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MATEMATICAS BASICAS

Autora: Jeanneth Galeano PenalozaEdicion: Oscar Guillermo Riano

Universidad Nacional de ColombiaDepartamento de Matematicas

Sede Bogota

Enero de 2015

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 1 / 1

Parte I

Ecuaciones lineales

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 2 / 1

Ecuaciones

Una ecuacion es una igualdad entre dos expresiones algebraicas queinvolucran variables.

Ejemplos

Ecuaciones en una variable

3x − 2 = 71− lnx = 0cos x − sen x = 1− x3x2 − 5x = 2.

En varias variables

3x − 2y = 1− 4xx2 + y2 = 25

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 3 / 1

Ecuaciones

Una ecuacion es una igualdad entre dos expresiones algebraicas queinvolucran variables.

Ejemplos

Ecuaciones en una variable

3x − 2 = 71− lnx = 0cos x − sen x = 1− x3x2 − 5x = 2.

En varias variables

3x − 2y = 1− 4xx2 + y2 = 25

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 3 / 1

Ecuaciones

Una ecuacion es una igualdad entre dos expresiones algebraicas queinvolucran variables.

Ejemplos

Ecuaciones en una variable

3x − 2 = 7

1− lnx = 0cos x − sen x = 1− x3x2 − 5x = 2.

En varias variables

3x − 2y = 1− 4xx2 + y2 = 25

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Ecuaciones

Una ecuacion es una igualdad entre dos expresiones algebraicas queinvolucran variables.

Ejemplos

Ecuaciones en una variable

3x − 2 = 71− lnx = 0

cos x − sen x = 1− x3x2 − 5x = 2.

En varias variables

3x − 2y = 1− 4xx2 + y2 = 25

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 3 / 1

Ecuaciones

Una ecuacion es una igualdad entre dos expresiones algebraicas queinvolucran variables.

Ejemplos

Ecuaciones en una variable

3x − 2 = 71− lnx = 0cos x − sen x = 1− x

3x2 − 5x = 2.

En varias variables

3x − 2y = 1− 4xx2 + y2 = 25

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Ecuaciones

Una ecuacion es una igualdad entre dos expresiones algebraicas queinvolucran variables.

Ejemplos

Ecuaciones en una variable

3x − 2 = 71− lnx = 0cos x − sen x = 1− x3x2 − 5x = 2.

En varias variables

3x − 2y = 1− 4xx2 + y2 = 25

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 3 / 1

Ecuaciones

Una ecuacion es una igualdad entre dos expresiones algebraicas queinvolucran variables.

Ejemplos

Ecuaciones en una variable

3x − 2 = 71− lnx = 0cos x − sen x = 1− x3x2 − 5x = 2.

En varias variables

3x − 2y = 1− 4xx2 + y2 = 25

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Ecuaciones

Una ecuacion es una igualdad entre dos expresiones algebraicas queinvolucran variables.

Ejemplos

Ecuaciones en una variable

3x − 2 = 71− lnx = 0cos x − sen x = 1− x3x2 − 5x = 2.

En varias variables

3x − 2y = 1− 4x

x2 + y2 = 25

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Ecuaciones

Una ecuacion es una igualdad entre dos expresiones algebraicas queinvolucran variables.

Ejemplos

Ecuaciones en una variable

3x − 2 = 71− lnx = 0cos x − sen x = 1− x3x2 − 5x = 2.

En varias variables

3x − 2y = 1− 4xx2 + y2 = 25

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Ecuaciones lineales

Solucion de una ecuacion:

Es el conjunto de valores de la variable (o variables) que hacen cierta laigualdad.

Ejemplos

(A) 3 es solucion de 3x − 2 = 7, pues es el unico valor real que haceverdadera la igualdad. El conjunto solucion es {3} .

(B) Dada la ecuacion x2 − 5x + 6 = 0. La transformamos en(x − 2)(x − 3) = 0 y observamos que el conjunto solucion es {2, 3}.

(C) (3, 4) es una solucion de la ecuacion x2 + y2 = 25 pero hay muchasmas, por ejemplo (−3, 4), (0, 5), (−5, 0), etc.

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Ecuaciones lineales

Solucion de una ecuacion:

Es el conjunto de valores de la variable (o variables) que hacen cierta laigualdad.

Ejemplos

(A) 3 es solucion de 3x − 2 = 7, pues es el unico valor real que haceverdadera la igualdad. El conjunto solucion es {3} .

(B) Dada la ecuacion x2 − 5x + 6 = 0. La transformamos en(x − 2)(x − 3) = 0 y observamos que el conjunto solucion es {2, 3}.

(C) (3, 4) es una solucion de la ecuacion x2 + y2 = 25 pero hay muchasmas, por ejemplo (−3, 4), (0, 5), (−5, 0), etc.

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Ecuaciones lineales

Solucion de una ecuacion:

Es el conjunto de valores de la variable (o variables) que hacen cierta laigualdad.

Ejemplos

(A) 3 es solucion de 3x − 2 = 7, pues es el unico valor real que haceverdadera la igualdad. El conjunto solucion es {3} .

(B) Dada la ecuacion x2 − 5x + 6 = 0. La transformamos en(x − 2)(x − 3) = 0 y observamos que el conjunto solucion es {2, 3}.

(C) (3, 4) es una solucion de la ecuacion x2 + y2 = 25 pero hay muchasmas, por ejemplo (−3, 4), (0, 5), (−5, 0), etc.

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Ecuaciones lineales

Solucion de una ecuacion:

Es el conjunto de valores de la variable (o variables) que hacen cierta laigualdad.

Ejemplos

(A) 3 es solucion de 3x − 2 = 7, pues es el unico valor real que haceverdadera la igualdad. El conjunto solucion es {3} .

(B) Dada la ecuacion x2 − 5x + 6 = 0. La transformamos en(x − 2)(x − 3) = 0 y observamos que el conjunto solucion es {2, 3}.

(C) (3, 4) es una solucion de la ecuacion x2 + y2 = 25 pero hay muchasmas, por ejemplo (−3, 4), (0, 5), (−5, 0), etc.

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Ecuaciones equivalentes

Dos ecuaciones son equivalentes si tienen el mismo conjunto solucion.

Para encontrar el conjunto solucion de una ecuacion muchas veces latransformamos en una equivalente que sea facil de solucionar; para elloutilizamos las propiedades de la igualdad.

Si a = b entonces para cualquier c tenemos:a + c = b + c ,a− c = b − c ,a · c = b · cy si ademas c 6= 0, a

c = bc .

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Ecuaciones equivalentes

Dos ecuaciones son equivalentes si tienen el mismo conjunto solucion.

Para encontrar el conjunto solucion de una ecuacion muchas veces latransformamos en una equivalente que sea facil de solucionar; para elloutilizamos las propiedades de la igualdad.

Si a = b entonces para cualquier c tenemos:a + c = b + c ,a− c = b − c ,a · c = b · cy si ademas c 6= 0, a

c = bc .

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Ecuaciones equivalentes

Dos ecuaciones son equivalentes si tienen el mismo conjunto solucion.

Para encontrar el conjunto solucion de una ecuacion muchas veces latransformamos en una equivalente que sea facil de solucionar; para elloutilizamos las propiedades de la igualdad.

