método simplex (ejercicios)
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4 5 2 2
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CHIMBORAZOFACULTAD DE CIENCIAS POLÍTICAS Y ADMINISTRATIVAS
CARRERA DE CONTABILIDAD Y AUDITORÍA
MÉ TOD O SIM P LEX
OBJETIVO.-Resolver mediante la regla de Gauss.
REQUISITO.-Regla de Crammer (3x3) (2x2); Método de Gauss y Jordan.
EJERCICIO N°1
2 3 4 3 (-3) 4/5 1 2/5 2/5 2 3 4 3
7 9 4 4 2/5 0 14/5 9/5X1 X2 X3
-2/5 0 14/5 9/5 (-3) 4/5 1 2/5 2/54/5 1 2/5 2/5 7 9 4 4
-1/2 0 2/5 2/5 -1/5 0 2/5 2/5
EJERCICIO N° 2
5 2 2 2 3 25/7 0 10/7 -4/7 17/72 3 3 4 2 -1/7 0 15/7 1/7 8/74 3 2 2 5 13/7 0 8/7 -13/7 29/75 7 2 9 2 5/7 1 2/7 9/7 2/7
EJERCICIO N° 3
7 2 4 6 5 3 3/4 -5/2 -3/8 0 2 3/24 3 3 5 2 3 7/8 -3/4 -11/8 0 -1/2 7/45 6 7 8 4 2 5/8 3/4 7/8 1 1/2 1/48 9 7 6 3 3 17/4 9/2 7/4 0 0 3/24 3 5 2 7 4 11/4 3/2 13/4 0 6 7/2
EJERCICIO N° 4
3 2 9 7 2 -15/2 -4 0 -1/2 -11/2
-13/3 -7/3 0 -11/3 -11/35 3 8 3 3
7 4 6 5 5 7/6 2/3 1 5/6 5/6
4 3 5 6 7 -11/6 -1/3 0 11/6 17/6
INVESTIGACIÓN OPERATIVA I QUINTO SEMESTRE “A” YAMBAY JOSSELIN Página 1
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CHIMBORAZOFACULTAD DE CIENCIAS POLÍTICAS Y ADMINISTRATIVAS
CARRERA DE CONTABILIDAD Y AUDITORÍA
EJERCICIO N°5
3 4 2 5 3 2 -5 1 0 0 0 04 2 3 6 2 3 -8 -5/2 0 -3/2 -5/2 02 8 4 7 9 43 5 9 8 3 28 3 2 5 3 2
-14 2 0 -3 3 0-33 -17/2 0 -29/2 -21/2 -7
4 3/2 1 5/2 3/2 1
Pivote.- El Pivote es el número que se interseca entre el vector entrante y el vector saliente.
Vector Entrante.- Es la columna que contiene el número más pequeño.
Vector Saliente.- Es aquel número positivo más pequeño que resulta de la división de los términos independientes para el vector entrante.
Este modo solo se aplica a problemas de maximización porque los de minimización requieren otro tratamiento.
Z = 20A + 30B
2A +2B ≤ 5S.a.
A + B ≤ 3
Vector Entrante: BVector Saliente: H1Pivote: 2
EJERCICIO N°6
El Método de Gauss tengo que hacerlo hasta conseguir que todos los valores de Zsean ≥ 0
Z = 3X1 + 4X2 + 9X3
S.a.
2X1 + 2X2 ≤ 102X2 + 5 X3 ≤ 16
3X1 – 2X2 -7X3 ≤ 9C.T. X1, X2, X3 ≥ 0
Z A B H1 H2 VALOR
Z -20 -30 0 0 0
H1 2 2 1 0 5
H2 1 1 0 1 3
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CARRERA DE CONTABILIDAD Y AUDITORÍA
INVESTIGACIÓN OPERATIVA I QUINTO SEMESTRE “A” YAMBAY JOSSELIN Página 2
Convertir en igualdadesZ - 3X1 - 4X2 - 9X3 = 0
2X1+2X2 = 102X2 + 5X3 = 16
3X1– 2X2 - 7X3 = 9 Xj ≥ 0 j=1…3
Variables Holgura1. Z - 3X1 - 4X2 - 9X3 = 02. 2X1+2X2 +H1 = 103. 2X2 + 5X3 +H2 = 164. 3X1 – 2X2 -7X3 + H3 = 9 Xj, Hj j1…3 ≥ 0
Vector Entrante: X3Vector Saliente: H3Pivote: -7
EJERCICIO N°7
MAX: Z= 3X1 + 2X2S.a.
