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Manual de soluciones del libro
"Métodos dinámicos en economía"
Versión 0.4
Héctor Lomelí OrtegaBeatriz Rumbos PellicerLorena Zogaib Achcar
1 de septiembre de 2004
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Índice General
2 Ecuaciones diferenciales lineales 3
3 Ecuaciones no lineales de primer orden 7
4 Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales 11
5 Análisis cualitativo 15
6 Conceptos básicos de dinámica discreta 20
9 Optimización estática 22
11 Introducción al cálculo en variaciones 39
1
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Nota para el lector
La presente es una versión preliminar de las soluciones del libro Métodos dinámicos
en economía.Estamos conscientes de que, a pesar del esfuerzo y cuidado puestos en este tra-
bajo, es probable que existan errores involuntarios en las respuestas que aquí pre-sentamos. Agradeceremos sus comentarios y correcciones al presente documentoa las siguientes direcciones electrónicas:
lomeli@itam.mx
rumbos@itam.mx
Con cierta frecuencia aparecerán nuevas versiones en la página del departamentode Matemáticas del ITAM, en:
http://matematicas.itam.mx
Gracias por leer nuestro libro.
Los autores
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Capıtulo 2Ecuaciones diferenciales lineales
2.2 b = −3, c = 6, x0 = 5.
2.3 α = 3, β = − 19 , A = 1
18 , B = 118 . Por lo tanto la solución para las condiciones
iniciales dadas es x(t) = −19
+1
18e3t +
118
e−3t.
2.4 α = 0, β = 7. Por lo tanto la solución para las condiciones dadas se puedeescribir como y(v) = 7e−v sin v.
2.5 a) x(t) = ke5t , la solución no converge a su estado estacionario.
b) x(t) = ke−t2 , la solución sí converge a su estado estacionario.
c) x(t) = 8 + ke−t, la solución sí converge a su estado estacionario.
d) x(t) = 2 + ke5t, la solución no converge a su estado estacionario.
2.6 P(t) = 5 + ke−6t, el estado estacionario es P∗ = 5. La solución sí converge a suestado estacionario.
2.7 a) P(t) = P0eat.
b) t∗ =ln 2
a.
c) limt→∞
P(t) = 0.
2.8 P(t) = P0e(α−β)t. Si α > β, limt→∞
P(t) = ∞, es decir que P crece indefinidamente.
Si α = β, limt→∞
P(t) = P0, es decir que P es siempre constante. Si α < β,
limt
→ ∞P(t) = 0, es decir que P se extingue.
2.9 P(t) =Ea
+(
P0 −Ea
)eat. Si P0 =
Ea
, entonces P(t) =Ea
, por lo tanto limt→∞
P(t) =
Ea
es decir, la población es constante. Si P0 >Ea
, entonces limt→∞
P(t) = ∞, es
3
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4
decir la población es creciente. Si P0 <Ea
, entonces limt→∞
P(t) = −∞, es decirla población es decreciente.
2.10 Factor de integración µ(t) = e∫ T
t r(s)ds. Interpretación: Y(t) es la inversión, B(t)
es el precio del bono yYT
BT+∫ t
Tδ(s′)ds′ es la cantidad de bonos que se tienen
en la inversión.
2.11 a) r(t) = r0 −1
t + 1.
b) B(t) = er0(t−T)(
T + 1t + 1
).
c) δ(t) = −er0(T−t). Si δ < 0 tenemos retiros.
d) Z(T) =1r0
(er0(T−t) − 1
)+ 1.
e) Y(t) =T + 1t + 1
er0(t−T)[
1 +1r0
(e−r0(t−T) − 1
)]= B(t)Z(t). Simplificando
Y(t) =T + 1t + 1
[(1 − 1
r0
)er0(t−T) +
1r0
].
2.12 a) Y es el cambio en la inversión. Se debe a las ganancias rY generadaspor invertir a una tasa Y menos las perdidas −X(t) debidas al flujo deinversión.
b) Y(t) = er(t−T)Y(T) + ert∫ T
te−rsX(s)ds. En el límite T → ∞, Y(t) =
ert∫ ∞
te−rs(s)ds.
c) Cambio de variable τ = s − t. Por lo tanto Y(t) =∫ ∞
0e−rτX(τ + t)dτ.
2.13 L a f (t) + bg(t) =∫ ∞
0e−st [a f (t) + bg(t)] dt
=∫ ∞
0e−st (a f (t)) dt +
∫ ∞
0e−st (bg(t)) dt
= a∫ ∞
0e−st f (t)dt + b
∫ ∞
0e−stg(t)dt = aL f (t) + bL g(t) .
2.14 a) x(t) =12
+ ce−2 sin t.
b) x(t) =12
+ ce−t2.
c) x(t) = 5 + e−t33 .
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5
d) x(t) = −17
et + e−6t.
e) y(u) =13
+23
e−u3.
2.15 a) pe +(
αrr − α
)pe =
dα
r − α. Resolviendo encontramos que
pe(t) =dr
+(
pe0 −
dr
)e−( αr
r−α)t
.
b)∫ ∞
0de−rtdt = lim
b→∞
∫ b
0de−rtdt = −d
rlimb→∞
[e−rb − 1
]=
dr
.
c) limt→∞
pe(t) =dr
+(
pe0 −
dr
)limt→∞
e−( αrr−α)t =
dr
= p∗ ya queα, r > 0 y r > α.
d) Sustituyendo (2.29) en (2.28) se tiene que p =dr
+α
r(p − pe) . Por lo tan-
to p = p∗α
r(p − pe) . Ahora bien, usando la solución para pe se obtiene
que
p(t) =(
rr − α
)p∗ −
(α
r − α
)pe.
Por lo tanto limt→∞
p(t) =(
rr − α
)p∗ −
(α
r − α
)y lim
t→∞pe =
(r
r − α
)p∗ −(
α
r − α
)p∗ = p∗.
e) p(t) = p∗ −(
αrr − α
)(pe
0 − p∗) e−( αrr−α)t, con r > α. Además
pe(t) = p∗ + (pe0 − p∗) e−( αr
r−α)t,
con r > α.
2.16 Sea v = ln y, entonces ev = y y y′ = ev dvdt
. Sustituyendo ev dvdt
+ P(t)ev =
Q(t)evv. Por lo tanto v′ − Q(t)v = −P(t).
2.17 Sea v = ln y, resolviendo para v se obtiene v(t) = − t3
4+
ct. Como y(t) = ev(t)
entonces y(t) = e−t34 + c
t .
2.18 Sea Ax + Bx + Cx = 0 una ecuación diferencial homogénea con coeficientesconstantes, donde A = 0, B, C ∈ R. Sean x1, x2 dos soluciones de la ecuación,es decir: Ax1 + Bx1 + Cx1 = 0 yAx2 + Bx2 + Cx2 = 0. Sea x3 = ax1 + bx2.Entonces Ax3 + Bx3 + Cx3 = A (ax1 + bx2) + B (ax1 + bx2) + C (ax1 + bx2) =a (Ax1 + Bx1 + Cx1) + b (Ax2 + Bx2 + Cx2) = 0. Por lo tanto x3 = ax1 + bx2
es solución de la ecuación Ax + Bx + Cx = 0.
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2.19 a) x = −1, x(0) = 2, x(0) = 4.
b) x − 3x + 2x = 6t − 7.
c) x + 4x + 5x = 0.
2.20 a) x(t) = et.
b) x(t) = e54 t
[3 cos
√234
t +13√23
sin
√234
t
].
c) x(t) = e−t [cos t + sin t] .
d) x(t) = (1 − 3t)e3t .
2.21 a) x(t) = k1e(1+√
2)t + k2e(1−√
2)t − 7.
b) x(t) = c1 cos t − c2 sin t + 1.
c) x(t) = e54 t
[c1 cos
√234
t − c2 sin
√234
t
]+ 3.
d) x(t) = A + Be3t − 4t.
e) x(t) = c1e−t + c2e2t − 12
.
f) x(t) = c1e−3t + c2te−3t +19
.
2.22 p(t) = m + e−β2 t (A cos δt − B sin δt) , con β > 0, δ 0.
u(t) = u − e−β2 t
γ
(−βA
2− Bδ
)cos δt +
(βB2
− Aδ
)sin δt
.
Además limt→∞
p(t) = m y limt→∞
u(t) = u, lo que quiere decir que se satisface elmismo comportamiento asintótico que en el caso β > 4αγ.
2.23 a) x(t) = c1 cos 2t − c2 sin 2t − t4
cos 2t.
b) x(t) = c1e−t + c2e3t − 3t2 + 4t − 143
.
c) x(t) = c1e−t + c2e2t − 43
te−t.
d) x(t) = c1e3t + c2e−t − 12
et − cos t + 2 sin t.
e) x(t) = e−3t (c1 cos 2t − c2 sin 2t) + e−2t(
117
cos 2t +4
17sin 2t
).
2.24 x(t) = k1et + k2e2t + k3e−t.
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Capıtulo 3Ecuaciones no lineales de primerorden
3.1 a) x(t) = |t| o x(t) = t si t > 0.
b) x(t) = |t| o x(t) = t si t > 0.
c) x(t) =1
2 − t.
d) x(t) = tan(
t − 1 +π
4
).
e) x(t) = 3
√2 (t + 1)3/2 +
7127
.
