métodos matemáticos i
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1. Introducción
2. Casos simples de reducción del orden
3. Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes
4. Ecuaciones lineales no homogéneas con coeficientes constantes
5. Ecuaciones lineales no homogéneas con coeficientes variables
6. El método de las series de potencias
2
2
0
Resolver la ecuación
2 0
alrededor de 0
d y dyx ydx dx
x
2
02 2 0 alrededor de 0d y dyx y xdx dx
Como los coeficientes y 2
son analíticos en todo el plano complejo,es claro, que todos los puntos del planocomplejo son puntos ordinarios de estaecuación.
P x x Q x
C
0
1
0
22
20
2 1
2 1 0
1
1 2 0
nn
n
nn
n
nn
n
n n nn n n
n n n
y x a x
dy na xdxd y n n a xdx
n n a x x na x a x
2
02 2 0 alrededor de 0d y dyx y xdx dx
2
2 1 0
20 0
20
1 2 0
2 1 2 0
2 1 0
n n nn n n
n n n
n nn n
n n
nn n
n
n n a x na x a x
n n a x n a x
n n a a x
2 1
2 1 0
1 2 0n n nn n n
n n n
n n a x x na x a x
2
02
20
2 0 alrededor de 0
2 1 0nn n
n
d y dyx y xdx dx
n n a a x
2 1n
naan
2 20
2 1 01
n nn n n
n
an n a a x an
13
3 15
5 17
7 19
2
4 4 2
6 6 4 2
8 8 6 4 2
aa
a aa
a aa
a aa
02
024
046
6 08
1
3 3 1
5 5 3 1
7 7 5 3 1
aa
aaa
aaa
a aa
We emphasize that it is not particularly important if we are unable to determine the general coefficient an in terms of a0 and a1. What is essential is that we can determine as many coefficients as we want. Thus we can find as many terms in the two series solutions as we want, even if we cannot determine the general term. While the task of calculating several coefficients in a power series solution is not difficult, it can be tedious. A symbolic manipulation package can be very helpful here; some are able to find a specified number of terms in a power series solution in response to a single command.Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems. Ninth edition.William E. Boyce &Richard C. DiPrima
2 20
2 1 01
n nn n n
n
an n a a x an
13
3 15
5 17
12 1
2
4 4 2
6 6 4 2
12 !!
1,2,3,...
nn
aa
a aa
a aa
aan
n
02
024
046
02
1
3 3 1
5 5 3 1
12 1 !!
1,2,3,... ;
nn
aa
aaa
aaa
aan
n
2
02
0 12 2 1
2 0 alrededor de 0
1 ; 1,2,3,... 1 ; 1,2,32 1 !! 2 !!
n nn n
d y dyx y xdx dxa aa n a nn n
21
1
2 12
1
11
2 1 !!
12 !!
nn
n
nn
n
y x xn
y x x xn
2
02 2 0 alrededor de 0d y dyx y xdx dx
21
1
2 12
1
11
2 1 !!
12 !!
nn
n
nn
n
y x xn
y x x xn
11 0 1
0 00
0
Si 0, y si, para un valor fijo de ,
lim lim ,
entonces la serie de potencias convergeabsolutamente para aquellos valores de talesque 1 y diverge si
n
nn n
nn n nn
a x
a x x ax x x x Laa x x
xx x L x x
0
0
1.
Si 1, la prueba no nos da ninguna
conclusión.