2X1 + X2 ≤ 18
2X1 + 3X2 ≤ 42
3X1 + X2 ≤ 24
X1, X2 ≥ 0
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CARRERA DE CONTABILIDAD Y AUDITORÍA
INVESTIGACIÓN OPERATIVA I QUINTO SEMESTRE “A” YAMBAY JOSSELIN
Página 3
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CARRERA DE CONTABILIDAD Y AUDITORÍA
FORMA ESTÁNDAR:
Z= 3X1 + 2X2 + 0H1 + 0H2 + 0H3
2X1 + X2 + H1 ≤ 18
2X1 + 3X2 + H2 ≤ 42
3X1 + X2 + H3 ≤ 24
X1, X2, H1, H2, H3 ≥ 0
FORMA CANÓNICA O DE ECUACIONES
Z - 3X1 - 2X2 - 0H1 - 0H2 - 0H3 = 0
2X1 + X2 + H1 = 18
2X1 + 3X2 + H2 = 42
3X1 + X2 + H3 = 24
X1, X2, H1, H2, H3 ≥ 0
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ZVA
Z 1 -3 -2 0 0 0 00 2 1 1 0 0 180 2 3 0 1 0 420 3 1 0 0 1 24
Z 1 0 -1 0 0 1 240 0 1/ 1 0 - 2/3 20 0 2 1/3 0 1 - 2/3 260 1 1/ 0 0 1/ 8
Z 1 0 0 3 0 -1 300 0 1 3 0 -2 60 0 0 -7 1 4 120 1 0 -1 0 1 6
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CARRERA DE CONTABILIDAD Y AUDITORÍA
BLELOR
VE= X1VS= H3
PIVOTE= 3
VE= X2VS= H1
PIVOTE= 1/3
VE= H3VS= H2
PIVOTE= 4
Z 1 0 0 1 1/4 1/ 0 330 0 1 - 1/2 1/ 0 120 0 0 -1 3/4 1/ 1 30 1 0 3/ - 1/4 0 3
SOLUCIÓN ÓPTIMA
Z= 33
VALORES ÓPTIMOS
X1=3
X2=12
H1=0
H2=0
H3=3
EJERCICIO N°8
MAX: Z= 3000X1 + 4000X2
S.a.
X1 + X2 ≤ 5X1 - 3X2 ≤ 0
10X1 + 15X2 ≤ 15020X1 + 10X2 ≤ 16030X1 + 10X2 ≤ 150
X1, X2 ≥ 0
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SICAS Z X1 X2 H1 H2 H3 H4 H5Z 1 -3000 -4000 0 0 0 0 0 0
H1 0 1 1 1 0 0 0 0 5H2 0 1 -3 0 1 0 0 0 0H3 0 10 15 0 0 1 0 1 150H4 0 20 10 0 1 0 1 0 160
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CARRERA DE CONTABILIDAD Y AUDITORÍA
FORMA ESTÁNDAR
Z= 3000X1 + 4000X2 + 0H1 + 0H2 + 0H3 +0H4 + 0H5
X1 + X2 + H1 ≤ 5X1 - 3X2 + H2 ≤ 0
10X1 + 15X2 + H3 ≤ 15020X1 + 10X2 + H4 ≤ 16030X1 + 10X2 + H5 ≤ 150
X1, X2, H1, H2, H3, H4, H5 ≥ 0
FORMA CANÓNICA O DE ECUACIONES
Z-3000X1 - 4000X2 - 0H1 - 0H2 - 0H3 - 0H4 - 0H5 = 0
VARIABLES BÁ
X1 + X2 + H1 = 5X1 - 3X2 + H2 = 0
10X1 + 15X2 + H3 = 15020X1 + 10X2 + H4 = 16030X1 + 10X2 + H5 = 150
X1, X2, H1, H2, H3, H4, H5 ≥ 0
VARIABLESVALOR
H5 0 30 10 0 0 0 0 1 150
VE= X2VS= H1PIVOTE= 1
VARIABLES BÁSICAS
VARIABLESVALOR
Z X1 X2 H1 H2 H3 H4 H5Z
X2H2H3H4H5
1 1000 0 4000 0 0 0 00 1 1 1 0 0 0 00 4 0 3 1 0 0 00 -5 0 -15 0 1 0 10 10 0 -10 1 0 1 00 20 0 -10 0 0 0 1
200005
1575
110100
SOLUCIÓN ÓPTIMA
Z= 20000
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CARRERA DE CONTABILIDAD Y AUDITORÍA
VALORES ÓPTIMOS
X1=0 X2=5
H1=0 H2=15 H3=75 H4=110 H5=100
EJERCICIO N°9
MAX: Z= X1 + X2S.a.