3.2 a) y(x) = sin−1
√2
x2 + 1.
b) y(x) − 2 ln |y(x) + 2| = − ln |x + y| − 1.
c) y(x) = −√
12
et +12
e3t.
3.3 a) N(t) =N∗
1 +(
N∗N0
− 1)
eN∗ktpara N∗ = N0. Si N∗ = N0 entonces N(t) =
N∗.
b) limt→∞
N(t) = N∗, es decir que el número de personas que habrá oído elrumor cuando t sea muy grande tenderá al número total de personasdel pueblito.
3.4 Sea w = k1−α. Resolviendo se obtiene w(t) = ce−(1−α)(n+δ)t +s
n + δ. Por lo tanto
la solución para k es de la formak(t) = w1
1−α =[
ce−(1−α)(n+δ)t +s
n + δ
] 11−α
.
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Además limt→∞
k(t) =[
sn + δ
] 11−α
= k∗.
3.5 a) Sea Υ = KγL1−γ. EntoncesLL
= α− βLΥ
= α− βL
KγL1−γ= α− β
1KγL1−γ
=
α − βLγ
Kγ. Por lo tanto L = αL − β
Lγ+1
Kγ, donde K es constante.
b) Sea w = L−γ. Resolviendo se obtiene w(t) =(
1Lγ
0− β
αKγ
)e−αγt +
β
αKγ.
Por lo tanto L(t) = w(t)−1γ =
[(1
Lγ0− β
αKγ
)e−αγt +
β
αKγ
]− 1γ
.
c) limt→∞
L(t) =(
β
αKγ
)− 1γ
. Por lo tanto limt→∞
L(t) =(
α
β
) 1γ
K.
3.6 a) Sea w = y1−n. Su solución está dada por w(t) = keαt − 1α
. Por lo tanto
y(t) =1
keαt − 1/α. Como P =
Cr
y + L, entonces
P(t) =1(
1P0−L + r
αC
)eαt − r
αC
+ L.
b) limt→∞
P(t) =
L, P0 = C − L
P0, P0 = C − L.
3.7 a) x(t) =1
2t − 2 + ce−t .
b) Sea w =1y2 , cuya solución es w(x) = x +
12
+ ce2x. Por lo tanto y(x) =
±(
x +12
+ ce2x)− 1
2
.
c) Sea w =1y
, cuya solución es w(x) =x + c
x. Por lo tanto y(x) =
xx + c
.
d) Sea w =1y3 , cuya solución es w(x) = x3 (2x3 + c
). Por lo tanto y(x) =
1
x [2x3 + c]13
.
3.8 a) Sea w = x−6, entonces la tenemos la solución w(t) = 1 + ce6t. Por lo tantox(t) = 1.
b) Sea w = x−4, entonces la tenemos la solución w(t) = − 443t
+c
t44 . Por lo
tanto x(t) =1
4√
4743t44 − 4
43t
.
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c) Sea w = y−2, entonces la tenemos la solución w(t) =1t
+c√t. Por lo
tanto y(t) =√
t, con t > 0.
3.9 a) x = 0 equilibrio inestable; x = 2 equilibrio estable.
b) x = 0, x = 12 equilibrios inestables; x = 3 equilibrio estable.
c) x = 2nπ equilibrio inestable; x = (2n + 1) π equilibrio estable.
d) x = k equilibrio estable.
3.10 a) Si x0 < 2 entonces x(t) converge a 2. Si x0 > 2 entonces x(t) diverge.
b) Si x0 < 0 entonces x(t) converge a 0. Si 0 < x0 < 1 entonces x(t) conver-ge a 1. Si x = 1 es un punto de equilibrio estable.
c) Si x0 < 0 entonces x(t) converge a 0. Si x0 > 0 entonces x(t) diverge.
3.11 a) Comod
dw
(u′
u′′
)=
(u′′) (u′′) − u′u′′′
(u′′)2 = 1 − u′u′′′
(u′′)2 . Entoncesu′u′′′
(u′′)2 =
1 − ddw
(u′
u′′
)= k. De esta manera
ddw
(u′
u′′
)= 1 − k. Lo que implica
u′
u′′ = (1 − k)w + A′. Donde A es continua. Por lo que se tieneu′′
u′ =
1A′ + (1 − k)w
. Sea A = −A′ entonces −u′′
u′ =1
A + (k − 1)w.
b) A + (k − 1) w > 0 con w > 0.
c) Si k = 0 entonces u = k2 + k1 Aw − k1w2
2. Si k = 1 entonces −u′′
u′ =1A
,la cual es una función CARA (aversión relativa al riesgo constante). Si
k > 1 entonces −u′′
u′ =1
A + (k − 1)wy se parece al caso k = 0.
3.12 a) p =1
1 − αλ[(αm0 + µ + αµt) − αp] . Por lo que la solución para esta ecua-
ción esp(t) = (m0 + µλ + µt) + (p0 − m0 − λµ) e−
α1−α t.
Además limt→∞
p(t) = ∞, y
limt→∞
p(t) = µ = m.
b) p =1λ
(p − m0 − µt) . Cuya solución, para las condiciones iniciales da-das, es:
p(t) = (m0 + µλ + µt) + (p0 − m0 − λµ) etλ .
Además limt→∞
p(t) = ∞, y limt→∞
p(t) = ∞.
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3.13 a) Sea pe =(1 − τ)dα
r − α
(αr
r − α
)pe. Resolviendo se obtiene
pe(t) = p∗ + (pe0 − p∗) e−( αr
r−α)t
yp(t) = p∗ − α
r − α(pe
0 − p∗) e−( αrr−α)t.
Además limt→∞
pe(t) = limt→∞
p(t) =(1 − τ) d
r≡ p∗.
b) Si τ aumenta a τ > τ entonces en el momento del cambio, el cambio enel precio p pasa de un valor cero a un valor negativo (el precio tiende adisminuir) correspondiente a la condición pe = p∗. Después p aumentaen el tiempo y el sistema procede asintóticamente hacia un nuevo valorde equilibrio, pe = p∗ < p∗.
c) p(t) =[
p0 −(1 − τ) d
r
]ert +
(1 − τ) dr
.
d) El nivel del precio diverge, a menos que p0 =(1 − τ) d
r, con τ > τ.
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Capıtulo 4Sistemas de ecuacionesdiferenciales lineales
4.1 a) X(t) = c1
(11
)e−2t + c2
(1−1
)e−4t.
b) X(t) = c1
(1√3
)e(2+
√3)t + c2
(1
−√
3
)e(2−
√3)t.
c) X(t) = c1
(10
)+ c2
(1−4
)e−4t.
d) X(t) = c1
(21
)+ c2
(31
)et.
4.2 a) X(t) = c1
(e−t cos t
−e−t sin t
)+ c2
(e−t sin t
e−t cos t
).
b) X(t) = c1
(4−2
)e3t + c2
(4t
1 − 2t
)e3t.
c) X(t) = c1
(cos 2tsin 2t
)et + c2
(sin 2t
− cos 2t
)et.
d) X(t) = c1
(−1−2
)et + c2
(−t
1 − 2t
)et.
4.3 a) X(t) = c1
(11
)e2t + c2
(12
)e3t − 1
2
(11
).
11
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12
b) X(t) = c1
(2 cos
√3
2 t
− cos√
32 t +
√3 sin
√3
2 t
)e−
32 t
+c2
(2 sin
√3
2 t
− sin√
32 t −
√3 cos
√3
2 t
)e−
32 t +
(25
).
c) X(t) = c1
(11
)e2t + c2
(12
)e3t − 1
2
(54
)et.
4.4 a) X(t) =
(−110
)e−
t2 . Por lo tanto lim
t→∞X(t) =
(00
).
b) X(t) =
(cos βtsin βt
)eαt.
c) X(t) =
500
+
5 cos t + 15 sin t
20 cos t + 10 sin t30 cos t − 10 sin t
et.
4.5 a) X(t) = (2 + w)
(11
)et + (1 − w)
(1−2
)e−2t.
b) w = −2.
4.6 a) Se necesita que trA = a + d = 0 y que det A = ad − bc < 0. En este casoλ1 =
√bc − ad > 0 y λ2 = −
√bc − ad < 0.
b)
(x(t)y(t)
)= c1
(b
λ1 − a
)eλ1t + c2
(b
−λ1 − a
)e−λ1t.
4.7 a) X(t) = c1
(31
)+ c2
(1−1
)e−4t.
b) limt→∞
X(t) = c1
(31
)=
(3c1
c1
).
4.8 X(t) =
131
e2t + c1
5 cos t + sin t12 cos t + 2 sin t
4 cos t
et + c2
5 sin t − cos t12 sin t − 2 cos t
4 sin t
et.
4.9 A =
−2 −7 −20 1 03 7 3
.