L
x x L
21
1
11
2 1 !!
nn
n
y x xn
12 2
22
2
12 1 !! 2 1 !!
lim lim lim 0(2 1)!! 1 21
2 1 !!
el radio de convergencia es infinito.
nn
nn n nn
xxn n
xn n
xn
2 12
1
12 !!
nn
n
y x x xn
12 3
22
2 1
12 2 !! 2 !!
lim lim lim 0(2 2)!! 2 11
2 !!
el radio de convergencia es infinito.
nn
nn n nn
xn n x
xn n
xn
2
02 2 0 alrededor de 0d y dyx y xdx dx
2 1 2 1 22
1 0 0
2 22
20 0 0
2
1 1 12 !! 2 !! 2 !!
pero
2 !! 2 !
así que
1 1 12 !! ! 2 ! 2
exp2
n n nn n n
n n n
n
nn n nnn
nn n n
y x x x x x xn n n
n n
x xy x x x x xn n n
xx
2
02 2 0 alrededor de 0d y dyx y xdx dx
21
1
22 1
21
11
2 1 !!
1exp
2 !! 2
nn
n
nn
n
y x xn
xy x x x xn
21
1
11
2 1 !!
nn
n
y x xn
6 4 2 2 4 6
0 .2
0 .2
0 .4
0 .6
0 .8
1 .0
2 12
1
12 !!
nn
n
y x x xn
6 4 2 2 4 6
0 .6
0 .4
0 .2
0 .2
0 .4
0 .6
6 4 2 2 4 6
0 .6
0 .4
0 .2
0 .2
0 .4
0 .6
2
2 exp2xy x x
6 4 2 2 4 6
0 .6
0 .4
0 .2
0 .2
0 .4
0 .6
2 12
1
12 !!
nn
n
y x x xn
2
2 exp2xy x x
2
12 0 dada la solución d y dyb x c x y y xdxdx
0 0
1 21
1 expx
x
y x y x b d dy
2 22 2
0 0 0
22
0
22 22 2 2
12
22
1exp exp2
x xx x
x x
xx
x
e ey x xe d d xe d
exe d
0 0
2
1 21
2
02
22
1 exp
2 0 alrededor de 0
x
x
x
y x y x b d dy
d y dyx y xdxdx
y x xe
22
2 22 2
22
1122
2
1 11 12 22 2
1122
1
1
e dd e dd
e d ee d e dd
e e d
22
0
2 22
22 22 2
12
21 2
1 112 22
2
11 12
2 2 2 21
0
1
xx
x
x xx x
ey x xe d
e ed e d
ey x xe e d xe e dx
0 0
2
1 21
2
02
22
1 exp
2 0 alrededor de 0
x
x
x
y x y x b d dy
d y dyx y xdxdx
y x xe
2
02 2 0 alrededor de 0d y dyx y xdx dx
221
2 2 21
1 0
22 1
21
11 1
2 1 !!
1exp
2 !! 2
n xxn
n
nn
n
y x x xe e dn
xy x x x xn
2 2
22
2 2
212
0 0
22
20
1 2 2 22 2
2
1 2 1 2 Dawson2
xx
xx
d d d d d
e d e d
xy x xe e d x
0 0
2 22
1 21
2
02
12 2 2
1 20
1 exp
2 0 alrededor de 0
1 ;
x
x
xx x
y x y x b d dy
d y dyx y xdxdx
y x xe e d y x xe
2
21 2 22 Dawson
2
x xy x c xe c c x
2
2
02
21 2
2 0 alrededor de 0
1 2 Dawson ; 2
x
d y dyx y xdxdxxy x x y x xe
2 2
0( ) exp exp
xF x x y dy
6 4 2 2 4 6
0 .2
0 .2
0 .4
0 .6
0 .8
1 .0
1 2 Dawson2xx
6 4 2 2 4 6
0 .2
0 .2
0 .4
0 .6
0 .8
1 .0
1 2 Dawson2xx
2
1
11
2 1 !!
nn
n
xn
23 2
2
0
Resolver la ecuación
0
alrededor de 0
d y dyx x ydx dx
x
23 2
02Resolver la ecuación 0 alrededor de 0d y dyx x y xdx dx
0
2Dado que =1 y que
, el punto 0 es unpunto sin
1 , que
no es analíticgular irregular y el
a en 0 método no sirve.
