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MATEMATICAS BASICAS

Autora: Margarita Ospina PulidoEdicion: Jeanneth Galeano Penaloza

Oscar Guillermo Riano

Universidad Nacional de ColombiaDepartamento de Matematicas

Sede Bogota

Enero de 2015

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Teorema del Binomio 1 / 1

Parte I

Teorema del binomio

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Teorema del Binomio 2 / 1

Teorema del binomio

Potencias de un binomio

(x + y)2 = (x + y)(x + y)

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Teorema del Binomio 3 / 1

Teorema del binomio

Potencias de un binomio

(x + y)2 = (x + y)(x + y)

= xx + xy + yx + yy

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Teorema del Binomio 3 / 1

Teorema del binomio

Potencias de un binomio

(x + y)2 = (x + y)(x + y)

= xx + xy + yx + yy

= x2 + 2xy + y2

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Teorema del Binomio 3 / 1

Teorema del binomio

Potencias de un binomio

(x + y)3 = (x + y)(x + y)(x + y)

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Teorema del Binomio 4 / 1

Teorema del binomio

Potencias de un binomio

(x + y)3 = (x + y)(x + y)(x + y)

Cada sumando se obtiene al hacer el producto de un elemento de cadafactor. En nuestro caso:

(x + y)3 = xxx + xxy + xyx + xyy + yxx + yxy + yyx + yyy

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Teorema del Binomio 4 / 1

Teorema del binomio

Potencias de un binomio

(x + y)3 = (x + y)(x + y)(x + y)

Cada sumando se obtiene al hacer el producto de un elemento de cadafactor. En nuestro caso:

(x + y)3 = xxx + xxy + xyx + xyy + yxx + yxy + yyx + yyy

Agrupando terminos semejantes tenemos:

(x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3

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Teorema del binomio

Potencias de un binomio

(x + y)4 = (x + y)(x + y)(x + y)(x + y)

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Teorema del binomio

Potencias de un binomio

(x + y)4 = (x + y)(x + y)(x + y)(x + y)

= (x + y)(x + y)3

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Teorema del Binomio 5 / 1

Teorema del binomio

Potencias de un binomio

(x + y)4 = (x + y)(x + y)(x + y)(x + y)

= (x + y)(x + y)3

= xxxx + xxxy + xxyx + xxyy + xyxx + xyxy + xyyx

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Teorema del Binomio 5 / 1

Teorema del binomio

Potencias de un binomio

(x + y)4 = (x + y)(x + y)(x + y)(x + y)

= (x + y)(x + y)3

= xxxx + xxxy + xxyx + xxyy + xyxx + xyxy + xyyx

+ xyyy + yxxx + yxxy + yxyx + yxyy + yyxx + yyxy

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Teorema del Binomio 5 / 1

Teorema del binomio

Potencias de un binomio

(x + y)4 = (x + y)(x + y)(x + y)(x + y)

= (x + y)(x + y)3

= xxxx + xxxy + xxyx + xxyy + xyxx + xyxy + xyyx

+ xyyy + yxxx + yxxy + yxyx + yxyy + yyxx + yyxy

+ yyyx + yyyy

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Teorema del binomio

Potencias de un binomio

(x + y)4 = (x + y)(x + y)(x + y)(x + y)

= (x + y)(x + y)3

= xxxx + xxxy + xxyx + xxyy + xyxx + xyxy + xyyx

+ xyyy + yxxx + yxxy + yxyx + yxyy + yyxx + yyxy

+ yyyx + yyyy

Note que a cada uno de los sumandos de la potencia anterior loprecedemos de una x en el primer renglon y de una y en el segundo.

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Teorema del binomio

Potencias de un binomio

Agrupando terminos semejantes:

(x + y)4 = x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Teorema del Binomio 6 / 1

Teorema del binomio

Potencias de un binomio

La forma en que hemos hecho los anteriores productos nos lleva a dosconclusiones:

1. Podemos encontrar una potencia fija del binomio de una manerasencilla si conocemos la anterior como lo hicimos en el caso de 3 a 4.Aun mas:Se conoce una forma de encontrar los coeficientes de (x + y)n

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Triangulo de Pascal

Veamos como se construye:

1

1 1

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Teorema del Binomio 8 / 1

Triangulo de Pascal

Veamos como se construye:

1

1 1

2 11

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Teorema del Binomio 8 / 1

Triangulo de Pascal

Veamos como se construye:

1

1 1

2 11

3 3 11

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Teorema del Binomio 8 / 1

Triangulo de Pascal

Veamos como se construye:

1

1 1

2 11

3 3 11

6 4 141

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Triangulo de Pascal

Veamos como se construye:

1

1 1

2 11

3 3 11

6 4 141

10 10 5 151

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Teorema del binomio

Triangulo de Pascal

Esta forma tiene un defecto: para encontrar los coeficientes de (x + y)25

tenemos que construir los 24 renglones anteriores.

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Teorema del binomio

Triangulo de Pascal

Esta forma tiene un defecto: para encontrar los coeficientes de (x + y)25

tenemos que construir los 24 renglones anteriores.

Busquemos otras alternativas.