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4.10 a) Como el conjunto w1, w2, w3, . . . , wn es l.i. para todo t, por lo tanto lascolumnas de Φ(t) son l.i. de modo que existe la inversa Φ−1(t).
b) Sabemos que cada wi con i = 1, . . . n es solución de la ecuación X = AX,por lo que se tiene que wi = Awi para i = 1 . . . n. Así
Φ(t) =(
w1 w2 . . . wn
)=(
Aw1 Aw2 . . . Awn
)= A
(w1 w2 . . . wn
)= AΦ(t).
c) Sea Υ(t) = Φ(t)∫ t
0Φ−1(s) f (s)ds. Por lo tanto
∫ t
0Φ−1(s) f (s)ds = Φ−1(t)Υ(t).
Por otra parte
Υ(t) = Φ(t)∫ t
0Φ−1(s) f (s)ds + Φ(t)Φ−1(t) f (t)
= Φ(t)Φ−1(t)Υ(t) + f (t) = AΦ(t)Φ−1(t)Υ(t) + f (t)
= AΥ(t) + f (t).
Por lo tanto Υ es una solución particular a la ecuación X = AX + f (t).
4.13 a)
(x(t)y(t)
)= c1
(43
)e−
410 t + c2
(1−1
)e−
1110 t +
111
(25001625
).
b)
(x(t)y(t)
)= c1
(43
)e−
410 t + c2
(1−1
)e−
1110 t +
16
(1719
)e
t10 .
4.14 a) x = f (x, y), y = 1.
b) x(t) = c2e2t − 12
t − 14
.
4.15 El sistema lineal con coeficientes constantes esx′(w) = a1x(w) + b1y (w)y′(w) = a2x (w) + b2y (w)
.
4.16
(x(t)y(t)
)= c1
(11
)t2 + c2
(13
)t4.
4.18 a) x(t) = (cos t + sin t) e−t. Además limt→∞
x(t) = 0.
b) x(t) =13
+53
e3t.Además limt→∞
x(t) = ∞.
c) x(t) =1925
− 4425
e−5t +65
t.Además limt→∞
x(t) = ∞.
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d) x(t) = (1 + 2t) e−t.Además limt→∞
x(t) = 0.
e) x(t) = (1 − 2t) e2t.Además limt→∞
x(t) = −∞.
f) x(t) = −4e−2t +83
e−3t +13
.Además limt→∞
x(t) =13
.
4.19 a) y(x) =(
u + w2
)e−x +
(u − w
2
)cos x +
(u + 2v + w
2
)sin x.
b) w = u y v = −u. Con esto se tiene y(x) = ue−x. Por lo tanto limx→∞
y(x) = 0.
4.20 y(t) =15
e−2t +45
et cos t − 25
et sin t. Además limt→∞
y(t) no está definido ya que lafunción oscila.
4.21 a) y(x) =(
2v − 2u − 1−5
)e−x
+(
2v + 3u − 15
)ex cos x +
(2v − 2u + 4
10
)ex sin x.
b) u = 1 y v = −1. Con esto se tiene y(x) = e−x. Por lo tanto limx→∞
y(x) = 0.
4.22 y(t) =14
et − 14
e−t − 12
sin t.
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Capıtulo 5Análisis cualitativo
5.1 a) P∗ =
(00
)es un punto silla.
b) P∗ =
(00
)es un espiral atractora.
c) P∗ =
(00
)es un espiral repulsora.
d) P∗ =
(00
)es un nodo repulsor.
e) P∗ =
(− 5
313
)es un punto silla.
5.2 a) P∗ =
(00
)es un punto silla.
b) P∗ =
(00
)es degenerado inestable.
c) P∗ =
(00
)es degenerado.
d) P∗ =
(−3b
b
)es un punto fijo para cada b. Por lo tanto hay una infini-
dad de puntos fijos, cada uno de ellos degenerado.
e) P∗ =
(94
− 92
)es un espiral repulsora.
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5.3 a) P∗ =
000
es degenerado.
b) P∗ =
000
es nodo repulsor.
c) P∗ =
000
es degenerado.
d) P∗ =
−411
es nodo repulsor.
5.4 a) Existen cuatro puntos fijos: P∗1 =
(00
), P∗
2 =
(06
), P∗
3 =
(20
), y
P∗4 =
(4−2
). El punto P∗
1 es un nodo repulsor, P∗2 un nodo atractor, P∗
3
un punto silla y P∗4 una espiral atractora. Se tiene que lim
t→∞
(x(t)y(t)
)=(
06
)es decir que la población de x se extinguirá y la de y tenderá a 6,
no es posible que las dos poblaciones coexistan en el largo plazo.
b) Existen cuatro puntos fijos: P∗1 =
(00
), P∗
2 =
(02
), P∗
3 =
(30
), y
P∗4 =
(4−2
). El punto P∗
1 es un nodo repulsor, P∗2 un punto silla, P∗
3 un
nodo atractor y P∗4 un punto silla. Se tiene que lim
t→∞
(x(t)y(t)
)=
(30
)
es decir que la población de x tenderá a 3 y la de y se extinguirá, no esposible que las dos poblaciones coexistan en el largo plazo.
c) Existen cuatro puntos fijos: P∗1 =
(00
), P∗
2 =
(03
), P∗
3 =
(10
), y
P∗4 =
(103
143
). El punto P∗
1 es un nodo repulsor, P∗2 un punto silla, P∗
3 un
punto silla y P∗4 un nodo atractor. Se tiene que lim
t→∞
(x(t)y(t)
)=
(103143
)
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17
es decir que la población de la especie x se estabilice en 103 y la de y en
143 . Se espera que las poblaciones coexistan en el largo plazo.
5.5 a) Para el punto fijo
(P∗
N∗
)=
(00
),se tiene la dirección estable dada por
λ = −1 que es U =
(01
), y la dirección inestable dada por λ = 1 que
es V =
(10
).
b) Como γNP es el número de encuentros Depredador-Presa por unidadde tiempo, entonces γ representa la frecuencia de encuentros entre lasespecies.
5.6 a) Se obtiene un comportamiento cíclico si 0 < a < 1 y b = a.
b) El sistema es estable si a < 1, b > a y ab < 1.
5.7 El punto fijo está dado por
(w∗
p∗
)= p∗
(a
1
). La solución del sistema es
(wp
)= c1
(a1
)+ c2
(1
AB+CA
)e−|λ2|t,
donde λ2 = A − a (AB + C) . Además limt→∞
(wp
)= c1
(a1
). Por lo tanto,
los puntos fijos son múltiplos del vector
(a1
)y son puntos de equilibrio
estables.
5.8 a) P∗ = (0, 0) es un punto silla porque λ1 = α + β > 0 y λ2 = α − β < 0.
b) Para el punto fijo P∗ se tiene Es = gen
(1
α + β
)con λ2 < 0 y
Eu = gen
(1
α − β
)con λ1 > 0.
5.9 El punto P∗ = (0, 0, 0) es un punto silla porque det A = −6 < 0. El espacio li-
neal estable es Es (0) = gen
1−11
que representa una recta. El espacio
lineal inestable es Eu (0) = gen
502
,
100
que representa un plano.
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18
5.11 a) El punto fijo es P∗ =
(k∗
c∗
)=
(145
)y es un punto silla porque para
ese punto se obtiene λ1 = − 12 < 0 y λ2 = 4
5 > 0.
b) En P∗ la recta tangente que aproxima la variedad estable Ws (P∗) es c =45
k. Similarmente, la recta tangente que aproxima la variedad inestable
Wu (P∗) es c = −12
k +1310
.
c) c0 ≈ 45(1.1) = 0.88 > c∗.
5.12 v = −2u.
5.13 a) Los puntos fijos son cuatro: P∗1 = (0, 1), P∗
2 = (0,−1), P∗3 = (
1√3
, 0), y
P∗4 = (− 1√
3, 0). Los puntos P∗
1 y P∗2 son los únicos puntos silla. Los
puntos P∗3 y P∗
4 dan soluciones cíclicas. Para P∗1 se tiene
Es (P∗1 ) = gen
(01
)=(x, y) ∈ R2 | x = 0
,
Eu (P∗1 ) = gen
(10
)=(x, y) ∈ R2 | y = 1
.
Para P∗2 se tiene
Es (P∗2 ) = gen
(10
)=(x, y) ∈ R2 | y = −1
,
Eu (P∗1 ) = gen
(01
)=(x, y) ∈ R2 | x = 0
.
b) Por regla de la cadena
yx
=dy/dtdx/dt
=dydt
dtdx
=dydx
.
Entoncesdydx
=yx
=1 − 3x2 − y2
2xy=
1 − 3x2
2xy− y2
2xy.
Por lo tantodydx
=(
1 − 3x2
2xy
)y−1 − 1
2xy,
que es una ecuación de Bernoulli con n = −1.
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c)Ws (P∗
1 ) = Wu (P∗2 ) =
(x, y) ∈ R2 | x = 0
y
Wu (P∗1 ) = Ws (P∗
2 ) =(x, y) ∈ R2 | x2 + y2 = 1
.
5.14 a) Hay dos puntos de equilibrio: P∗1 =
(00
)y P∗
2 =
(343
). El punto P∗
1
es un nodo repulsor y P∗2 es un punto silla.
b) Existen dos puntos de equilibrio: P∗1 =
(00
)y P∗
2 =
(− 1
3
− 13
). El
punto P∗1 es un punto silla y P∗
2 es un centro (soluciones cíclicas).
