matematicas financieras. recorrido rapido
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Rodolfo Enrique Sosa Gmez 1
MATEMATICAS MATEMATICAS FINANCIERASFINANCIERAS
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Rodolfo Enrique Sosa Gmez 2
MATEMATICAS MATEMATICAS FINANCIERASFINANCIERAS
Las Matemticas Financieras o Ingeniera Econmica tienen como objetivo fundamental el estudio y anlisis de todas aquellas operaciones y planteamientos en los cuales intervienen las magnitudes de: Capital, Inters, Tiempo y Tasa.
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MATEMATICAS MATEMATICAS FINANCIERASFINANCIERAS
La Matemtica Financiera la podemos asociar con dos smbolos es decir el de los nmeros (#) y el de los pesos ($), ya, que cuando hablamos de Matemticas automticamente hacemos relacin con los nmeros; y cuando hablamos de Finanzas lo relacionamos con el signo pesos; de all la asociacin.
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Rodolfo Enrique Sosa Gmez 4
MATEMATICAS MATEMATICAS FINANCIERASFINANCIERAS
Variables financieras:Capital CTiempo tTasa iInters ICuota RMonto M
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VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPOVALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO
NUNCA SE DEBEN SUMAR VALORES EN FECHAS DIFERENTES
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INTERESINTERES
ES LO QUE SE PAGA O SE RECIBE POR CIERTA CANTIDAD DE DINERO TOMADA O DADA EN PRESTAMO
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INTERES SIMPLEINTERES SIMPLE
Es aquel inters que se genera sobre un capital que permanece constante en el tiempo.
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INTERES SIMPLEINTERES SIMPLEFormula general de la tasa de inters:i = I / C
Si condicionamos esta frmula a la expresin de unidades de tiempo se obtiene la siguiente ecuacin:I = i . C . t
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INTERES SIMPLEINTERES SIMPLE
Clasificacin del inters simple: Inters simple comercial en forma ordinaria Inters simple comercial en forma exacta Inters simple exacto en forma comercial Inters simple exacto en forma ordinaria
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Rodolfo Enrique Sosa Gmez 10
INTERES SIMPLEINTERES SIMPLEClasificacin del inters simpleInters simple comercial:360 das al ao, 180 das al semestre, 90 das al trimestre, 30 das al mes
Inters simple exacto:365 das al aoTabla o calculadora para las dems equivalencias
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INTERES SIMPLEINTERES SIMPLEValor futuro a inters simple:Tambin conocido como monto. Se deduce de la suma entre el capital y los intereses que se generan durante determinado perodo de tiempoM = C + IM = C + ( i . C . t ), luego por factorizacinM = C ( 1 + i . t )
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INTERES SIMPLEINTERES SIMPLEConcepto de Equivalencia Financiera:Es la relacin de igualdad que se establece entre una o unas deudas y uno o unos pagos en un momento determinado en el tiempo denominado fecha focal (momento de la negociacin)
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INTERES SIMPLEINTERES SIMPLEEquidad entre el tiempo y la tasa:
- La tasa y el tiempo siempre deben ir expresadas en la misma unidad de base.- La tasa es la que condiciona la expresin del tiempo.
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INTERES SIMPLEINTERES SIMPLESeries uniformes a inters simple:
Series vencidas:Valor presenteValor futuro
Series anticipadasValor presenteValor futuro
Valor futuro
0 1 2 3 4 5 6Valor presente
Valor futuro
0 1 2 3 4 5 6Valor presente
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INTERES COMPUESTOINTERES COMPUESTOConcepto:Es el inters que se genera sobre intereses.Los intereses que se generan en el primer perodo de capitalizacin se convierten en capital para generar mas intereses para el segundo perodo de capitalizacin y assucesivamente.
