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MATLAB

• Programa orientado al cálculo y operaciones con matrices • Funcionamiento en línea de comandos y con ficheros de instrucciones o

programas Matlab Fundamentos: » a=4/3 a = 1.3333 Almacena en la variable a el valor 1.3333 y lo saca por pantalla a=4/3; Lo mismo que en el caso anterior. Almacena el valor pero no lo saca por pantalla (por el ;) Se pueden utilizar variables que ya tienen un valor en expresiones. » b=1.34*37; » c=b-a c = 48.2467 Para recordar órdenes previas y corregir letras dentro de una orden utilizamos las teclas de los cursores. Las variables pueden tener como máximo 19 caracteres ( a-z, A-Z, 0-9, _ ), y la primera debe ser una letra. MATLAB es sensible a las mayúsculas y minúsculas (las distingue). Cualquier cosa que venga después del carácter % se interpreta como un comentario Borrado de variables:

• clear: borramos TODAS del espacio de trabajo.

• clear a b c: borramos las variables a b c Guardar en disco el espacio de trabajo.

• File / Save Workspace As

• save : Cargar en Memoria.

• File / Load Workspace

• load fichero Forma de trabajo: En MATLAB podemos trabajar bien con las instrucciones en la línea de comandos, o bien creando unos ficheros *.m, programados en un lenguaje interpretado propio de MATLAB. Matrices y vectores A=[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9] A = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Separar los elementos por espacios o comas específica elementos en diferentes columnas; separar elementos por puntos y comas específica elementos en filas diferentes. B=[-1.3 sqrt(3) 3^2.5] B = -1.3000 1.7321 15.5885 Los elementos de una matriz o vector pueden ser expresiones. » C=A*B ??? Error using ==> * Inner matrix dimensions must agree. Las dos matrices no se pueden multiplicar pues B debería ser un vector columna y es un vector fila. Con ‘ calculamos la transpuesta.

B = -1.3000 1.7321 15.5885 » B' ans = -1.3000 1.7321 15.5885 Luego podemos hacer » C=A*B' C = 48.9295 96.9910 145.0525 Selleción de elementos en matrices » D=A(1:2,:) D = 1 2 3 4 5 6 Forma una matriz D con las dos primeras filas de A y todas sus columnas » E=A(2:3,1:2) E = 4 5 7 8 Forma matriz E con las filas 2 y 3 y las columnas 1 y 2 de A. » A(:,[1 3])

ans = 1 3 4 6 7 9 Forma una matriz con las columnas 1 y 3 de A. » 1:10 ans = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Crea un vector de 10 con los valores de 1 a 10 » 1:0.2:2 ans = 1.0000 1.2000 1.4000 1.6000 1.8000 2.0000 En este caso a:i:b especifica el uso del incremento i » logspace(1,2,10) %Crea vector de 10 elementos entre 10^1 y 10^2 Columns 1 through 7 10.0000 12.9155 16.6810 21.5443 27.8256 35.9381 46.4159 Columns 8 through 10 59.9484 77.4264 100.0000 » who Your variables are: A C E ans c B D a b Muestra el valor de las variables inicializadas presentes en la memoria. El comando help nos muestra las toolbox instaladas de las que podemos solicitar ayuda. Nos indica el directorio donde se encuentran. Si escribimos

help control por ejemplo nos muestra todas las funciones disponibles en la toolbox de control. » help control Control System Toolbox. Version 4.2 (R11) 15-Jul-1998 What's new. Readme - New features and enhancements in this version. Creation of LTI models. tf - Create a transfer function model. zpk - Create a zero/pole/gain model. ss - Create a state-space model. ……. Demonstrations. ctrldemo - Introduction to the Control System Toolbox. jetdemo - Classical design of jet transport yaw damper. diskdemo - Digital design of hard-disk-drive controller. milldemo - SISO and MIMO LQG control of steel rolling mill. kalmdemo - Kalman filter design and simulation. Podemos obtener ayuda de alguna función en particular. » help sqrt SQRT Square root. SQRT(X) is the square root of the elements of X. Complex results are produced if X is not positive. See also SQRTM. Overloaded methods help sym/sqrt.m Escribiendo doc funcion nos da documentación sobre el manejo de la funcion. Ej doc sqrt Veamos algunas funciones para construir matrices » zeros(2,3) ans =

0 0 0 0 0 0 Crea una matriz de 2*3 de ceros » ones(4,2) ans = 1 1 1 1 1 1 1 1 Matriz 4+2 de unos » eye(5) ans = 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 Matriz identidad 5*5 » rand(10,2) ans = 0.9501 0.6154 0.2311 0.7919 0.6068 0.9218 0.4860 0.7382 0.8913 0.1763 0.7621 0.4057 0.4565 0.9355 0.0185 0.9169 0.8214 0.4103 0.4447 0.8936 Matriz 10*2 de números aleatorios entre 0 y 1. % Operaciones con matrices.

