mathcad 14
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-
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borado po
UFA
CARRERA INCON
ANUA
or: Ing.
UNIVERSIDAACULTAD NANGENIERA
N ACREDITA
AL DEMA
Miguel A
ORU
AD TCNICAACIONAL DMECNICA
ACIN INTE
E APATHC
A. Ruiz O
URO BOL
A DE ORURDE INGENIERA ELECTRRNACIONA
PRENCAD
Orellana
LIVIA
RO RA
ROMECNICL AL
NDIZA
CA
AJE
-
ManualdeAprendizajedeMathCad 2008
Elaboradopor:Ing.MiguelA.RuizOrellana Pgina1
MANUALDEAPRENDIZAJEDEMATHCAD
INTRODUCCION
ElpresentemanualintroductorioalusodeMathCad,pretendeiniciar,incentivaryencaminara
los estudiantes de la Universidad Tcnica de Oruro en el uso del software matemtico
MathCad,esperando suaplicacinpuedamejorar lacalidadacadmicade la institucin,y
brindar sobre todo a los estudiantes, de una potente herramienta de clculo para su
desempeoensuvidauniversitariayprofesional.
ElsoftwaredeMathCad,alserunaplataformamatemtica,quenoprecisadelaprendizajede
unlenguajeespecficodeprogramacin,yademspermiteevaluarlasecuacionestalcomose
escriben,esidealparalarealizacindememoriasdeclculointeractivas,demodificacinfcil
porcuantolaaplicacindeestaherramientatendrimpactoenvariasasignaturas.
POR QUEMATHCAD?
Habiendo revisado laestructura y facilidadesdeotrospaquetesmatemticos, sedestaca la
versatilidaddeMathCadpara la realizacindememoriasde clculo,pudiendo conjuncionar
texto,ecuaciones,grficos, imgenesenunsolodocumento,queademsescompletamente
compatibleconlalneadeMicrosoft(WordyExcel).
Evidentemente,existesoftwareconpotencialidadesmatemticassuperioresaMathCad,talel
caso deMatLab, que permite el clculo simblico dematrices nxn (MathCad calcula hasta
600x600), sin embargo,mencionadasoperaciones tienen su campode aplicacin especfico
(p.ej.clculoporelementosfinitos),msMatLab,nopresentaunentornotanamigablecomo
MathCad,ademsdenecesitardosentornosparalarepresentacingrficadelasecuaciones,
pudiendoresaltaresteaspectocomoinconvenientecomndevariospaquetesmatemticos.
OBJETIVOSDELMANUAL
El presente manual pretendeintroducir al estudiante en el uso del software MathCad,
como herramienta de clculomatemtico, agilizando as eldesarrollo de sus operaciones
matemticas.
ESTRUCTURADELMANUAL
Enbuscade introduciralestudianteenelusodeMathCad loantesposible,seestructurael
presentemanualen6partes, compuestas cadaunadeuna guade claseque contendr la
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ManualdeAprendizajedeMathCad 2008
Elaboradopor:Ing.MiguelA.RuizOrellana Pgina2
explicacindelasoperacionesmscomunesarealizar,ademsdelaresolucindeproblemas
tipoguiadospasoapaso.
ManualdeMathCad
Guia1
OperacionesAritmaticas
OperacionesAlgebraicas
ResoluciondeEcuaciones
Guia2
Matrices
Tablas
ImportaciondeExcel
Guia3
Derivacion
Integracion
Graficacin
Guia4
TrabajoconUnidades
Ejerciciosdeaplicacin
Guia5
Programacin
ResolucindeVigas
Guia6 CclulodeEjes
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Manual de aprendizaje - MathCad 2008
CURSO MATHCADGUIA N 1
1. OBJETIVOS
CONOCER EL ENTORNO BASICO DE MATHCAD1.REALIZAR OPERACIONES ARITMTICAS2.REALIZAR OPERACIONES ALGEBRAICAS3.RESOLVER ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES.4.
CONOCER EL ENTORNO BASICO DE MATHCAD
La pantalla de MathCad se presenta de la siguiente forma:
En la barra de Menus se tiene los siguientes menus:
BARRA DE MENUSFILE [Archivos] FORMAT [Formato] HELP [Ayuda]EDIT [Edicin] SYMBOLICS [Simblico] VIEW [Ver]INSERT [Insertar] WINDOW [Ventanas]
Men File o Archivos
Agrupa todos los comandos referentes al trabajo de los archivos, vale decir un nuevo documento,guardar, cerrar, abrir; adems de la configuracin del tamao de la hoja de trabajo, la impresin yvista previa de los documentos.
Men Edit o Editar
Tal cual en otros paquetes informaticos en este se agrupa las opciones de edicin de contenido deldocumento, por ejemplo: copiar, pegar, cortar, seleccionar, etc.
Menu View o Ver
En este se puede reslatar tres utilizadas importantes:La primera es que se encuentra la opcin de barra de herramientas, desde la cual podemosactivar y desactivar las barras de herramientas, la ms importante la barra "Matemtica".La segunda, aqui se agrupan las opciones de configuracion de encabezado y pie de pgina,anotaciones y regiones.La tercera es referenta a "Actualizar" [Control+R], que limpia la pantalla de cambiosrealizados.
Elaborado por: Ing. Miguel A. Ruiz Orellana 1 de 16
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Manual de aprendizaje - MathCad 2008
Men Insert o Insertar
Los comandos relevantes de este menu son:Insercin de Grficos.1.Insercin de Unidades.2.Insercin de Objetos de otras aplicaciones.3.
Con las opciones de este menu se controlan basicamente todas las alternativas de intercambio einterrelacin de archivos MathCad con otras aplicaciones.
Men Format o Formato
Con sus comandos de este se configura y da formato a la aplicacin (texto, ecuacin, grficos, fondo,etc.).
Men Tools o Herramientas (en versiones anteriores Math)
Agrupa los comandos de clculo, optimizacin, proteccin de hoja y configuracin de algunosparmetros inherentes a la hoja de clculo.
Men Simbolic o Simbolico
Contiene los comandos que permiten ejecutar las operaciones simbolicas.
Men Window o Ventana
Por medio de esta podemos desplazarnos entre varios archivos abiertos.
Men Help o Ayuda
Esta men que normalmente es poco frecuentado contiene la ayuda para la utilizacin decomandos y operaciones que no se encuentran en la paletas de herramientas. Se debe remarcarque MathCad tiene cientos de comandos matemticos para la automatizacin de operacionesmatemticas, mas esta no se encuentran en las paletas de herramientas, son comandos escritos y esun grave error por parte nuestra obviarlos, pues estaramos desechando gran parte del potencialdel paquete.
DESCRIPCION DE LAS BARRAS DE MENUS
* BARRA STANDARD
* BARRA DE FORMATO
* BARRA DE HERRAMIENTAS
- BARRA PRINCIPAL DE TRABAJO: MATH [MATEMTICA]
* CALCULATOR * CALCULUS
* GRAPH* BOOLEAN
* MATRIX* PROGRAMMING
* GREEK* SYMBOLIC
* EVALUATION
Elaborado por: Ing. Miguel A. Ruiz Orellana 2 de 16
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Manual de aprendizaje - MathCad 2008
CONFIGURACION DE LA HOJA DE TRABAJO* TAMAO DE LA HOJA
El tamao de hoja se puede configurar desde el men "Ficheros" - "Configurar Pgina".
Elaborado por: Ing. Miguel A. Ruiz Orellana 3 de 16
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Manual de aprendizaje - MathCad 2008
CONFIGURACION DEL TEXTO
Es sumamente importante cunfigurar el estilo del texto para poder trabajar en un documento deMathCad, pues de esta manera se podr obtener Estilos tipo Titulo, Subtitulo, etc. Esto se efectuadesde el menu "Formato".