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INTERES COMPUESTOINTERES COMPUESTOComparativo entre el inters simple y el inters compuesto
Capital 100.000$ Tasa 10% AnualTiempo 5 Aos
Periodo Diferenciaen aos Monto Interes Int. Acumul. Monto Interes Int. Acumul. en intereses
0 0 0 0 0 01 110.000 10.000 10.000 110.000 10.000 10.000 02 120.000 10.000 20.000 121.000 11.000 21.000 1.0003 130.000 10.000 30.000 133.100 12.100 33.100 3.1004 140.000 10.000 40.000 146.410 13.310 46.410 6.4105 150.000 10.000 50.000 161.051 14.641 61.051 11.051
Inters simple Inters compuesto
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INTERES COMPUESTOINTERES COMPUESTO
Periodo Int. Sim. Int. Com.en aos Monto Monto
00,5 105.000 104.8811 110.000 110.0002 120.000 121.0003 130.000 133.1004 140.000 146.4105 150.000 161.051
Comparativo entre el inters simple y el inters compuesto
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INTERES COMPUESTOINTERES COMPUESTO
tM = C ( 1 + i )
FORMULA GENERALFORMULA GENERAL
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INTERES COMPUESTOINTERES COMPUESTO
Capital o valor presente: VA Tasa: TASA Monto o valor futuro: VF Tiempo: NPER Cuota: PAGO
EXCELEXCEL
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INTERES COMPUESTOINTERES COMPUESTO
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INTERES COMPUESTOINTERES COMPUESTO
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INTERES COMPUESTOINTERES COMPUESTO
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INTERES COMPUESTOINTERES COMPUESTO
5.00
0
4.00
0
x
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12fechafocal
10.00
0
Regla comercial:
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INTERES COMPUESTOINTERES COMPUESTO
5.00
0
4.00
0
x
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12fechafocal
10.00
0
Regla de saldos insolutos:
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INTERES COMPUESTOINTERES COMPUESTO
TASAS:TASA NOMIAL
TASA EFECTIVA
TASAS EQUIVALENTESTASAS ANTICIPADAS
TASAS VENCIDAS
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INTERES COMPUESTOINTERES COMPUESTOTabla para el calculo de las tasas de inters de equivalencia:
Tasa nominal Tasa efectivaPeriodicidad PeriodicidadModalidad ModalidadTasa efectiva 0,0000% Tasa nominal 0,0000%
Anual A Vencida VSemestral S Anticipada ACuatrimestral C Preparado por: Rodolfo Enrique Sosa GmezTrimestral T Peguntas o comentarios:Bimestral B e-mail: rodolfososa83@hotmail.comMensual M Telfonos: (5)4307551 Cel: (315) 722 7258Diaria D Condominio Caaveral Casa 135. Santa Marta.
Periodicidad: Modalidad
MANUAL DE INGENIERA ECONMICACONVERSIN DE TASAS DE INTERS
SIMULADORPara obtener la tasa efectiva Para obtener la tasa nominal
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INTERES COMPUESTOINTERES COMPUESTOTabla para el calculo de las tasas de inters de equivalencia:
MANUAL DE INGENIERIA ECONOMICATABLA DE CONVERSIN DE TASAS DE INTERSPOR: RODOLFO SOSA GMEZ
J = i p . m i E.A. i p =
COMPLEMENTOS: Tasa de Inters ContinuaiE.A. i p = Tasa efectiva o peridica / 100J = Tasa nominal% / 100 i E.A.= e - 1
m = Nmero de periodos contenidos en un ao
e = 2,71828182846
NOMINAL ANTICIPADA NOMINAL ANTICIPADA
PERIODICA NOMINAL VENCIDA NOMINAL VENCIDA PERIODICA
O R I G E NC O N O C I E N D O L A T A S A:
EFECTIVA ANUAL
D E S T I N OP A R A O B T E N E R L A T A S A:
J = 1 + i E.A. 1 / m
- 1. m
J =1 +
i E.A.
1 / m
- 1
. m
1 + i E.A.