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Teorema del Binomio 9 / 1

Teorema del binomio

Potencias de un binomio

2. Si no conocemos la expresion de la anterior potencia podemosproceder como lo hicimos en la potencia 3 donde ignoramos lapotencia 2.

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Teorema del binomio

Potencias de un binomio

2. Si no conocemos la expresion de la anterior potencia podemosproceder como lo hicimos en la potencia 3 donde ignoramos lapotencia 2. En este ultimo caso la clave esta en dos observaciones:

(a) Cada sumando se obtiene multiplicando un elemento x o y de cadauno de los factores.

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Teorema del Binomio 10 / 1

Teorema del binomio

Potencias de un binomio

2. Si no conocemos la expresion de la anterior potencia podemosproceder como lo hicimos en la potencia 3 donde ignoramos lapotencia 2. En este ultimo caso la clave esta en dos observaciones:

(a) Cada sumando se obtiene multiplicando un elemento x o y de cadauno de los factores. Ası, en cada sumando, las suma de las potenciasde x mas las de y debe ser siempre n si estamos encontrando (x + y)n.

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Teorema del Binomio 10 / 1

Teorema del binomio

Potencias de un binomio

2. Si no conocemos la expresion de la anterior potencia podemosproceder como lo hicimos en la potencia 3 donde ignoramos lapotencia 2. En este ultimo caso la clave esta en dos observaciones:

(a) Cada sumando se obtiene multiplicando un elemento x o y de cadauno de los factores. Ası, en cada sumando, las suma de las potenciasde x mas las de y debe ser siempre n si estamos encontrando (x + y)n.

(b) Cuando agrupamos terminos semejantes el coeficiente de cadasumando corresponde a la cantidad de veces que aparece el productode r factores x por n − r factores y .

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Teorema del binomio

Potencias de un binomio

¿Como encontrar este coeficiente?

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Teorema del binomio

Potencias de un binomio

¿Como encontrar este coeficiente?Recordando nuestros conocimientos de conteo podremos saberlo.

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Teorema del binomio

Potencias de un binomio

¿Como encontrar este coeficiente?Recordando nuestros conocimientos de conteo podremos saberlo.Tenemos en cada sumando n factores (lugares),

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Teorema del Binomio 11 / 1

Teorema del binomio

Potencias de un binomio

¿Como encontrar este coeficiente?Recordando nuestros conocimientos de conteo podremos saberlo.Tenemos en cada sumando n factores (lugares), debemos escoger que r

sean y (desde luego n − r seran x),

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Teorema del binomio

Potencias de un binomio

¿Como encontrar este coeficiente?Recordando nuestros conocimientos de conteo podremos saberlo.Tenemos en cada sumando n factores (lugares), debemos escoger que r

sean y (desde luego n − r seran x), luego el numero de sumandos cony rxn−r son tantos como subconjuntos de r elementos en un conjunto de n

elementos, es decir:

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Teorema del binomio

Potencias de un binomio

¿Como encontrar este coeficiente?Recordando nuestros conocimientos de conteo podremos saberlo.Tenemos en cada sumando n factores (lugares), debemos escoger que r

sean y (desde luego n − r seran x), luego el numero de sumandos cony rxn−r son tantos como subconjuntos de r elementos en un conjunto de n

elementos, es decir:

C (n, r) que tambien se nota

(

n

r

)

y es igual a n!r !(n−r)! .

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Teorema del binomio

Factoriales

Para todo entero positivo n, se define n factorial como:

n! = n(n − 1)(n − 2)(n − 3) · · · 3 · 2 · 1

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Teorema del binomio

Factoriales

Para todo entero positivo n, se define n factorial como:

n! = n(n − 1)(n − 2)(n − 3) · · · 3 · 2 · 1

y definimos0! = 1

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Teorema del Binomio 12 / 1

Teorema del binomio

Factoriales

Para todo entero positivo n, se define n factorial como:

n! = n(n − 1)(n − 2)(n − 3) · · · 3 · 2 · 1

y definimos0! = 1

Por ejemplo, 4! = 4 · 3 · 2 · 1 = 24.

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Teorema del binomio

Potencias de un binomio

Veamos algunos coeficientes en el desarrollo de (x + y)n:

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Teorema del binomio

Potencias de un binomio

Veamos algunos coeficientes en el desarrollo de (x + y)n:

¿Cual es el coeficiente de xn = xny0?

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Teorema del binomio

Potencias de un binomio

Veamos algunos coeficientes en el desarrollo de (x + y)n:

¿Cual es el coeficiente de xn = xny0?

(

n

0

)

=n!

0!(n − 0)!= 1

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Teorema del binomio

Potencias de un binomio

Veamos algunos coeficientes en el desarrollo de (x + y)n:

¿Cual es el coeficiente de xn = xny0?

(

n

0

)

=n!

0!(n − 0)!= 1

¿Cual es el coeficiente de xn−1y?

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Teorema del binomio

Potencias de un binomio

Veamos algunos coeficientes en el desarrollo de (x + y)n:

¿Cual es el coeficiente de xn = xny0?

(

n

0

)

=n!