CONFIGURACION DE VARIABLES Y CONSTANTESSiguiendo el mismo formato, estas se configurarn desde el men formato, pero esta vez la opcinEcuacin.
CONFIGURACION DE VARIABLES Y CONSTANTESSiguiendo el mismo formato, estas se configurarn desde el men formato, pero esta vez la opcinEcuacin.
CONFIGURACION DEL FONDO DE PANTALLAEl fondo de pantalla de MathCad por defecto es de color blanco, sin embargo muchas veces esteresulta muy agresivo a la vista, entonces se puede entrar al menu formato, opcin color, yseleccionar fondo.
INSERCION DE ENCABEZADOS Y PIE DE PAGINAA diferencia del formato de otros paquetes, la insercion de los encabezados y pies de pgina, queincluyen la numeracin automtica de las pginas se la encuentra en el menu Ver, opcinencabezado.
Elaborado por: Ing. Miguel A. Ruiz Orellana 4 de 16
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Manual de aprendizaje - MathCad 2008
PALETAS DE COMANDOSLa paleta que agrupa al resto de las paletas, es la paleta "MATEMATICAS", misma que aparecehabilitada por defecto al abrir un documento, de no ser as, se puede ingresar al menu "VER" -"BARRA DE HERRAMIENTAS" - "MATEMATICAS".
OPERACIONES ARITMTICAS
En MathCad las operaciones aritmticas se las realiza, tal cual se escribe las operaciones encuaderno, pudiendo obtener los operandos ms frecuentes de la barra de "Clculo", que sedesglosa de la paleta de Matemticas.
suma simple: 2 2+ 4= teclear 2 + 2 y utilizar la igualdad de evaluacinnumrica.
Ingreso Por Teclado:
a) 8 3100 35+
0.265= AltGr \ 8*3 Barra espaciadora / 100 + 3 ^5Barra espaciadora =
b)log 12( ) sin
35
1.026= log(12) * sin (3 / 5 Barra espaciadora * p Ctrl+G Barra espaciadora) =
Elaborado por: Ing. Miguel A. Ruiz Orellana 5 de 16
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Manual de aprendizaje - MathCad 2008
OPERACIONES ALGEBRICAS
Para operar algebraicamente, primero se debe definir variables.Las variables se definen por medio de la igualdad de definicin, tal como se muestra acontinuacin:
a 5:= b 5:= c a b+ 10=:=A 6:= B 10:= C A B+ 16=:=
Se debe tener cuidado con el uso de maysculas y minsculas, el MathCad las considera comodistintas variables.
30deg:= 15deg:= 15:=sin ( ) 0.5= sin ( ) 0.259= sin ( ) 0.65=
Los valores que leen las funciones trigonomtricas por defecto se encuentran en radianes, a noser que se especifique expresamente otra unidad, como por ejemplo grados [deg].
VARIABLES DE RANGO
Para agilizar los clculos, en MathCad se puede trabajar facilmente con variables de rango, estoes variables que van desde un valor hasta otro.
i 1 5..:= i : 1 ; 5i
12
3
4
5
= sin i( )0.8410.909
0.141
-0.757
-0.959
=
NOTA: ES IMPORTANTE TENER CUIDADO CON EL INGRESO DE LOS TERMINOS Y ELMANEJO DE LA BARRA ESPACIADORA.
Definicin de funciones
Las funciones se pueden definir tal cual las variables, pero estas deben estar en funcin de una ovarias variables dependientes.La resolucin de las funciones normalmente implica la utilizacin de variables de intervalo en laubicacin de las variables independientes.
Ejemplo
Un paracaidista de masa 68.1 kg salta de un globo aerosttico, considerando un coeficiente deresistencia del aire de 12.5kg/s, determinar el valor de su velocidad durante los primeros 12segundos de caida libre.
Ecuacin de la velocidad:
v t( )g m
c1 e
c
m
t
=
Elaborado por: Ing. Miguel A. Ruiz Orellana 6 de 16
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Manual de aprendizaje - MathCad 2008
definiendo la funcin y la variableindependiente:
v t( )9.8 68.1
12.51 e
12.5
68.1
t
:= t 0 12..:=
v t( )
08.953
16.405
22.607
27.769
32.066
35.642
38.618
41.095
43.157
44.873
46.301
47.49
= t01
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
=
0 3 6 9 12 150
10
20
30
40
50
v t( )
t
La ecuacion mostrada describe la perdida de carga en funcin del caudal y del dimetro detuberia. Para que dimetro se tendr una caida de presin menor a dos?.
Q: CaudalD: Diametro de tuberiaL: Longitud de Tuberia
hlL
1721Q1.85 D4.85=
L 200:= Q 10:= D 12
34
, 2..:=
hl D( )L
1721Q1.85 D4.85:=
D
0.50.75
1
1.25
1.5
1.75
2
= hl D( )0.2852.038
8.227
24.281
58.788
124.161
237.271
=
Elaborado por: Ing. Miguel A. Ruiz Orellana 7 de 16
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Manual de aprendizaje - MathCad 2008
RESOLUCION DE ECUACIONES
Ecuaciones: Utilizacin de los comandos: Given y Find
a)Resolucion clasicaDe ecuacin 1 despejamos x:
x = 2 - 5*y Ec. 3Reemplazando la ecuacion 3 en 2 se tiene:
2*(2 - 5*y) + 3*y = 54 - 10*y + 3*y = 5-7*y = 1
Despejando y se tiene:
y = - (1/7)
Reemplazando el valor de y en Ec. 3 setiene:
x = 2 + 5*(1/7)x = 19/7
x 1:= y 1:=Dado
x 5y+ 2=2 x 3 y+ 5=Sol Find x y, ( ):=
Sol
25
7
17
=
Procedimiento:
1. Definir las variables X y Y dandoles un valor aleatorio.2. Escribir el comando Given3. Escribir las ecuaciones utilizando el igual de la Paleta Boolean4. Darle un nombre a los resultados: Sol, seguidamente asignar la palabra Find entre parentesis escribir las variables incognitas5. Escribir el nombre del resultado y presionar el igual de evaluacin.
b) Encontrar el valor de "A" de la ecuacin siguiente:
H 86.6:= A 1:= Valor de PesquizaG 254:= M 340:=Dado
GH M2 A
AM
+=
A Find A( ):=A 57.966=
Procedimiento:
1. Definir la variable A dandole un valor aleatorio.2. Definir las variables: G, M y H con su respectivo valor.3. Escribir el comando Given4. Escribir la ecuacion utilizando el igual de la Paleta Boolean5. Darle un nombre al resultado: A, seguidamente asignar la palabra Find entre parentesis escribir la variable incognita.6. Escribir el nombre del resultado y presionar el igual de evaluacin.
Elaborado por: Ing. Miguel A. Ruiz Orellana 8 de 16
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Manual de aprendizaje - MathCad 2008
c) Utilizacin delcomando: Root
Resolucion clasica
Para resolver la ecuacin se aplica diferentesmtodospor ejemplo:
* Ruffini
o simplemente la ecuacin:
x = b b2 4 a c+
2 a
Hallar la raz de:
x2 x+ 3=x 2:=soln root x2 x+ 3 x, ( ):=soln 1.303=
Comprobacin:x 1.303:= x2 x+ 3=Procedimiento:
1. Escribir la ecuacin utilizando el igual de la paleta Boolean.2. Definir la variable x dandole un valor aleatorio. 3. Darle un nombre al resultado: soln, seguidamente asignar la palabra root entre parentesis escribir la ecuacon seguido de la coma y la
variable a evaluar).4. Escribir el nombre del resultado y presionar el igual de evaluacin.
