicio 4.3 Aproximación de derivadas por diferencias finitasdivididas.Use aproximación con diferencias finitas hacia delante y hacia atrás deO(h) y una aproximación de diferencia centrada de O(h2) para estimarla primera derivada def(x)=-0.1x4-0.15x3-x2+x-1.2En x=1 utilizando un incremento de h=0.5. Repita el cálculo con h=0.1Calcular el error verdadero en cada caso.

Aproximaciones por diferencias finitas para derivadas de ordensuperior.

Aproximación a la primera derivada con diferencia hacia adelante

)h(Oh

)x(f)x(f2)x(f)x(''f 2

2i1i2i

i ++−

= ++

Aproximación a la primera derivada con diferencia hacia atrás

)h(Oh

)x(f)x(f2)x(f)x(''f 2

21ii1i

i ++−

= −+

Aproximación a la primera derivada con diferencia centrada

)h(Oh

)x(f)x(f2)x(f)x(''f 2

22i1ii

i ++−

= −−

4.6 Propagación del error

estimado Errorx~)x~('f ∆

x~

Error verdadero

f(x)

xx

)x~(f)x(f)x~(f −=∆

( )x~x)x~('f)x~(f)x~x)(x('f)x~(f)x(f

−=∆

−≅−

Ejercicio 4.4 Propagación del errorDado un valor de con un error , estime el error resultante enla función f(x)=x2

3x~ = 2.0x~ =∆

4.7 Error numérico total

Log tamaño del incremento

Log

erro

r

Error d

e truncamiento Error de redondeo