A = [1 2 3]; B = [1 0 -1]; A + B % Suma de vectores A + 100 % El 100 se suma a cada elemento A * B' % Producto escalar A' * B % El producto externo es una matriz A .* B % Utilizar “.” Para especificar producto de elementos [1:10] .^ 2 % Eleva cada número al cuadrado D = rand(5,3) % Crea vector de números aleatorios sum(D) % Suma las columnas de D sum(D(:)) % Suma todos los elementos de D help elfun % Lista todas las funciones elementales (exp,round,etc...) Operadores relacionales < menor que <= menor o igual que > mayor que >= mayor o igual que == igual que ~= distinto de ~ not % Más funciones det(x) % Determinate de la matriz x trace(x) % Suma de los elementos de la diagonal Los polinomios se representan como vectores. Así x2+3x+1 se puede representar por el vector [1 3 1]. polyval(p,1) % Devuelve el resultado de evaluar el polinomio p para x=1 » p=[1 3 1]; » polyval(p,1) ans = 5 roots(p) % calcula las raíces del polinomio p » roots(p) ans =

-2.6180 -0.3820 poly(A) % Si A es una matriz devuelve el polinomio |λI-A| % Si A es un vector el polinomio de las raices (x-r1)(x-r2)(x-r3)… » poly([1 2]) ans = 1 -3 2 % Es el producto de (x-1)(x-2) conv(p1,p2) % Producto de polinomios p1 y p2 [q,r]=deconv(p1,p2) % Divide dos polinomios y calcula cociente (q) y resto (r) Otras funciones sin(a) % Seno de a (en radianes) cos(a) % Coseno de a (en radianes) tan(a) % Tangente de a (en radianes) asin(x) % Arco seno de x acos(x) % Arcos coseno de x atan(x) % Arco tangente de x log(x) % Logaritmo neperiano de x log10(x) %logaritmo decimal de x abs(x) % Valor absoluto de x. Si x es complejo se obtiene el módulo » abs(3+4*i) ans = 5 angle(x) % Si x es complejo devuelve la fase en radianes » angle(3+4*i) ans = 0.9273

real(x) % Parte real de un numero x imag(x) % Parte imaginaria de x Búsqueda de elementos: >>A=[8 2 -3; 4 -5 6]; >>[i,j]=find(A>5) % Devuelve los índices de los elementos de A mayores de 5 >>max(A) % Devuelve el máximo de cada columna >>min(A) % Devuelve el mínimo de cada columna Control de flujo: MATLAB posee una serie de sentencias que nos permiten alterar el flujo secuencial de una función. En el editor las instrucciones de los bucles aparecen de color azul. Bucle For

for i=1:5 ordenes

end También pueden anidarse varios bucles. Estructura if

if expr1 ordenes1

elseif expr2 ordenes2

else ordenes3

end

Bucle while while expresion

ordenes end

break Sentencia que nos permite saltar o salir de un bucle while o for. Si hay bucles anidados, únicamente se abandona el bucle más interno.

Introducción de valores por teclado: a=input('número de manzanas: ') número de manzanas: 3Para visualizar un determinado texto por pantalla: disp(‘Introducir los siguientes datos :’) fprintf(‘adios\n\n’) Las cadenas de caracteres se deben escribir entre comitas ‘ ‘, y en el editor aparece en rojo. Creación de funciones Otra forma de utilización de los archivos *.m: En el caso que deseemos realizar cálculos donde utilizamos varias órdenes y deseamos cambiar el valor de alguno de los argumentos, en lugar de volver a escribir cada vez estas órdenes en la línea de comandos, MATLAB nos proporciona la capacidad de agrupar todas las órdenes dentro de un archivo que debe cumplir las siguientes características:

* El archivo debe crearse con un editor de tipo ASCII * La extensión del archivo debe ser *.m (mifunción.m) * El archivo debe encontrarse en un directorio conocido por MATLAB. * El nombre del archivo no debe coincidir con algún comando de MATLAB, ya que estos tienen prioridad y el programa no se ejecutará.