Trabajando una funcin con raices complejas:
Ecuacin x5
1
ex+ 7 0=
Valor de pesquisa x 2:=
Solucin x2 root y x( )5 1ex
+ 7 y,
:=
x2 0.414=
d)Utilizacin del comando:Proot (Polyroot) Resolucion clasica
Para resolver la ecuacin se aplicadiferentesmtodos por ejemplo:
* Ruffini
p y( ) y2 10 y 2+:=
U
2
101
:=
res polyroots U( ):=
res0.204
9.796
=
Elaborado por: Ing. Miguel A. Ruiz Orellana 9 de 16
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Manual de aprendizaje - MathCad 2008
Procedimiento:
1. Escribir una variable que sea funcin de la incognita, definir esta variable y escribir la ecuacin.2. Expresar la ecuacin en forma de vector.3. Darle un nombre al resultado: res, seguidamente definir esta variable y escribir la palabra polyroots entre parentesis escribir el nombre del vector.4. Escribir el nombre del resultado y presionar el igual de evaluacin.
polyroots
y5 8y3 2x2+ 6 0=
v
60
2
80
1
:=
y1
y2
y3
y4
y5
polyroots v( ):=
y1
y2
y3
y4
y5
2.9060.855
0.505 0.789i+0.505 0.789i
2.75
=
Elaborado por: Ing. Miguel A. Ruiz Orellana 10 de 16
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Manual de aprendizaje - MathCad 2008
CURSO MATHCADGUIA N 2
1. OBJETIVOS
APRENDER A TRABAJAR CON MATRICES1.TRABAJAR CON TABLAS2.IMPORTAR DATOS DESDE EXCEL3.EJERCICIOS DE APLICACION4.
APRENDIENDO A TRABAJAR CON MATRICES
La paleta de matrices se puede desglosar de la paleta de Matemticas, tal como se ve en lafigura:
Para definir una matriz, se debe realizar cual si fuera una variable, es decir, dar el nombre de laMatriz, igualdad de definicin e insertar la matriz.
Q
11
4
7
2
5
8
3
6
9
:=
Q1 1, 11= Valor de celda 1,1
NOTA.- Las matrices en MathCad por defectoempiezan en el valor de 0,0 como subindice,pudiendo cambier ello en "Herramientas" -"Opciones de Hoja de Trabajo"
Inversa
Q
11
4
7
2
5
8
3
6
9
= Q 1
0.1
0.20.1
0.22.6
2.467
0.1
1.8
1.567
=
Elaborado por: Ing. Miguel A. Ruiz Orellana 1 de 7
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Manual de aprendizaje - MathCad 2008
Inversa Simblica
Ma11
a21
a12
a22
:=a11
M 1
a22a11 a22 a12 a21
a21a11 a22 a12 a21
a12a11 a22 a12 a21
a11a11 a22 a12 a21
Determinante
M a11 a22 a12 a21
Q 30=
Columna de Matriz
Q
11
4
7
2
5
8
3
6
9
= A Q 1 := A
11
4
7
= A 22=
Matriz Traspuesta
QT11
2
3
4
5
6
7
8
9
= MT
a11
a12
a21
a22
Sumatoria de Vectores
B 10 12 14( ):= B 36=Insercin de imagenes
El MathCad trata a las imagenes como vectores, pudiendo trabajar en ellas los colores comoceldas de una degradacin, sim embargo tambien se puede introducir imagenes de formasimple desde el icono de imagen en el menu de Matrices, y entre comillas se le da el nombre dela imagen desde la raz del archivo, por ejemplo:
"F:\UTO\TEXTO MATHCAD\einstein.jpg"
Elaborado por: Ing. Miguel A. Ruiz Orellana 2 de 7
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Manual de aprendizaje - MathCad 2008
Ejerciocio MatricesUna empresa metalurgica precisa de hierro y carbono por tres semanas en lascantidades indicadas, existen tres ofertantes con los precios mostrados. Encontrarcual es el proovedor ms conveniente?
Materialhierro carbon
1sem 9 82sem 5 73sem 6 4
PreciosEmpresa1 Empresa2 Empresa3
Hierro 540 630 530Carbon 420 410 440
MA
9
5
6
8
7
4
:= P 540
420
630
410
530
440
:=
precios MA P8.22 1035.64 1034.92 103
8.95 1036.02 1035.42 103
8.29 1035.73 1034.94 103
=:=
EMPRE1 precios 1 :=
EMPRE2 precios 2 :=
EMPRE3 precios 3 :=
TOTALES POREMPRESATOTAL1 EMPRE1 1.878 104=:=
TOTAL2 EMPRE2 2.039 104=:=TOTAL3 EMPRE3 1.896 104=:=
Ejemplo combinado:Utilizacin del comando: LsolveResolver el sistema de ecuaciones mostrado:
x y+ z+ 2=x y 2z+ 3=2x 3y+ z 5=
Elaborado por: Ing. Miguel A. Ruiz Orellana 3 de 7
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Manual de aprendizaje - MathCad 2008
Matriz: M Vector:V
M
1
1
2
1
13
1
2
1
:= V
2
3
5
:=
A
B
C
lsolve M V, ( ):=
A
B
C
3.4
0.80.6
=
A 3.4= B 0.8= C 0.6=
TRABAJANDO CON TABLAS
Para trabajar con tablas, se debe insertar una desde el icono de la Barra Estandar
Trabajando con una TablaVaca:
Tabla21 2
12
3
45
1 782 45
3 12
4 165 5
:=
Fila1 Tabla2 1 := Fila1
1
2
3
4
5
=
A
B
C
D
E
Tabla2 1 :=
A
B
C
D
E
1
2
3
4
5
=
Dedonde:
A 1=Obteniendo valores de otra Forma.
F Tabla23 1, := F 3=
Elaborado por: Ing. Miguel A. Ruiz Orellana 4 de 7
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Manual de aprendizaje - MathCad 2008
Trabajando con una Tabla deExcel:
Tabla11 3 5 92 4 45 513 5 78 864 7 56 675 8 14 27
:=
Para insertar valores desde excel, se tiene tres opciones:
a) Insertar como pagina adjunta
Si se tiene una tabla en excel, se puede ir al menu insertar y elegir insertar componente, porejemplo:
y se insertar la tabla a MathCad, que con doble clic sobre ella se habilita la hoja de Excel contodas sus funciones, pero dentro MathCad.
NOTA.- TODOS LOS VALORES CALCULADOS EN EXCEL, SON ACTUALIZADOSEN MATHCAD Y PUEDEN SER EXTRAIDOS PARA CLCULOS POSTERIORES.
b) Habilitando una nueva tabla en MathCad
Otra manera de trabajar con tablas desde excel es sacar los valores del mismo y en una nuevatabla de MathCad pegarlos con la opcin "Pegar Tabla".
c) Copiando y pegando directamente
Finalmente, tambien se puede trabajar haciendo un copiar y pegar, el elemento por defecto seintroduce como objeto excel, suceptible de ser editado.
Elaborado por: Ing. Miguel A. Ruiz Orellana 5 de 7
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Manual de aprendizaje - MathCad 2008
Ejerciciodeaplicacin:
Se llevo a cabo una prueba de tensin en una probeta de ensayo de acero que tenia undimetro original de 0.503 pulg. Y una longitud calibrada de 2.00 pulg. Los datos semuestran en la tabla. Traze el diagrama esfuerzo deformacin unitaria y determineaproximadamente el mdulo de elasticidad, el esfuerzo de cedencia, el esfuerzo ltimo y elesfuerzo de ruptura.
tabla11 2 3 4 5
12
3
4
5
"N" "Peso [kip]" tensin [pulg]" ia [pulg/pulg]" Esfuerzo [Ksi]"1 0 0 0 0
2 1.5 -4510 -42.510 7.54
3 4.6 -31.510 -47.510 23.12
4 8 -32.510 -31.2510 ...