X1 + 3X2 ≤ 264X1 + 3X2 ≤ 442X1 + 3X2 ≤ 28
X1, X2 ≥ 0
FORMA ESTÁNDAR
Z= X1 + X2 +H1 + H2 + H3
X1 + 3X2 + H1 ≤ 264X1 + 3X2 + H2 ≤ 442X1 + 3X2 +H3 ≤ 28
X1, X2, H1, H2, H3 ≥ 0
FORMA CANÓNICA O DE ECUACIONES
Z - X1 - X2 -H1 - H2 - H3 = 0
X1 + 3X2 + H1 = 264X1 + 3X2 + H2 = 442X1 + 3X2 +H3 = 28
X1, X2, H1, H2, H3 ≥ 0
VARIABLES BÁSICAS
VARIABLESZ X1 X2 H1 H2 H3 VALOR
Z H1
10
-1 -1 0 0 03 1 0 0
01 26
H2 0 4 3 0 1 0 44H3 0 2 3 0 0 1 28
VE= X1VS= H2PIVOTE= 4
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VARIABLES BÁSICAS
VARIABLESZ X1 X2 H1 H2 H3 VALOR
Z H1X1
1 00 00 1
- 1/4 0 1/4 01 -1/4 00 1/4 0
1113/4 153/4 11
H3 0 0 11/2 0 -1/2 1 6
VE= X2VS= H3PIVOTE=3/2
VARIABLES BÁSICAS
VARIABLESZ X1 X2 H1 H2 H3 VALOR
Z H1X1X2
1 0 0 0 1/6 1/60 0 0 1 1/3 -11/60 1 0 0 1/2 -0,0833330 0 1 0 -1/3 2/3
12884
SOLUCIÓN ÓPTIMA
Z= 12
VALORES ÓPTIMOS
X1=8 X2=4
H1=08 H2=0 H3=0
EL MÉTODO SIMPLEX.- TÉCNICA DE PENALIZACIÓN, TÉCNICA DE VARIABLES ARTIFICIALES O TÉCNICA DE M
≤ + H1 (Si) Max -M = + A1 (Ri) Min +M ≥ - H1+A1
EJERCICIO N°10
MAX: Z= 5X1 + 6X2S.a.
-2X1 + 3X2 = 3X1 + 2X2 ≤ 5
6X1 + 7X2 ≤ 3X1, X2 ≥ 0
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CARRERA DE CONTABILIDAD Y AUDITORÍA
FORMA ESTÁNDAR
Z= 5X1 + 6X2 –MA1 +0H1 +0H2
-2X1 + 3X2 + A1 = 3
X1 + 2X2 + H1 ≤ 5
6X1 + 7X2 + H2≤ 3
X1, X2, A1, H1, H2 ≥ 0
FORMA CANÓNICA O DE ECUACIONES
Z - 5X1 - 6X2 + MA1 - 0H1- 0H2 = 0
2MX1 - 3MX2 - MA1 = -3M
Z+ (2M-5) X1+ (-3M-6) X2 -0H1-0H2 = -3M
S.a.