Si a = b entonces para cualquier c tenemos:

a + c = b + c ,a− c = b − c ,a · c = b · cy si ademas c 6= 0, a

c = bc .

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Ecuaciones equivalentes

Dos ecuaciones son equivalentes si tienen el mismo conjunto solucion.

Para encontrar el conjunto solucion de una ecuacion muchas veces latransformamos en una equivalente que sea facil de solucionar; para elloutilizamos las propiedades de la igualdad.

Si a = b entonces para cualquier c tenemos:a + c = b + c ,

a− c = b − c ,a · c = b · cy si ademas c 6= 0, a

c = bc .

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Ecuaciones equivalentes

Dos ecuaciones son equivalentes si tienen el mismo conjunto solucion.

Para encontrar el conjunto solucion de una ecuacion muchas veces latransformamos en una equivalente que sea facil de solucionar; para elloutilizamos las propiedades de la igualdad.

Si a = b entonces para cualquier c tenemos:a + c = b + c ,a− c = b − c ,

a · c = b · cy si ademas c 6= 0, a

c = bc .

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Ecuaciones equivalentes

Dos ecuaciones son equivalentes si tienen el mismo conjunto solucion.

Para encontrar el conjunto solucion de una ecuacion muchas veces latransformamos en una equivalente que sea facil de solucionar; para elloutilizamos las propiedades de la igualdad.

Si a = b entonces para cualquier c tenemos:a + c = b + c ,a− c = b − c ,a · c = b · c

y si ademas c 6= 0, ac = b

c .

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Ecuaciones equivalentes

Dos ecuaciones son equivalentes si tienen el mismo conjunto solucion.

Para encontrar el conjunto solucion de una ecuacion muchas veces latransformamos en una equivalente que sea facil de solucionar; para elloutilizamos las propiedades de la igualdad.

Si a = b entonces para cualquier c tenemos:a + c = b + c ,a− c = b − c ,a · c = b · cy si ademas c 6= 0, a

c = bc .

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Ecuaciones lineales

Son de la forma ax + b = c con a, b, c numeros reales y a 6= 0. Claramentese tiene la siguiente cadena de ecuaciones equivalentes:

ax + b = c

ax = c − b

x =c − b

a

y el conjunto solucion es{c−ba

}

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Ecuaciones lineales

Son de la forma ax + b = c con a, b, c numeros reales y a 6= 0. Claramentese tiene la siguiente cadena de ecuaciones equivalentes:

ax + b = c

ax = c − b

x =c − b

a

y el conjunto solucion es{c−ba

}

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 6 / 1

Ecuaciones lineales

Son de la forma ax + b = c con a, b, c numeros reales y a 6= 0. Claramentese tiene la siguiente cadena de ecuaciones equivalentes:

ax + b = c

ax = c − b

x =c − b

a

y el conjunto solucion es{c−ba

}

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Ecuaciones lineales

Son de la forma ax + b = c con a, b, c numeros reales y a 6= 0. Claramentese tiene la siguiente cadena de ecuaciones equivalentes:

ax + b = c

ax = c − b

x =c − b

a

y el conjunto solucion es{c−ba

}

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 6 / 1

Ecuaciones lineales

Son de la forma ax + b = c con a, b, c numeros reales y a 6= 0. Claramentese tiene la siguiente cadena de ecuaciones equivalentes:

ax + b = c

ax = c − b

x =c − b

a

y el conjunto solucion es{c−ba

}

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Ecuaciones lineales

Ejercicio

Resolver las siguientes ecuaciones

6x − 3(24x − 5) = 2(3x − 1)− 8x−1

3 −x4 = 5

2

3x + 4 = 7 + 5(x − 2)

3x − 2− x = x + 75t−22

t2−6t+9− 11

t2−3t− 5

t = 0

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Ecuaciones lineales

Ejercicio

Hallar cuatro enteros pares consecutivos, tales que la suma de los tresprimeros exceda al cuarto en 8.

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Ecuaciones lineales

Solucion

Sea n el primer entero par, entonces los otros pares siguientes son n + 2,n + 4 y n + 6.

De acuerdo con las condiciones del problema, tenemos

n + (n + 2) + (n + 4) = (n + 6) + 8,

luego,

n = 4.

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Ecuaciones lineales

Solucion

Sea n el primer entero par, entonces los otros pares siguientes son n + 2,n + 4 y n + 6.De acuerdo con las condiciones del problema, tenemos

n + (n + 2) + (n + 4) = (n + 6) + 8,

luego,

n = 4.

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 9 / 1

Ecuaciones lineales

Solucion

Sea n el primer entero par, entonces los otros pares siguientes son n + 2,n + 4 y n + 6.De acuerdo con las condiciones del problema, tenemos

n + (n + 2) + (n + 4) = (n + 6) + 8,

luego,

n = 4.

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Ecuaciones lineales

Ejercicio

Si un lado de un triangulo es la tercera parte del perımetro, el segundolado mide 7 cm y el tercer lado es un quinto del perımetro, ¿cual es elperımetro del triangulo?

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Ecuaciones lineales

Ejercicio

Un rectangulo cuyo largo es de 24 cm tiene la misma superficie que uncuadrado de 12 cm de lado. ¿Cuales son las dimensiones del rectangulo?

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Ecuaciones lineales

Ejercicio

La distancia marıtima entre San Francisco y Honolulu es de 2,100 millasnauticas. Si un barco sale de San Francisco al mismo tiempo que otro salede Honolulu, y si el primero viaja a 15 millas nauticas por hora y elsegundo a 20 millas nauticas por hora, ¿cuanto tardaran los barcos enencontrarse? ¿A que distancia se encontraran de San Francisco y deHonolulu en ese momento?

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Ecuaciones lineales

Ejercicio

Una lancha tarda 1, 5 veces mas al remontar un rıo y recorrer 360 millascontra la corriente, que al regreso. Si navega a una velocidad de 15 millaspor hora en agua tranquila, ¿cual es la velocidad de la corriente?

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Ecuaciones lineales

Solucion

Seax la velocidad de la corriente,15− x la velocidad de la lancha contra la corriente,15 + x la velocidad de la lancha a favor de la corriente.

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Ecuaciones lineales

Tenemos ademas que

Tiempo contra la corriente = (1, 5) (Tiempo con la corriente a favor)

Distancia contra la corriente

Velocidad contra la corriente= (1, 5)

Distancia a favor de la corriente

Velocidad a favor de la corriente360

15− x= (1, 5)

360

15 + x

x = 3

La velocidad de la corriente del rıo es de 3 millas nauticas por hora.

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Ecuaciones lineales

Tenemos ademas que

Tiempo contra la corriente = (1, 5) (Tiempo con la corriente a favor)

Distancia contra la corriente

Velocidad contra la corriente= (1, 5)

Distancia a favor de la corriente

Velocidad a favor de la corriente360

15− x= (1, 5)

360

15 + x

x = 3

La velocidad de la corriente del rıo es de 3 millas nauticas por hora.

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Ecuaciones lineales

Tenemos ademas que

Tiempo contra la corriente = (1, 5) (Tiempo con la corriente a favor)

Distancia contra la corriente

Velocidad contra la corriente= (1, 5)

Distancia a favor de la corriente

Velocidad a favor de la corriente

360

15− x= (1, 5)

360

15 + x

x = 3

La velocidad de la corriente del rıo es de 3 millas nauticas por hora.