:=
1 2 3 4 5
12
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1 0 0 0 02 1.5 -4510 -42.510 7.538
3 4.6 -31.510 -47.510 23.116
4 8 -32.510 -31.2510 40.201
5 11 -33.510 -31.7510 55.276
6 11.8 -3510 -32.510 59.296
7 11.8 -3810 -3410 59.296
8 12 0.02 0.01 60.302
9 16.6 0.04 0.02 83.417
10 20 0.1 0.05 100.503
11 21.5 0.28 0.14 108.04
12 19.5 0.4 0.2 97.99
13 18.5 0.46 0.23 92.965
Ea = FAr
=
Long=
De la probeta:
Long 2in:= diam 0.503in:= Ar diam2
40.199 in2=:=
e1 tabla2 4 := tabla2 5 :=
Elaborado por: Ing. Miguel A. Ruiz Orellana 6 de 7
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Manual de aprendizaje - MathCad 2008
0 0.1 0.2
50
100
55.27
92.96
0.002
e1
0.00
20.00
40.00
60.00
80.00
100.00
120.00
Esfuerzo
DeformacinUnitaria
EsfuerzoDeformacin
0.000000
7.537688
23.115578
40.201005
55.276382
59.296482
59.296482
60.301508
83.417085
100.502513
108.040201
97.989950
92.964824
:=
0.00000
0.00025
0.00075
0.00125
0.00175
0.00250
0.00400
0.01000
0.02000
0.05000
0.14000
0.20000
0.23000
:= MM
0.00000
0.00025
0.00075
0.00125
0.00175
0.00250
0.00400
0.01000
0.02000
0.05000
0.14000
0.20000
0.23000
0.000000
7.537688
23.115578
40.201005
55.276382
59.296482
59.296482
60.301508
83.417085
100.502513
108.040201
97.989950
92.964824
:=
i 1 13..:= j 1 2..:=
0 5 10 15
50
100
150
MMi 2,
i
0 0.046 0.092 0.138 0.184 0.23
30
60
90
120
150
E1i
i
i:=
Promedio Modulo de elasticidad
E1
1
12
3
4
5
6
7
043.0151043.0821043.2161043.1591042.37210
...
= mean E1( ) 13626.04=
Elaborado por: Ing. Miguel A. Ruiz Orellana 7 de 7
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Manual de aprendizaje - MathCad 2008
CURSO MATHCADGUIA N 3
1. OBJETIVOS
APRENDER A DERIVAR SIMBOLICA Y NUMERICAMENTE1.APRENDER A INTEGRAR SIMBOLICA Y NUMERICAMENTE2.REALIZAR GRAFICOS EN 2D Y 3D3.
APRENDER A DERIVAR SIMBOLICA Y NUMERICAMENTE
DERIVADAS NUMERICAS
Para derivar numericamente en MAthCad, simplemente se debe definir la funcin a derivar, unvalor de evaluacin de la variable independiente y pedir el resultado con la igualdad de evaluacinumrica.
Dada la funcin derivar ynumericamente y comprobar el resultado.
f x( ) x51
x2+ cos 2 x( )+:=
valor de evaluacin x 2:=
la derivada evaluadax
f x( )dd
81.264=
comprobacin:
derivando manualmente (esto se consigue apoyando el cursor sobre la variable a derivar ydesde el men de simblico - opcin diferenciar:
x51
x2+ cos 2 x( )+ 5 x4 2
x3 2 sin 2 x( )
Elaborado por: Ing. Miguel A. Ruiz Orellana 1 de 10
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Manual de aprendizaje - MathCad 2008
g x( ) 5 x4 2x3
2 sin 2 x( ):= g x( ) 81.264=
de la misma forma se procede a derivar enecimamente:
x 2=3x
f x( )d
d
3233.196=
Derivadassimbolicas
Basicamente las derivadas simbolicas se obtienen de la misma forma, a diferencia de que paraestas la variable no debe estar definida anteriormente, por lo cual se utiliza una variblediferente. Por otro lado no se pide el resultado con igualdad, sino con la flecha de evaluacinsimblica.
f h( ) h51
h2+ cos 2 h( )+:=
hf h( ) 5 h
4 2h3
2 sin 2 h( )
Elaborado por: Ing. Miguel A. Ruiz Orellana 2 de 10
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INTEGRALESLa integracin se realiza de forma semejante, distinguiendo las integrales definidas (integracinnumrica) y las integrales indefinidas (integracin simblica)
Integrar la funcin siguiente:
f x( ) x51
x2+ cos 2 x( )+:=
Asistidos por una integral definida:
1
2xf x( )
d 10.167=
Comprobando, integrando manualmente:
x51
x2+ cos 2 x( )+ 3 x sin 2 x( ) x7+ 6
6 x
K x( )3 x sin 2 x( ) x7+ 6
6 x:= K 2( ) K 1( ) 10.167=
IntegracinSimblica
Para integrar simblicamente, acudimos a una integral indefinida, cambiando la variable deintegracin a una que no est definida anteriormente:
hf h( ) d
3 h sin 2 h( ) h7+ 66 h
Elaborado por: Ing. Miguel A. Ruiz Orellana 3 de 10
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GRAFICACION La representacin grfica en el mismo entorno de trabajo que el clculo simblico o el numricoconstituye una de las ventajas ms importantes que ofrece Mathcad.Para graficar se precisa por lo menos de una variable independiente y una funcin o variabledependiente.La variable independiente puede estar definida por una inecuacin (por defecto mathcad tomade menos a mas infinito) o por una variable de rango.
Graficar las siguientes funciones:
i 2 1.98 , 2..:= 2 h< 2
10 5 0 5 1010.5
0
0.5
1
sin h( )
h10 5 0 5 101
0.50
0.5
1
sin i( )
i
Funcin 2
f x( ) x51
x2+ cos 2 x( )+:=
x 1:=x1 root x5
1
x2+ cos 2 x( )+ x,
:= x1 0.951=
f1 x( ) x5 1
x2+ cos 2 x( )+:= f2 x( )
3 x sin 2 x( ) x7+ 66 x:=
f1 0.95( ) 0.011=x 10 10..:=Elaborado por: Ing. Miguel A. Ruiz Orellana 4 de 10
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10 5 0 5 10
1 105
1 105
2 105
FuncionIntegral
GRAFICA FUNCION vs. INTEGRAL
VAR. INDEPENDIENTE
VA
R. D
EPEN
DIE
NTE
0.01
f1 x( )
f2 x( )
0.95
x
Ejemplo. 3
Graficacin de una Ecuacin Diferencial.Utilizacin del comando: Given y Odesolve
Dado
100 2tx t( )d
d
2 10
tx t( )d
d+ 101 x t( )+ 50 cos 1
4t=
x 0( ) 0= x' 0( ) 1=
x Odesolve t 100, ( ):=
0 20 40 60 80 100
21
1
2Ecuacin Diferencial
Tiempo
Func
in
x t( )
t
Elaborado por: Ing. Miguel A. Ruiz Orellana 5 de 10
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GRAFICAS EN TRES DIMENSIONES
Para graficar en tres dimensiones, se debe definir una funcin que dependa de otras dos variables,pudiendo hacer esto como funciones corrientes (variable independiente - dependiente) o comofuncin de vectores.
