medida de tendencia central
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Notación de Sumatoria
El símbolo del lado indica la suma de todos los Xi desde i=1 hasta i=N.
N
iiX
1
Notación de Sumatoria
Es decir:
Propiedades:
N
iNi XXXX
121 ...
N
innii YXYXYXYX
12211 ...
N
ii
N
ini XaaXaXaXaX
1121 ...
Medidas de tendencia central para datos agrupados: La Media
Media aritmética para datos agrupados: Cuando se cuenta con datos agrupados en una distribución de frecuencia, todos los valores que caen dentro de un intervalo de clase dado se consideran igual a la marca de clase, o punto medio del intervalo.
Medidas de tendencia central para datos agrupados: La Media
Con Xj como marca de la clase j y fj como frecuencia de la misma, se tiene que:
Nótese que se asume que hay M clases
N
Xf
X
M
jjj
1
Medidas de tendencia central para datos agrupados: La Media
Ejemplo: A partir de la
siguiente tabla de distribución de frecuencia, encuentre la media.
LI LS Marca fi fr
0 150 75 285 0.012
150 300 225 5850 0.244
300 450 375 4655 0.194
450 600 525 7382 0.308
600 750 675 856 0.036
750 900 825 4948 0.206
N 23976
Medidas de tendencia central para datos agrupados: La Media
Se puede hacer de dos maneras. La primera suma las frecuencias
multiplicadas por su marca y se divide por N. La segunda simplemente suma la
multiplicación de las marcas por las frecuencias relativas.
Medidas de tendencia central para datos agrupados: La Media
LI LS Marca fi fr M*fi
0 150 75 285 0.012 21375
150 300 225 5850 0.244 1316250
300 450 375 4655 0.194 1745625
450 600 525 7382 0.308 3875550
600 750 675 856 0.036 577800
750 900 825 4948 0.206 4082100
N 23976 11618700
Medidas de tendencia central para datos agrupados: La Media
60.48423976
11618700 x
Medidas de tendencia central para datos agrupados: La Media
LI LS Marca fi fr marca*fr
0 150 75 285 0.012 0.892
150 300 225 5850 0.244 54.899
300 450 375 4655 0.194 72.807
450 600 525 7382 0.308 161.643
600 750 675 856 0.036 24.099
750 900 825 4948 0.206 170.258
N 23976 484.60
Medidas de tendencia central para datos agrupados: La Mediana
La mediana se obtiene por interpolación y está dada por:
mediana clase la de Ancho A
mediana clase la de Frecuencia
mediana la a inferiores clases las de sfrecuencia las de Suma
total)a(frecuenci datos de Número
mediana) la a contiene que (la mediana clase la deinferior Frontera
2
1
1
1
1
mediana
mediana
f
fa
N
L
Af
afN
LMediana
Medidas de tendencia central para datos agrupados: La Mediana
Es una interpolación debido a que en esta fórmula está implícito el supuesto de que los datos se distribuyen de manera lineal en el intervalo.
Medidas de tendencia central para datos agrupados: La Mediana Ejemplo
LI LS Marca fi fa
0 150 75 285 285
150 300 225 5850 6135
300 450 375 4655 10790
450 600 525 7382 18172
600 750 675 856 19028
750 900 825 4948 23976
N 23976
Medidas de tendencia central para datos agrupados: La Mediana
Lo primero que se debe hacer es determinar la clase donde está la mediana.
Lo anterior se realiza dividiendo N por 2, es decir:
23976/2=11988 A continuación se debe encontrar la clase
mediana, la cual es la que tiene la frecuencia acumulada mayor a la observación mediana.
En este caso:
Medidas de tendencia central para datos agrupados: La Mediana Ejemplo
LI LS Marca fi fa
0 150 75 285 285
150 300 225 5850 6135
300 450 375 4655 10790
450 600 525 7382 18172
600 750 675 856 19028
750 900 825 4948 23976
N 23976
Medidas de tendencia central para datos agrupados: La Mediana
Luego se debe aplicar la fórmula:
150*
7382
107902
23976
450Mediana
Límite Inferior de la frecuencia mediana
N
Frecuencia acumulada anterior a la frec. mediana
Ancho del Intervalo
Frecuencia Mediana
Medidas de tendencia central para datos agrupados: La Mediana
323.474
323.24450
150*162.0450
150*73821198
450
150*7382
1079011988450
150*7382
107902
23976
450
Mediana
Mediana
Mediana
Mediana
Mediana
Mediana
Medidas de tendencia central para datos agrupados: La Moda
La moda, para datos agrupados es simplemente la marca de la clase con mayor frecuencia.
LI LS Marca fi
0 150 75 285
150 300 225 5850
300 450 375 4655
450 600 525 7382
600 750 675 856
750 900 825 4948
En este caso, la moda es:Moda = 525
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