5.15 El punto fijo
(k∗
p∗
)=
(I(p∗)
δf ′(k∗)
r+δ
)es un punto silla.
a) La tasa de convergencia está dada por λ =r −√
r2 − 4 det J∗
2< 0, don-
dedet J∗ = −δ(r + δ) + f ′′(k∗)I ′(p∗).
Se tiene además que limr>>1
λ = −δ.
5.17 a) El único punto fijo del sistema es P∗ =
(1e
)y es un punto silla.
b) Para P∗ se tiene Es (P∗) = gen
(01
)=(x, y) ∈ R2 | x = 1
y
Eu (P∗) = gen
(1e
)=(x, y) ∈ R2 | y = ex
.
c) y(x) = ex +c
x − 1.
d) Para P∗ se tiene
Ws (P∗) =(x, y) ∈ R2 | x = 1
y
Wu (P∗) =(x, y) ∈ R2 | y = ex .
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Capıtulo 6Conceptos básicos de dinámicadiscreta
6.4 a) xt =(−1
2
)t
(x0 − 2) + 2. Además limt→∞
xt = 2, es decir que es asintótica-
mente estable.
b) xt =(
32
)t
(x0 + 4) − 4. Además limt→∞
xt = ∞, es decir que es asintótica-
mente inestable.
c) xt = (−1)t(
x0 −52
)+
52
. Además limt→∞
xt no está definido es decir que
diverge.
d) xt =(−1
3
)t
x0. Ademáslimt→∞
xt = 0, es decir que es asintóticamente esta-
ble.
6.5 La ecuación en diferencia para el ingreso es Yt+1 = mYt + (c + I) . Tiene como
punto fijo a y∗ =c + I1 − m
. Por lo tanto, la solución de la ecuación es Yt =
mt[
Y0 −c + I1 − m
]+
c + I1 − m
. Además limt→∞
Yt = c+I1−m > 0, es decir que el punto
fijo es asintóticamente estable.
6.8 a) Puntos fijos: x∗1 = −1 el cual es asintóticamente inestable y x∗
2 = 1 el cuales un punto silla.
b) Puntos fijos: x∗1 = 1 el cual es asintóticamente inestable y x∗
2 = 3 el cuales asintóticamente estable.
6.10 a) pt = −13
pt−1 +83
. El punto fijo es p∗ = 2 el cual es asintóticamente esta-ble, ya que lim
t→∞pt = 2.
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b) pt = −pt−1 +112
. El punto fijo es p∗ =114
el cual es inestable, se tieneque lim
t→∞pt no existe.
c) pt = −3pt−1 + 16. El punto fijo es p∗ = 4 el cual es asintóticamenteinestable.
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Capıtulo 9Optimización estática
9.1 Sean A y B subconjuntos convexos de Rn.
a) Sea A + B = a + b|a ∈ A y b ∈ B y sean c1, c2 ∈ A + B. Entoncesc1 = a1 + b1, c2 = a2 + b2 donde a1, a2 ∈ A y b1, b2 ∈ B. Como a1, a2 ∈ Ay b1, b2 ∈ B con A y B convexos, entonces ∀λ ∈ (0, 1) se tiene que λa1 +(1 − λ) a2 ∈ A y λb1 + (1 − λ) b2 ∈ B. Por lo tanto, [λa1 + (1 − λ) a2] +[λb1 + (1 − λ) b2] ∈ A + B. De donde λ (a1 + b1) + (1 − λ) (a2 + b2) ∈A + B. Entonces λc1 + (1 − λ) c2 ∈ A + B. Por lo tanto A + B es convexo.
b) Sea kA = ka|a ∈ A para k ∈ R y sean c1, c2 ∈ kA.Entonces c1 =ka1, c2 = ka2 donde a1, a2 ∈ A. Como a1, a2 ∈ A y A es convexo,entonces ∀λ ∈ (0, 1) se tiene que λa1 + (1 − λ) a2 ∈ A. Por lo tanto,k [λa1 + (1 − λ) a2] ∈ kA. De donde λ [ka1] + (1 − λ) [ka2 ] ∈ kA. Enton-ces λc1 + (1 − λ) c2 ∈ kA. Por lo tanto kA es convexo.
9.2 Sea X ⊂Rn un conjunto convexo y sean f , g : X →R dos funciones cóncavas.
a) Sea α ∈ R+ y sean x1, x2 ∈ X. Como f es cóncava, entonces
f (λx1 + (1 − λ) x2) λ f (x1) + (1 − λ) f (x2) , ∀λ ∈ (0, 1) .
Como α > 0, entonces
α f (λx1 + (1 − λ) x2) α [λ f (x1) + (1 − λ) f (x2)]
= λ [α f (x1)] + (1 − λ) [α f (x2)] .
Por lo tanto α f es cóncava.
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b) Sea α ∈ R− y sean x1, x2 ∈ X. Como f es cóncava, entonces
f (λx1 + (1 − λ) x2) λ f (x1) + (1 − λ) f (x2) , ∀λ ∈ (0, 1) .
Como α < 0, entonces
α f (λx1 + (1 − λ) x2) α [λ f (x1) + (1 − λ) f (x2)]
= λ [α f (x1)] + (1 − λ) [α f (x2)] .
Por lo tanto α f es convexa.
c) Como f y g son cóncavas, entonces ∀λ ∈ (0, 1) se tiene que
f (λx1 + (1 − λ) x2) λ f (x1) + (1 − λ) f (x2) ,
g (λx1 + (1 − λ) x2) λg (x1) + (1 − λ) g (x2) .
Por lo tanto,
f (λx1 + (1 − λ) x2) + g (λx1 + (1 − λ) x2)
[λ f (x1) + (1 − λ) f (x2)] + [λg (x1) + (1 − λ) g (x2)] .
Entonces
( f + g) (λx1 + (1 − λ) x2) [( f + g) (x1)] + (1 − λ) [( f + g) (x2)] .
Por lo tanto, f + g es cóncava.
d) Sea g (x) ⊂ Y ⊂ R y sea h : Y → R una función cóncava y creciente.Como g es cóncava, entonces ∀λ ∈ (0, 1) se tiene que
g (λx1 + (1 − λ) x2) λg (x1) + (1 − λ) g (x2) .
Como h es creciente, entonces
h (g (λx1 + (1 − λ) x2)) h (λg (x1) + (1 − λ) g (x2)) .
De donde
(h g) (λx1 + (1 − λ) x2)
= h (g (λx1 + (1 − λ) x2))
h (λg (x1) + (1 − λ) g (x2))
λh [g (x1)] + (1 − λ) h [g (x2)]
= λ (h g) (x1) + (1 − λ) (h g) (x2) .
Por lo tanto, h g es cóncava.
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9.3 a) Conjunto convexo.
b) No es conjunto convexo.
c) Conjunto convexo.
9.4 a) Si x = 0 o y = 0, entonces f (x, y) = 0, que es un plano en R3 (z = 0), ysabemos que toda función que represente un plano es cuasicóncava enparticular (también es cuasiconvexa, cóncava y convexa). Si suponemosque x, y > 0, queremos demostrar que para toda k ∈ R+, el contornosuperior de f en k, CS f (k) = (x, y) ∈ R2
++|xy k es un conjuntoconvexo. Sean x1 = (x1, y1) , x2 = (x2, y2) ∈ CS f (k) , de modo quex1y1 k y x2y2 k. Sea
x = ˘x1 + (1 − λ) x2 = (λx1 + (1 − λ) x2, λy1 + (1 − λ) y2) ,
con λ ∈ (0, 1) . Debemos demostrar que
(λx1 + (1 − λ) x2) (λy1 + (1 − λ) y2) k.
Así,
(λx1 + (1 − λ) x2) (λy1 + (1 − λ) y2)
= λ2 (x1y1) + (1 − λ)2 (x2y2) + λ (1 − λ) (x2y1 + x1y2)
kλ2 + k (1 − λ)2 + kλ (1 − λ)(
x2
x1+
x1
x2
)
= k(
λ2 + (1 − λ)2 + 2λ (1 − λ))
+ kλ (1 − λ)(
x2
x1+
x1
x2− 2)
= k (λ + (1 − λ))2 + kλ (1 − λ)(
x21 + x2
2 − 2x1x2
x1x2
)
= k + kλ (1 − λ)(x2 − x1)
2
x1x2
= k
[1 + (1 − λ)
(x2 − x1)2
x1x2
] k.
Por lo tanto, x ∈ CS f (k) . Lo que implica que CS f (k) es convexo, ∀k ∈R2
+. Por lo tanto, f (x, y) = xy es cuasicóncava en R2+.
b) Como f es doblemente diferenciable, analizamos simplemente el signode le matriz hessiana H :
H =
(fxx fxy
fyx fyy
)=
(2 22 2
).
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25
Como fxx = 2 > 0, fyy = 2 > 0 y |H| = fxx fyy − f 2xy = 0. Entonces H es
positiva semidefinida. Por lo tanto, f es convexa (no estricta).
c) Como f es doblemente diferenciable, analizamos simplemente el signode le matriz hessiana H :
H =
(fxx fxy
fyx fyy
)=
(2 00 2
).