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Ecuaciones lineales

Tenemos ademas que

Tiempo contra la corriente = (1, 5) (Tiempo con la corriente a favor)

Distancia contra la corriente

Velocidad contra la corriente= (1, 5)

Distancia a favor de la corriente

Velocidad a favor de la corriente360

15− x= (1, 5)

360

15 + x

x = 3

La velocidad de la corriente del rıo es de 3 millas nauticas por hora.

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Ecuaciones lineales

Tenemos ademas que

Tiempo contra la corriente = (1, 5) (Tiempo con la corriente a favor)

Distancia contra la corriente

Velocidad contra la corriente= (1, 5)

Distancia a favor de la corriente

Velocidad a favor de la corriente360

15− x= (1, 5)

360

15 + x

x = 3

La velocidad de la corriente del rıo es de 3 millas nauticas por hora.

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Ecuaciones lineales

Tenemos ademas que

Tiempo contra la corriente = (1, 5) (Tiempo con la corriente a favor)

Distancia contra la corriente

Velocidad contra la corriente= (1, 5)

Distancia a favor de la corriente

Velocidad a favor de la corriente360

15− x= (1, 5)

360

15 + x

x = 3

La velocidad de la corriente del rıo es de 3 millas nauticas por hora.

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Ecuaciones lineales

Ejercicio

¿Cuantos litros de una mezcla que contiene 80 % de alcohol se debenagregar a 5 litros de una solucion que esta al 20 % para producir unasolucion al 30 %?

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Parte II

Ecuaciones cuadraticas

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Ecuacion de segundo grado

Ejercicio

Un rectangulo tiene un perımetro de 20 metros. Expresar el area delrectangulo en funcion de uno de sus lados.

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Ecuacion de segundo grado

Si a, b, c son numeros reales y a 6= 0, entonces ¿cuantas y cuales son lassoluciones de la ecuacion

ax2 + bx + c = 0?

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Ecuacion de segundo grado

ax2 + bx + c = 0

a

(x2 +

b

ax

)= −c

a

(x2 +

b

ax+

b2

4a2

)= −c+

b2

4a

a

(x +

b

2a

)2

=−4ac + b2

4a(x +

b

2a

)2

=b2 − 4ac

4a2

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Ecuacion de segundo grado

ax2 + bx + c = 0

a

(x2 +

b

ax

)= −c

a

(x2 +

b

ax+

b2

4a2

)= −c+

b2

4a

a

(x +

b

2a

)2

=−4ac + b2

4a(x +

b

2a

)2

=b2 − 4ac

4a2

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Ecuacion de segundo grado

ax2 + bx + c = 0

a

(x2 +

b

ax

)= −c

a

(x2 +

b

ax+

b2

4a2

)= −c+

b2

4a

a

(x +

b

2a

)2

=−4ac + b2

4a(x +

b

2a

)2

=b2 − 4ac

4a2

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Ecuacion de segundo grado

ax2 + bx + c = 0

a

(x2 +

b

ax

)= −c

a

(x2 +

b

ax+

b2

4a2

)= −c+

b2

4a

a

(x +

b

2a

)2

=−4ac + b2

4a

(x +

b

2a

)2

=b2 − 4ac

4a2

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Ecuacion de segundo grado

ax2 + bx + c = 0

a

(x2 +

b

ax

)= −c

a

(x2 +

b

ax+

b2

4a2

)= −c+

b2

4a

a

(x +

b

2a

)2

=−4ac + b2

4a(x +

b

2a

)2

=b2 − 4ac

4a2

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Ecuacion de segundo grado

x +b

2a= ±

√b2 − 4ac

4a2

x = − b

2a±√b2 − 4ac

2a

x =−b ±

√b2 − 4ac

2a

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Ecuacion de segundo grado

x +b

2a= ±

√b2 − 4ac

4a2

x = − b

2a±√b2 − 4ac

2a

x =−b ±

√b2 − 4ac

2a

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Ecuacion de segundo grado

x +b

2a= ±

√b2 − 4ac

4a2

x = − b

2a±√b2 − 4ac

2a

x =−b ±

√b2 − 4ac

2a

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Ecuacion de segundo grado

En la solucion x = −b±√b2−4ac

2a , la expresion b2 − 4ac se denominadiscriminante de la ecuacion cuadratica.

El signo de dicho numero nosproporciona informacion sobre el numero de soluciones ası:

Discriminante Soluciones

Positivo Dos soluciones distintas

Cero Una solucion doble

Negativo No tiene solucion

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Ecuacion de segundo grado

En la solucion x = −b±√b2−4ac

2a , la expresion b2 − 4ac se denominadiscriminante de la ecuacion cuadratica. El signo de dicho numero nosproporciona informacion sobre el numero de soluciones ası:

Discriminante Soluciones

Positivo Dos soluciones distintas

Cero Una solucion doble

Negativo No tiene solucion

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Ecuacion de segundo grado

Ejercicio

Resolver 6x2 − 19x − 7 = 0

(a) Factorizando si es posible,

(b) Usando la formula cuadratica.

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Ecuacion de segundo grado

Ejercicio

Resolver 2x2 − 3x = 0

(a) Factorizando si es posible,

(b) Usando la formula cuadratica.

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Ecuacion de segundo grado

Ejercicio

Resolver 3x2 + 27 = 0

(a) Factorizando si es posible,

(b) Usando la formula cuadratica.

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Ecuacion de segundo grado

Ejercicio

Resolver x2 + 6x − 2 = 0

(a) Completando cuadrados,

(b) Usando la formula cuadratica.

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Ecuacion de segundo grado

Ejercicio

Resolver

(a)√x − 1 = 2x − 3

(b) x +√x − 4 = 4

(c) x10 + 6x5 − 16 = 0

(d)√x + 13−

√7− x = 2

(e) xx+2 −

4x+1 = − 2

x+2

(f) x2x−4 −

23 = 7−2x

3x−6

(g) 13 −

s−22s+4 = s+2

3s+6

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Ecuacion de segundo grado

Ejercicio

La suma de dos numeros es 23 y su producto es 132. Hallar los numeros.

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Ecuacion de segundo grado

Ejercicio

La suma de un numero con su recıproco es 103 . Hallar el numero.

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Ecuacion de segundo grado

Ejercicio

Al mismo tiempo, dos automoviles abandonan una interseccion, uno haciael norte y otro al oeste. Poco tiempo despues, estan separadosexactamente por 100 millas. El que iba al norte ha avanzado 20 millas masque el que se dirigıa al oeste. ¿Cuanto ha viajado cada vehıculo?

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Parte III

Desigualdades

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Desigualdades lineales

Una inecuacion es una desigualdad que involucra variables.

El conjunto solucion de una inecuacion es el conjunto de valores para lavariable (o variables) que hacen verdadera la desigualdad.

Algunos autores llaman simplemente Desigualdades a las inecuaciones yhablan del conjunto solucion de la desigualdad.

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Desigualdades lineales

Una inecuacion es una desigualdad que involucra variables.

El conjunto solucion de una inecuacion es el conjunto de valores para lavariable (o variables) que hacen verdadera la desigualdad.