En cuanto a la escritura del código de la función dentro del archivo deberemos tener en cuenta los siguientes puntos:

* La primera línea debe declarar el archivo como de tipo función, y se deben indicar los argumentos de dicha función y sus valores devueltos. Los valores devueltos pueden ser uno o varios, en cuyo caso deben escribirse entre corchetes.

function [res1,res2,...]=mifuncion(arg1,arg2,...) * La segunda línea debe ser de comentario (se denomina línea H1), y en ella se debe dar una breve descripción de lo que hace la función. Esta línea es examinada por la orden de búsqueda de ayuda lookfor.

%MIFUNCION esta es mi maravillosa función Así cuando desde la línea de comandos ejecutemos la orden lookfor obtendremos lo siguiente:

>>lookfor maravillosa MIFUNCION esta es mi maravillosa función

* A partir de la segunda línea de comentario el resto de líneas que sean

de comentario hasta la primera línea de no comentario, serán las mostradas cuando pidamos ayuda de la función con el comando

>>help mifuncion. * Las variables creadas dentro de la función son locales, y se destruyen al abandonar la función. * Los argumentos que recibe la función son pasados por referencia a menos que se alteren dentro de la función, en cuyo caso se pasa una copia (para no alterar el valor). * El número de parámetros pasados a la función está disponible en la variable llamada nargin; esto puede tener utilidad para establecer valores por defecto. El número de variables de salida está disponible en la variable nargout.

Ejemplos de funciónes: % Incicializa matriz con suma de índices % El símbolo “%” indica comienzo de comentario en la línea function M=inicializa(m,n) for k=1:m for l=1:n M(k,l)=k+l; end end %Funcion amort(M) % Determina el coeficiente de amortiguamiento a partir del sobrepico % Argumentos: % M: Sobrepico function [] = amort(M) c=- log(M) / sqrt((log(M)^2)+pi^2) %Funcion spico(c) % Determina el sobrepico a partir el coeficiente de amortiguamiento % Argumentos: % c: coefieciente de amortiguamiento function [] = spico(c) Mp=exp(-pi*c/sqrt(1-c*c))

Creando dibujos plot(v) ; % dibuja vector v plot(x,y); % dibuja vector y (ordenadas) frente a vector x (abcisas) plot(x1,y1,x2,y2,x2,y3); % dibuja 3 gráficos en una pantalla plot(X,Y) % Si X e Y son matrices, dibuja tantos graficos como columnas de % X frente a las columnas de Y % Construimos un ejemplo: >> t=[0:0.2:2*pi]; >> x=sin(t); >> y=cos(t); >> figure(1); >> plot(t, x, '+', t, y, '*') >> figure(2) >> plot(t, x, 'r+', t, y, 'm*')

0 1 2 3 4 5 6 7-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 1 2 3 4 5 6 7-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

FIGURE (1) FIGURE (2)

Otras funciones relacionadas son: >>xlabel(‘string’) >>text(x,y,’string’)

>>title(‘string’) >>gtext % Permite poner textos en posiciones específicas >>axis[xmin xmax ymin ymax] >>grid % crea regilla >>subplot(m,n,p) % crea ventana mxn y elige zona p para dibujar >>hold on % La siguiente figura se imprime enciam de la anterior >>polar(teta, ro) %dibuja en coordenadas polares >>semilogx % igual que plot pero el ejex está en escala logarítmica >>bar >>stairs Ejemplo >>subplot(211),plot(1:3),subplot(212),(plot(sin(1:3)); Dibujos en tres dimensiones » [X,Y] = meshgrid(-2:.2:2, -2:.2:2); »Z = X .* exp(-X.^2 - Y.^2); »mesh(Z) » figure » contour(Z) Funciones de Control Y(s)= G(s)= . 18(s+20) . U(s) (s+15)(s+25)(s+0.4) » num=18*[1 20]; » den=conv(conv([1 15],[1 25]),[1 0.4]); » printsys(num,den) num/den = 18 s + 360 ---------------------------- s^3 + 40.4 s^2 + 391 s + 150

» wn=2; » damping=0.707; » [num,den]=ord2(wn,damping); » printsys(num,den,'s') num/den = 1 ----------------------- s^2 + 2.828 s + 4 Construyendo sistemas s+1

(s+3)(s+5) » ngo=[1 1]; » dgo=conv([1 3],[1 5]); » [ngc1,ngc2]=cloop(ngo,dgo);

s+1 (s+3)(s+5)

s+6 (s+10)