Como fxx = 2 > 0, fyy = 2 > 0 y |H| = fxx fyy − f 2xy = 4 > 0. Entonces H
es positiva definida. Por lo tanto, f es estrictamente convexa.
9.5 f es una función cóncava para a 0 y b 0.
9.6 a) Si el dominio de la función se restringe a R2++ entonces f es cuasicóncava
y además estrictamente cóncava. Si el dominio incluye x, y < 0 entoncesf no es cuasicóncava, ni se aplica la definición de función cóncava al noser el dominio convexo.
b) f es cuasicóncava y además estrictamente cóncava.
c) f es cuasiconvexa y además convexa (no estricta).
9.7 Sea g : Rn++ → R, dada por
g (x) = ln(Πn
k=1xαkk
)con α1, . . . , αn > 0. Entonces
g (x) = ln(
xα11 xα2
2 . . . xαnn)
= α1 ln x1 + α2 ln x2 + · · · + αn ln xn.
Por lo tanto
H =
− α1x2
10 . . . 0
0 − α2x2
2. . . 0
. . . . . . . . . . . .0 0 . . . − αn
x2n
.
Como |H1| = −α1
x21
< 0, |H2| =α1α2
x21x2
2> 0, |H3| = −α1α2α3
x21x2
2x23
< 0, . . . , (−1)k
|Hk| > 0 con 1 k n. Entonces H es definida negativa. Por lo tanto f esestrictamente cóncava.
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9.8 Por el ejercicio anterior tenemos que la función
g (x) = ln(Πn
k=1xαkk
)= ln (h (x))
es estrictamente cóncava y, por lo tanto, cóncava. Existe un teorema queestablece que si f es creciente y h es cuasicóncava entonces f h también escuasicóncava. Entonces, como g es cuasicóncava y ex es una función creciente,se tiene que h = eg = Πn
k=1xαkk es cuasicóncava.
9.9 a) Sean a =a
f (a)y b =
bf(b) . Entonces
f (a) = f(
af (a)
)= f
(1
f (a)a)
=(
1f (a)
)′f (a) =
f (a)f (a)
= 1.
Similarmente f(b)
= 1. Como CS f (1) = x ∈ X| f (x) = 1 y comof (a) = f
(b)
= 1, por lo tanto a, b ∈ CS f (1) .
b) Sea µ =λ f(b)
(1 − λ) f (a) + λ f(b) . Como f : X → (0, ∞) , entonces f (a) > 0
y f(b)
> 0. Además, como 0 < λ < 1 se tiene que λ > 0 y (1 − λ) > 0,por lo tanto µ > 0. Por otra parte, reescribamos µ como
µ =λ f(b)
+ (1 − λ) f (a) − (1 − λ) f (a)(1 − λ) f (a) + λ f
(b)
= 1 − (1 − λ) f (a)(1 − λ) f (a) + λ f
(b) < 1,
ya que(1 − λ) f (a)
(1 − λ) f (a) + λ f(b) > 0. Por lo tanto µ < 1. Se concluye que
0 < µ < 1.
c) Como a, b ∈ CS f (1) , 0 < µ < 1 y CS f (1) es convexo, entonces
(1 − µ) a + µb ∈ CS f (1) .
Por lo tanto, f((1 − µ) a + µb
) 1.
d) De la definición de µ se tiene
1 − µ = 1 −λ f(b)
(1 − λ) f (a) + λ f(b) =
(1 − λ) f (a)(1 − λ) f (a) + λ f
(b) .
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Entonces
1 f((1 − µ) a + µb
)= f
(((1 − λ) f (a)
(1 − λ) f (a) + λ f(b))(
af (a)
)+
(λ f(b)
(1 − λ) f (a) + λ f(b))(
bf(b)))
= f
(1
(1 − λ) f (a) + λ f(b) [(1 − λ) a + λb
])
=1
(1 − λ) f (a) + λ f(b) f((1 − λ) a + λb
).
Es decir, 1 (
1(1 − λ) f (a) + λ f
(b))
f((1 − λ) a + λb
). Por lo tanto
(1 − λ) f (a) + λ f(b)
f((1 − λ) a + λb
).
Por lo tanto f es cóncava.
9.10 Sea f (x1, . . . , xn) = xα11 . . . xαn
n = Πnk=1xαk
k una función Cobb-Douglas y x ∈Rn
++. Es claro que f es cuasicóncava siempre, ya que es una transformacióncreciente de la función cóncava ln
(xα1
1 xα22 . . . xαn
n)
, y es por lo tanto cuasicón-cava. Si α1 + · · ·+ αn = 1, entonces f es homogénea de grado 1, cuasicóncavay positiva, por lo tanto, por el problema 9.9, f es cóncava. Si α1 + · · ·+ αn = 1,entonces el hessiano de f es
H =
α1(α1−1) fx2
1
α1α2 fx1x2
. . . α1αn fx1xn
. . . . . . . . . . . .α1αn fx1xn
α1αn−1 fx1xn−1
. . . αn(αn−1) fx2
n
.
Por lo tanto, sus menores principales dominantes son:
|Hk| =α1α2 . . . αk
(x1 . . . xk)2 f k
α1 − 1 α1 . . . α1
. . . . . . . . . . . .αk αk . . . αk − 1
= (−1)k
(1 −
k
∑i=1
αi
)(α1α2 . . . αk
(x1 . . . xk)2 f k
).
Por lo tanto, (−1)k |Hk| > 0. Entonces, H es definida negativa. Por lo tanto, f
es estrictamente cóncava. Si 0 <n
∑k=1
αk 1, entonces f es cóncava.
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9.11 a) w (λx1, . . . , λxn) =(δ1 (λx1)
ρ + · · · + δn (λxn)ρ) 1ρ
=(λρ(δ1xρ
1 + · · · + δnxρn)) 1
ρ
= λ(δ1xρ
1 + · · · + δnxρn) 1
ρ
= λw (x1, . . . , xn) .
Por lo tanto, w es homogénea de grado 1.
b) Como limρ→0
w = limρ→0
eln w = e
(limρ→0
(ln w))
. Además
limρ→0
(ln w) = limρ→0
[ln(δ1xρ
1 + · · · + δnxρn) 1
ρ
]
= limρ→0
[ln(δ1xρ
1 + · · · + δnxρn)
ρ
].
Cuando δ1 + · · · + δn = 1, este limite es del tipo 00 , ya que
ln(δ1xρ
1 + · · · + δnxρn)
→ρ→0
ln (δ1 + · · · + δn) = ln 1 = 0.
Así, usando la regla de L’Hôpital se tiene que
limρ→0
(ln w) = limρ→0
ddρ (δ1xρ
1+···+δnxρn)
(δ1xρ1+···+δnxρ
n)1
= limρ→0
[δ1xρ
1 ln x1 + · · · + δnxρn ln xn
δ1xρ1 + · · · + δnxρ
n
]
=δ1 ln x1 + · · · + δn ln xn
δ1 + · · · + δn
=ln(
xδ11 xδ2
2 ...xδnn
)1
.
Por lo tanto, limρ→0
w (x1, . . . , xn) = eln(
xδ11 x
δ22 ...xδn
n
). Es decir,
limρ→0
w (x1, . . . , xn) = xδ11 xδ2
2 ...xδnn
y corresponde a la familia de funciones Cobb-Douglas.
c) Es claro que si ρ = 1 entonces w (x1, . . . , xn) = δ1x1 + · · · + δnxn, que esuna ecuación lineal (hiperplano en Rn+1).
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29
d) Sea g (x1, . . . , xn) =n
∑k=1
δkxρk = δ1xρ
1 + · · · + δnxρn. Entonces,
H =
δ1ρ (ρ − 1) xρ−21 0 ... 0
0 δ2ρ (ρ − 1) xρ−22 ... 0
0 0 ... δnρ (ρ − 1) xρ−2n
.
Por lo tanto, si 0 < ρ < 1, entonces ρ (ρ − 1) < 0. Lo que implica que|H1| < 0, |H2| > 0, |H3| < 0, . . . , (−1)k |Hk| > 0, . . . , (−1)n |Hn| > 0. Porlo tanto, H es negativa definida. Por lo tanto, si 0 < ρ < 1, entonces g escóncava.
e) Con la definición del inciso anterior, se tiene que w = g1ρ . Si ρ = 1, en-
tonces w es lineal (inciso c), de modo que es cuasicóncava. Si 0 < ρ < 1,entonces g es cóncava (inciso d) y, como g
1ρ es una función creciente, en-
tonces w = g1ρ es cuasicóncava también. Como w es cuasicóncava para
toda 0 < ρ 1, sólo toma valores positivos y como además es homo-génea de grado 1 (inciso a), por el teorema del problema 9.9 concluimosque w es cóncava. Por lo tanto, si 0 < ρ 1, entonces w es cóncava.
9.12 Suponemos que CIf (1) es convexo, se definen a ≡ af (a)
y b =b
f(b) . Como f
es homogénea de grado 1, se obtiene que f (a) = f(b)
= 1. Además
CIf (1) = x ∈ X| f (x) 1.
