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Matrices elementales Semana 2 [2/29]
Matriz de permutación
Matriz de permutaciónUna matriz elemental de permutación tiene la siguiente estructura:
Ipq =
1 0. . . 0
10 · · · · · · · · · 1... 1 ...
1... 1 ...1 · · · · · · · · · 0
10 . . .
0 1
fila p
fila q
La matriz Ipq se construye a partir de la identidad, permutando el orden de
las filas p y q.
Matrices
Matrices elementales Semana 2 [3/29]
Matrices de permutación
ProposiciónDadas Ipq ∈ Mnn(K), A ∈ Mns(K) y B ∈ Mqn(K):
1 IpqA corresponde a la matriz A con las filas p y q permutadas.
2 BIpq corresponde a las matriz B con las columnas p y q permutadas.
Matrices
Matrices elementales Semana 2 [4/29]
Matrices de permutación
ProposiciónDadas Ipq ∈ Mnn(K), A ∈ Mns(K) y B ∈ Mqn(K):
1 IpqA corresponde a la matriz A con las filas p y q permutadas.
2 BIpq corresponde a las matriz B con las columnas p y q permutadas.
Matrices
Matrices elementales Semana 2 [5/29]
Matriz de suma
Matriz elementalDefinimos la matriz elemental Epq(λ, β) ∈ Mnn(K) como:
Epq(λ, β) =
col. p↓
col. q↓
1. . . 0
1. . .
... 10 · · · λ · · · β... ... 1... ... . . .0 · · · 0 · · · · · · · · · · · · 0 1
λ, β ∈ Kβ 6= 0p < q
.
Matrices
Matrices elementales Semana 2 [6/29]
Matriz de suma
ProposiciónDada una matriz A ∈ Mns(K); se tiene:
C = Epq(λ, β) · A =
a11 · · · a1s... ...
aq−11 · · · aq−1s... ...
λap1 + βaq1 · · · λaps + βaqs... ...
an1 · · · ans
← q
.
Matrices
Matrices elementales Semana 2 [7/29]
Matriz de suma
ProposiciónEpq(λ, β) es invertible . Su inversa es la siguiente:
(Epq(λ, β))−1 =
1. . . 0
1. . .
... 10 · · · −λ
β· · · 1
β... ... 1... ... . . .0 · · · 0 · · · · · · · · · · · · 0 1
↑ ↑
p q
Matrices
Matrices elementales Semana 2 [8/29]
Sistema de ecuaciones
Sistema de ecuacionesUn sistema de m ecuaciones y n incógnitas consiste en el siguiente conjuntode ecuaciones en las variables x1, ..., xn ∈ K:
a11x1 + · · · + a1nxn = b1... ... ...
am1x1 + · · ·+ amnxn = bm
en donde los coeficientes, aij, y el lado derecho, bj, son elementos delcuerpo K.
Matrices
Matrices elementales Semana 2 [9/29]
Forma matricial
Tomando,
A =
a11 · · · a1n... ...
am1 · · · amn
∈ Mmn(K)
la m-tupla (lado derecho) y la n tupla de incógnitas
b =
b1...
bm
∈ Km, x =
x1...
xn
∈ Kn
Podemos escribir el sistema matricialmente:
Ax = b,
Matrices
Matrices elementales Semana 2 [10/29]
Forma matricial
Tomando,
A =
a11 · · · a1n... ...
am1 · · · amn
∈ Mmn(K)
la m-tupla (lado derecho) y la n tupla de incógnitas
b =
b1...
bm
∈ Km, x =
x1...
xn
∈ Kn
Podemos escribir el sistema matricialmente:
Ax = b,
Matrices
Matrices elementales Semana 2 [11/29]
Forma matricial
Tomando,
A =
a11 · · · a1n... ...
am1 · · · amn
∈ Mmn(K)
la m-tupla (lado derecho) y la n tupla de incógnitas
b =
b1...
bm
∈ Km, x =
x1...
xn
∈ Kn
Podemos escribir el sistema matricialmente:
Ax = b,
Matrices
Matrices elementales Semana 2 [12/29]
Ejemplo
Consideremos:
x1 + 2x2 + x3 + x4 = 2 (1)
−2x1 + 3x2 − x3 = −1 (2)
x1 + x3 + x4 = 1 (3)
.
Definimos la matrix aumentada del sistema como:
(A|b) =
1 2 1 1 2−2 3 −1 0 −1
1 0 1 1 1
Eliminar x1 de la segunda ecuación es equivalente a producir un cero en laposición (2,1) de (A|b). Para ello se multiplica la primera fila por 2 y se sumaa la segunda fila. Para eliminar x1 de la tercera ecuación se multiplica laprimera fila por −1 y se suma a la tercera
(A|b)→
1 2 1 1 20 7 1 2 31 0 1 1 1
→
1 2 1 1 20 7 1 2 30 −2 0 0 −1
Matrices
Matrices elementales Semana 2 [13/29]
Ejemplo
Consideremos:
x1 + 2x2 + x3 + x4 = 2 (1)
−2x1 + 3x2 − x3 = −1 (2)
x1 + x3 + x4 = 1 (3)
.