-2X1 + 3X2 + A1 = 3
X1 + 2X2 + H1 = 5
6X1 + 7X2 + H2= 3
X1, X2, A1, H1, H2 ≥ 0
VARIABLES BÁSICAS
VARIABLESZ X1 X2 H1 H2 A1 VALOR
Z A1H1
1 2M- 50 -20 1
(-)3M -6 0 0 00 0 11 0 0
(-)3M3 32 5
H2 0 6 7 0 1 0 3
VE= X2VS= H2PIVOTE=7
VARIABLES BÁSICAS
VARIABLESZ X1 X2 H1 H2 A1 VALOR
Z A1H1X2
1 32/7M+ 1/7 0 0 3/7M+ 6/7 00 -44/7 0 0 - 3/7 10 - 5/7 0 1 - 2/7 00 6/7 1 0 1/7 0
(-)12/7M+18/715/741/73/7
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SOLUCIÓN ÓPTIMA
Z= 18/7
VALORES ÓPTIMOS
X1=0 X2=3/7
H1=41/7 H2=0
EJERCICIO N°11
MAX: Z= 3X1 + 9X2S.a.
2X1 + 6X2 = 25X1 + 4X2 = 34X1 + X2 ≤ 5
X1, X2 ≥ 0
FORMA ESTÁNDAR
Z= 3X1 + 9X2 –MA1 –MA2 +0H1
2X1 + 6X2 +A1 = 2 (-M)
5X1 + 4X2 +A2 = 3 (-M)
4X1 + X2 +H1 ≤ 5
X1, X2, A1, A2, H1 ≥ 0
FORMA CANÓNICA O DE ECUACIONES
Z - 3X1 - 9X2 +MA1 +MA2 - 0H1 = 0
-2MX1 - 6MX2 -MA1 = -2M
-5MX1 – 4MX2 -MA2 = -3M
Z+ (-3-7M) X1+ (-9-10M) X2 -0H1 = -5M
S.a.
2X1 + 6X2 +A1 = 25X1 + 4X2 +A2 = 34X1 + X2 +H1= 5
X1, X2, A1, A2, H1 ≥ 0
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VARIABLES VARIABLESBÁSICAS Z X1 X2 A1 A2 H1 VALOR
Z 1 (-3-7M) (-9-10M) 0 0 0 (-)5MA1 0 2 6 1 0 0 2A2 0 5 4 0 1 0 3H1 0 4 1 0 0 1 5
VE= X2VS= A1PIVOTE=6
VARIABLES BÁSICAS
VARIABLESZ X1 X2 A1 A2 H1 VALOR
Z
X2
1
0
(-)11/3M 0 3/2+5/3M 0 0
1 1/6 0 0
3-5/3M
1/3 1/3A2 0 32/3 0 - 2/3 1 0 12/3H1 0 32/3 0 - 1 / 6 0 1 42/3
VE= X1VS= A2PIVOTE=32/3
VARIABLES BÁSICAS
VARIABLESZ X1 X2 A1 A2 H1 VALOR
Z
X2
X1
H1
1 0 0 3/2+2M M 0
0 0 1 5/6 0 0
0 1 0 - 1/5 1/4 00 0 0 1/2 -1 1
3
1/5
4/921/6
SOLUCIÓN ÓPTIMA
Z= 3
VALORES ÓPTIMOS
X1=4/9
X2=1/5
H1=21/6
H2=0
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EJERCICIOS DE MINIMIZACIÓN
EJERCICIO N°12
MIN: Z= 3/2X1+2X2
S.a.
2X1 + 2X2 ≤ 82X1 + 6X2 ≥ 12
X1, X2 ≥ 0
FORMA ESTÁNDAR
Z= 3/2X1+ 2X2 + MA1 +0H1+ 0H2
2X1 + 2X2 + H1 ≤ 8
2X1 + 6X2 +A1-H2 ≥ 12 (M)
X1, X2, A1, H1, H2 ≥ 0
FORMA CANÓNICA O DE ECUACIONES
Z – 3/2X1 - 2X2 - MA1 -0H1 - 0H2 = 0
2MX1 + 6MX2 +MA1 -MH2 = 12M
Z+ (2M-3/2) X1 + (6M-2) X2 -0H1 –MH2 = 12M (-1)
-Z-(3/2-2M) X1-(2-6M) X2 +0H1+MH2 = -12M
S.a.