1 / m - 11 +
J
m
m
i E.A. = - 1 1 +
J m
J m
1 -
1 + i E.A. =
m
- 1
J
1 -
i VENCIDA = i ANTICIPADA
i ANTICIPADA
1 +i ANTICIPADA =
i VENCIDA
i VENCIDA
J
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INTERES COMPUESTOINTERES COMPUESTOFORMULAS
MANUAL DE INGENIERIA ECONMICA B = Saldo insoluto C.P.Eq. = Costo Peridico EquivalenteFORMULAS FINANCIERAS: Pc = Precio de contado R.B.C. = Relacin Beneficio CostoRodolfo Sosa Gmez Ci = Cuota inicial T.I.R. = Tasa Interna de RetornoC = Capital o Valor Presente R1 = Valor de la primera cuota i = Rentabilidad RealM = Monto o Valor Futuro g = gradiente en $ o %I = Inters V.P.N. = Valor Presente Neto F = Inflacini = Tasa de inters V.P.I. = Valor Presente de los Ingresos D = Devaluacint = Tiempo: nmero de perodos, pagos o cuotas V.P.E. = Valor Presente de los Egresos E = Tasa Extrangeram = Peridos contenidos en un ao V.P.Eq. = Valor Peridico Equivalente i = Tasa TotalR = Valor del pago o cuota I.P.Eq. = Ingreso Peridico Equivalente
INTERS SIMPLE: VENTAS A PLAZOS: 2 . m . I
1 i = 2 M = C + I 3 I = i.C.t 4 M = C ( 1 + i . t ) 5 i = 6 I = ( R . t ) - B 7 B = Pc - CiB ( t + 1 ) - I ( t - 1)
SERIES PERIDICAS VENCIDAS A INTERES SIMPLE SERIES PERIDICAS ANTICIPADAS A INTERES SIMPLE
2t + ti . ( t - 1 ) 2t + ti . ( t + 1 ) R . R .2t + ti . ( t - 1 ) 2 2t + ti . ( t + 1 ) 2
8 M = R . 9 C = 10 M = R . 11 C = 2 2
INTERS COMPUESTO t - t Ln ( M / C ) Log ( M / C ) 1 / t
12 M = C ( 1 + i ) 13 C = M ( 1 + i ) 14 t = 15 t = 16 i = ( M / C ) - 1Ln ( 1 + i ) Log ( 1 + i )
SERIES PERIDICAS VENCIDAS A INTERES COMPUESTO t - t( 1 + i ) - 1 1 - ( 1 + i ) R
17 M = R 18 C = R 19 Perpetuidad: C = i i i
SERIES PERIDICAS ANTICIPADAS A INTERES COMPUESTO t - t( 1 + i ) - 1 1 - ( 1 + i ) R
20 M = R ( 1 + i ) 21 C = R ( 1 + i ) 22 Perpetuidad: C = R +i i i
Tambin puede ser: t + 1 - ( t - 1 )( 1 + i ) - 1 1 - ( 1 + i )
23 M = R -1 24 C = R 1 +i i
GRADIENTE LINEAL O ARITMTICO CRECIENTE Y DECRECIENTEClculo de la cuota uniforme: Infinito: Clculo de una cuota:
1 t R1 g25 R = R1 + / - g . 26 C = + 27 Cuota = R1 + / - ( ( t - 1 ) . g )
t i ii ( 1 + i ) - 1
( 1 + ti ) ( 1 + ti )
I
C
- 2 t
r
T
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INTERES COMPUESTOINTERES COMPUESTOFORMULAS
GRADIENTE GEOMETRICO O EXPONENCIAL CRECIENTESi g es diferente de i: Si g es igual a i:
t t t - t( 1 + i ) - ( 1 + g ) R1. ( 1 + g ) . ( 1 + i ) - 1 R1. t
28 C = R1. 29 C = 30 C = t
( i - g ) . ( 1 + i )
t t t t( 1 + i ) - ( 1 + g ) t R1. ( 1 + g ) - ( 1 + i ) t - 1
31 M = R1. ( 1 + i ) 32 M = 33 M = R1 . t . ( 1 + i ) t
( i - g ) . ( 1 + i )
Infinito, si i es mayor que g: Clculo de una cuota en gradientes gemetricos o exponenciales, crecientes y decrecientes:R1 t - 1
34 C = 35 Cuota = R1 . ( 1 + / - g )i - g
GRADIENTE GEOMETRICO O EXPONENCIAL DECRECIENTE t t t t
( 1 + i ) - ( 1 - g ) ( 1 + i ) - ( 1 - g )36 C = R1. 37 M = R1.
t( i + g ) . ( 1 + i )
EVALUACIN DE PROYECTOS:V.P.N.