Por lo tanto, a, b ∈ CIf (1) . Luego se define
µ =λ f(b)
(1 − λ) f (a) + λ f(b) ,
con a, b ∈ X y 0 < λ < 1. De modo que (problema 9.9), nuevamente 0 <
µ < 1. Como a, b ∈ CIf (1), 0 < µ < 1 y CIf (1) es convexo (ya que f escuasiconvexa), entonces f
((1 − µ) a + µb
) 1. Finalmente, sustituyendo a, b
y µ en esta desigualdad y, viendo que f es homogénea de grado 1, se obtieneque
(1 − λ) f (a) + λ f(b)
f((1 − λ) a + λb
).
Por lo tanto, f es convexa. Ahora, apliquemos este resultado a la funciónCES,
w (λx1, . . . , λxn) =(δ1xρ
1 + · · · + δnxρn) 1
ρ .
Es claro que w es homogénea de grado 1 (problema 9.11.a) y positiva. Fal-ta ver que w sea cuasicóncava cuando ρ > 1, para aplicar el teorema recién
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demostrado. De acuerdo con el problema 9.11 inciso d, cuando ρ > 1 el hes-siano de g es positivo definido (|H1| > 0, |H2| > 0, . . . , |Hn| > 0), de modoque g es convexa y, por lo tanto, cuasiconvexa. Como w = g
1ρ con ρ > 0, es
decir, w es una función creciente de g, con g cuasiconvexa, por lo tanto w escuasiconvexa. Por lo tanto, por el teorema recién demostrado, w es convexasi ρ > 1. Por lo tanto, si ρ > 0, entonces una función CES es convexa.
9.13 Sea Ω = (a, b) un conjunto convexo y abierto de R y sea y = f (z) una funcióncóncava en Ω.
a) Sean a < z1 < z2 < z3 < b con z2 = λz1 + (1 − λ) z3, 0 < λ < 1. Como fes cóncava en Ω, entonces
f (z2) λ f (z1) + (1 − λ) f (z3) .
Por lo tanto,y2 λy1 + (1 − λ) y3....... (1) .
Como z2 = λz1 + (1 − λ) z3 = λz1 + z3 − λz3. Por lo tanto, λ (z3 − z1) =z3 − z2. Lo que implica que
λ =z3 − z2
z3 − z1y, 1 − λ =
z2 − z1
z3 − z1....... (2) .
Por último, se reescribe y2 como
y2 = 1 ∗ y2 =(
z3 − z1
z3 − z1
)y2
=(
z3 − z2 + z2 − z1
z3 − z1
)y2
=(
z3 − z2
z3 − z1
)y2 +
(z2 − z1
z3 − z1
)y2....... (3) .
Por lo tanto, sustituyendo (2) , (3) en (1) se obtiene(z3 − z2
z3 − z1
)y2 +
(z2 − z1
z3 − z1
)y2
(z3 − z2
z3 − z1
)y1 +
(z2 − z1
z3 − z1
)y3.
Multiplicando por z3 − z1 > 0 se tiene
(z3 − z2) y2 + (z2 − z1) y2 (z3 − z2) y1 + (z2 − z1) y3.
Por lo tanto,
(z3 − z2) (y2 − y1) (z2 − z1) (y3 − y2) .
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31
Como z3 − z2 > 0 y z2 − z1 > 0, entonces(y2 − y1)(z2 − z1)
(y3 − y2)(z3 − z2)
. Por lo
tantof (z2) − f (z1)
z2 − z1 f (z3) − f (z2)
z3 − z2....... (4) .
b) Como Ω es convexo y por la densidad de los reales, siempre se puedenescoger números r, s, t, u tales que a < r < s < x < y < t < u < b, paracada x ∈ (a, b) .
c) Sean a < r < s < x < t < u < b. Podemos aplicar la ecuación (4) encada trío de puntos en r < s < x < y < t < u, obteniendo
f (s) − f (r)s − r
f (x) − f (s)x − s
f (y) − f (x)
y − x f (t) − f (y)
t − y f (u) − f (t)
u − t....... (5) ,
con s, r, u y t fijos. Así, se definen las constantes c1 y c2 como:
c1 =f (s) − f (r)
s − r, c2 =
f (u) − f (t)u − t
....... (6) .
De (5) y (6) se obtiene
c1 f (y) − f (x)y − x
c2....... (7) .
d) Por último, como y − x > 0 entonces limy→x+
c1 (y − x) f (y) − f (x) c2 (y − x) . Por lo tanto,
limy→x+
[c1 (y − x)] limy→x+
[ f (y) − f (x)] limy→x+
[c2 (y − x)] .
Comolim
y→x+[c1 (y − x)] = lim
y→x+[c2 (y − x)] = 0,
entonceslim
y→x+[ f (y) − f (x)] = 0.
Por lo tanto,lim
y→x+f (y) = f (x) .
Procediendo de modo similar, pero ahora con y < x se tiene que
limy→x−
f (y) = f (x) .
Por lo tanto,limy→x
f (y) = f (x) .
Es decir, f es continua en x. Por lo tanto, f es continua en Ω = (a, b) .
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32
9.14 Sea x ∈ X y sea y ∈ X un punto en la vecindad de x. Por lo tanto,
f (y) ∼= f (x) + (y − x)T ∇ f +12
(y − x)T [H f (x)] (y − x) ,
donde H f (x) es el hessiano de f evaluado en x.
a) Sabemos que f es cóncava si y sólo si f (y) f (x) + (y − x)T ∇ f . Por lotanto,
f (x) + (y − x)T ∇ f +12
(y − x)T [H f (x)] (y − x) f (x) + (y − x)T ∇ f .
Entonces(y − x)T [H f (x)] (y − x) 0.
Por lo tanto, H f (x) es negativo semidefinido.
b) Sabemos que f es convexa si y sólo si f (y) f (x) + (y − x)T ∇ f . Así,procediendo análogamente al inciso anterior, se tiene:
(y − x)T [H f (x)] (y − x) 0.
Por lo tanto, H f (x) es positivo semidefinido.
c) Suponemos que H f (x) es negativa definida, es decir,
(y − x)T [H f (x)] (y − x) < 0.
Por lo tanto, f (y) < f (x) + (y − x)T ∇ f . Por lo tanto, f es estrictamentecóncava.
d) Suponemos que la matriz H f (x) es positiva definida, es decir,
(y − x)T [H f (x)] (y − x) > 0.
Por lo tanto, f (y) > f (x) + (y − x)T ∇ f . Por lo tanto, f es estrictamenteconvexa.
9.15 Sea X ⊂ R y sean f , g : X → R de clase C1. Supongamos que x∗ = (x∗, y∗)es una solución del problema. Se quiere mostrar que existe λ ∈ R tal que∇ f (x∗) = λ∇g (x∗) , con g (x∗) = 0. Los puntos que satisfacen la restric-ción están dados por g (x, y) = 0. Supongamos que ∇g = 0, de modo quegx (x, y) = 0 o gy (x, y) = 0. Sin pérdida de generalidad supongamos quegy (x, y) = 0. Por el teorema de la función implícita, la ecuación g (x, y) = 0
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define a y como función implícita diferenciable de x, es decir, y = y (x) sigy (x, y) = 0. En ese caso,
dydx
= − gx
gy, gy = 0.
Por lo tanto, y = y (x) en f (x, y) , el problema de optimización se reduce alsiguiente problema de optimización en 1 variable:
max F (x) ≡ f (x, y (x)) .
Entonces,dF (x)
dx= f ∗x + f ∗y
(dydx
)∗= 0.
Lo que implica
f ∗x + f ∗y
(− gx
gy
)∗= 0.
De donde f ∗x g∗y − f ∗y g∗x = 0. Por lo tanto,∣∣∣∣∣ f ∗x f ∗y
g∗x g∗y
∣∣∣∣∣ = 0,
donde los renglones de este determinante son linealmente dependientes. Porlo tanto, existe λ ∈ R−0 tal que
(f ∗x , f ∗y
)= λ
(g∗x, g∗y
), o sea, ∇ f ∗ = λ∇g∗,
con g (x∗, y∗) = 0.
9.16 Como f : Rn++ → R es una función de producción homogénea, continua y
cuasicóncava, entonces CS f (q) es convexo. Además, sea x∗ (w, q) una solu-ción al problema, por lo tanto, el costo mínimo C (w, q) está dado por
C (w, q) = w · x∗ (w, q) .
Por lo tanto, por el teorema de la envolvente, se obtiene el lema de Shepard:
∂C∂wj
= x∗j (w, q) ,
para j = 1, . . . , n.
a) Se quiere demostrar que C es una función creciente de wj, j = 1, . . . , n.
Como x ∈ R2++, entonces xj > 0 y como
∂C∂wj
= x∗j (w, q) , entonces
∂C∂wj
> 0. Por lo tanto, C es creciente con respecto a wj, para j = 1, . . . , n.
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b) Se quiere demostrar que C es homogénea de grado 1 en w. Para ello,utilizamos el teorema de Euler. Sea C = C (w, q) , entonces
w1∂C∂w1
+ w2∂C∂w2
+ · · · + wn∂C
∂wn=
n
∑j=1
wj∂C∂wj
=n
∑j=1
wjx∗j (w, q)
= C (w, q) .