2X1 + 2X2 + H1 = 8
2X1 + 6X2 +A1-H2 = 12
X1, X2, A1, H1, H2 ≥ 0
VE= X2VS= A1PIVOTE=6
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VARIABLES BÁSICAS
VARIABLESZ X1 X2 A1 H1 H2 VALOR
Z H1
-1 3/2-2M0 2
2-6M 0 0 M0 1 0
(-)12M2 8
A1 0 2 6 1 0 -1 12
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CARRERA DE CONTABILIDAD Y AUDITORÍA
VARIABLES BÁSICAS
VARIABLESZ X1 X2 A1 H1 H2 VALOR
Z H1X2
-1 5/6 0 (-1/3+M) 0 1/30 11/3 0 - 1/3 1 1/30 1/3 1 1/6 0 - 1/6
-442
SOLUCIÓN ÓPTIMA
Z= 4
VALORES ÓPTIMOS
X1=0 X2=2
H1=4
EJERCICIO N°13
MIN: Z= 4X1 + 5X2
S.a.2X1 + 2X2 ≤ 102X1 + 6X2 ≥ 18
X1 + X2 = 7Xi ≥ 0
FORMA ESTÁNDAR
Z= 4X1 + 5X2 + MA1 + MA2 + 0H1 + 0H2
2X1 + 2X2 + H1 ≤ 10
2X1 + 6X2 +A1 – H2 ≥ 18 (M)
X1 + X2 +A2 = 7 (M)
X1, X2, A1, A2, H1, H2 ≥ 0
FORMA CANÓNICA O DE ECUACIONES
Z - 4X1 - 5X2 - MA1 - MA2 - 0H1 - 0H2 = 0
2MX1 + 6MX2 +MA1 – MH2 = 18M
MX1 + MX2 +MA2 = 7M
Z +(3M-4) X1+(7M-5) X2 -0H1-MH2 = 25M (-1)
-Z- (4-3M) X1-(5-7M )X2 +0H1+MH2 = -25M
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BÁSICAS Z X1 X2 A1 A2 H1 H2 VALORZ -1 4-3M 5- 7M 0 0 0 M (-)25M
H1 0 2 2 0 0 1 0 10H2 0 2 6 1 0 0 -1 18
VARIABLES BÁSICAS
VARIABLESZ X1 X2 A1 A2 H1 H2 VALOR
Z -17/3-
2/3M(-
-4H1 0 1 1/3 0 - 1/3 0 1 1/3X2A2
00
1/3 1 1/6 0 0 0 - 1 / 6 1 0
- 1/61/6
42/3 2
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CARRERA DE CONTABILIDAD Y AUDITORÍA
S.a.
2X1 + 2X2 + H1 = 102X1 + 6X2 +A1 – H2 = 18X1 + X2 +A2 = 7
X1, X2, A1, A2, H1, H2 ≥ 0VARIABLES VARIABLES
A2 0 1 1 0 1 0 0 7
VE= X2VS= H2PIVOTE=6
0 5/6+7/6M)
0 0 5/6-1/6M
VE= X1VS= H1PIVOTE=4/3
VARIABLES BÁSICAS
VARIABLESZ X1 X2 A1 A2 H1 H2 VALOR
Z
X1X2A2
-1 0 0 (-1/4+M) 0 (-
7/4+1/2M) 1/40 1 0 - 1/4 0 3/4 1/40 0 1 1/4 0 - 1/4 - 1/40 0 0 0 1 - 1/2 0
(-22-2M)322
El ejercicio no tiene solución
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CARRERA DE CONTABILIDAD Y AUDITORÍA
EJERCICIO N°14
MAX: Z= 3X1 + 5X2S.a.
X1 ≤ 42X2 ≤ 12
3X1 + 2X2 = 18Xi ≥ 0
FORMA ESTÁNDAR
Z= 3X1 + 5X2 + 0H1 + 0H2 –MA1
X1 + H1 ≤ 4
2X2 + H2 ≤ 12
3X1 + 2X2 + A1 = 18 (-M)
X1, X2, A1, H1, H2 ≥ 0
FORMA CANÓNICA O DE ECUACIONES
Z - 3X1 - 5X2 -0H1 -0H2 +MA1= 0
-3MX1 -2MX2 - MA1= -18M
Z+ (-3M-3) X1+ (-2M-5) X2-0H1-0H2 = -18M
S.a.