38 T.M.A.R. = T.I.O. + Spreads 39 V.P.N. = V.P.I. - V.P.E. 40 V.P.Eq. = - t 1 - ( 1 + i )
V.P.I. V.P.E.41 I.P.Eq. = 42 C.P.Eq. = i
- t - t 1 - ( 1 + i ) 1 - ( 1 + i )
43 R.B.C. = V.P.I. / V.P.E.i i Resultado ideal: R.B.C. > 1
Nota:V.P.N. . ( i - i ) V.P.N. . ( i - i ) i Para V.P.N. > 0
44 T.I.R. = i - 45 T.I.R. = i + i > i V.P.N. - V.P.N. V.P.N. - V.P.N. i Para V.P.N. < 0
Rentabilidad real: Rentabilidad en moneda extranjera: Suma de tasas efectivas: Resta de tasas efectivas:i - F 1 + i Nota:
46 i = 47 i = ( 1 + i.D ) . ( 1 + i.E) - 1 48 i = ( 1 + i ) . (1 + i ) - 1 49 i = 1 i > i1 + F 1 + i
g - i
1 + i
( i + g )
g - i
t
222 2 1
2 121
1 2 1
1 2
21 1
22 212
r r T 1 2 T2
11 2
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Rodolfo Enrique Sosa Gmez 30
INTERES COMPUESTOINTERES COMPUESTOINFLACION - I.P.C.
DEVALUACION
TASAS COMBINADAS
TASAS DEFLACTADAS
D.T.F.
T.C.C.
T.B.S.
LIBOR
PRIME RATE
TMAR = T.I.O + Spreads
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ANUALIDADESANUALIDADES
VENCIDAS
ANTICIPADAS
PERPETUAS
DIFERIDAS
PERPETUAS DIFERIDAS
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Rodolfo Enrique Sosa Gmez 32
ANUALIDADESANUALIDADES
Anualidad de 10 periodos ( forma vencida )
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
10 10 10 10 10 10 10 10 10 10
Anualidad de 10 periodos ( forma anticipada )
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
10 10 10 10 10 10 10 10 10 10
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Rodolfo Enrique Sosa Gmez 33
ANUALIDADESANUALIDADESAnualidad de 5 periodos
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
10 10 10 10 10
Anualidad diferida
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
10 10 10 10 10 10 10
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Rodolfo Enrique Sosa Gmez 34
ANUALIDADESANUALIDADESAnualidad perpetua
0 1 2 3 4 5
10 10 10 10 10
Anualidad perpetua diferida
0 1 2 3 4 5 6 7 8
10 10 10 10 10
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ANUALIDADESANUALIDADES
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ANUALIDADESANUALIDADES
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ANUALIDADESANUALIDADES
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GRADIENTESGRADIENTES
LINEALES O ARITMETICAS:
CRECIENTES Y DECRECIENTES
VALOR PRESENTE Y VALOR FUTURO
CALCULO DE CUOTA
GRADIENTE DIFERIDA
GRADIENTE PERPETUA
GRADIENTE PERPETUA DIFERIDA