Algunos autores llaman simplemente Desigualdades a las inecuaciones yhablan del conjunto solucion de la desigualdad.

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Desigualdades lineales

Una inecuacion es una desigualdad que involucra variables.

El conjunto solucion de una inecuacion es el conjunto de valores para lavariable (o variables) que hacen verdadera la desigualdad.

Algunos autores llaman simplemente Desigualdades a las inecuaciones yhablan del conjunto solucion de la desigualdad.

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Desigualdades lineales

Ejemplos

2 es una solucion a la inecuacion 5x − 18 ≤ 0.

10 NO es una solucion a la inecuacion 5x − 18 ≤ 0.π es una solucion a la inecuacion cos x ≤ 1

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 33 / 1

Desigualdades lineales

Ejemplos

2 es una solucion a la inecuacion 5x − 18 ≤ 0.10 NO es una solucion a la inecuacion 5x − 18 ≤ 0.

π es una solucion a la inecuacion cos x ≤ 1

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 33 / 1

Desigualdades lineales

Ejemplos

2 es una solucion a la inecuacion 5x − 18 ≤ 0.10 NO es una solucion a la inecuacion 5x − 18 ≤ 0.π es una solucion a la inecuacion cos x ≤ 1

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 33 / 1

Desigualdades cuadraticas

En forma analoga a las ecuaciones, definimos las inecuaciones odesigualdades lineales y cuadraticas

Ejemplos

5x − 18 ≤ 0

1 ≤ 3x − 7 ≤ x + 2

x2 − 5x + 6 ≥ 0

Tambien pueden involucrar expresiones racionales como:

x2 − 5x + 6

1− x2< 0

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 34 / 1

Desigualdades cuadraticas

En forma analoga a las ecuaciones, definimos las inecuaciones odesigualdades lineales y cuadraticas

Ejemplos

5x − 18 ≤ 0

1 ≤ 3x − 7 ≤ x + 2

x2 − 5x + 6 ≥ 0

Tambien pueden involucrar expresiones racionales como:

x2 − 5x + 6

1− x2< 0

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 34 / 1

Desigualdades cuadraticas

En forma analoga a las ecuaciones, definimos las inecuaciones odesigualdades lineales y cuadraticas

Ejemplos

5x − 18 ≤ 0

1 ≤ 3x − 7 ≤ x + 2

x2 − 5x + 6 ≥ 0

Tambien pueden involucrar expresiones racionales como:

x2 − 5x + 6

1− x2< 0

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 34 / 1

Desigualdades cuadraticas

En forma analoga a las ecuaciones, definimos las inecuaciones odesigualdades lineales y cuadraticas

Ejemplos

5x − 18 ≤ 0

1 ≤ 3x − 7 ≤ x + 2

x2 − 5x + 6 ≥ 0

Tambien pueden involucrar expresiones racionales como:

x2 − 5x + 6

1− x2< 0

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 34 / 1

Desigualdades

Para encontrar el conjunto solucion de una inecuacion la transformamos enuna equivalente utilizando las siguientes propiedades de las desigualdades:

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 35 / 1

Propiedades de las desigualdades

Sean a, b, c numeros reales

Si a < b y b < c , entonces a < c .

Si a < b, entonces a + c < b + c .

Si a < b y c > 0, entonces ac < bc.

Si a < b y c < 0, entonces ac > bc.

Si 0 < a < b, entonces 1a >

1b .

Si 0 < a < b, entonces 0 < a2 < b2

Si 0 < a < b, entonces 0 <√a <√b.

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 36 / 1

Propiedades de las desigualdades

Sean a, b, c numeros reales

Si a < b y b < c , entonces a < c .

Si a < b, entonces a + c < b + c .

Si a < b y c > 0, entonces ac < bc.

Si a < b y c < 0, entonces ac > bc.

Si 0 < a < b, entonces 1a >

1b .

Si 0 < a < b, entonces 0 < a2 < b2

Si 0 < a < b, entonces 0 <√a <√b.

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 36 / 1

Propiedades de las desigualdades

Sean a, b, c numeros reales

Si a < b y b < c , entonces a < c .

Si a < b, entonces a + c < b + c .

Si a < b y c > 0, entonces ac < bc.

Si a < b y c < 0, entonces ac > bc.

Si 0 < a < b, entonces 1a >

1b .

Si 0 < a < b, entonces 0 < a2 < b2

Si 0 < a < b, entonces 0 <√a <√b.

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 36 / 1

Propiedades de las desigualdades

Sean a, b, c numeros reales

Si a < b y b < c , entonces a < c .

Si a < b, entonces a + c < b + c .

Si a < b y c > 0, entonces ac < bc.

Si a < b y c < 0, entonces ac > bc.

Si 0 < a < b, entonces 1a >

1b .

Si 0 < a < b, entonces 0 < a2 < b2

Si 0 < a < b, entonces 0 <√a <√b.

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 36 / 1

Propiedades de las desigualdades

Sean a, b, c numeros reales

Si a < b y b < c , entonces a < c .

Si a < b, entonces a + c < b + c .

Si a < b y c > 0, entonces ac < bc.

Si a < b y c < 0, entonces ac > bc.

Si 0 < a < b, entonces 1a >

1b .

Si 0 < a < b, entonces 0 < a2 < b2

Si 0 < a < b, entonces 0 <√a <√b.

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 36 / 1

Propiedades de las desigualdades

Sean a, b, c numeros reales

Si a < b y b < c , entonces a < c .

Si a < b, entonces a + c < b + c .

Si a < b y c > 0, entonces ac < bc.

Si a < b y c < 0, entonces ac > bc.

Si 0 < a < b, entonces 1a >

1b .

Si 0 < a < b, entonces 0 < a2 < b2

Si 0 < a < b, entonces 0 <√a <√b.

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 36 / 1

Propiedades de las desigualdades

Sean a, b, c numeros reales

Si a < b y b < c , entonces a < c .

Si a < b, entonces a + c < b + c .

Si a < b y c > 0, entonces ac < bc.

Si a < b y c < 0, entonces ac > bc.

Si 0 < a < b, entonces 1a >

1b .

Si 0 < a < b, entonces 0 < a2 < b2

Si 0 < a < b, entonces 0 <√a <√b.

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 36 / 1

Solucion de una desigualdad lineal

Para resolver 2x + 3 < 6− 7x procedemos como en una ecuacion,teniendo en cuenta las propiedades anteriores.

2x + 3 < 6− 7x

2x + 3 + 7x < 6− 7x + 7x

9x + 3 < 6

9x + 3− 3 < 6− 3

9x < 3

1

99x <

1

93

x <1

3

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 37 / 1

Solucion de una desigualdad lineal

Para resolver 2x + 3 < 6− 7x procedemos como en una ecuacion,teniendo en cuenta las propiedades anteriores.

2x + 3 < 6− 7x

2x + 3 + 7x < 6− 7x + 7x

9x + 3 < 6

9x + 3− 3 < 6− 3

9x < 3

1

99x <

1

93

x <1

3

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 37 / 1

Solucion de una desigualdad lineal

Para resolver 2x + 3 < 6− 7x procedemos como en una ecuacion,teniendo en cuenta las propiedades anteriores.

