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MATEMÁTICA
Aula 28
Matrizes
Esqueleto Numérico Chinês
3 2 1 39 2 3 1 34 1 2 3 26
Esse esqueleto numérico, corresponde ao sistema de equações abaixo,tendo sido suprimidas as variáveis. A resolução desse sistema é feita atravésda manipulação do esqueleto numérico que hoje chamamos de matriz.
Sistema de equações Lineares Correspondente
3x + 2y + z = 39 2x + 3y + z = 34 x + 2y + 3z = 26
A seguir temos uma tabela dos primeiros colocados em um dos grupos docampeonato brasileiro. Essa tabela é um a matriz de ordem 4 x 5 (lê-sequatro por cinco).
Clube PG J V E D
Corínthians 18 7 6 0 1
Vasco 17 7 5 2 0
Grêmio 11 6 3 2 1
Bahia 10 6 2 4 0
Com vinte elementos, na matemática é comumente representa entreparênteses
ou entre colchetes
Para identificar um elemento, usaremos uma letra minúscula do nossoalfabeto com dois sub índices que indicam a posição desse elemento.
5 = a23 (linha 2 e coluna 3)
10 = a41 (linha 4 e coluna 1)
˜̃˜˜˜
¯
ˆ
ÁÁÁÁÁ
Ë
Ê
042610123611025717106718
˙˙˙˙
˚
˘
ÍÍÍÍ
Î
È
042610123611025717106718
˙˙˙˙
˚
˘
ÍÍÍÍ
Î
È
042610123611025717106718
Uma matriz pode ser representada de duas formas:
- Pela tabela de m linhas e n colunas:
A =
- Forma abreviada :
A = ( )mxnija
com
Exemplo de aplicação
Como podemos escrever uma matriz A = ( )3x2ija
definida por ÓÌÏ
=
≠-=
jise1jiseji
aij ?
Do texto obtemos a ordem:
A = ( )3x2ija fi ordem 2x3
A = ˙˚
˘ÍÎ
È
232221
131211
aaaaaa
˙˙˙˙˙˙
˚
˘
ÍÍÍÍÍÍ
Î
È
mn2m1m
n33231
n22221
n11211
a...aa............a...aaa...aaa...aa
{ }{ }n,...,3,2,1j
m,...,3,2,1iŒ
Œ
Calculo dos elementos da primeira linha:
a11 = 1 + 1 = 2
a12 = 1 – 2 = -1
a13 = 1 – 3 = -2
fi A = ˙˚
˘ÍÎ
È -- 212
a21 = 2 – 1 = 1
a22 = 2 + 2 = 4
a32 = 3 – 2 = 1
fi A = ˙˚
˘ÍÎ
È --
141212
ÓÌÏ
=+
≠-=
jisejijiseji
aij fi
ÓÌÏ
=+
≠-=
jisejijiseji
aij fi
Matrizes especiais
Matriz Linha
A1xn = [ ]n1131211 a...aaa
A1x4 = [ ]8521 -
Matriz Coluna
Amx1 =
˙˙˙˙˙˙
˚
˘
ÍÍÍÍÍÍ
Î
È
1m
31
21
11
a:
aaa
A3x1 = ˙˙˙
˚
˘
ÍÍÍ
Î
È
352
Matriz nula
0mxn =
˙˙˙˙˙˙
˚
˘
ÍÍÍÍÍÍ
Î
È
0...000:...:::0...0000...0000...000
02x5 = ˙˚
˘ÍÎ
È
0000000000
Matriz Quadrada
An =
A2 = ˙˚
˘ÍÎ
È
2431
O conjunto dos elementos que tem os dois índices iguais, formam adiagonal principal.
A4 =
A2 = ˙˚
˘ÍÎ
È
2431
{aij | i = j} = Diagonal Principal
O conjunto dos elementos que tem soma dos índices igual a n+1, formam adiagonal secundária.