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GRADIENTESGRADIENTES
EXPONENCIALES O GEOMETRICAS
CRECIENTES Y DECRECIENTES
VALOR PRESENTE Y VALOR FUTURO
CALCULO DE CUOTA
GRADIENTE DIFERIDA
GRADIENTE PERPETUA
GRADIENTE PERPETUA DIFERIDA
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GRADIENTESGRADIENTES1600
14001200
1000
0 1 2 3 4
1 0 0 09 5 0
9 0 08 5 0
0 1 2 3 4
Gradiente lineal creciente
Gradiente lineal decreciente
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GRADIENTESGRADIENTESGradiente exponencial creciente
Gradiente exponencial decreciente
1.331,001.210,00
1.100,001.000,00
0 1 2 3 4
1000950
902,5857,38
0 1 2 3 4
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Rodolfo Enrique Sosa Gmez 42
GRADIENTESGRADIENTESR1 (1ra Cuota) R1 (1ra Cuota)g (Gradiente en $) g (Gradiente en $)i % (Tasa) i % (Tasa)n (Tiempo) n (Tiempo)Ru (Cuota Uniforme) #DIV/0! Ru (Cuota Uniforme) #DIV/0!V.F. ( Monto ) 0,00 V.F. ( Monto ) x #DIV/0!V.P. ( Capital ) 0,00 V.P. ( Capital ) x #DIV/0!CUOTA No. 24 CUOTA No.VALOR 0,00 VALOR 0,00INFINITO 0,00
R1 (1ra Cuota) R1 (1ra Cuota)g (Gradiente en %) g (Gradiente en %)i % (Tasa) i % (Tasa)n (Tiempo) n (Tiempo)V.F. ( Monto ) Si i dif.g 0,00 V.F. ( Monto ) Si i dif.g 0,00V.P. ( Capital ) Si i dif.g 0,00 V.P. ( Capital ) Si i dif.g 0,00V.F. ( Monto ) Si i = g 0,00V.P. ( Capital ) Si i = g 0,00CUOTA No. CUOTA No.VALOR 0,00 VALOR 0,00INFINITO Si i > g 0,00
GRADIENTE EXPONENCIAL O GEOMETRICOCRECIENTE DECRECIENTE
GRADIENTE LINEAL O ARITMETICOCRECIENTE DECRECIENTE
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Rodolfo Enrique Sosa Gmez 43
EVALUACIONES EVALUACIONES FINANCIERASFINANCIERAS
FLUJO DE CAJAFLUJO DE CAJA NETOV.P.N.
T.I.R.
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Rodolfo Enrique Sosa Gmez 44
U.V.RU.V.R..
t / d UVRt = UVR 15 * ( 1 + i )
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Rodolfo Enrique Sosa Gmez 45
U.V.RU.V.R..
Del 31 de Julio al 5 de Agosto:El DANE pblica los resultados de la inflacin del mes deJulio de 2002Del 6 de Agosto al 15 de Agosto:El Banco de la Republica le informa los valores de la UVRque regirn entre el 16 de Agosto y el 15 de Septiembre.El sistema financiero actualiza sus bases de datos15 de Agosto:U.V.R. $127,7596: Valor ya calculado del mes anteriorDel 16 de Agosto al 15 de Septiembre:Nuevos valores de la U.V.R. Que aplican entre el 16 de Agosto y el 15 de Septiembre
Procedimiento para el calculo de la U.V.R.