2x + 3 < 6− 7x

2x + 3 + 7x < 6− 7x + 7x

9x + 3 < 6

9x + 3− 3 < 6− 3

9x < 3

1

99x <

1

93

x <1

3

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 37 / 1

Solucion de una desigualdad lineal

Para resolver 2x + 3 < 6− 7x procedemos como en una ecuacion,teniendo en cuenta las propiedades anteriores.

2x + 3 < 6− 7x

2x + 3 + 7x < 6− 7x + 7x

9x + 3 < 6

9x + 3− 3 < 6− 3

9x < 3

1

99x <

1

93

x <1

3

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 37 / 1

Solucion de una desigualdad lineal

Para resolver 2x + 3 < 6− 7x procedemos como en una ecuacion,teniendo en cuenta las propiedades anteriores.

2x + 3 < 6− 7x

2x + 3 + 7x < 6− 7x + 7x

9x + 3 < 6

9x + 3− 3 < 6− 3

9x < 3

1

99x <

1

93

x <1

3

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 37 / 1

Solucion de una desigualdad lineal

Para resolver 2x + 3 < 6− 7x procedemos como en una ecuacion,teniendo en cuenta las propiedades anteriores.

2x + 3 < 6− 7x

2x + 3 + 7x < 6− 7x + 7x

9x + 3 < 6

9x + 3− 3 < 6− 3

9x < 3

1

99x <

1

93

x <1

3

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 37 / 1

Solucion de una desigualdad lineal

Para resolver 2x + 3 < 6− 7x procedemos como en una ecuacion,teniendo en cuenta las propiedades anteriores.

2x + 3 < 6− 7x

2x + 3 + 7x < 6− 7x + 7x

9x + 3 < 6

9x + 3− 3 < 6− 3

9x < 3

1

99x <

1

93

x <1

3

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 37 / 1

Solucion de una desigualdad lineal

Para resolver 2x + 3 < 6− 7x procedemos como en una ecuacion,teniendo en cuenta las propiedades anteriores.

2x + 3 < 6− 7x

2x + 3 + 7x < 6− 7x + 7x

9x + 3 < 6

9x + 3− 3 < 6− 3

9x < 3

1

99x <

1

93

x <1

3

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 37 / 1

Solucion de una desigualdad lineal

El conjunto de todos los x < 13 puede escribirse como un intervalo, ası que

la solucion de esta desigualdad es

Solucion:

(−∞, 1

3

)

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 38 / 1

Solucion de una desigualdad lineal

El conjunto de todos los x < 13 puede escribirse como un intervalo, ası que

la solucion de esta desigualdad es

Solucion:

(−∞, 1

3

)

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 38 / 1

Solucion de una desigualdad lineal

Resolver 4− 2x ≥ 12 + 3x ,

4− 2x ≥ 12 + 3x

− 2x − 3x ≥ 12− 4

− 5x ≥ 8

− 1

5(−5x) ≤ −1

5(8)

x ≤ −8

5

Solucion:

(−∞,−8

5

].

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 39 / 1

Solucion de una desigualdad lineal

Resolver 4− 2x ≥ 12 + 3x ,

4− 2x ≥ 12 + 3x

− 2x − 3x ≥ 12− 4

− 5x ≥ 8

− 1

5(−5x) ≤ −1

5(8)

x ≤ −8

5

Solucion:

(−∞,−8

5

].

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 39 / 1

Solucion de una desigualdad lineal

Resolver 4− 2x ≥ 12 + 3x ,

4− 2x ≥ 12 + 3x

− 2x − 3x ≥ 12− 4

− 5x ≥ 8

− 1

5(−5x) ≤ −1

5(8)

x ≤ −8

5

Solucion:

(−∞,−8

5

].

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 39 / 1

Solucion de una desigualdad lineal

Resolver 4− 2x ≥ 12 + 3x ,

4− 2x ≥ 12 + 3x

− 2x − 3x ≥ 12− 4

− 5x ≥ 8

− 1

5(−5x) ≤ −1

5(8)

x ≤ −8

5

Solucion:

(−∞,−8

5

].

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 39 / 1

Solucion de una desigualdad lineal

Resolver 4− 2x ≥ 12 + 3x ,

4− 2x ≥ 12 + 3x

− 2x − 3x ≥ 12− 4

− 5x ≥ 8

− 1

5(−5x) ≤ −1

5(8)

x ≤ −8

5

Solucion:

(−∞,−8

5

].

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 39 / 1

Solucion de una desigualdad lineal

Resolver 4− 2x ≥ 12 + 3x ,

4− 2x ≥ 12 + 3x

− 2x − 3x ≥ 12− 4

− 5x ≥ 8

− 1

5(−5x) ≤ −1

5(8)

x ≤ −8

5

Solucion:

(−∞,−8

5

].

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 39 / 1

Solucion de una desigualdad lineal

Resolver 4− 2x ≥ 12 + 3x ,

4− 2x ≥ 12 + 3x

− 2x − 3x ≥ 12− 4

− 5x ≥ 8

− 1

5(−5x) ≤ −1

5(8)

x ≤ −8

5

Solucion:

(−∞,−8

5

].

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 39 / 1

Solucion de una desigualdad lineal

Resolver 14− 7x ≤ 8 + 10x ,

14− 7x ≤ 8 + 10x

− 7x − 10x ≤ 8− 14

− 17x ≤ −6

− 1

17(−17x) ≥ − 1

17(−6)

x ≥ 6

17

Solucion :

[6

17,∞).

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 40 / 1

Solucion de una desigualdad lineal

Resolver 14− 7x ≤ 8 + 10x ,

14− 7x ≤ 8 + 10x

− 7x − 10x ≤ 8− 14

− 17x ≤ −6

− 1

17(−17x) ≥ − 1

17(−6)

x ≥ 6

17

Solucion :

[6

17,∞).

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 40 / 1

Solucion de una desigualdad lineal

Resolver 14− 7x ≤ 8 + 10x ,

14− 7x ≤ 8 + 10x

− 7x − 10x ≤ 8− 14

− 17x ≤ −6

− 1

17(−17x) ≥ − 1

17(−6)

x ≥ 6

17

Solucion :

[6

17,∞).

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 40 / 1

Solucion de una desigualdad lineal

Resolver 14− 7x ≤ 8 + 10x ,

14− 7x ≤ 8 + 10x

− 7x − 10x ≤ 8− 14

− 17x ≤ −6

− 1

17(−17x) ≥ − 1

17(−6)

x ≥ 6

17

Solucion :

[6

17,∞).

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 40 / 1

Solucion de una desigualdad lineal

Resolver 14− 7x ≤ 8 + 10x ,

14− 7x ≤ 8 + 10x

− 7x − 10x ≤ 8− 14

− 17x ≤ −6

− 1

17(−17x) ≥ − 1

17(−6)

x ≥ 6

17

Solucion :

[6

17,∞).

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 40 / 1

Solucion de una desigualdad lineal

Resolver 14− 7x ≤ 8 + 10x ,

14− 7x ≤ 8 + 10x

− 7x − 10x ≤ 8− 14

− 17x ≤ −6

− 1

17(−17x) ≥ − 1

17(−6)

x ≥ 6

17

Solucion :

[6

17,∞).