Sea: x 1 10..:= y 1 10..:=
zx y, x2 y3+:=
z z
Definiendo en funcin de tres variables
f x( ) 5 sin x( ):= a 0:= b 2:=
m1 50:= i 1 m1..:=
n1 50:= j 1 n1..:=
Elaborado por: Ing. Miguel A. Ruiz Orellana 6 de 10
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Manual de aprendizaje - MathCad 2008
las funciones:xi a i
b am1
+:= j j
2 n1
:=
Xi j, xi cos j( ):= Yi j, xi sin j( ):= Zi j, f xi( ):=
X Y, Z, ( )
Elaborado por: Ing. Miguel A. Ruiz Orellana 7 de 10
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CURSO MATHCADGUIA N 4
1. OBJETIVOS
APRENDER A MANEJAR UNIDADES EN MATHCAD1.EJERCICIOS DE APLICACION2.
Para trabajar con unidades, basicamente se debe insertar la abreviacin de la unidad despus delvalor numerico deseado; la expresin de la unidad va en el espacio para instruccin [PlaceHolder] que tiene el MathCad despues de cada valor o variable.De forma semejante si se quiere cambiar la unidad en un resultado, se debe insertar en el espaciopara instruccin la unidad deseada para que el paquete realice la transformacin. Por ejemplopara encontrar el rea de un rectngulo:
Base 10cm:= Altura 2.5in:=
Area Base Altura 63.5 cm2=:=Area 9.84 in2=
Como se evidencia, y se considera uno de los mayores potenciales del paquete, no importa en quesistema de unidades se introduce una variable, despues de operar la misma, se puede exigir elresultado en otro sistema de unidades, o en varios sistemas.
NOTA.- Se hace notar que para utilizar Unidades en MathCad se recomienda revisarsu abreviatura, pues puede ser causa de errores de clculo; por ej. si se quieredefinir una unidad de fuerza en Kilogramos, la abreviacin es [kgf], puesto que[kg] es la abreviacin de unidades de masa.Por otro lado cuando se introduce ecuaciones con factores de conversin preestablecidos, se debe analizar el caso, pues MathCad realiza la transformacin deunidades internamente, no requiriendo un factor de conversin.
Ejemplo de Aplicacin
Calcular las variaciones absolutas de longitudes.
Ea 2 105 MN
m2:= A1 2cm2:= A2 5cm2:= A3 6cm2:=
L1 0.8m:= L2 0.4m:=F1 20kN:= F2 60kN:=
L3 0.4m:= L4 0.4m:=
1F1 L1A1 Ea
=
1F1 L1A1 Ea
:= 1 0.4 mm=
Elaborado por: Ing. Miguel A. Ruiz Orellana 1 de 10
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2F1 L2A2 Ea
:= 2 0.08 mm= 3F1 F2+( ) L3
A2 Ea:= 3 0.32 mm=
4F1 F2+( ) L4
A3 Ea:= 4 0.27 mm=
La deformacin total es:
t 1 2+ 3+ 4+ 1.07 mm=:=
Ejercicio 2
Calcular la deformacin total de la viga de seccin variable.
P 10kN:= Lon 0.3m:=d1 0.01m:= d2 0.01 2x+( ) m:= x
Ar d2
4=
tot
PLon
3
Ar Ea2
0
Lon
3x
PAr
d+=
tot x( )P
Lon3
d12
4Ea
2
0
x
xP
0.01m 2x+( )24
Ea
d+=
x 0 0.05m, 0.3m..:=
tot x( )P
Lon3
d12
4Ea
8 P Ea
0
x
x1
0.01m 2x+( )( )2
d+:=
tot x( )
0.060.07
0.07
0.07
0.07
0.07
0.07
mm= x
050
100
150
200
250
300
mm=
Elaborado por: Ing. Miguel A. Ruiz Orellana 2 de 10
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Ejercicio 3
La ecuacin mostrada, representa al factor de concentracin de esfuerzos a flexinen un elemento circular, con secciones variables que presentan un radio decurvatura.Dada la ecuacin de la concentracin de esfuerzos, que esta en funcin de los dosdimetros y su radio de curvatura, obtener una grfica de multiple curvas.
kt x( ) 0.752 x0.33=
Definiendo la ecuacin: kt a x, ( ) a 0.752 x 0.33:=d 10mm (Aqui se define una constante
d=10mm)El dimetro menor:
Los radios de entalladura: r 2mm 2.5mm, 4.5mm..:=
Los diametros mayores de los ejes: D 20mm 22mm, 28mm..:=
la realcin D/d se denomina "a"
a
2.0
2.2
2.4
2.6
2.8
:=
La relacin r/d ser"X"
x r( )rd
:=
0.2 0.3 0.4 0.51.5
2
2.5
3
3.5
4CONCENTRACION DE ESFUERZOS A FLEXION
Relacion r/d
Con
cent
raci
n d
e es
fuer
zos
kt a1 x r( ), ( )kt a2 x r( ), ( )kt a3 x r( ), ( )kt a4 x r( ), ( )kt a5 x r( ), ( )
x r( )
Elaborado por: Ing. Miguel A. Ruiz Orellana 3 de 10
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Manual de aprendizaje - MathCad 2008
Ejercicio 4
Seleccionar una chaveta para las condiciones expuestas en los datos, con las consideraciones siguientes:Tenga un factor de seguridad de 1.75 a carga esttica.1.Cumpla un factor de seguridad de 3 a carga cclica.2.
DATOS Material de la chaveta AISI 1020
y1020 4640kgf
cm2:= u1020 1.67 y1020:= 1020 0.57 y1020:=
Esfuerzos dediseo
Ns 1.75:=
dy1020
Ns2651.43
kgf
cm2=:=
d0.5y1020
Ns1325.71
kgf
cm2=:=
Potencia del equipo
Pot 100hp:= 200rpm:=Dimensiones del eje
deje 65mm:= ancho de la chaveta b 18mm:=
Inicializando la longitud de la chaveta: Long 1mm:=El momento torsor:
MtorPot
36306.53 kgf cm=:=
Dado
d
Mtor
0.5 dejeb Long=
Long1 Find Long( ):= Long1 46.81 mm=Dimensiones de la cua afatiga 1
Nfs
1ae
mu
+=Nfs 3:=
a x2
y2+ x y 3 a Long( )+=
m x2
y2+ x y 3 m Long( )+=
a Long( )Fa
b Long= m Long( )Fm
b Long=
Elaborado por: Ing. Miguel A. Ruiz Orellana 4 de 10
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MtoraTormax Tormin
2= Mtorm
Tormax Tormin+2
=
FaMtora
deje 0.5= Fm
Mtormdeje 0.5
=
CALCULO Para carga ciclica se tiene el momento torsor mximo y mnimo:
Tormax 1.5 Mtor 54459.8 kgf cm=:=
Tormin 0.3 Mtor 10891.96 kgf cm=:=
El momento alternante
MtoraTormax Tormin
221783.92 kgf cm=:=
El momento medio
MtormTormax Tormin+
232675.88 kgf cm=:=
La fuerza alternativa
FaMtora
deje 0.56702.74 kgf=:=
La fuerza media
FmMtormdeje 0.5
10054.12 kgf=:=
Para la resolucin se toma un rango de longitud de chaveta, en algun punto se cumplir con elfactor de seguridad solicitado
Long 50mm 55mm, 100mm..:=
a Long( )Fa
b Long:= m Long( )Fm
b Long:= x 0:= y 0:=
a Long( ) x2
y2+ x y 3 a Long( )2+:=
m Long( ) x2
y2+ x y 3 m Long( )2+:=
e 0.5 u1020:=
Nfs Long( )1
a Long( )
e
m Long( )
u1020+
:=
Elaborado por: Ing. Miguel A. Ruiz Orellana 5 de 10
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Manual de aprendizaje - MathCad 2008
Long
5055
60
65
70
75
80
85
90
95
100
mm= Nfs Long( )
1.721.89
2.06
2.23
2.4
2.57
2.75
2.92
3.09
3.26
3.43
=
0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.11.5
2
2.5
3
3.5
1.75
3
Nfs Long( )
0.09
Long
Elaborado por: Ing. Miguel A. Ruiz Orellana 6 de 10
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Manual de aprendizaje - MathCad 2008
Se tiene un contenedor de alambre que alberga 8000 m de este, para meter a un horno derecocido, el alambre tiene un dimetro de 4,5mm y es de material A307. considerando unadiferencia de temperatura de 375C y dadas las medidas del sistema:
Calcular el dimetro de las barras soporte del contenedor.1.Determinar el descenso total del sistema cuando este en funcionamiento.2.