» ngo=[1 1]; » dgo=conv([1 3],[1 5]); » nh=[1 6]; » dh=[1 10]; » [ngc2,dgc2]=feedback(ngo,dgo,nh,dh); » printsys(ngc2,dgc2,'s') num/den = s^2 + 11 s + 10 ------------------------------------- s^3 + 19 s^2 + 102 s + 156 para bloques funciones: series, parallel, blkbuild,connect

Lugar de las raices G(s)=(s+2)/)(s2+6s+10) » num=[1 2]; » den=[1 6 10]; » rlocus(num,den)

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Real Axis

Imag

Axi

s

» [k,polos]=rlocfind(num,den) Select a point in the graphics window selected_point = -3.3065 + 0.5322i k =

0.6195 polos = -3.3097 + 0.5335i -3.3097 - 0.5335i

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Real Axis

Imag

Axi

s

Se puede especificar nº complejo próximo al lugar de las raices en vez de seleccionar con el ratón. [r,k]=rlocfind(num,den,p); Ceros y Polos G(s)=(3s4+3s3+5s2+4s+6)/(s5+3s4+4s3+2s2+7s+2) » num=[3 2 5 4 6]; » den=[1 3 4 2 7 2]; » [z,p,k]=tf2zp(num,den) z = 0.4019 + 1.1965i 0.4019 - 1.1965i -0.7352 + 0.8455i -0.7352 - 0.8455i p = -1.7680 + 1.2673i -1.7680 - 1.2673i 0.4176 + 1.1130i 0.4176 - 1.1130i -0.2991 k = 3 Función de transferencia a partir de ceros y polos » z=[0; 0; 0; -1]; » p=[-1+i -1-i -2 -3.15+2.63*i -3.15-2.63*i]; » k=2; » [num,den]=zp2tf(z,p',k) num = 0 2 2 0 0 0

den = 1.0000 10.3000 48.0394 109.1576 126.2364 67.3576 Respuesta temporal Escalón » grid on » step(num,den)

Time (sec.)

Am

plitu

de

Step Response

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15From: U(1)

To: Y

(1)

se puede especificar el tiempo: » step(num,den,0:0.1:10) se puede obtener los valores para luego tratarlos » [y,x,t]=step(num,den,0:0.1:10); » plot(t,y); Impulso: » impulse(num,den) Entradas arbitrarias » [num,den]=zp2tf([-2],[-1 -0.2+10*i -0.2-10*i],100);

» t=[0:0.1:20]; » u=exp(-t); » lsim(num,den,u,t) Si se quiere ver la salida con la entrada » y=lsim(num,den,u,t); » plot(t,u,t,y)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Cálculo de tiempo de pico, sobrepico, tiempo de subida y tiempo de establecimiento. % Función para el cálculo de los parámetros característicos de % la respuesta temporal de un sistema a un escalón unitario % Formato de llamada: paso(num,den) % num: numerador de la función de transferencia % den: denominador de la función de transferencia function [] = paso(num,den) [numexp,denexp]=cloop(num,den) step(numexp,denexp) pause valorfinal=polyval(numexp,0)/polyval(denexp,0) [y,x,t]=step(numexp,denexp); [Y,kexp]=max(y); tiempopico=t(kexp) sobrepaso=100*(Y-valorfinal)/valorfinal n=1; while y(n)<0.1*valorfinal, n=n+1; end m=1; while y(m)<0.9*valorfinal, m=m+1; end tiempo_subida=t(m)-t(n) l=length(t); while (y(l)>0.98*valorfinal)&(y(l) < 1.02*valorfinal) l=l-1;

end tiempo_establecimiento=t(l) » paso(num,den) numexp = 0 0 1 denexp = 1 1 2 valorfinal = 0.5000 tiempopico = 2.4294 sobrepaso = 30.4117 tiempo_subida = 0.8834 tiempo_establecimiento = 7.7300 Dibujos en el dominio de la frecuencia » num=[5.9 53,.8 197.3 388.6]; » den=[1 13 58 306 260]; » bode(num,den) » gris

Frequency (rad/sec)

Pha

se (d

eg);

Mag

nitu

de (d

B)

Bode Diagrams

-10

0

10

20

30From: U(1)

10-1 100 101 102-400

-300

-200

-100

0

To: Y

(1)

» subplot(211),nyquist(num,den) » z=[-2 -2+5*i -2-5*i]; » p=[-1 -5 -7 -1+7*i -1-7*i]; » k=30; » subplot(211),nyquist(num,den) » subplot(212),axis([-360 0 -40 30]);

» nichols(num,den) » ngrid

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

Nyquist Diagrams

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8-20

-10

0

10

20From: U(1)