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 40 / 1

Solucion de una desigualdad lineal

Resolver 14− 7x ≤ 8 + 10x ,

14− 7x ≤ 8 + 10x

− 7x − 10x ≤ 8− 14

− 17x ≤ −6

− 1

17(−17x) ≥ − 1

17(−6)

x ≥ 6

17

Solucion :

[6

17,∞).

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 40 / 1

Solucion de una desigualdad lineal

Resolver 2 < 15− 8x ≤ 24,

2 < 15− 8x ≤ 24

2− 15 < 15− 8x − 15 ≤ 24− 15

− 13 < −8x ≤ 9

− 1

8(−13) > −1

8(−8x) ≥ −1

8(9)

13

8> x ≥ −9

8

Solucion :

[−9

8,

13

8

).

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 41 / 1

Solucion de una desigualdad lineal

Resolver 2 < 15− 8x ≤ 24,

2 < 15− 8x ≤ 24

2− 15 < 15− 8x − 15 ≤ 24− 15

− 13 < −8x ≤ 9

− 1

8(−13) > −1

8(−8x) ≥ −1

8(9)

13

8> x ≥ −9

8

Solucion :

[−9

8,

13

8

).

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 41 / 1

Solucion de una desigualdad lineal

Resolver 2 < 15− 8x ≤ 24,

2 < 15− 8x ≤ 24

2− 15 < 15− 8x − 15 ≤ 24− 15

− 13 < −8x ≤ 9

− 1

8(−13) > −1

8(−8x) ≥ −1

8(9)

13

8> x ≥ −9

8

Solucion :

[−9

8,

13

8

).

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 41 / 1

Solucion de una desigualdad lineal

Resolver 2 < 15− 8x ≤ 24,

2 < 15− 8x ≤ 24

2− 15 < 15− 8x − 15 ≤ 24− 15

− 13 < −8x ≤ 9

− 1

8(−13) > −1

8(−8x) ≥ −1

8(9)

13

8> x ≥ −9

8

Solucion :

[−9

8,

13

8

).

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 41 / 1

Solucion de una desigualdad lineal

Resolver 2 < 15− 8x ≤ 24,

2 < 15− 8x ≤ 24

2− 15 < 15− 8x − 15 ≤ 24− 15

− 13 < −8x ≤ 9

− 1

8(−13) > −1

8(−8x) ≥ −1

8(9)

13

8> x ≥ −9

8

Solucion :

[−9

8,

13

8

).

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 41 / 1

Solucion de una desigualdad lineal

Resolver 2 < 15− 8x ≤ 24,

2 < 15− 8x ≤ 24

2− 15 < 15− 8x − 15 ≤ 24− 15

− 13 < −8x ≤ 9

− 1

8(−13) > −1

8(−8x) ≥ −1

8(9)

13

8> x ≥ −9

8

Solucion :

[−9

8,

13

8

).

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 41 / 1

Solucion de una desigualdad lineal

Resolver 2 < 15− 8x ≤ 24,

2 < 15− 8x ≤ 24

2− 15 < 15− 8x − 15 ≤ 24− 15

− 13 < −8x ≤ 9

− 1

8(−13) > −1

8(−8x) ≥ −1

8(9)

13

8> x ≥ −9

8

Solucion :

[−9

8,

13

8

).

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 41 / 1

Solucion de una desigualdad lineal

Resolver 48 > 12x + 30 ≥ 42,

48 > 12x + 30 ≥ 42

48− 30 > 12x ≥ 42− 30

18 > 12x ≥ 12

1

12(18) >

1

12(12x) ≥ 1

12(12)

3

2> x ≥ 1

Solucion :

[1,

3

2

).

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 42 / 1

Solucion de una desigualdad lineal

Resolver 48 > 12x + 30 ≥ 42,

48 > 12x + 30 ≥ 42

48− 30 > 12x ≥ 42− 30

18 > 12x ≥ 12

1

12(18) >

1

12(12x) ≥ 1

12(12)

3

2> x ≥ 1

Solucion :

[1,

3

2

).

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 42 / 1

Solucion de una desigualdad lineal

Resolver 48 > 12x + 30 ≥ 42,

48 > 12x + 30 ≥ 42

48− 30 > 12x ≥ 42− 30

18 > 12x ≥ 12

1

12(18) >

1

12(12x) ≥ 1

12(12)

3

2> x ≥ 1

Solucion :

[1,

3

2

).

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 42 / 1

Solucion de una desigualdad lineal

Resolver 48 > 12x + 30 ≥ 42,

48 > 12x + 30 ≥ 42

48− 30 > 12x ≥ 42− 30

18 > 12x ≥ 12

1

12(18) >

1

12(12x) ≥ 1

12(12)

3

2> x ≥ 1

Solucion :

[1,

3

2

).

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 42 / 1

Solucion de una desigualdad lineal

Resolver 48 > 12x + 30 ≥ 42,

48 > 12x + 30 ≥ 42

48− 30 > 12x ≥ 42− 30

18 > 12x ≥ 12

1

12(18) >

1

12(12x) ≥ 1

12(12)

3

2> x ≥ 1

Solucion :

[1,

3

2

).

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 42 / 1

Solucion de una desigualdad lineal

Resolver 48 > 12x + 30 ≥ 42,

48 > 12x + 30 ≥ 42

48− 30 > 12x ≥ 42− 30

18 > 12x ≥ 12

1

12(18) >

1

12(12x) ≥ 1

12(12)

3

2> x ≥ 1

Solucion :

[1,

3

2

).

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 42 / 1

Solucion de una desigualdad lineal

Resolver 48 > 12x + 30 ≥ 42,

48 > 12x + 30 ≥ 42

48− 30 > 12x ≥ 42− 30

18 > 12x ≥ 12

1

12(18) >

1

12(12x) ≥ 1

12(12)

3

2> x ≥ 1

Solucion :

[1,

3

2

).

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 42 / 1

Desigualdades lineales

Ejercicio

Encontrar el conjunto solucion de las siguientes desigualdades.

1 12− 3x ≤ 6 + 3x

2 15− 6x > 45− 9x

3 −8x + 6 < −4 + 24x

4 3x−5−2 ≥ 5x − 10

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 43 / 1

Solucion de una desigualdad cuadratica.Resolver x2 + 4x + 3 ≥ 0.

Resolver x2 + 4x + 3 ≥ 0,

x2 + 4x + 3 ≥ 0

(x + 3)(x + 1) ≥ 0

Los factores x + 3 y x + 1 se anulan en los puntos −3 y −1respectivamente, ası que dividimos la recta real como sigue

• • •−3 −1 0

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 44 / 1

Solucion de una desigualdad cuadratica.Resolver x2 + 4x + 3 ≥ 0.

Resolver x2 + 4x + 3 ≥ 0,

x2 + 4x + 3 ≥ 0

(x + 3)(x + 1) ≥ 0

Los factores x + 3 y x + 1 se anulan en los puntos −3 y −1respectivamente, ası que dividimos la recta real como sigue

• • •−3 −1 0

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 44 / 1

Solucion de una desigualdad cuadratica.Resolver x2 + 4x + 3 ≥ 0.