x Q xxP
xx
x
x
2
2 3
1 1 0d y dy ydx x dx x
23 2
02Resolver la ecuación 0 alrededor de 0d y dyx x y xdx dx
22 2
2
Viendo la solución de Mathematica se le "ocurre"a uno hacer el cambio de variable
2
que en efecto transforma la ecuación en
0
que es la ecuación de Bessel modificada de orden 0.
zx
d y dyz z z ydz dz
2
2
0
Resuelve
0
alrededor de 1
d y dyx xydx dx
x
2
02
1 0 alrededor de 1d y dy y xdx x dx
Es claro, que el punto 0NO es un punto ordinario de laecuación. Sin embargo, todoslos demás puntos si son puntosordinarios, en particular, 1 esun punto ordinario de esta ecuación.
x
x
0
1
1
22
22
2 1
2 1 0
1
1
1 1
1 1 1 1 0
nn
n
nn
n
nn
n
n n nn n n
n n n
y x a x
dy na xdx
d y n n a xdx
x n n a x na x x a x
2
02 0 alrededor de 1d y dyx xy xdx dx
2 1
2 1 0
2 2 1
2 2 1
0 0
2 1 1
2 2 1
0
1 1 1 1 1 1 1 1 0
1 1 1 1 1 1
1 1 1 0
1 1 1 1 1
1
n n nn n n
n n n
n n nn n n
n n n
n nn n
n n
n n nn n n
n n n
nn
n
x n n a x na x x a x
n n a x x n n a x na x
a x x a x
n n a x n n a x na x
a x
1
0
1 0nn
n
a x
2 1
2 1 0
1 1 1 1 0n n nn n n
n n n
x n n a x na x x a x
2 10 1
1 10 0 1
2 2 1 11 1
1 0 11 1 1
2 1 1 1 1
1 1 1 1 0
2 2 1 1 1 1
1 1 1 1 0
n nn n
n n
n n nn n n
n n n
n nn n
n n
n n nn n n
n n n
n n a x n n a x
n a x a x a x
a n n a x n na x a
n a x a a x a x
2 1
2 2
1 1
1 0 0
1 1 1 1
1 1 1 0
n nn n
n n
n n nn n n
n n n
n n a x n n a x
na x a x a x
0 1 2
2 1 1 11
2
2 1 1 1 1 0nn n n n n
n
a a a
n n a n na n a a a x
2 2 1 11 1
1 0 11 1 1
2 2 1 1 1 1
1 1 1 1 0
n nn n
n n
n n nn n n
n n n
a n n a x n na x a
n a x a a x a x
0 12
2 1 1 1
22 1 1
12 1
2
2 1 1 1 0
2 1 1 0
12 1 2
n n n n n
n n n n
n nn n
a aa
n n a n na n a a a
n n a n a a a
n a aa an n n
0 1 2
2 1 1 11
2
2 1 1 1 1 0nn n n n n
n
a a a
n n a n na n a a a x
1 0 2 2 0 13 2 2
2 1 0 14 3
0 15
0 16
0 17
2 23 6 3 3 3 634 12 12 6
912 60
13180 8
13 271210 2520
a a a a a aa a a
a a a aa a
a aa
a aa
a aa
0 1 1
2 2 11
2 2 1 2n n
n na a n a aa a a
n n n
0 12
0 13
0 14
0 15
0 16
0 17
2 2
6 6
12 69
12 6013180 8
13 271210 2520
a aa
a aa
a aa
a aa
a aa
a aa
0 1 1
2 2 11
2 2 1 2n n
n na a n a aa a a
n n n
2 3 4 5 6 5
1
2 3 4 5 6 5
2
( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 13( 1) 13( 1)12 6 12 12 180 210
( 1) ( 1) ( 1) 9( 1) ( 1) 271( 1)12 6 6 60 8 2520
x x x x x xy x
x x x x x xy x x
2
02
0 1 12 2 1
0 alrededor de 1
1; 2 2 1 2
n nn n
d y dyx xy xdx dxa a n a aa a a
n n n
2 3 4 51
8 96 7
10 11 12
13
1 1 1 11 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )2 6 12 12
13 13 137( 1 ) 4397( 1 )( 1 ) ( 1 )180 210 2520 90720
