math 112 lección 22 capítulo 8 sec. 8.3 aplicaciones con ecuaciones cuadrática

MATH 112

Lección 22Capítulo 8 Sec. 8.3

Aplicaciones con Ecuaciones Cuadrática

Aplicaciones y Solucionando Problemas

• Ejemplo 1 (Jardinería) Un jardín rectangular es 60 ft por 80 ft. Parte del jardín ha sido removido para instalar una acera de ancho uniforme alrededor de el. El área del nuevo jardín es ½ del viejo jardín.

Indique el ancho de la acera.

Aplicaciones y Solucionando Problemas

Ejemplo 1 (Jardinería) …

1. Familiarizarnos con el problema.

xx

xxx

xx

x

60’

80’

Jardín viejo

Jardín nuevo

Acera

Como no sabemos el ancho de la acera, llamamos su ancho x.

60 – 2x

80 – 2x

Aplicaciones y Solucionando Problemas

Ejemplo 1 (Jardinería) …

2.Traduzca. El área de un rectángulo es lw (largo por ancho).

Área de jardín viejo = 60 ∙ 80; Área del nuevo jardín = (60 - 2x)(80 – 2x)

Debido a que el área del nuevo jardín es ½ del viejo jardín, tenemos

(60 – 2x)(80 – 2x) = ½ ∙ 60 ∙ 80

Aplicaciones y Solucionando Problemas

3. Solucione. Resolvemos la ecuación.

2

2

2

160 2 80 2 60 80

2

4800 120 160 4 2400

4 280 2400 0

70 600 0

10 60 0

10 o 60

x x

x x x

x x

x x

x x

x x

Usando en la izquierda el método FOIL

Coleccionando los términos iguales

Dividiendo entre 4

Factorizando

Usando el principio de cero como producto

Aplicaciones y Solucionando Problemas4. Verifique. En la ecuación original verificamos:

10 60

60 2 60 2

60 2 60 20 60 2 60 120

40 60

80 2 80 2

80 2 80 20 80 2 80 120

10 60

60

10 60

40

x x

x x

x x

Para Para

Ancho Ancho

Ancho pies Ancho

Largo Largo

Largo pies Largo

Verifica porque da el ancho y largo números positivos

x = 60 no puede ser porque el ancho y largo dan negativo y no puede ser negativo.

5. Plantee.El ancho de la acera es de 10 pies.

Aplicaciones y Solucionando Problemas

• Ejemplo 2 (Localización de la Escalera) Una escalera se reclina contra el edificio, como se indica en el dibujo. La escalera es 20 ft de largo. La distancia al tope de la escalera es 4 ft más grande que la distancia d del edificio.

Encuentre la distancia d y la distancia al tope de la escalera.

Aplicaciones y Solucionando Problemas

Ejemplo 2 (Localización de la Escalera) …

1. Familiarizarnos. Primero hacemos un dibujo y lo identificamos. Queremos encontrar d y d + 4.

20 ft 4d

d

20 ft d + 4

d

Aplicaciones y Solucionando Problemas

Ejemplo 2 (Localización de la Escalera) …

2.Traduzca. Usamos la ecuación de Pitágoras, dado que se forma un triangulo recto en la figura que formamos.

2 2 2

22 220 4

c a

d d

b

Aplicaciones y Solucionando Problemas

Ejemplo 2 (Localización de la Escalera) …

3.Solucione. Resolvemos la ecuación.

22 2

2 2

2

2

20 4

400 8 16

2 8 384 0

4 192 0

16 12 0

16 0 o 12 0

16 o 12

d d

d d d

d d

d d

d d

d d

d d

Cuadrando

Encontrando la forma estándar

Dividiendo por 2

Factorizando

Usando el principio de cero como producto

Aplicaciones y Solucionando Problemas

Ejemplo 2 (Localización de la Escalera) …

4.Plantee. La distancia d es 12 pies y la distancia al tope de la escalera es 12 + 4 (d + 4), o 16 pies.

Aplicaciones y Solucionando Problemas

• Ejemplo 3 (localización de la Escalera) Suponga que la escalera en el Ejemplo 2 tiene una longitud de 10 ft.

Encuentre la distancia d y la distancia d + 4.

Usando el mismo razonamiento del problema anterior (Ejemplo 2), traducimos el problema a la ecuación102 = d2 + (d + 4)2.

Aplicaciones y Solucionando Problemas

Ejemplo 3 (localización de la Escalera) …Usando la fórmula cuadrática:

2 2

2

2

22 4 4

100 8 16

2 8 84 0

4 42 0

44

2 2

4 16 168 4 184

2 2

4 4 46 4 2 46

1 4

2 6

1

4

2

2 2

d d d

d d

d d

b b acd

a

Cuadrando

Encontrando la forma estándar

Multiplicando por ½, o dividiendo entre 2

Aplicaciones y Solucionando Problemas

Ejemplo 3 (localización de la Escalera) …

2 26 0 46 2,

2 46 2 6.782 4.782

4 4.782 4 8.782

d

d

Dado que y encontramos que

pies

pies