Se considera todo el material con A36, el espesor del contenedor es de 5mm
Objetivo
Determinar el dimetro de las barras.1.Determinar la deformacin del sistema.2.
Datos Los de la figura
Anlisis Primero se debe calcular las solicitaciones, con ellas los dimetros y luego ladeformacin longitudinal por temperatura y peso.
Desarrollo
L=2m
L=0.5m
diam=1.5m
diam=?
Alambre
Contenedor
Longitud del alambre: Lal 8000m:=dimetro del alambre: dal 4.5mm:=
al 7.5kgf
dm3:= dm 10cmPeso especifico del alambre:
Longitud de la barra: Lb 0.5m:=Espesor delcontenedor:
ec 5mm:=alto delcontenedor:
ac 2m:=Dimetro del contenedor: dc 1.5m:=
diferencia detemperatura
Dt 375 C 648.15 K=:= 12 10 6 1
1K:=
coeficiente de dilatacin:
Elaborado por: Ing. Miguel A. Ruiz Orellana 7 de 10
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Manual de aprendizaje - MathCad 2008
Propiedadesdelmaterial
A36
uA36 58ksi:= uA36 4077.8kgf
cm2=
yA36 36ksi:= yA36 2531.05kgf
cm2=
Ec 20000N
mm2:=
RESOLUCION
CALCULO DE LAS SOLICITACIONTOTAL
SOLTOT Pesoalambre Pesocontenedor+=
Peso del alambre:
Volal Lal dal
2
4:= Volal 1.27 105 cm3=
wal Volal al:= wal 954.26 kgf=
Peso delcontenedor:
Volcont ac dc ec( ) dc2
4 ec+:= Volcont 55959.62 cm3=
wcont Volcont al:= wcont 419.7 kgf=
El pesototal
wtot wal wcont+:= wtot 1373.96 kgf=
Paraeldimetrodelabarra:
yFsAr
=
donde: Fswtot
2:= Fs 686.98 kgf= Ar
db2
4=
entonces se puedeestablecer:
db 1mm:=Dado
yA36Fs
db
2
4
=
db Find db( ):= db 5.88 mm=Elaborado por: Ing. Miguel A. Ruiz Orellana 8 de 10
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Manual de aprendizaje - MathCad 2008
Nota: si se utilizara un factor de seguridad fs=2, por falta de certificacin del material y malaoperacin del equipo se tendra.
fs 2:= dyA36
fs:= d 124.11 MPa=
Dado
dFs
db
2
4
=
db Find db( ):= db 8.31 mm=Por cuanto se puede asumir un valor de: db 10mm:=
Ab db
2
4 0.79 cm2=:=
LADEFORMACIONTOTALSER:
tot temp peso+=
temp tbarra tcontenedor+=
peso pbarra pcontenedor+=
pbarraFs LbAb Ec
:= pbarra 2.14 mm=
pcontenedor2Fs ac
dc ec Ec:= pcontenedor 0.06 mm=
tbarra Dt Lb:= tbarra 3.89 mm=
tcontenedor Dt ac:= tcontenedor 15.56 mm=
temp tbarra tcontenedor+:= temp 19.44 mm=
peso pbarra pcontenedor+:= peso 2.2 mm=
tot temp peso+:= tot 21.65 mm=
Se evidencia que para efectos de diseo del horno, esta longitud no esdespreciable.
Elaborado por: Ing. Miguel A. Ruiz Orellana 9 de 10
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CURSO MATHCADGUIA N 5
1. OBJETIVOS
APRENDER A PROGRAMAR EN MATHCAD1.EJERCICIOS DE APLICACION - RESOLUCION DE VIGAS2.
La paleta de programacin en MathCad es sumamente sencilla, destacando en ella las funciones deciclo o de bucle.El gran potencial de la programacin dentro de MathCad, respecto de la programacin en otroslenguajes comunes como el Visual Estudio, Delphi y otros es que MathCad ya tiene programadas comopalabras reservadas las funciones matemticas, reduciendose nuestro trabajo a llamar a dichasfunciones y realizar un grupo de operaciones establecidas. Por ejemplo si se quiere encontrar un valordeterminado de una matriz, con cualquier otro lenguaje se debe programar la matriz y realizar labusqueda en ella, mientras que en MathCad, la matriz se define de forma comun, y con un bucle sepide la busqueda del valor especfico.
PROGRAMACION
Para especificar que se trata de una rutina de programa, se utiliza la barra de ADD LINE [ Adicinde Linea de programa].
Tal vez la forma ms sencilla de empezar a programar es utilizando el comando "IF".
COMANDO ifEjemplo 1
Seleccionar el material con el que se quiere trabajar, para ello asignar un valor a la variable "a":
a 1:=u 37
kgf
mm2
a 1=if
42kgf
mm2
a 2=if
60kgf
mm2
a 3=if
:=
u 37kgf
mm2=
entonces si selecciono 1, habr escogido el material ST37, devolviendome el valor de su esfuerzoltimo, de igaul forma con a=2, se elegir un ST42 y ST60 respectivamente.
Elaborado por: Ing. Miguel A. Ruiz Orellana 1 de 13
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Manual de aprendizaje - MathCad 2008
a 2:=u 37
kgf
mm2
a 1=if
42kgf
mm2
a 2=if
60kgf
mm2
a 3=if
:=
u 42kgf
mm2=
Un ejercicio interesante es combinar la programacin con la utilizacin de los comandos de control,de esta forma si empleamos un cuadro de lista:
Editando los valores desde edicion de Script (boton derecho sobre el cuadro de lista)
Asi, se puede obtener la expresin directamente para seleccionar:
Seleccione el material con el cual va ha trabajar:St37St42St60
u 37kgf
mm2
a 1=if
42kgf
mm2
a 2=if
60kgf
mm2
a 3=if
:=
u 37kgf
mm2=
Elaborado por: Ing. Miguel A. Ruiz Orellana 2 de 13
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Manual de aprendizaje - MathCad 2008
Comando Definicin Local
Para definir una variable o agrupar varias operaciones en una variable se recurre al comandoDefinicin Local (la flecha de derecha a izquierda), interpretando el comando como: a lavariable"x" se le asigna "y".
x 1 10..:=
f x w, ( ) z x2 1x
+
w ez
:=
x
12
3
4
5
6
7
8
9
10
= f x 3, ( )22.17
270.05
33926.2973.4210
112.6410161.5310216.610282.1210355.0510438.9110
=
Comando While
El comando While repetira un ciclo hasta que se cumpla la condicin definida.
Polinomio
f n( ) a 0i 0
a h k+( )ii i 1+
i nwhile
a
:=
h
f 2( ) h k+( )2f 3( ) h k+( )3
f 3( ) expandir h3 3 h2 k+ 3 h k2+ k3+f 4( ) expandir h4 4 h3 k+ 6 h2 k2+ 4 h k3+ k4+
NOTA.- Cuando se utiliza los comandos de programacin, no se deben escribir estos,se los debe coger desde la paleta de programacin.