39649( 1 ) 15881( 1 ) 1092899( 1 )907200 399168 29937600
8749711( 1 ) 26264259459200
y x x x x x
x xx x
x x x
x
14 15
16
237( 1 ) 5465437( 1 )838252800 186810624
35879956703( 1 )1307674368000
x x
x
2
02 0 alrededor de 1d y dyx xy xdx dx
2 3 4 52
7 8 96
10 11 12
13
1 1 1 31 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )2 6 6 20
1 271( 1 ) 953( 1 ) 3823( 1 )( 1 )8 2520 10080 45360
13789( 1 ) 76709( 1 ) 60331( 1 )181440 1108800 950400
45644243( 1 ) 530104778377600
y x x x x x x
x x xx
x x x
x
14
15 16
1( 1 )97297200
4157899567( 1 ) 6239114491( 1 )81729648000 130767436800
x
x x
2
02 0 alrededor de 1d y dyx xy xdx dx
We emphasize that it is not particularly important if we are unable to determine the general coefficient an in terms of a0 and a1. What is essential is that we can determine as many coefficients as we want. Thus we can find as many terms in the two series solutions as we want, even if we cannot determine the general term. While the task of calculating several coefficients in a power series solution is not difficult, it can be tedious. A symbolic manipulation package can be very helpful here; some are able to find a specified number of terms in a power series solution in response to a single command.Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems. Ninth edition.William E. Boyce &Richard C. DiPrima
0
1
1 1 1
' 1 1 1
y x a
y x a
2 30 1 2 3
21
2
02
2 3
0 alrededor de
1 1 1
' 2 1 3
1
1
y x a a
d y dyx xy xdx dx
x a x a x
y x a a x a x
2
2
22 2
2
1 0 2 0
0
0
que es la ecuación de Bessel de orden 0(es decir, =0), cuya solución general es
d y dyx x xydx dx
d y dyx x x ydx dx
y x c J x c Y x
2
2 0d y dyx xydx dx
0 1 0 0 1 0
1 0 2 0
(1) (1) ( ) (1) (1) ( )2
y x J J Y x Y Y
y x c J x c Y x
J x
2
2
22 2
2
0 , 1 1 , ' 1 1
0 , 1 1 , ' 1 1
d y dyx xy y x y xdx dx
d y dyx x x y y x y xdx dx
0 .8 1 .0 1 .2 1 .4
0 .4
0 .6
0 .8
1 .0
1 .2
2 3 4 5 6 5 2 3 4 5 6 5
1 2
1 2
( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 13( 1) 13( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 9( 1) ( 1) 271( 1)1 ; 12 6 12 12 180 210 2 6 6 60 8 2520x x x x x x x x x x x xy x y x x
y x y x
0 1 0 0 1 0(1) (1) ( ) (1) (1) ( )2
y x J J Y x Y Y J x
0 .5 1 .0 1 .5 2 .0
2 .5
2 .0
1 .5
1 .0
0 .5
0 .5
1 .0
2 3 4 5 6 5 2 3 4 5 6 5
1 2
1 2
( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 13( 1) 13( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 9( 1) ( 1) 271( 1)1 ; 12 6 12 12 180 210 2 6 6 60 8 2520x x x x x x x x x x x xy x y x x