Definimos la matrix aumentada del sistema como:
(A|b) =
1 2 1 1 2−2 3 −1 0 −1
1 0 1 1 1
Eliminar x1 de la segunda ecuación es equivalente a producir un cero en laposición (2,1) de (A|b). Para ello se multiplica la primera fila por 2 y se sumaa la segunda fila. Para eliminar x1 de la tercera ecuación se multiplica laprimera fila por −1 y se suma a la tercera
(A|b)→
1 2 1 1 20 7 1 2 31 0 1 1 1
→
1 2 1 1 20 7 1 2 30 −2 0 0 −1
Matrices
Matrices elementales Semana 2 [14/29]
Ejemplo
Consideremos:
x1 + 2x2 + x3 + x4 = 2 (1)
−2x1 + 3x2 − x3 = −1 (2)
x1 + x3 + x4 = 1 (3)
.
Definimos la matrix aumentada del sistema como:
(A|b) =
1 2 1 1 2−2 3 −1 0 −1
1 0 1 1 1
Eliminar x1 de la segunda ecuación es equivalente a producir un cero en laposición (2,1) de (A|b). Para ello se multiplica la primera fila por 2 y se sumaa la segunda fila. Para eliminar x1 de la tercera ecuación se multiplica laprimera fila por −1 y se suma a la tercera
(A|b)→
1 2 1 1 20 7 1 2 31 0 1 1 1
→
1 2 1 1 20 7 1 2 30 −2 0 0 −1
Matrices
Matrices elementales Semana 2 [15/29]
Ejemplo
Eliminar x2 en la tercera ecuación a partir de la segunda es equivalente amultiplicar la segunda fila por 2
7 y sumarla a la tercera:
→
1 2 1 1 20 7 1 2 30 0 2
747 −
17
= (A|b)
Así, el sistema inicial es equivalente al sistema Ax = b.
En el procedimiento anterior la operación de base ha sido:
Sumar a una fila q, la fila p ponderada por un número λ ∈ KMatrices
Matrices elementales Semana 2 [16/29]
Ejemplo
Eliminar x2 en la tercera ecuación a partir de la segunda es equivalente amultiplicar la segunda fila por 2
7 y sumarla a la tercera:
→
1 2 1 1 20 7 1 2 30 0 2
747 −
17
= (A|b)
Así, el sistema inicial es equivalente al sistema Ax = b.
En el procedimiento anterior la operación de base ha sido:
Sumar a una fila q, la fila p ponderada por un número λ ∈ KMatrices
Matrices elementales Semana 2 [17/29]
Ejemplo
Eliminar x2 en la tercera ecuación a partir de la segunda es equivalente amultiplicar la segunda fila por 2
7 y sumarla a la tercera:
→
1 2 1 1 20 7 1 2 30 0 2
747 −
17
= (A|b)
Así, el sistema inicial es equivalente al sistema Ax = b.
En el procedimiento anterior la operación de base ha sido:
Sumar a una fila q, la fila p ponderada por un número λ ∈ KMatrices
Matrices elementales Semana 2 [18/29]
Ejemplo
Ahora, en términos de matrices elementales:
Producir un cero en la posición (2,1) de (A|b):
E12(2, 1)(A|b) =
1 0 02 1 00 0 1
1 2 1 1 2−2 3 −1 0 −1
1 0 1 1 1
=
1 2 1 1 20 7 1 2 31 0 1 1 1
.
Producir un cero en la posición (3,1):
E13(−1, 1)E12(2, 1)(A|b) =
1 0 00 1 0−1 0 1
1 2 1 1 20 7 1 2 31 0 1 1 1
=
1 2 1 1 10 7 1 2 30 −2 0 0 −1
.
Matrices
Matrices elementales Semana 2 [19/29]
Ejemplo
Ahora, en términos de matrices elementales:
Producir un cero en la posición (2,1) de (A|b):
E12(2, 1)(A|b) =
1 0 02 1 00 0 1
1 2 1 1 2−2 3 −1 0 −1
1 0 1 1 1
=
1 2 1 1 20 7 1 2 31 0 1 1 1
.
Producir un cero en la posición (3,1):
E13(−1, 1)E12(2, 1)(A|b) =
1 0 00 1 0−1 0 1
1 2 1 1 20 7 1 2 31 0 1 1 1
=
1 2 1 1 10 7 1 2 30 −2 0 0 −1
.
Matrices
Matrices elementales Semana 2 [20/29]
Ejemplo
Producir un cero en la posición (3,2) desde la posición (2,2):
E23(27, 1)E13(−1, 1)E12(2, 1)(A|b) =
1 0 00 1 00 2
7 1
1 2 1 1 20 7 1 2 30 −2 0 0 −1
=
1 2 1 1 20 7 1 2 30 0 2
747 −
17
.