To: Y

(1)

Open-Loop Phase (deg)

Ope

n-Lo

op G

ain

(dB

)

Nichols Charts

-400 -350 -300 -250 -200 -150 -100 -50 0-10

0

10

20

30From: U(1)

To: Y

(1)

Obteniendo información » num=10*[1 1]; » den=conv([1 -1+5*i],[1 -1-5*i]); » bode(num,den) » [mag,phase,w]=bode(num,den); » [Mp,k]=max(mag) Mp = 5.0767 k = 29 » wp=w(k) wp = 5.1784 » n=1; » while 20*log10(mag(n))>=-3,n=n+1;end » anchobanda=w(n) anchobanda = 0.1000 Margen de fase y margen de ganancia » [Gm,Pm,Wcg,Wcp]=margin(num,den)

Gm = 0.2000 Pm = 73.7398 Wcg = 5.2915 Wcp = 12.0000

Frequency (rad/sec)

Pha

se (d

eg);

Mag

nitu

de (d

B)

Bode Diagrams

-20

-10

0

10

20Gm=-13.979 dB (at 5.2915 rad/sec), Pm=73.74 deg. (at 12 rad/sec)

10-1 100 101 102-200

-100

0

100

200

300

Ejemplo función:

%Funcion mibode(num,den,d1,d2) % Dibuja diagrama de bode en un ranfo de frecuencias function [] = mibode(num,den,d1,d2) w=logspace(d1,d2,d2-d1*100); [mag,fase,w]=bode(num,den,w); semilogx(w,20*log10(mag)); ylabel('Ganancia dB'); xlabel('Frecuencia (rad/seg)'); grid axis tight figure semilogx(w,fase); ylabel('Fase en grados'); xlabel('Frecuencia (rad/seg)');

grid

» mibode(num,den,-1,2)

Representación mediante objetos » num=1; » den=[1 1 1]; » sys=tf(num,den) Transfer function: 1 --------------- s^2 + s + 1 » sys1=zpk(z,p,k) Zero/pole/gain: 29 (s+2) (s^2 + 4s + 29) --------------------------------- (s+1) (s+5) (s+7) (s^2 + 2s + 50) Funciones similares a las vistas: bode(sys), rlocus(sys), … Operaciones más sencillas 2 bloques en serie » sys*sys1 Zero/pole/gain: 29 (s+2) (s^2 + 4s + 29) ----------------------------------------------- (s+1) (s+5) (s+7) (s^2 + s + 1) (s^2 + 2s + 50) dos bloques en paralelo

» sys*sys1 Zero/pole/gain: 29 (s+2) (s^2 + 4s + 29) ----------------------------------------------- (s+1) (s+5) (s+7) (s^2 + s + 1) (s^2 + 2s + 50) » feedback(sys1,sys) Zero/pole/gain: 29 (s+2) (s^2 + s + 1) (s^2 + 4s + 29) --------------------------------------------------------------------------- (s+6.81) (s+5.292) (s+1.334) (s^2 + 0.5767s + 1.434) (s^2 + 1.988s + 49.79) Programa compensación en Adelanto: % Compensacion en adelanto % Formato: adelanto(num,den,tipo) % tipo: 'alfa' Red adelanto alfa min % 'vertical' Red adelanto polo en vertical % 'compen' Red de adelanto por compensación % 'pd' P function [numct,denct] = adelanto (num,den,tipo) capa=input('Introduce coef amortiguamiento '); wn=input('Introduce frecuencia natural '); % Polos Dominantes s1=-capa*wn+wn*sqrt(1-capa*capa)*i ang=angle(polyval(num,s1)/polyval(den,s1))*180/pi % Contribucion angular Compensador if ang<0 printf('No necesita compensar\n'); exit(1); else cang=180-ang end if(nargin == 2), %Por defecto alfa min tipo='alfa'; end n=1; %%%%%%%%% RED DE ADELANTO %%%%%%%%%%%%%%%%%