y x y x
0 1 0 0 1 0(1) (1) ( ) (1) (1) ( )2
y x J J Y x Y Y J x
0 .5 0 .5 1 .0 1 .5 2 .0 2 .5 3 .0
1 0
8
6
4
2
0 1 0 0 1 0(1) (1) ( ) (1) (1) ( )2
y x J J Y x Y Y J x
2 3 4 5 6 5 2 3 4 5 6 5
1 2
1 2
( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 13( 1) 13( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 9( 1) ( 1) 271( 1)1 ; 12 6 12 12 180 210 2 6 6 60 8 2520x x x x x x x x x x x xy x y x x
y x y x
2
2
2
2
1 1
1 1 0
1 01
z x x z
d f dfz z fdz dz
d f df fdz z dz
2
2 0d y dyx xydx dx
0
2 1
2 1 0
1 2 1 1
2 2 1 0 0
1 2 1 11 0 0 1 0
1 1 1 0
1 1 0
1 2 1 1 0
nn
n
n n nn n n
n n n
n n n n nn n n n n
n n n n n
n n n n nn n n n n
n n n n n
f z a z
z n n a z na z z a z
n n a z n n a z na z a z a z
n na z n n a z n a z a z a z
n
1 2 2 1 11 1 1
1 01 0
1 2 2 1 1
0
n n nn n n
n n n
n nn n
n n
na z a n n a z a n a z
a z a a z
2
21 1 0d f dfz z fdz dz
0 1 2 1 2 1 11
20 1 2 2 1 1
1
22 1 1
2 1 2 1 1 0
2 2 1 1 0
2 1 1 0
nn n n n n
n
nn n n n
n
n n n n
a a a n na n n a n a a a z
a a a n n a n a a a z
n n a n a a a
2
20
1 2 2 1 1 1 01 1 1 1 0
1 1 0 ;
1 2 2 1 1 0
nn
n
n n n n nn n n n n
n n n n n
d f dfz z f f z a zdz dz
n na z a n n a z a n a z a z a a z
0 1 1
2 2 11 ;
2 2 2 1n n
n na a a ana a a
n n n
0 12
2 1 1 1
22 1 1
12 1
2
2 1 1 1 0
2 1 1 0
12 1 2
n n n n n
n n n n
n nn n
a aa
n n a n na n a a a
n n a n a a a
n a aa an n n
0 1 2
2 1 1 11
2
2 1 1 1 1 0nn n n n n
n
a a a
n n a n na n a a a x
2
22
Resuelve
1 1 2 0d y dyx x x xydx dx
2
2
Alrededor de 0, tenemos
1 1 que no es analítica en 01 1
2 2 que sí es analítica en 01 1
x
x xx xx x x x
xx xx x x
2 2
22 2 2
1 21 1 2 0 01 1
d y dy d y x dyx x x xy ydx dx dx x x dx x x
singular irregulPor lo tanto, el punto 0 es un punto
y el método NO puedeser utiliz
arado.
x
2 2
2
Alrededor de 1, tenemos
1 11 que sí es analítica en 11
2 121 que sí es analítica en 11
x
x xx xx x x
xx x
x x x
singular regul
Por lo tanto, el punto 1 es un punto
y el método SÍ puedeser utiliz
arado.
x
2 2
22 2 2
1 21 1 2 0 01 1
d y dy d y x dyx x x xy ydx dx dx x x dx x x
2
22
2
22
Hacemos 1 1
1 12 2 1 011
2 2 011
donde1
z x x z
d y z dy zz y zdz dz z zz z
df zd f z f zdz dz z zz z
f z y z
2 2
22 2 2
1 21 1 2 0 01 1
d y dy d y x dyx x x xy ydx dx dx x x dx x x
2
22
2 2 011
df zd f z f zdz dz z zz z
2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7
2 2
2
2 3 4 5 6 7 82 21 1
2 21
[ ]
2 21
2 2 2 2 ( )
z zzz z z
zzz z
z z z z z z O z
z z z z z z zz
O
0y P x y Q x y
2
0 0
1 2
0 0
Si 0 es un punto singular regular, entonces
y
para .