0!(n − 0)!= 1

¿Cual es el coeficiente de xn−1y?

(

n

1

)

=n!

1!(n − 1)!= n

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Teorema del Binomio 13 / 1

Teorema del binomio

Potencias de un binomio

Veamos algunos coeficientes en el desarrollo de (x + y)n:

¿Cual es el coeficiente de xn = xny0?

(

n

0

)

=n!

0!(n − 0)!= 1

¿Cual es el coeficiente de xn−1y?

(

n

1

)

=n!

1!(n − 1)!= n

¿Cual es el coeficiente de yn?

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Teorema del binomio

Potencias de un binomio

Veamos algunos coeficientes en el desarrollo de (x + y)n:

¿Cual es el coeficiente de xn = xny0?

(

n

0

)

=n!

0!(n − 0)!= 1

¿Cual es el coeficiente de xn−1y?

(

n

1

)

=n!

1!(n − 1)!= n

¿Cual es el coeficiente de yn?

(

n

n

)

=n!

n!(n − n)!= 1

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Teorema del binomio

Potencias de un binomio

Desarrollemos el caso de (x + y)5.

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Teorema del binomio

Potencias de un binomio

Desarrollemos el caso de (x + y)5.

(x + y)5

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Teorema del binomio

Potencias de un binomio

Desarrollemos el caso de (x + y)5.

(x + y)5 =

(

5

0

)

x5 +

(

5

1

)

x4y +

(

5

2

)

x3y2

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Teorema del binomio

Potencias de un binomio

Desarrollemos el caso de (x + y)5.

(x + y)5 =

(

5

0

)

x5 +

(

5

1

)

x4y +

(

5

2

)

x3y2

+

(

5

3

)

x2y3 +

(

5

4

)

xy4 +

(

5

5

)

y5

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Teorema del binomio

Potencias de un binomio

Desarrollemos el caso de (x + y)5.

(x + y)5 =

(

5

0

)

x5 +

(

5

1

)

x4y +

(

5

2

)

x3y2

+

(

5

3

)

x2y3 +

(

5

4

)

xy4 +

(

5

5

)

y5

= x5 + 5x4y + 10x3y2 + 10x2y3 + 5xy4 + y5

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Teorema del binomio

Potencias de un binomio

Observamos una simetrıa en los coeficientes ¿a que se debe?

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Teorema del binomio

Potencias de un binomio

Observamos una simetrıa en los coeficientes ¿a que se debe?Es lo mismo escoger r lugares para y que escoger r lugares para x .

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Teorema del binomio

Potencias de un binomio

Observamos una simetrıa en los coeficientes ¿a que se debe?Es lo mismo escoger r lugares para y que escoger r lugares para x .

Es decir, el coeficiente de xn−ry r debe ser el mismo de x ryn−r .

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Teorema del binomio

Potencias de un binomio

Observamos una simetrıa en los coeficientes ¿a que se debe?Es lo mismo escoger r lugares para y que escoger r lugares para x .

Es decir, el coeficiente de xn−ry r debe ser el mismo de x ryn−r .

En terminos de combinatorios(

n

r

)

=n!

r !(n − r)!=

(

n

n − r

)

=n!

(n − r)!(n − (n − r))!

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Triangulo de Pascal

El triangulo de Pascal en terminos de combinatorios queda:

1(10

) (11

)

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Triangulo de Pascal

El triangulo de Pascal en terminos de combinatorios queda:

1(10

) (11

)

(21

) (22

)(20

)

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Teorema del Binomio 16 / 1

Triangulo de Pascal

El triangulo de Pascal en terminos de combinatorios queda:

1(10

) (11

)

(21

) (22

)(20

)

(31

) (32

) (33

)(30

)

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Teorema del Binomio 16 / 1

Triangulo de Pascal

El triangulo de Pascal en terminos de combinatorios queda:

1(10

) (11

)

(21

) (22

)(20

)

(31

) (32

) (33

)(30

)

(42

) (43

) (44

)(41

)(40

)

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Teorema del Binomio 16 / 1

Triangulo de Pascal

El triangulo de Pascal en terminos de combinatorios queda:

1(10

) (11

)

(21

) (22

)(20

)

(31

) (32

) (33

)(30

)

(42

) (43

) (44

)(41

)(40

)

(52

) (53

) (54

) (55

)(51

)(50

)

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Teorema del Binomio 16 / 1

Teorema del binomio

Propiedad

La construccion del triangulo de Pascal nos sugiere la siguiente propiedadde los combinatorios:Para todo n ≥ 1 y todo r con 0 < r ≤ n

(

n + 1

r

)

=

(

n

r − 1

)

+

(

n

r

)

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Teorema del binomio

Teorema del binomio

Sean x y y numeros y n un entero positivo,

(x + y)n =

n∑

r=0

(

n

r

)

x ryn−r =

n∑

r=0

n!

r !(n − r)!x ryn−r

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Teorema del binomio

Ejercicios

1 Encuentre el coeficiente de x3y7 en el desarrollo de (x + y)10.

2 Encuentre el coeficiente de y3 y la potencia de x en el desarrollo de(4x − 3y)11

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