Por lo tanto, w · ∇wC (w, q) = (1) C (w, q) . Por lo tanto, C es homogéneade grado 1.
c) Se quiere demostrar que C es cóncava en w, es decir, que ∀λ ∈ (0, 1) secumple
C (λw1 + (1 − λ) w2, q) λC (w1, q) + (1 − λ) C (w2, q) .
Se tiene que
C (λw1 + (1 − λ) w2, q) = (λw1 + (1 − λ) w2, q) · X∗ (λw1 + (1 − λ) w2, q)
= λ [w1 · X∗ (λw1 + (1 − λ) w2, q)]
+ (1 − λ) [w2 · X∗ (λw1 + (1 − λ) w2, q)]
λ [w1 · X∗ (w1, q)] + (1 − λ) [w2 · X∗ (w2, q)]
= λC (w1, q) + (1 − λ) C (w2, q) .
Por lo tanto, C es cóncava en w.
9.17 a) f se optimiza en x = 16000 y y = 64000. Por lo tanto, se tiene que fmax =50 (16000)
12 (64000)2 .
b) Sea d2 (x, y) =√
x2 + y2, entonces d2 (x, y) se minimiza en los puntos
P1 =
( √1.1√1.1
)y P1 =
(−√
1.1−√
1.1
). Además dmin =
√2.2.
c) Sea f (x, y) = ln x + ln (y + 5) = ln [x (y + 5)] . Entonces fmax ocurre en(x, y) = (0, 4) con fmax = f (4, 0) = ln 20.
d) Sea f (x, y) = x2 + y2. Entonces fmin ocurre en (x, y) = (5, 5) con fmin =f (5, 5) = 50.
e) Sea f (x, y, z) = xyz. Entonces fmax ocurre en x = 43 , y = 4
3 y z = 43 , con
fmax =6427
.
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35
9.18 a) Las condiciones de Kuhn-Tucker están dadas por:
Lx =1
3x− 3λ1 − λ2 = 0,
Ly =1
3y− λ1 − λ2 = 0,
Lλ1 = A − (3x + y) 0, λ1 0, λ1 (3x + y − A) = 0,
Lλ2 = 40 − (x + y) 0, λ2 0, λ2 (x + y − 40) = 0.
El ingreso se tiene que restringir al intervalo (40, 120) porque si A 40entonces la primera restricción del problema será inútil. De la mismamanera si A 120, entonces la segunda restricción del problema seráinútil.
i) Si A ∈ (40, 60) , entonces sólo la primera restricción está activa (λ1 0, λ2 = 0) y la solución del problema es x∗ =
A6
, y∗ =A2
.
ii) Si A ∈ [60, 80] , entonces ambas restricciones están activas (λ1 0,
λ2 0) y la solución del problema es x∗ =A − 40
2, y∗ =
120 − A2
.
iii) Si A ∈ (80, 120) , entonces sólo la segunda restricción está activa(λ1 = 0, λ2 0) y la solución del problema es x∗ = 20, y∗ = 20.
9.19 SeaL (x, q, λ; w, p) =
(pq − wTx
)− λ [ f (x) − q] .
Entonces por las condiciones de primer orden, se tiene que la solución es deltipo
x∗ = x∗ (w, p) ,
q∗ = q∗ (w, p) = f (x∗ (w, p)) ,
λ∗ = λ∗ (w, p) .
La función de máxima ganancia es
Π (w, p) = L (x∗, q∗, λ∗; w, p) = pq∗ (w, p) − wTx∗ (w, p) − λ∗0.
Entonces por el teorema de la envolvente:
∂Π∂wj
=∂L∂wj
= −x∗j (w, p) , j = 1, ...n.
∂Π∂p
=∂L∂p
= q∗ (w, p) .
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36
9.20 Se tiene queL(x, λ; p, U
)= px − λ
[U (x) − U
].
Por las condiciones de primer orden se tiene que
xh = xh (p, U)
,
λh = λh (p, U)
.
La función de gasto es
E(p, U
)= L
(xh, λh; p, U
)= pxh (p, U
)− λ ∗ 0.
Por lo tanto, por el teorema de la envolvente
∂E∂pj
=∂L∂pj
= xhj(p, U
),
para j = 1, . . . , n.
9.21 a) El problemamin pTxs.a U (x) = V (p, m)
,
implica que
L (x; p, V (p, m)) = pTx − λ [U (x) − V (p, m)] .
Por lo tanto,xh = xh (p, V (p, m)) .
En el óptimo se cumple la restricción, es decir:
U(
xh (p, V (p, m)))
= V (p, m) = U (x∗ (p, m)) .
Supongamos que U es monótona creciente, además de cóncava, enton-ces existe U−1 y es posible cancelar U de ambas expresiones. Por lotanto,
xh (p, V (p, m)) = x∗ (p, m) .
b) El problemamax U (x)s.a pTx = E
(p, U
) ,
implica que
L(x; p, E
(p, U
))= U (x) − λ
[pTx − E
(p, U
)].
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37
Por lo tanto,x∗ = x∗
(p, E
(p, U
)).
En el óptimo se cumple la restricción, es decir:
pTx∗(p, E
(p, U
))= E
(p, U
)= pTxh (p, U
).
Como esto vale para p arbitraria, entonces
x∗(p, E
(p, U
))= xh (p, U
).
c) Por el inciso anterior y porque se cumple la restricción de Hicks se tieneque
V(p, E
(p, U
))= U
(x∗(p, E
(p, U
)))= U
(xh (p, U
))= U.
d) Por el inciso a) y porque se cumple la restricción de Marshall se tieneque
E (p, V (p, m)) = pTxh (p, V (p, m)) = pTx∗ (p, m) = m.
9.22 a) x∗ (p, m) =αmp1
, y∗ (p, m) =βmp2
.
b) V (p, m) = ln
[(α
p1
)α ( β
p2
)β
m
].
c) E(p, U
)=( p1
α
)α(
p2
β
)β
eU .
d) xh (p, U)
=(
αp2
βp1
)β
eU , yh (p, U)
=(
βp1
αp2
)α
eU .
9.23 a) x∗ (p, m) = mp
1r−11
pr
r−11 + p
rr−12
, y y∗ (p, m) = mp
1r−12
pr
r−11 + p
rr−12
.
b) V (p, m) = m[
pr
r−11 + p
rr−12
] 1−rr
.
c) E(p, U
)= U
[p
rr−11 + p
rr−12
] r−1r
.
d) xh (p, U)
= Up1
r−11
[p
rr−11 + p
rr−12
]− 1r
, y
yh (p, U)
= Up1
r−12
[p
rr−11 + p
rr−12
]− 1r
.
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38
9.24 Se tiene x∗(p, E
(p, U
))= xh (p, U
). Entonces
∂x∗i
∂pj
(p, E
(p, U
))+
∂x∗i
∂m
(p, E
(p, U
)) ∂E(p, U
)∂pj
=∂xh
i
(p, U
)∂pj
.
Por el Lema de Shepard∂E∂pj
= xhj , y como U = V (p, m) , m = E
(p, U
)y
xhj (p, V (p, m)) = x∗
j (p, m) . Por lo tanto
∂x∗i (p, m)∂pj
+ x∗j (p, m)
∂x∗i (p, m)∂m
=∂xh
i (p, V (p, m))∂pj
.
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Capıtulo 11Introducción al cálculo envariaciones
11.1 a) Por demostrar que ‖x‖ =n
∑i=1
|xi| es una norma.
i) ∀i = 1, ..n se tiene que |xi| 0. Por lo tanto,n
∑i=1
|xi| 0. Entonces
‖x‖1 0.
ii) |xi| = 0 si y sólo si xi = 0. Entoncesn
∑i=1
|xi| = 0 si y sólo si x = 0. Por
lo tanto, ‖x‖1 = 0 si y sólo si x = 0.
iii) ‖cx‖1 = ‖(cx1, . . . , cxn)‖1 =n
∑i=1
|cxi| =n
∑i=1
|c| |xi| = |c|n
∑i=1
|xi| =
|c| ‖x‖1 .
iv)
‖x + y‖1 = ‖(x1 + y1, . . . , xn + yn)‖1
=n
∑i=1
|xi + yi| n
∑i=1
(|xi| + |yi|)
=n
∑i=1
|xi| +n
∑i=1
|yi| = ‖x‖1 + ‖y‖1 .
b) Por demostrar que ‖x‖∞ = sup|xi| , i = 1, . . . , n es una norma.
i) ∀i = 1, ..n se tiene que |xi| 0. Por lo tanto, sup|xi| 0. Entonces‖x‖∞ 0.
ii) ‖x‖∞ = 0 si y sólo si sup|xi| = 0. Esto sólo se cumple si y sólo si|xi| = 0, que a su vez se cumple si y sólo si xi = 0. Es decir, si y sólosi x = 0.
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40
iii) ‖cx‖∞ = sup|cxi| = sup|c| |xi| = |c| sup|xi| = |c| ‖x‖∞ .
iv)
‖x + y‖∞ = sup|xi + yi| sup |xi| + |yi| sup |xi| + sup |yi|= ‖x‖∞ + ‖y‖∞ .