if tipo(1) == 'a' echo on % Red adelanto alfa min echo off if cang > 60 pause % Dos controladores en cascada n=2; cang=cang/2; cang end theta=180-angle(s1)*180/pi gamma=0.5*(180-theta-cang) zc=sin(gamma*pi/180)*wn/sin((180-theta-gamma)*pi/180); pc=sin((gamma+cang)*pi/180)*wn/sin((180-theta-gamma-cang)*pi/180); numc=[1 zc]; denc=[1 pc]; kc=abs(polyval(den,s1))*abs(polyval(denc,s1))^n/((abs(polyval(num,s1))*abs(polyval(numc,s1))^n)); pause if(n==2) kc=sqrt(kc) printsys(numc,denc,'s'); printsys(numc,denc,'s'); else kc=kc printsys(numc,denc,'s'); end end %%% Fin red de adelanto %%%%%% %%% Compensador por cancelación if (tipo(1)=='c') echo on % Compensación por cancelación echo off zc=input('Introduce posición del polo a cancelar '); if cang > 60 pause % Dos controladores en cascada n=2; cang=cang/2; cang end numc=[1 -zc]; angnum=angle(polyval([1 -zc],s1))*180/pi; zp=-real(s1)+imag(s1)/tan((angnum-cang)*pi/180); denc=[1 zp];

kc=abs(polyval(den,s1))*abs(polyval(denc,s1))^n/((abs(polyval(num,s1))*abs(polyval(numc,s1))^n)); kc=abs(kc); if(n==2) kc=sqrt(kc) printsys(numc,denc,'s'); printsys(numc,denc,'s'); else kc=kc printsys(numc,denc,'s'); end end %% Fin compensador de cancelación %% Compensador enla vertical if (tipo(1)=='v') echo on % Compensación en la vertical echo off if cang > 60 pause % Dos controladores en cascada n=2; cang=cang/2; cang end zc=-real(s1) numc=[1 zc]; angnum=angle(polyval([1 zc],s1))*180/pi; zp=-real(s1)+imag(s1)/tan((angnum-cang)*pi/180); denc=[1 zp]; kc=abs(polyval(den,s1))*abs(polyval(denc,s1))^n/((abs(polyval(num,s1))*abs(polyval(numc,s1))^n)); kc=abs(kc); if(n==2) kc=sqrt(kc) printsys(numc,denc,'s'); printsys(numc,denc,'s'); else kc=kc printsys(numc,denc,'s'); end end %% Fin compensador en la vertical %%%%%% CONTROLADO PD %%%%%%%%%%%%%%%%5 if tipo(1) == 'p'

echo on % Compensador PD echo off zc=-real(s1)+imag(s1)/tan(cang*pi/180); numc=[1 zc] denc=[1]; kc=polyval(den,s1)/((polyval(numc,s1)*polyval(num,s1))); kc=abs(kc) % printsys(numc,[],'s'); end %% Comprobación if n==1 [numt,dent]=cloop(kc*conv(num,numc),conv(den,denc)); elseif n==2 [numt,dent]=cloop(kc*kc*conv(conv(num,numc),numc),conv(conv(den,denc),denc)); end roots(dent) % Preparo argumentos if(n==2) kc=sqrt(kc) printsys(numc,denc,'s'); printsys(numc,denc,'s'); numct=kc*conv(numc,numc); denct=conv(denc,denc); else numct=kc*numc; denct=denc; end Herramienta para compensación de sistemas: rltool » num=4; » den=conv([1 0],[1 2]); » sys=tf(num,den); » rltool(sys) Permite añadir ceros, polos, variar la ganacia y observar la respuesta temporal y frecuencial.

Sistemas Discretos [NUMd,DENd] = C2DM(NUM,DEN,Ts,'method') converts the continuous- time polynomial transfer function G(s) = NUM(s)/DEN(s) to discrete time, G(z) = NUMd(z)/DENd(z), using 'method'. 'zoh' Convert to discrete time assuming a zero order hold on the inputs. 'foh' Convert to discrete time assuming a first order hold on the inputs. 'tustin' Convert to discrete time using the bilinear (Tustin) approximation to the derivative. 'prewarp' Convert to discrete time using the bilinear (Tustin) approximation with frequency prewarping. Specify the critical frequency with an additional argument, i.e. C2DM(A,B,C,D,Ts,'prewarp',Wc) 'matched' Convert the SISO system to discrete time using the matched pole-zero method. Respuesta temporal ante un escalón para diferentes periodos de muestreo.

1 s(s+1)

%% Ejemplo respuesta temporal num=1; den=[1 1 0]; [numc,denc]=cloop(num,den); hold off step(numc,denc); pause % Paso a discreto con diferentes periodos de muestreo Ts=0.5; t=0:0.5:10; [numd,dend]=c2dm(num,den,Ts,'zoh'); [numdc,dendc]=cloop(numd,dend); hold on dstep(numdc,dendc,t); Ts=0.1;

t=0:0.1:10; [numd,dend]=c2dm(num,den,Ts,'zoh'); [numdc,dendc]=cloop(numd,dend); dstep(numdc,dendc,t); Ejercicio: Dibujar el lugar geométrico de las raices para Ts=0.5s, T=1s, T=2s. Determinar el valor crítico de k y localizar los polos de lazo cerrado en los tres casos.