Matrices
Matrices elementales Semana 2 [21/29]
Ejemplo
Producir un cero en la posición (3,2) desde la posición (2,2):
E23(27, 1)E13(−1, 1)E12(2, 1)(A|b) =
1 0 00 1 00 2
7 1
1 2 1 1 20 7 1 2 30 −2 0 0 −1
=
1 2 1 1 20 7 1 2 30 0 2
747 −
17
.
Matrices
Matrices elementales Semana 2 [22/29]
Observación
Hay casos en que también es necesario utilizar matrices de permutación defilas. Por ejemplo, si se tiene:
(A|b) =
1 1 1 10 0 1 10 1 0 10 2 0 1
Como a22 = 0, no es posible “producir” ceros en la segunda columna, apartir de a22. Intercambiamos el orden de las filas (claramente esto nocambia el sistema de ecuaciones asociado).
I24(A|b) =
1 0 0 00 0 0 10 0 1 00 1 0 0
1 1 1 10 0 1 10 1 0 10 2 0 1
=
1 1 1 10 2 0 10 1 0 10 0 1 1
,
Matrices
Matrices elementales Semana 2 [23/29]
Observación
Hay casos en que también es necesario utilizar matrices de permutación defilas. Por ejemplo, si se tiene:
(A|b) =
1 1 1 10 0 1 10 1 0 10 2 0 1
Como a22 = 0, no es posible “producir” ceros en la segunda columna, apartir de a22. Intercambiamos el orden de las filas (claramente esto nocambia el sistema de ecuaciones asociado).
I24(A|b) =
1 0 0 00 0 0 10 0 1 00 1 0 0
1 1 1 10 0 1 10 1 0 10 2 0 1
=
1 1 1 10 2 0 10 1 0 10 0 1 1
,
Matrices
Matrices elementales Semana 2 [24/29]
Observación
Hay casos en que también es necesario utilizar matrices de permutación defilas. Por ejemplo, si se tiene:
(A|b) =
1 1 1 10 0 1 10 1 0 10 2 0 1
Como a22 = 0, no es posible “producir” ceros en la segunda columna, apartir de a22. Intercambiamos el orden de las filas (claramente esto nocambia el sistema de ecuaciones asociado).
I24(A|b) =
1 0 0 00 0 0 10 0 1 00 1 0 0
1 1 1 10 0 1 10 1 0 10 2 0 1
=
1 1 1 10 2 0 10 1 0 10 0 1 1
,
Matrices
Matrices elementales Semana 2 [25/29]
Observación
Hay casos en que también es necesario utilizar matrices de permutación defilas. Por ejemplo, si se tiene:
(A|b) =
1 1 1 10 0 1 10 1 0 10 2 0 1
Como a22 = 0, no es posible “producir” ceros en la segunda columna, apartir de a22. Intercambiamos el orden de las filas (claramente esto nocambia el sistema de ecuaciones asociado).
I24(A|b) =
1 0 0 00 0 0 10 0 1 00 1 0 0
1 1 1 10 0 1 10 1 0 10 2 0 1
=
1 1 1 10 2 0 10 1 0 10 0 1 1
,
Matrices
Matrices elementales Semana 2 [26/29]
Matriz escalonada
Consideremos ahora A ∈ Mmn(K), definimos la matriz escalonada asociadaa la matriz A, como A ∈ Mmn(K), tal que:
A =
a11 a12 · · · a1i2 · · · · · · · · · · · · a1n
a2i2 · · · · · · · · · · · · a2n. . . ...
asis · · · asn
0 0
.
donde los elementos a11 6= 0, a2i2 6= 0, ..., asis 6= 0, se denominan pivotes .
Matrices
Matrices elementales Semana 2 [27/29]
Matriz escalonada
Consideremos ahora A ∈ Mmn(K), definimos la matriz escalonada asociadaa la matriz A, como A ∈ Mmn(K), tal que:
A =
a11 a12 · · · a1i2 · · · · · · · · · · · · a1n
a2i2 · · · · · · · · · · · · a2n. . . ...
asis · · · asn
0 0
.
donde los elementos a11 6= 0, a2i2 6= 0, ..., asis 6= 0, se denominan pivotes .
Matrices
Matrices elementales Semana 2 [28/29]
Matriz escalonada
Consideremos ahora A ∈ Mmn(K), definimos la matriz escalonada asociadaa la matriz A, como A ∈ Mmn(K), tal que:
A =
a11 a12 · · · a1i2 · · · · · · · · · · · · a1n
a2i2 · · · · · · · · · · · · a2n. . . ...
asis · · · asn
0 0
.
donde los elementos a11 6= 0, a2i2 6= 0, ..., asis 6= 0, se denominan pivotes .
Matrices
Matrices elementales Semana 2 [29/29]
Equivalencia de sistemas
Como (A|b) se obtiene al multiplicar (A|b) por matrices invertibles, se tiene:
ProposiciónDada una matriz C, invertible entonces:
a ∈ K nes solución de Ax = b ⇔ a es solución de (CA)x = Cb.
Matrices
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