11.2 Por demostrar que ‖ f ‖p =
∫ b
a| f |p dt
1p
es una norma.
a) Es claro que ‖ f ‖p es no negativa.
b) Además ‖ f ‖p sólo vale cero cuando f = 0.
c) ‖c f ‖p =
∫ b
a|c f |p dt
1p
=
|c|p∫ b
a| f |p dt
1p
= |c| ‖ f ‖p .
d) Si p = 1, entonces
‖ f + g‖1 =∫ b
a| f + g| dt
∫ b
a(| f | + |g|) dt
=∫ b
a| f | dt +
∫ b
a|g| dt = ‖ f ‖1 + ‖g‖1 .
Si p = 2, como | f + g| | f | + |g| , entonces
(| f + g|)2 (| f | + |g|)2 = | f |2 + |g|2 + 2 | f | |g| .
Además, utilizando la desigualdad de Cauchy-Schwartz, se tiene que
∫ b
a| f + g|2 dt
∫ b
a| f |2 dt +
∫ b
a|g|2 dt + 2
∫ b
a| f | |g| dt
∫ b
a| f |2 dt +
∫ b
a|g|2 dt + 2
√∫ b
a| f |2 dt
√∫ b
a|g|2 dt
=
√∫ b
a| f |2 dt +
√∫ b
a|g|2 dt
2
.
Por lo tanto,√∫ b
a| f + g|2 dt
√∫ b
a| f |2 dt +
√∫ b
a|g|2 dt.
Es decir, ‖ f + g‖2 = ‖ f ‖2 + ‖g‖2 .
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41
11.3 Sea V = f : [0, 1] → R| f es continua.
a) Por demostrar que V es un espacio vectorial sobre R.
i) Sean f , g ∈ V. Como f , g son continuas en [0, 1] . Entonces, f + g escontinua en [0, 1] . Por lo tanto, f + g ∈ V.
ii) Sean f , g, h ∈ V. Como la suma de funciones es asociativa, entonces
( f + g) + h = f + (g + h) .
iii) Sea f : [0, 1] → R, f (x) = 0. Claramente f es continua en [0, 1] , porlo tanto, f (x) = 0 ∈ V.
iv) Sea f ∈ V. Como f es continua en [0, 1] entonces − f es continua en[0, 1] . Por lo tanto, − f ∈ V. Además, f + (− f ) = 0.
v) Sean f , g ∈ V. Como la suma de funciones es conmutativa, entoncesf + g = g + f .
vi) Sea f ∈ V y sea α ∈ R. Como f es continua en [0, 1] , entonces α f escontinua en [0, 1] . Por lo tanto, α f ∈ V.
vii) Sean f , g ∈ V y sea α ∈ R. Claramente α ( f + g) = α f + αg.
viii) Sea f ∈ V y sean α, β ∈ R. Claramente (α + β) f = α f + β f .
ix) Sea f ∈ V y sean α, β ∈ R. Claramente α (β f ) = (αβ) f .
b) Dos posibles ejemplos de funcionales lineales sobre V son:
J1 [ f ] =∫ 1
0f (t) dt
y J2 [ f ] = f (0) .
c) Dos posibles ejemplos de funcionales no lineales sobre V son:
J1 [ f ] =∫ 1
0f 2 (t) dt
y J2 [ f ] =
[∫ 1
0f (t) dt
]2
.
11.4 a) x (t) = −12
t + 20. Por lo tanto, J [x] = −5.
b) x (t) = 9t + 10. Por lo tanto, J [x] = −10710.
c) x (t) = t3 + 4t + 1. Por lo tanto, J [x] =1912
5.
d) x (t) =t2
4+ 4t + 1. Por lo tanto, J [x] =
1543
.
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e) x (t) = t. Por lo tanto, J [x] =163
.
f) Se tiene quex = 2x − y
y = x.
Por lo tanto,
x (t) = [(c1 + 2c2) + c2t] et + [(c3 − 2c4) + c4t] e−t,
y (t) = (c1 + c2t) et + (c3 + c4t) e−t.
g) x (t) =1110
t y y (t) =25
t + 2.
h) Se tiene quex = y
y = x.
Por lo tanto, x (t) = y (t) =1
eπ2 − e−
π2
(et − e−t) .
i) x (t) = t. Por lo tanto, J [x] = 1.
11.5 x (t) =t2
2+(
N − 12
)t.
11.6 a) x (t) = 4. Como f es convexa en (x, x) , entonces se trata de un mínimo.
b) x (t) = −t + 4, o x (t) = t + 4 y T = 1.Como f es convexa en (x, x) ,entonces se trata de un mínimo.
11.7 a) x (t) =14
t2 − t + 1. Como f es convexa en (x, x) , entonces se trata de unmínimo.
b) x (t) =14
t2 − 4t y T = 16. Como f es convexa en (x, x) , entonces se tratade un mínimo.
11.8 Teniendo el modelo de inversión de la sección 11.7.1 como base, entonces sus-tituyendo k(t) y su demanda k(t) en la condición de transversalidad se tiene
0 = limt→∞
e−ρT[
α(
k1r1er1T + k2r2er2T)2
+ A(
k1er1T + k2er2T + kρ)]
− limt→∞
e−ρT[
B(
k1er1T + k2er2T + kρ)2]
= limt→∞
e(2r1−ρ)Tk2
1[αr2
1 − B]+ e(2r2−ρ)Tk2
2[αr2
2 − B]
+ limt→∞
e(r1+r2−ρ)T2k1k2 [αr1r2 − B] + e(r1−ρ)Tk1 [A − 2Bkρ]
+ lim
t→∞
e(r2−ρ)Tk2 [A − 2Bkρ] + e−ρT [Akρ − Bkρ2] .
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Para que este límite converja es necesario que no aparezcan aquí los términose(2r1−ρ)T y e(r1−ρ)T que son divergentes, y esto se logra pidiendo que k1 = 0.En este caso,
limt→∞
e(2r2−ρ)Tk2
2[αr2
2 − B]+ e(r2−ρ)Tk2 [A − 2Bkρ] + e−ρT [Akρ − Bkρ2] = 0,
se verifica automáticamente.
11.9 x (t) =t2
2y T =
√2N.
11.10 a) x (t) = c2e−t +(
11 − ρ2
)e−ρt. Pero como c2 = x0 −
(1
1 − ρ2
), entonces
x (t) =[
x0 −(
11 − ρ2
)]e−t +
(1
1 − ρ2
)e−ρt.
b) Se tiene que fx = e−ρt − x y fx = −x, lo que implica que fxx = −1 < 0,fxx = 0 y fx = −1. Por lo tanto,
H =
(−1 00 −1
).
De donde |H| = 1 > 1. Por lo tanto, f es cóncava en (x, x) , es decir quese trata de un máximo.
c) Al imponer la condición c1 = 0, y dado que ρ > 0, entonces
limt→∞
x (t) = limt→∞
[(x0 −
11 − ρ2
)e−t +
(1
1 − ρ2
)e−ρt]
= 0.
Por lo tanto, sí es cierto que
limt→∞
x (t) = 0.
11.11 La trayectoria óptima de consumo es:
c(t) =[
rc1 + w +(ρ − r)
βr
]−(
ρ − rβ
)t.
Es decir que el consumo decrece linealmente con t. Según las condiciones de
transversalidad tenemos que a(t) = a0 −(
ρ − rβr
)t. Es decir que el nivel de
activos decrece linealmente con t. Para verificar la concavidad de f se tiene
H =
(−β2r2e−ρte−βc −β2re−ρte−βc
−β2re−ρte−βc −β2e−ρte−βc
).
Como faa = −β2r2e−ρte−βc < 0, faa = −β2e−ρte−βc < 0 y
|H| = e−2ρte−2βc[
β4r2 − β4r2]
= 0,
entonces, H es negativa semidefinida. Por lo tanto, f es cóncava.
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11.12 a) Se debe cumplir el sistema de ecuaciones
k = (A − δ) k − c,
c = (A − δ − ρ) c.
Resolviendo se tiene,(kc
)= c1
(10
)e(A−δ)t + c2
(1ρ
)e(A−δ−ρ)t.
Usando las condiciones de transversalidad se obtiene
k(t) = k0e(A−δ−ρ)t, con A − δ − ρ < 0,
c(t) = k0ρe(A−δ−ρ)t.
b) El único punto de equilibrio es el origen (k∗, c∗) = (0, 0) , lo cual es unaconsecuencia de la linealidad del sistema. Como el determinante delsistema es negativo (λ1 = A − δ > 0, λ2 = A − δ − ρ < 0), por lo tanto,se trata de un punto silla.
c) La variedad estable Ws es el espacio generado por el vector v2 =
(1ρ
).
Es decir, Ws = gen
(1ρ
)=(k, c) ∈ R2 | c = ρk
. Por lo tanto la
variedad estable es la recta c = ρk. Debido a las condiciones de trans-versalidad (lim
t→∞k(T) = k∗) cualquier condición inicial tal que c0 = ρk0,
llevará al sistema al punto (k∗, c∗) = (0, 0) .
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