1

s(s+1)

Ejercicio: Dado el controlador siguiente obtener una función matlab de forma que dado una secuencia de errores en el tiempo almacenados en un vector se obtenga la accion de control m. 13.93z-11.4077 G(z)=------------------------ z-0.15962 function [m]=control(e) m(1)=13.93; for i=2:length(e) m(i)=0.1562*m(i-1)+13.93*e(i)-11.4077*e(i-1); end; %% Ejemplo diseño controladores %% Planta G(s)=1/(s*(s+1)) %% Periodo de muestreo Ts=0.2 %% Coef amortiguamiento 0.5 frc natural 4.5345 %% Red de adelanto %% Datos num=1; % Planta den=[1 1 0]; capa=0.5; % Especificaciones wn=4.5345;

Ts=0.2; % Periodo de muestreo % Polo dominante s1=-capa*wn+wn*sqrt(1-capa*capa)*i; % Diseño controlador continuo zc=-1; % Posciono el polo de cancelación numc=[1 -zc]; ang=angle(polyval(num,s1)/polyval(den,s1))*180/pi; if ang<0 % Contribucion angular Compensador cang=ang+180; else cang=180-ang; end angnum=angle(polyval([1 -zc],s1))*180/pi; zp=-real(s1)+imag(s1)/tan((angnum-cang)*pi/180); denc=[1 zp]; kc=abs(polyval(den,s1))*abs(polyval(denc,s1))/((abs(polyval(num,s1))*abs(polyval(numc,s1)))); fprintf('Controlador continuo\n'); printsys(kc*numc,denc); [numcc,dencc]=cloop(kc*conv(num,numc),conv(den,denc)); step(numcc,dencc,0:0.05:2); pause % controlador continuo con mantenedor a entrada num1=1; den1=conv(den,[Ts/2 1]); % Diseño controlador continuo zc=-1; % Posciono el cero de cancelación numc=[1 -zc]; ang=angle(polyval(num1,s1)/polyval(den1,s1))*180/pi; if ang<0 % Contribucion angular Compensador cang=ang+180; else cang=180-ang; end angnum=angle(polyval([1 -zc],s1))*180/pi; zp=-real(s1)+imag(s1)/tan((angnum-cang)*pi/180); denc=[1 zp]; kc=abs(polyval(den1,s1))*abs(polyval(denc,s1))/((abs(polyval(num1,s1))*abs(polyval(numc,s1))));

fprintf('Controlador continuo con mantenedor a la entrada\n'); printsys(kc*numc,denc); %% Discretizamos [numcd,dencd]=c2dm(kc*numc,denc,Ts,'matched'); fprintf('Controlador discreto equivalente al continuo\n'); printsys(numcd,dencd,'z'); % Calculo G(z) [numd,dend]=c2dm(num,den,Ts,'zoh'); printsys(numd,dend,'z'); % Lazo cerrado [numdt,dendt]=cloop(conv(numd,numcd),conv(dend,dencd)); hold on dstep(numdt,dendt,0:Ts:2); pause %% Calculo en digital directamente z1=exp(Ts*s1); % Polo dominante en el plano z % Diseño controlador discreto zdc=exp(-1*Ts); % Posiciono el cero de cancelación ndc=[1 -zdc]; ang=angle(polyval(numd,z1)/polyval(dend,z1))*180/pi if ang<0 % Contribucion angular Compensador cang=ang+180; else cang=180-ang; end angnum=angle(polyval([1 -zdc],z1))*180/pi; zdp=-real(z1)+imag(z1)/tan((angnum-cang)*pi/180); ddc=[1 zdp]; kdc=abs(polyval(ddc,z1))*abs(polyval(dend,z1))/((abs(polyval(ndc,z1))*abs(polyval(numd,z1)))); fprintf('Controlador discreto diseño en z\n'); printsys(kdc*ndc,ddc,'z'); [numdt2,dendt2]=cloop(kdc*conv(ndc,numd),conv(ddc,dend)); dstep(numdt2,dendt2,0:Ts:2); hold off