Resolver x2 + 4x + 3 ≥ 0,

x2 + 4x + 3 ≥ 0

(x + 3)(x + 1) ≥ 0

Los factores x + 3 y x + 1 se anulan en los puntos −3 y −1respectivamente, ası que dividimos la recta real como sigue

• • •−3 −1 0

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 44 / 1

Solucion de una desigualdad cuadratica.Resolver x2 + 4x + 3 ≥ 0.

Resolver x2 + 4x + 3 ≥ 0,

x2 + 4x + 3 ≥ 0

(x + 3)(x + 1) ≥ 0

Los factores x + 3 y x + 1 se anulan en los puntos −3 y −1respectivamente, ası que dividimos la recta real como sigue

• • •−3 −1 0

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 44 / 1

Solucion de una desigualdad cuadratica.Resolver x2 + 4x + 3 ≥ 0.

(x + 3)(x + 1) ≥ 0

Intervalo (−∞,−3) (−3,−1) (−1,∞)

Signo de (x + 3) − + +

Signo de (x + 1) − − +

Signo resultante + − +

Solucion: (−∞,−3] ∪ [−1,∞) .

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 45 / 1

Solucion de una desigualdad cuadratica.Resolver x2 + 4x + 3 ≥ 0.

(x + 3)(x + 1) ≥ 0

Intervalo (−∞,−3) (−3,−1) (−1,∞)

Signo de (x + 3) − + +

Signo de (x + 1) − − +

Signo resultante + − +

Solucion: (−∞,−3] ∪ [−1,∞) .

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 45 / 1

Solucion de una desigualdad cuadratica.Resolver x2 + 4x + 3 ≥ 0.

(x + 3)(x + 1) ≥ 0

Intervalo (−∞,−3) (−3,−1) (−1,∞)

Signo de (x + 3) − + +

Signo de (x + 1) − − +

Signo resultante + − +

Solucion: (−∞,−3] ∪ [−1,∞) .

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 45 / 1

Solucion de una desigualdad cuadratica.Resolver x2 + 4x + 3 ≥ 0.

(x + 3)(x + 1) ≥ 0

Intervalo (−∞,−3) (−3,−1) (−1,∞)

Signo de (x + 3) − + +

Signo de (x + 1) − − +

Signo resultante + − +

Solucion: (−∞,−3] ∪ [−1,∞) .

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 45 / 1

Solucion de una desigualdad cuadratica.Resolver x2 + 4x + 3 ≥ 0.

(x + 3)(x + 1) ≥ 0

Intervalo (−∞,−3) (−3,−1) (−1,∞)

Signo de (x + 3) − + +

Signo de (x + 1) − − +

Signo resultante + − +

Solucion: (−∞,−3] ∪ [−1,∞) .

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 45 / 1

Solucion de una desigualdad cuadratica.Resolver 2x2 − 2x − 12 < 0.

Resolver 2x2 − 2x − 12 < 0.

2x2 − 2x − 12 < 0

2(x + 2)(x − 3) < 0

Los factores x + 2 y x − 3 se anulan en los puntos −2 y 3respectivamente, ası que dividimos la recta real ası

• • •−2 30

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 46 / 1

Solucion de una desigualdad cuadratica.Resolver 2x2 − 2x − 12 < 0.

Resolver 2x2 − 2x − 12 < 0.

2x2 − 2x − 12 < 0

2(x + 2)(x − 3) < 0

Los factores x + 2 y x − 3 se anulan en los puntos −2 y 3respectivamente, ası que dividimos la recta real ası

• • •−2 30

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 46 / 1

Solucion de una desigualdad cuadratica.Resolver 2x2 − 2x − 12 < 0.

Resolver 2x2 − 2x − 12 < 0.

2x2 − 2x − 12 < 0

2(x + 2)(x − 3) < 0

Los factores x + 2 y x − 3 se anulan en los puntos −2 y 3respectivamente, ası que dividimos la recta real ası

• • •−2 30

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 46 / 1

Solucion de una desigualdad cuadratica.Resolver 2x2 − 2x − 12 < 0.

Resolver 2x2 − 2x − 12 < 0.

2x2 − 2x − 12 < 0

2(x + 2)(x − 3) < 0

Los factores x + 2 y x − 3 se anulan en los puntos −2 y 3respectivamente, ası que dividimos la recta real ası

• • •−2 30

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 46 / 1

Solucion de una desigualdad cuadratica.Resolver 2x2 − 2x − 12 < 0.

2(x + 2)(x − 3) < 0

Intervalo (−∞,−2) (−2, 3) (3,∞)

Signo de (x + 2) − + +

Signo de (x − 3) − − +

Signo resultante + − +

Solucion: (−2, 3) .

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 47 / 1

Solucion de una desigualdad cuadratica.Resolver 2x2 − 2x − 12 < 0.

2(x + 2)(x − 3) < 0

Intervalo (−∞,−2) (−2, 3) (3,∞)

Signo de (x + 2) − + +

Signo de (x − 3) − − +

Signo resultante + − +

Solucion: (−2, 3) .

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 47 / 1

Solucion de una desigualdad cuadratica.Resolver 2x2 − 2x − 12 < 0.

2(x + 2)(x − 3) < 0

Intervalo (−∞,−2) (−2, 3) (3,∞)

Signo de (x + 2) − + +

Signo de (x − 3) − − +

Signo resultante + − +

Solucion: (−2, 3) .

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 47 / 1

Solucion de una desigualdad cuadratica.Resolver 2x2 − 2x − 12 < 0.

2(x + 2)(x − 3) < 0

Intervalo (−∞,−2) (−2, 3) (3,∞)

Signo de (x + 2) − + +

Signo de (x − 3) − − +

Signo resultante + − +

Solucion: (−2, 3) .

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 47 / 1

Solucion de una desigualdad cuadratica.Resolver 2x2 − 2x − 12 < 0.

2(x + 2)(x − 3) < 0

Intervalo (−∞,−2) (−2, 3) (3,∞)

Signo de (x + 2) − + +

Signo de (x − 3) − − +

Signo resultante + − +

Solucion: (−2, 3) .

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 47 / 1

Resolver (x+2)(4−x)(x−1) ≥ 0.

Resolver (x+2)(4−x)(x−1) ≥ 0.

Los factores x + 2, 4− x y x − 1 se anulan en los puntos −2, 4 y 1respectivamente, ası que dividimos la recta real ası

• • • •−2 10 4

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 48 / 1

Resolver (x+2)(4−x)(x−1) ≥ 0.

Resolver (x+2)(4−x)(x−1) ≥ 0.

Los factores x + 2, 4− x y x − 1 se anulan en los puntos −2, 4 y 1respectivamente, ası que dividimos la recta real ası

• • • •−2 10 4

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 48 / 1

Resolver (x+2)(4−x)(x−1) ≥ 0.

Intervalo (−∞,−2) (−2, 1) (1, 4) (4,∞)

Signo de (x + 2) − + + +

Signo de (4− x) + + + −Signo de (x − 1) − − + +

Signo resultante + − + −

Solucion: (−∞,−2] ∪ (1, 4] .

¿Por que el intervalo es cerrado en −2 y en 4 y abierto en 1?

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 49 / 1

Resolver (x+2)(4−x)(x−1) ≥ 0.