Por lo tanto,
y
para y 0.
n nn n
n n
n nn n
n n
x
xP x P x x Q x Q x
x r
P x P x Q x Q x
x r x
0 0
La ecuación indicial1 0P Q
0
0 ; nn
n
y P x y Q x y y x a x
2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7
2
22
2 2
2
0 0
2 2 011
2 21 1
2 21 1
La ecuación indicial es
2 3 4 5 6 7 8 [ ]
2 2 2 2 2 2 ( )
1 0
z z z z z z O
df zd f z f zdz dz z zz z
z z z
z z z z z
zz z z
z z Oz
P
zzz z
Q
2
La ecuación indicial 1 2 0
3 0
1 23 0
22
2
3
0
2
0
21
20
1 2 2 1 0
3
3 2
nn
n
nn
n
nn
n
df zd fz z z z f zdz dz
f z a z
df zn a z
dz
d f n n a zdz
2 1 2 3
0 0 0
4 3 2
0 0 0
3 2 4 3
0 0 0 0
4 4
0 0
1 3 2 2 3 2 1 0
3 2 2 3 2 3 2
3 2 3 2 2 0
3 2 2
n n nn n n
n n n
n n nn n n
n n n
n n n nn n n n
n n n n
n nn n
n n
z z n n a z z n a z z a z
n n a z n n a z n n a z
n a z n a z a z a z
n n a z a z
3 3
0 0
3 2 2
0 0 0
2 3 2 3
2 3 2 2 3 0
n nn n
n n
n n nn n n
n n n
n n a z n a z
a z n n a z n a z
4 4 3 3
0 0 0 0
3 2 2
0 0 0
4 3
0 0
2
0
2
3 2 2 2 3 2 3
2 3 2 2 3 0
3 2 2 2 3 2 3 2
3 2 2 3 0
5
n n n nn n n n
n n n n
n n nn n n
n n n
n nn n
n n
nn
n
n n a z a z n n a z n a z
a z n n a z n a z
n n a z n n n a z
n n n a z
n n
4 2 3 2
0 0 0
2 2 2 2 22 1
2 1 0
8 2 9 11 3 0
2 2 5 4 3 0
n n nn n n
n n n
n n nn n n
n n n
a z n n a z n n a z
n n a z n n a z n n a z
2 2 2 2 22 1
2 1 0
2 2 3 2 2 32 0 1 1
2 2
2
2
3 30 1
2 2 22 1
2
2 2 5 4 3 0
2 11 2 5 4 4
3 0
11 4
2 2 5 4 3 0
n n nn n n
n n n
n nn n
n n
nn
n
nn n n
n
n n a z n n a z n n a z
n n a z a z n n a z a z
n n a z
a z a z
n n a n n a n n a z
3 30 1
2 2 22 1
2
0 1 1 0
2
2 22 1
21 2(
11 4
2 2 5 4 3 0
1111 4 0 4
2 2 5 4 3
2 5 4) ( 2)( 3)
0
nn n n
n
n n n
n nn
a z a z
n n a n n a n n a z
a a a a
n n a n n a n n a
n n a n n aa
n n
2
0
21
1211 ; (2 5 4) ( 2)
( 3
4 ) n n
nan n a n n
aa
an n
02
03 2
4 2 3
5 3 4
6 4 5
7 5 6
214
771 3718 21 22 56281 32 79401 44 106541 58 13770
aa
aa a
a a a
a a a
a a a
a a a
2
0
21
1211 ; (2 5 4) ( 2)
( 3
4 ) n n
nan n a n n
aa
an n
02
03
04
05
06
07
214623
72949
721223
64416347
1555239802577
1088640
aa
aa
aa
aa
aa
aa
2 3 4
6 75
8 9
10
11 21 623 9491 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )4 4 72 72
1223 416347( 1 ) 39802577( 1 )( 1 )64 15552 1088640
195390241( 1 ) 11914544947( 1 )3991680 184757760
1006695703597( 1 )12009254400
y x x x x x
x xx
x x
x
0 .8 1 .0 1 .2 1 .4
1
2
3
4
5
6
7
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