%% Ejemplo diseño controladores %% Planta G(s)=exp(-2s)/s+1 %% Controlador difital PI Gd(z)=Kp+Ki (z/z-1)=Kd z-zz/(z-1) %% Datos num=1; % Planta den=[1 1]; capa=0.5; % Especificaciones n=10; % muestras por oscilación amortiguada Ts=1; % Polo dominante z1=exp((-2*pi*capa/(sqrt(1-capa^2)*n) + i*2*pi/n)) % Calculo G(z) [numd,dend]=c2dm(num,den,Ts,'zoh'); dend=conv(dend,[1 0 0]); % incluyo retraso 2 segundos % Diseño controlador discreto ddc=[1 -1]; % Posiciono el polo en z=1 ang=angle(polyval(numd,z1)/polyval(conv(dend,ddc),z1))*180/pi if ang<0 % Contribucion angular Compensador cang=ang+180; else cang=180-ang; end zz=-real(z1)+imag(z1)/tan(cang*pi/180); ndc=[1 zz]; kdc=abs(polyval(ddc,z1))*abs(polyval(dend,z1))/((abs(polyval(ndc,z1))*abs(polyval(numd,z1)))); fprintf('Controlador discreto diseño en z\n'); printsys(kdc*ndc,ddc,'z'); [numdt2,dendt2]=cloop(kdc*conv(ndc,numd),conv(ddc,dend)); roots(dendt2) % Respuesta escalón figure(1); dstep(numdt2,dendt2,0:Ts:40); kv=polyval((1/Ts)*kdc*conv(ndc,numd),1) /polyval(dend,1); ess=1/kv %respuesta a rampa figure(2); t=0:Ts:30; u=t; plot(t,u);

[Y]=dlsim(numdt2,dendt2,u); hold on stairs(t,Y); title('Respuesta entrada escalón'); hold off

Espacio de estado Cálculo de los autovalores de una matriz A x= λ x |A- λI|=0 valores propios eig(A) si A es real y simétrica los valores propios son reales A=[0 1; -1 0]; » eig(A) ans = 0 + 1.0000i 0 - 1.0000i Cálculo de autovalores y auto vectores » A=[0 1 0; 0 0 1; -6 -11 -6]; » [X,D]=eig(A) X = -0.5774 0.2182 -0.1048 0.5774 -0.4364 0.3145 -0.5774 0.8729 -0.9435 D = -1.0000 0 0 0 -2.0000 0 0 0 -3.0000 Forma de jordan » A=[0 1 0; 0 0 1; 1 -3 3]; » [V,J]=jordan(A)

V = 1 -1 1 1 0 0 1 1 0 J = 1 1 0 0 1 1 0 0 1 Función de transferencia a espacio de estados y(s)/u(s)=num/den=C(sI-A)-1B+D » num=1; » den=[1 1 1]; » [A,B,C,D]=tf2ss(num,den) A = -1 -1 1 0 B = 1 0 C = 0 1 D = 0 Si el sistema tiene más de una entrada [num,den]=ss2tf(A,B,C,D,iu) donde iu es el número de entrada

Ejemplo; » A=[0 1; -2 -3]; » B=[1 0; 0 1]; » D=[0 0]; » C=[1 0]; » [num1,den1]=ss2tf(A,B,C,D,1) num1 = 0 1 3 den1 = 1 3 2 » [num2,den2]=ss2tf(A,B,C,D,2) num2 = 0 0 1 den2 = 1 3 2 Representación mediante objeto » sys=ss(A,B,C,D) a = x1 x2 x1 -1 -1 x2 1 0 b = u1 x1 1 x2 0 c =

x1 x2 y1 0 1 d = u1 y1 0 Conversión de continuo a discreto dx/dt=Ax+Bu -- x(k+1)=G x(k) + H u(k) » A=[0 1; -2 3]; » B=[1 1]'; » Ts=0.1; %Periodo de muestreo » [G,H]=c2d(A,B,Ts) G = 0.9889 0.1162 -0.2325 1.3376 H = 0.1052 0.1052 %% Ejemplo espacio de estado A=[-3 1 0 0; 0 0 -2 0; -4 0 0 1; 0 0 -3 0]; B=[0 2; 1 0; 0 3; 1 -3]; C=[1 0 0 0; 0 0 1 0]; D=[0 0; 0 1]; % Calculo de controlabilidad y observabilidad fprintf('Controlabilidad rango %d\n',rank(ctrb(A,B))); fprintf('Observabilidad rango %d\n',rank(obsv(A,C))); % Calculo autovalores fprintf('Autovalores :\n');

eig(A) % Calculo de matriz de Jordan [S,J]=jordan(A); A1=J; B1=inv(S)*B; C1=C*S; D1=D; printsys(A1,B1,C1,D1);