Elaborado por: Ing. Miguel A. Ruiz Orellana 3 de 13
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Comando For
Trabaja igual que while, pero en este el numero de ciclos se define como dato conocido.
Generar una matriz con los datos de la funcin F(i,j).
F i j, ( ) i j:=Ma inf sup, paso, ( ) f 1
o 1
Mf o, F i j, ( )o o 1+
j inf inf paso+, sup..for
f f 1+
i inf inf paso+, sup..for
M
:=
Ma 0 0.4, 0.1, ( )
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.10
0.1
0.2
0.3
0.20.10
0.1
0.2
0.30.20.10
0.1
0.40.30.20.10
=
Programacin del Mtodo de Newton Raphson
Sea la funcin encontrar su raiz:
f z( ) 0.5e
z
3 0.5 sin z( ):=
2 0 2 4 6
1
2
3
f z( )
0.677
z
Introduzca Valor de x :
x 2:=Introduzca El Error :
0.001:=Introduzca La Funcin:
f x( ) 0.5e
x
3 0.5 sin x( ):=
1ra Derivada de launcin --> x
f x( )dd
0.5 cos 2( ) 0.16666666666666666667 e2
3
+
Elaborado por: Ing. Miguel A. Ruiz Orellana 4 de 13
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Manual de aprendizaje - MathCad 2008
Raiz DD 1
sol xf x( )
xf x( )d
d
DD x solx sol
DD while
x
:=ProgramaAplicacin de la sentencia While -->
La Raiz Es --> Raiz 3.462398=
Se obtiene el mismo resultadocon el comando "root" root f x( ) x, ( ) 3.462398=
SELECCION DE UN PERFIL
Teniendo el valor del modulo de seccion requerido para seleecionar el codigo de perfil , realizaruna rutina que realice dicha busqueda.
Se puede introducir los valores tabulados desde excel, asi a la tabla PC se copia la columna decodigo de perfil y luego el valor de su modulo de seccin.
PC1 2
12
3
4
5
6
7
"C5X9" 3.56"C5X67" 3
"C4X75" 2.29
"C4X54" 1.93
"C3X6" 1.38
"C3X5" 1.24
"C3X4" 1.1
:=
PC1 PC 2 := PC1
3.56
3
2.29
1.93
1.38
1.24
1.1
=
ESCOGER q PC1, ( ) i 1
i i 1+PC1i 1, qwhile
i
:=
q 2.3:=f ESCOGER q PC1, ( ) 1:=
Si el modulo es: q 2.3= El codigo del perfilser:
PCf 1, "C5X67"=
Elaborado por: Ing. Miguel A. Ruiz Orellana 5 de 13
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APLICACION EN RESOLUCION DE VIGAS
METODO DE SECCIONES MULTIPLES
1.5m
1.0m
0.5mF1=100kgf
q=500kgf/0.5m
Ra Rb
OBJETIVO: Calcular el punto donde se encuentra la flecha mxima.
ANALISIS: Obtencin de la ecuacin por el mtodo de secciones.
DATOS: Acero AISI 1020, de Seccin circular de diam. 1"
L1 0.5m:= L2 0.5m:= L3 1m:=
d1 1in:= q500kgf0.5m
:= qe 500kgf:=
u 393MPa 3.93 108 Pa=:= Ea 207GPa:=
y 296MPa 2.96 108 Pa=:= Ga 80GPa:= a 7680
kgf
m3:=
F1 100kgf:= DESARROLLO Ra 1N:= Rb 1N:=Reacciones:
Dado
Ra Rb+ qe F1 0=
Ra 1.5m( ) qe 1.25m( ) F1 0.5m( ) 0=Ra
Rb
Find Ra Rb, ( ):= RaRb
4412.99
1471
N=
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Analisisportramos
Tramo1 0 x< L1V1 x( ) Ra q x:=
M1 x( ) Ra x qx2
2:=
Tramo2 L1 x< L1 L2+V2 x( ) Ra qe:=
M2 x( ) Ra x qe x 0.25m( ):=
Tramo3 L1 L2+ x< L1 L2+ L3+V3 x( ) Ra qe F1:=M3 x( ) Ra x qe x 0.25m( ) F1 x 1m( ):=
Las funciones generales:
V x( ) V1 x( ) 0 x< L1ifV2 x( ) L1 x< L1 L2+ifV3 x( ) L1 L2+ x< L1 L2+ L3+if
:= M x( ) M1 x( ) 0 x< L1ifM2 x( ) L1 x< L1 L2+ifM3 x( ) 1m x< 1.5mif
:=
x 0 0.01m, 1.5m..:=
0 0.5 1
4 1032 103
2 1034 103
V x( )
x
0 0.5 1 1.5
200
400
600
800
1 103
M x( )
0.49
x
Para el momento maximo derivamos la ecuacin de M1
Ra x qx2
2 Ra q x 0=
x1Raq
:= x1 0.45 m= Punto donde se ubica la flecha mxima
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RESOLUCION DE VIGAS POR EL METODO DE FUNCIONES DE SINGULARIDAD
El metodo de funciones de singularidad ofrece una ventaja trabajando en MathCad, y es que lafuncion de singularidad se programa en dos pasos, entonces sepuede obviar el trabajo de realizar elanlisis por tramos, pudiendo escribir la funcin de corrido y evaluar en uno solo.La condicin presentada se muestra en la tabla siguiente, que basicamente nos dice que si el tramoen cuestin es inferior al valor de la posicin de la carga, este se hace cero.
La expresin general de las funciones de singularidad se escribencomo:
donde: n: cualquier entero (positivo o negativo). n
x0: el valor de x en la frontera del intervalo.
x: el valor de la longitud de anlisis.
Los corchetes se reemplazan por parntesis algebraicos (suceptibles de evaluacin) cuandose cumple x =>x0, y por "0" cuando x
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CLCULO DE LAS REACCIONES
DadoRa Rb+ P q 1 m 0=Ra x3 qe 1.5 m P 1 m+ 0=
Ra
Rb
Find Ra Rb, ( ):=Ra
Rb
151.2
1663.17
kgf=Ra
Rb
1482.74
16310.15
N=
ESCRIBIENDO LA ECUACION DEL MOMENTO
Por singularidad:
Escribiendo en MathCad....
M x( ) Ra x qx x1( )2
2 q
x x2( )22
+ Rb x x3( )=NOTA.- Se aclara que MathCad no acepta anotar una expresin entrecorchetes de desigualdad.
Escribiendo la funcin de Heaviside, o salto unidad, la cual nos sirve para hacer cumplir lacondicin de que si el tramo es menor a la longitud de aplicacin de la fuerza, el valor de esa sehace cero:
funcion de heaviside
t a, ( ) 0 t aif1 otherwise
:=
Aplicando a la ecuacin obtenida
M x( ) Ra x qx x1( )2
2 x x1, ( ) q x x2( )
2
2 x x2, ( )+ Rb x x3( ) x x3, ( )+
x4 x, ( ):=
x 0 0.01m, 4m..:=
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0 1 2 3 4 5
1 104
5 103
5 103
M x( )
x
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CURSO MATHCADGUIA N 6
1. OBJETIVOS
APLICAR LA HERRAMIENTA MATEMTICA "MATHCAD", PARA EL CLCULO DE EJES.
