matriz inversa(17 08-2012)

Dada una matriz A cualquiera decimos que B es equivalente de

A si podemos transformar A en B mediante una combinación de

las operaciones elementales de fila:

Multiplicar una fila de A por un número real

cualquiera diferente de cero.

Intercambiar filas.

Sumar a una fila de A cualquier otra fila.

Ejemplo:

A=

Es una matriz cuyos elementos iguales a cero aumentan deizquierda a derecha fila a fila.

Ejemplo:

Es una matriz escalonada cuyos elementos son iguales a 1, y en sus respectivas columnas son los únicos diferentes de cero.

Ejemplo:

Se denomina “pivote” al elemento delantero de cada fila diferentede cero. Estos están a la derecha del elemento delantero de la filaanterior.

Pivotes

Ejercicio:

Reducir la siguiente matriz a su forma escalonada y luego a su formaescalonada reducida por filas.

Matriz escalonada

por filas

Matriz escalonada

reducida por filas.

MATRICES REDUCIDAS POR FILAS

Una matriz es reducida por filas si cumple lo

siguiente:

1. El primer elemento no nulo de cada fila,

llamado pivote, es 1.

2. Encima (y debajo) de cada pivote solo hay

ceros

Ejemplo:

la siguiente matriz es reducida por filas

MATRIZ ESCALONADA REDUCIDA POR FILAS

Se cumplen las siguientes condiciones de

matriz escalonada y:

Sus pivotes son todos iguales a 1

En cada fila el pivote es el único elemento no

nulo de su columna.

Ejemplo:

MATRIZ INVERSA

Una matriz cuadrada A es invertible si existe una

matriz que denotemos por A-1 que cumple:

A · A-1 = A-1 · A = I

*Encontrar una matriz B de modo que

A · B = B · A = I

Cuando tenemos este caso decimos que dicha

matriz B que cumpla las condiciones anteriores es

la matriz inversa de la matriz A

Para:

A · A-1 = A-1 · A = I

Donde I es la matriz identidad. En este caso se dice que

A-1 es la inversa de A

Notamos que:

A · A-1 son conmutables

PROPIEDADES

(A · B)-1 = B-1 · A-1

(A-1)-1 = A

(k · A)-1 = k-1 · A-1

(A t)-1 = (A -1)t

No toda matriz cuadrada tiene inversa, la

condición es que su determinante sea

diferente de cero

Cálculo de una matriz

inversa:

Ubicamos la matriz A y junto a esta ubicamos la

matriz identidad luego aplicamos el método de

Gauss Jordan.

Al final debemos obtener la matriz identidad pero

en el lado izquierdo y lo que nos quede en el lado

derecho será nuestra matriz inversa.

(A|I) (I|A-1)GAUSS

EJERCICIO

Hallar la matriz inversa de la matriz An

F2=F2-F1

F3=F3+F2

F2=F2-F3

F1=F1+F2

F2=(-1)F2

COMPROBACIÓN

A · A-1 = A-1 · A = I