A4 =
A2 = ˙˚
˘ÍÎ
È
2431
{aij | i+j = n+1} = Diagonal Secundária
˙˙˙˙˙˙
˚
˘
ÍÍÍÍÍÍ
Î
È
nn3n2n1n
....
n3333231
n2232221
n1131211
a...aaa
:...:::a...aaaa...aaaa...aaa
˙˙˙˙
˚
˘
ÍÍÍÍ
Î
È
44434241
34333231
24232221
14131211
aaaaaaaaaaaaaaaa
˙˙˙˙
˚
˘
ÍÍÍÍ
Î
È
44434241
34333231
24232221
14131211
aaaaaaaaaaaaaaaa
Matriz Diagonal
A4 =
A3 =
Matriz Identidade
A4 = A2 =
Igualdade de Matrizes
Duas matriz A e B são iguais, se e somente se, o elemento que ocupa aposição ij de A é igual ao elemento que ocupa a posição ij de B:
Amxn = Bmxn ¤ aij = bij
para todo .nj1emi1 ££££
˙˙˙˙
˚
˘
ÍÍÍÍ
Î
È
44
33
22
11
a0000a0000a0000a
˙˙˙
˚
˘
ÍÍÍ
Î
È
000000000
˙˙˙˙
˚
˘
ÍÍÍÍ
Î
È
1000010000100001
˙˚
˘ÍÎ
È
1001
Exemplo de aplicação
˙˚
˘ÍÎ
È=˙
˚
˘ÍÎ
È
ywzx
2431
Da igualdade entre as matrizes temos:
x=1, y=2, z=3 e w=4.
Adição de Matrizes
Amxn + Bmxn = Smxn ¤ sij = aij + bij
para todo .nj1emi1 ££££
A adição de duas matrizes dá uma outra matriz, em que cada elemento éa soma dos elementos correspondentes em A e B.
Exemplo de aplicação
˙˚
˘ÍÎ
È=˙
˚
˘ÍÎ
È+˙
˚
˘ÍÎ
È
812106
6875
2431
Exercício
Três amigos saíram juntos para comer no sábado e no domingo. Astabelas a seguir resumem quantas garrafas de refrigerante cada umconsumiu e como a despesa foi dividida:
S = ˙˙˙
˚
˘
ÍÍÍ
Î
È
213010321
e D = ˙˙˙
˚
˘
ÍÍÍ
Î
È
211120302
S refere-se às despesas de sábado e D às despesas de domingo.
S= ˙˙˙
˚
˘
ÍÍÍ
Î
È
213010321
e D= ˙˙˙
˚
˘
ÍÍÍ
Î
È
211120302
Cada elemento aij das matrizes nos dá o número de refrigerantes que ipagou a j, sendo Paulo o número 1, Sandra o número 2 e Edna o número 3.
S= ˙˙˙
˚
˘
ÍÍÍ
Î
È
213010321
e D= ˙˙˙
˚
˘
ÍÍÍ
Î
È
211120302
No sábado, por exemplo, Paulo pagou 1 refrigerante que ele próprio bebeu,2 de Sandra e 3 de Edna (primeira linha da matriz S). Quem bebeu mais no fim de semana?
Matriz Oposta
Dada a matriz A, indica-se como oposta a matriz –A em que cadaelemento é o oposto do correspondente em A.
A = (aij)mxn fi -A = (-aij)mxn
para .nj1emi1 ££££
Exemplo de aplicação
A = ˙˚
˘ÍÎ
È
-
-
4321
fi -A = ˙˚
˘ÍÎ
È
-
-
4321
Subtração de Matrizes
A subtração de matrizes corresponde à adição com a oposta.
Amxn – Bmxn = A + (-B) = (aij – bij)mxn
para .nj1emi1 ££££
Exemplo de aplicação
A – B = ˙˚
˘ÍÎ
È
--=˙
˚
˘ÍÎ
È-˙
˚
˘ÍÎ
È
1121
3510
2431
Multiplicação de número por Matriz
Dada a matriz A e um número real K, chama-se matriz produto de K porA a matriz obtida pelos elementos de A todos multiplicados por k.
k.A = (k.aij)mxn
com .nj1emi1 ££££
Exemplo de aplicação
3. ˙˚
˘ÍÎ
È
--=˙
˚
˘ÍÎ
È
-- 61293
2431
Exercício
Sendo A = ˙˚
˘ÍÎ
È
3721
e B = ˙˚
˘ÍÎ
È
3302
, obter X e Y tal que ÓÌÏ
=-
=+
BYXAYX
Respostas
1) Edna com 11 refrigerantes.
2) ˙˚
˘ÍÎ
È=˙
˚
˘ÍÎ
È=
3302
B3722
A
ÓÌÏ
=-
=+
BYXAYX
2X = A + B fi X = )BA(2
1+
X = ˙˚
˘ÍÎ
È=˙
˚
˘ÍÎ
È
3512
61024
21
X + Y = A (1ª equação)
fi Y = A – X
fi Y = ˙˚
˘ÍÎ
È=˙
˚
˘ÍÎ
È-˙
˚
˘ÍÎ
È
0210
3512
3722
+
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