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Rodolfo Enrique Sosa Gmez 46
U.V.RU.V.R..- UVR t = Valor de la moneda legal colombiana de la UVRDel da t del perodo de calculo.-UVR 15 = Valor de la moneda legal colombiana de la UVRel da 15 de cada mes.- i = Variacin mensual del IPC durante el mes calendario inmediatamente anterior al mes de inicio del perodo de calculo-t = Nmero de das calendario transcurridos desde el inicio de un perodo de calculo hasta el da de calculo de la UVR.Por lo tanto, t tendr valores entre 1 y 31 de acuerdo con el nmero de das calendario del respectivo perodo de calculo.- d = Nmero de das calendario del respectivo perodo de calculo
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Rodolfo Enrique Sosa Gmez 47
U.V.RU.V.R..VALORES
VALOR DE LA UVR 127,9002FECHA DE REGISTRO 16-Nov-02 VECES QUE SE PAGO EL CREDITO 3,35TASA DE INFLACION 6,00% SALDO EN PESOS MAS ALTO 25.561.151,08TASA DE INFLACION MENSUAL 0,49% MES EN EL QUE SE OBTUVO EL SALDO + ALTO 66TASA DE INTERES E.A. 12,00% FECHA DEL SALDO MAS ALTO 18-Abr-08TASA DE INTERES MENSUAL 0,95% INTERESES PAGADOS 35.740.735,91VALOR PRESTAMO O DEUDA 23.000.000 CAPITAL PAGADO 41.245.432,84TIEMPO EN AOS 15 TOTAL PAGADO 76.986.168,74TIEMPO EN MESES 180
PERI
ODO
FECHA VALOR UVR CUOTA EN
UVR
ABONO A CAPITAL EN
UVR
INTERESES
EN UVR
SALDO EN UVR CUOTA EN
PESOS
ABONO A CAPITAL EN
PESOS
INTERESES EN
PESOS
SALDO EN
PESOS0 16-Nov-02 127,9002 179.827,7094 0,00 0,00 0,00 23.000.000,001 16-Dic-02 128,5228 2.087,7769 381,4290 1.706,3479 179.446,2804 268.326,86 49.022,31 219.304,54 23.062.931,352 15-Ene-03 129,1484 2.087,7769 385,0483 1.702,7286 179.061,2320 269.632,95 49.728,36 219.904,59 23.125.462,983 14-Feb-03 129,7770 2.087,7769 388,7020 1.699,0750 178.672,5300 270.945,40 50.444,57 220.500,83 23.187.582,764 16-Mar-03 130,4087 2.087,7769 392,3903 1.695,3866 178.280,1397 272.264,24 51.171,10 221.093,14 23.249.278,395 15-Abr-03 131,0435 2.087,7769 396,1136 1.691,6633 177.884,0261 273.589,50 51.908,10 221.681,41 23.310.537,336 15-May-03 131,6813 2.087,7769 399,8722 1.687,9047 177.484,1539 274.921,21 52.655,70 222.265,51 23.371.346,857 14-Jun-03 132,3223 2.087,7769 403,6666 1.684,1104 177.080,4873 276.259,41 53.414,08 222.845,33 23.431.693,988 14-Jul-03 132,9664 2.087,7769 407,4969 1.680,2801 176.672,9905 277.604,11 54.183,38 223.420,74 23.491.565,569 13-Ago-03 133,6136 2.087,7769 411,3635 1.676,4134 176.261,6270 278.955,37 54.963,75 223.991,61 23.550.948,1910 12-Sep-03 134,2640 2.087,7769 415,2669 1.672,5101 175.846,3601 280.313,19 55.755,37 224.557,82 23.609.828,2511 12-Oct-03 134,9175 2.087,7769 419,2072 1.668,5697 175.427,1529 281.677,63 56.558,39 225.119,24 23.668.191,8912 11-Nov-03 135,5742 2.087,7769 423,1850 1.664,5919 175.003,9678 283.048,71 57.372,97 225.675,74 23.726.025,0413 11-Dic-03 136,2341 2.087,7769 427,2005 1.660,5764 174.576,7673 284.426,47 58.199,29 226.227,18 23.783.313,3714 10-Ene-04 136,8973 2.087,7769 431,2541 1.656,5228 174.145,5132 285.810,93 59.037,51 226.773,42 23.840.042,3515 9-Feb-04 137,5636 2.087,7769 435,3462 1.652,4307 173.710,1670 287.202,13 59.887,80 227.314,33 23.896.197,16
DATOS
TABLA DE AMORTIZACION EN U.V.R. TABLA DE AMORTIZACION EN PESOSPAGO
RESUMEN DEL CREDITO
-
Rodolfo Enrique Sosa Gmez 48
U.V.RU.V.R..Curva de Amortizacin de Crditos Hipotecarios
-5.000.000
0
5.000.000
10.000.000
15.000.000
20.000.000
25.000.000
30.000.000
Periodos (Cuotas mensuales)
$
-
Rodolfo Enrique Sosa Gmez 49
MATEMATICAS FINANCIERAS
FIN DE LA PRESENTACION
RODOLFO ENRIQUE SOSA GOMEZ
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