DiseodeEjessegnNormasDIN44713
PROPIEDADESDEALGUNOSMATERIALES
A36 yA36 36ksi:= yA36 248.21 MPa=uA36 58ksi:= uA36 399.9 MPa=
SegnSAE/AISI1030
y1030 38000lbf
in2:= y1030 262.001 MPa=
u1030 68000lbf
in2:= u1030 468.843 MPa=
SegnDINSt42
yst42 26
kgf
mm2:= yst42 254.973 MPa=
ust42 42kgf
mm2:= ust42 411.879 MPa=
st42 yst42 0.57:= st42 145.33 MPa=SegnDINSt60
yst60 37kgf
mm2:= yst60 362.846 MPa=
ust60 60kgf
mm2:= ust60 588.399 MPa=
METODOLOGIA
OBJETIVO: Dimensionar el eje, para la potencia y velocidad citadas.ANALISIS: Primero se analiza el eje como una viga estatica, y luego se calcula a lafatiga.DATOS DEL PROBLEMA
Datos del motor Pot 15hp:= 1500rpm:=
Momento Torsor: MtorPot
:= Mtor 71.21 N m=
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Diam. Rueda:
diam. Pion:
d2 48 2 mm:= d2 96 mm=d1 35 2 mm:= d1 70 mm=
Longitudes L1 97.5mm:= L2 155mm:= L3 215mm:=
D2=
96m
m
D1=
70m
m
R5,00
100,00 30,00
60,00
25,00
25,00
R5,00
3,00
1,00
30,00
25,00
R5,00 R5,00
L1=97,50
L2=155,00
L3=215,00
CLCULOSIMPLIFICADODELASFUERZASTANGENCIALESPara clarificar el metodo de clculo, se considerar solo la componente tangencial de las fuerzasgeneradas en los engranajes.Para considerar los dos componentes, simplemente corresponder analizar por componente yobtener una resultante del momento flector obtenido.
F1Mtor0.5d1
:= F1 2034.55 N= fuerza del pion
F2Mtor0.5d2
:= F2 1483.52 N= fuerza de la rueda
ANALISISDELEJECOMOVIGA(ANALISISESTATICO)Clculo de las reacciones: Ra 1N:= Rb 1N:=
Dado
Ra Rb+ F1 F2 0=
Rb L3 F2 L2 F1 L1 0=
Ra
Rb
Find Ra Rb, ( ):= RaRb
1525.91
1992.16
N=
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Anlisisdelavigaportramos
tramo1
0mm x< L1Q1 x( ) Ra:=M1 x( ) Ra x:=
tramo2 L1 x< L2Q2 x( ) Ra F1:=
M2 x( ) Ra x F1 x L1( ):=tramo3
L2 x< L3Q3 x( ) Ra F1 F2:=M3 x( ) Ra x F1 x L1( ) F2 x L2( ):=
Los momentos y cortantes sern:
Q x( ) Q1 x( ) 0mm x< L1ifQ2 x( ) L1 x< L2ifQ3 x( ) L2 x< L3if
:= M x( ) M1 x( ) 0mm x< L1ifM2 x( ) L1 x< L2ifM3 x( ) L2 x< L3if
:=
0 0.1 0.2
50
100
150
M x( )
x
0 0.1 0.2
20001000
1000
2000
Q x( )
x
CALCULODELEJEENLASECCIONDELARUEDA
Estimacindeldiametrodeleje:
Trabajando con material st60
asumiendo una tensin al corte de 0.57badm
adm yst60 0.57:= adm 206.82N
mm2=
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El momento mximo en ese punto ser:
Mmax M2 L2( ) 119.53 N m=:=Estimacin a flexin del eje en el punto del engranaje2
drefMmax
0.1 yst60
1
3
:= dref 14.879 mm=
Estimacin a cortante portorsin
drefMtor
0.2 adm
1
3
:= dref 11.985 mm=
Se asume un dimetro mnimo de 15 mm con st60 de2 15mm:=
el modulo de seccin para ese dimetro ser:
wb2 0.1 de23:= wb2 0.34 cm3= a flexin
w2 0.2 de23:= w2 0.68 cm3= a torsin
Recalculo de la tensin de flexin
bMmaxwb2
:= b 354.16 MPa=
Tensin a la torsin
Mtorw2
:= 105.49 MPa=
Tensin a traccin 0N:=
Clculodelatensinequivalente
Se debe combinar todos los tipos de tensiones en una sola equivalente, as:
v2 02 3 0
2 2+=
0 b+:= 0 354.16 MPa=a=1 si hay flexin alternativa y torsin permanentea=2 si hay flexin alternativa y torsin pulsatoriaa=3 si hay flexin alternativa y torsin alternativa
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flexin alternante - torsin permanenteflexin alternante - torsin pulsatoriaflexin y torsin alternante
00.48
3a 1=if
1.473
a 2=if
33
a 3=if
:=
v2 02 3 0
2 2+:= v2 361.62 MPa=
CALCULODELARESISTENCIAALAFATIGA
Gw b0
kb 1 R( )k w=
Clculodelcoeficientedeentalladura
kbkb
1 +=
kb 2.8:= Coeficiente de forma deentalladura2 0.06mm:=
2
de2
22
+:= caida de tensin
33.471
mm=
kbkb
1 2 +1.16=:=
b0 0.95:= coeficiente de influencia de la superficiew 270MPa:= por que: ust60 588.4 MPa= tabla 73R 0.5:= grado de reposok 2.1:= factor lmite de fatigaReemplazando
Gw b0
kb 1 R( )442.84 MPa=:= k w 567 MPa=
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adems la seguridad contra rotura:
SDGv2
:= SD 1.22= 1.7
eldimensionadoescorrectodeesetramo!!!
CALCULODELEJEENLASECCIONDELPION
Estimacindeldiametrodeleje:
El momento mximo en ese punto ser:
Mmax M L1( ) 148.78 N m=:=Estimacin a flexin del eje en el punto del engranaje 1
drefMmax
0.1 yst60
1
3
:= dref 16.006 mm=
Estimacin a cortante por torsin
drefMtor
0.2 adm
1
3
:= dref 11.985 mm=
Se asume un dimetro mnimo de 20 mm con st60 de1 20mm:=el modulo de seccin para ese dimetro ser:
wb1 0.1 de13:= wb1 0.8 cm3= a flexin
w1 0.2 de13:= w1 1.6 cm3= a torsin
Recalculo de la tensin de flexin
bMmaxwb1
:= b 185.97 MPa=
Tensin a la torsin
Mtorw1
:= 44.51 MPa=
Tensin a traccin 0N:=
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Clculodelatensinequivalente
Se debe combinar todos los tipos de tensiones en una sola equivalente, as:
v1 02 3 0
2 2+=
0 b+:= 0 185.97 MPa=a=1 si hay flexin alternativa y torsin permanentea=2 si hay flexin alternativa y torsin pulsatoriaa=3 si hay flexin alternativa y torsin alternativa
flexin alternante - torsin permanenteflexin alternante - torsin pulsatoriaflexin y torsin alternante
00.48
3a 1=if
1.473
a 2=if
33
a 3=if
:=
v1 02 3 0
2 2+:= v1 188.51 MPa=
CALCULODELARESISTENCIAALAFATIGA
Gw b0
kb 1 R( )k w=
Clculodelcoeficientedeentalladura
kbkb
1 +=
kb 2.8:= Coeficiente de forma deentalladura2 0.06mm:=
2
de1
22
+:= caida de tensin
33.431
mm=
kbkb
1 2 +1.16=:=
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b0 0.95:= coeficiente de influencia de la superficiew 270MPa:= por que: ust60 588.4 MPa= tabla 73R 0.5:= grado de reposok 2.1:= factor lmite de fatigaReemplazando
Gw b0
kb 1 R( )442.71 MPa=:= k w 567 MPa=
adems la seguridad contra rotura:
SDGv1
:= SD 2.35= 1.7
eldimensionadoessuficiente
20m
m
15m
m
5mm
6mm
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