X1 + H1 = 42X2 + H2 = 12
3X1 + 2X2 + A1 = 18X1, X2, A1, H1, H2 ≥ 0
VARIABLES BÁSICAS
VARIABLESZ X1 X2 H1 H2 A1 VALOR
Z 1 (-3M-3) (-2M-5) 0 0 0 (-18M)H1 0 1 0 1 0 0 4
H2A1
00
0 2 0 1 2 0 0
01
123 18
VE= X1VS= H1PIVOTE=1
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CARRERA DE CONTABILIDAD Y AUDITORÍA
VARIABLES BÁSICAS
VARIABLESZ X1 X2 H1 H2 A1 VALOR
Z X1H2
1 00 10 0
(-2M-5) 3M+3 0 01 0 00 1 0
(-6M)+120 42 12
A1 0 0 2 -3 0 1 6
VE= X2VS= A1PIVOTE=2
VARIABLES VARIABLESBÁSICAS Z X1 X2 H1 H2 A1 VALOR
Z 1 0 0 -4 1/2 0 M+5/2 27X1 0 1 0 1 0 0 4H2 0 0 0 3 1 -1 6X2 0 0 1 -1 1/2 0 1/2 3
VE= H1VS= H2PIVOTE=3
VARIABLES BÁSICAS
VARIABLESZ X1 X2 H1 H2 A1 VALOR
Z X1H1X2
1 0 0 0 1 1/2 M+10 1 0 0 - 1/3 1/30 0 0 1 1/3 - 1/30 0 1 0 1/2 0
36226
SOLUCIÓN ÓPTIMA
Z= 36
VALORES ÓPTIMOS
X1=2
X2=6
H1=2
H2=0
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UNIVERSIDAD NACIONAL DE CHIMBORAZOFACULTAD DE CIENCIAS POLÍTICAS Y ADMINISTRATIVAS
CARRERA DE CONTABILIDAD Y AUDITORÍA
EJERCICIO N°15
MIN: Z= 3X1 + 5X2S.a.
X1 ≤ 42X2 = 12
3X1 + 2X2 ≥ 18Xi ≥ 0
FORMA ESTÁNDAR
Z= 3X1 + 5X2 + 0H1 + 0H2 +MA1 +MA2 (-1)
-Z= -3X1 - 5X2 - 0H1 – 0H2 -MA1 - MA2
S.a.
X1 + H1 ≤ 4
2X2 + A1 ≤ 12(-M)
3X1 + 2X2 + A2 – H2 = 18 (-M)
X1, X2, A1, A2, H1, H2 ≥ 0
FORMA CANÓNICA O DE ECUACIONES
-Z + 3X1 + 5X2 +0H1 +0H2 +MA1 + MA2 = 0
-2MX2 -MA1 = -12M
- 3MX1 -2MX2 +MH2 - MA2 = -18M
Z+ (-3M+3) X1+ (-4M+5) X2+0H1 +MH2 = -30M
S.a.
X1 + H1 = 4
2X2 + A1 = 12
3X1 + 2X2 + A2 -H2 = 18
X1, X2, A1, A2, H1, H2 ≥ 0
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VARIABLES VARIABLESBÁSICAS Z X1 X2 H1 H2 A1 A2 VALOR
Z -1 (-3M-3) (-4M+5) 0 M 0 0 (-30M)H1 0 1 0 1 0 0 0 4A1 0 0 2 0 0 1 0 12
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CARRERA DE CONTABILIDAD Y AUDITORÍA
A2 0 3 2 0 -1 0 1 18
VE= X2VS= A1PIVOTE=2
VARIABLES BÁSICAS
VARIABLESZ X1 X2 H1 H2 A1 A2 VALOR
Z H1X2
-100
(-3M-3) 0 0 M 2M- 5/2 00 1 0 0 01 0 0 1/2 0
(-6M-30)1 40 6
A2 0 3 2 0 -1 -1 1 6
VE= X1VS= A2PIVOTE=3
VARIABLES BÁSICAS
VARIABLESZ X1 X2 H1 H2 A1 A2 VALOR
Z H1X2X1
-1 0 0 0 1 M- 3/2 M-10 0 0 1 1/3 1/3 - 1/30 0 1 0 0 1/2 00 1 0 0 - 1/3 - 1/3 1/3
36262
SOLUCIÓN ÓPTIMA
Z= 36
VALORES ÓPTIMOS
X1=2
X2=6
H1=2
H2=0
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