Intervalo (−∞,−2) (−2, 1) (1, 4) (4,∞)

Signo de (x + 2) − + + +

Signo de (4− x) + + + −Signo de (x − 1) − − + +

Signo resultante + − + −

Solucion: (−∞,−2] ∪ (1, 4] .

¿Por que el intervalo es cerrado en −2 y en 4 y abierto en 1?

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 49 / 1

Resolver (x+2)(4−x)(x−1) ≥ 0.

Intervalo (−∞,−2) (−2, 1) (1, 4) (4,∞)

Signo de (x + 2) − + + +

Signo de (4− x) + + + −

Signo de (x − 1) − − + +

Signo resultante + − + −

Solucion: (−∞,−2] ∪ (1, 4] .

¿Por que el intervalo es cerrado en −2 y en 4 y abierto en 1?

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 49 / 1

Resolver (x+2)(4−x)(x−1) ≥ 0.

Intervalo (−∞,−2) (−2, 1) (1, 4) (4,∞)

Signo de (x + 2) − + + +

Signo de (4− x) + + + −Signo de (x − 1) − − + +

Signo resultante + − + −

Solucion: (−∞,−2] ∪ (1, 4] .

¿Por que el intervalo es cerrado en −2 y en 4 y abierto en 1?

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 49 / 1

Resolver (x+2)(4−x)(x−1) ≥ 0.

Intervalo (−∞,−2) (−2, 1) (1, 4) (4,∞)

Signo de (x + 2) − + + +

Signo de (4− x) + + + −Signo de (x − 1) − − + +

Signo resultante + − + −

Solucion: (−∞,−2] ∪ (1, 4] .

¿Por que el intervalo es cerrado en −2 y en 4 y abierto en 1?

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 49 / 1

Resolver (x+2)(4−x)(x−1) ≥ 0.

Intervalo (−∞,−2) (−2, 1) (1, 4) (4,∞)

Signo de (x + 2) − + + +

Signo de (4− x) + + + −Signo de (x − 1) − − + +

Signo resultante + − + −

Solucion: (−∞,−2] ∪ (1, 4] .

¿Por que el intervalo es cerrado en −2 y en 4 y abierto en 1?

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 49 / 1

Resolver (x+2)(4−x)(x−1) ≥ 0.

Intervalo (−∞,−2) (−2, 1) (1, 4) (4,∞)

Signo de (x + 2) − + + +

Signo de (4− x) + + + −Signo de (x − 1) − − + +

Signo resultante + − + −

Solucion: (−∞,−2] ∪ (1, 4] .

¿Por que el intervalo es cerrado en −2 y en 4 y abierto en 1?

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 49 / 1

Resolver 4(x−2)(3−x)x2(x+1) ≤ 0.

Resolver 4(x−2)(3−x)x2(x+1)

≤ 0.

Los factores x − 2, 3− x , x2 y x + 1 se anulan en los puntos 2, 3, 0 y −1respectivamente.

• • • •−1 0 2 3

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 50 / 1

Resolver 4(x−2)(3−x)x2(x+1) ≤ 0.

Resolver 4(x−2)(3−x)x2(x+1)

≤ 0.

Los factores x − 2, 3− x , x2 y x + 1 se anulan en los puntos 2, 3, 0 y −1respectivamente.

• • • •−1 0 2 3

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 50 / 1

Resolver 4(x−2)(3−x)x2(x+1) ≤ 0.

Intervalo (−∞,−1) (−1, 0) (0, 2) (2, 3) (3,∞)

Signo de (x − 2) − − − + +

Signo de (3− x) + + + + −Signo de x2 + + + + +

Signo de (x + 1) − + + + +

Signo resultante + − − + −

Solucion: (−1, 0) ∪ (0, 2] ∪ [3,∞) .

¿Puede escribirse (−1, 2] en lugar de (−1, 0) ∪ (0, 2]?

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 51 / 1

Resolver 4(x−2)(3−x)x2(x+1) ≤ 0.

Intervalo (−∞,−1) (−1, 0) (0, 2) (2, 3) (3,∞)

Signo de (x − 2) − − − + +

Signo de (3− x) + + + + −Signo de x2 + + + + +

Signo de (x + 1) − + + + +

Signo resultante + − − + −

Solucion: (−1, 0) ∪ (0, 2] ∪ [3,∞) .

¿Puede escribirse (−1, 2] en lugar de (−1, 0) ∪ (0, 2]?

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 51 / 1

Resolver 4(x−2)(3−x)x2(x+1) ≤ 0.

Intervalo (−∞,−1) (−1, 0) (0, 2) (2, 3) (3,∞)

Signo de (x − 2) − − − + +

Signo de (3− x) + + + + −

Signo de x2 + + + + +

Signo de (x + 1) − + + + +

Signo resultante + − − + −

Solucion: (−1, 0) ∪ (0, 2] ∪ [3,∞) .

¿Puede escribirse (−1, 2] en lugar de (−1, 0) ∪ (0, 2]?

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 51 / 1

Resolver 4(x−2)(3−x)x2(x+1) ≤ 0.

Intervalo (−∞,−1) (−1, 0) (0, 2) (2, 3) (3,∞)

Signo de (x − 2) − − − + +

Signo de (3− x) + + + + −Signo de x2 + + + + +

Signo de (x + 1) − + + + +

Signo resultante + − − + −

Solucion: (−1, 0) ∪ (0, 2] ∪ [3,∞) .

¿Puede escribirse (−1, 2] en lugar de (−1, 0) ∪ (0, 2]?

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 51 / 1

Resolver 4(x−2)(3−x)x2(x+1) ≤ 0.

Intervalo (−∞,−1) (−1, 0) (0, 2) (2, 3) (3,∞)

Signo de (x − 2) − − − + +

Signo de (3− x) + + + + −Signo de x2 + + + + +

Signo de (x + 1) − + + + +

Signo resultante + − − + −

Solucion: (−1, 0) ∪ (0, 2] ∪ [3,∞) .

¿Puede escribirse (−1, 2] en lugar de (−1, 0) ∪ (0, 2]?

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 51 / 1

Resolver 4(x−2)(3−x)x2(x+1) ≤ 0.

Intervalo (−∞,−1) (−1, 0) (0, 2) (2, 3) (3,∞)

Signo de (x − 2) − − − + +

Signo de (3− x) + + + + −Signo de x2 + + + + +

Signo de (x + 1) − + + + +

Signo resultante + − − + −

Solucion: (−1, 0) ∪ (0, 2] ∪ [3,∞) .

¿Puede escribirse (−1, 2] en lugar de (−1, 0) ∪ (0, 2]?

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 51 / 1

Resolver 4(x−2)(3−x)x2(x+1) ≤ 0.

Intervalo (−∞,−1) (−1, 0) (0, 2) (2, 3) (3,∞)

Signo de (x − 2) − − − + +

Signo de (3− x) + + + + −Signo de x2 + + + + +

Signo de (x + 1) − + + + +

Signo resultante + − − + −

Solucion: (−1, 0) ∪ (0, 2] ∪ [3,∞) .

¿Puede escribirse (−1, 2] en lugar de (−1, 0) ∪ (0, 2]?

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 51 / 1

Resolver 4(x−2)(3−x)x2(x+1) ≤ 0.

Intervalo (−∞,−1) (−1, 0) (0, 2) (2, 3) (3,∞)

Signo de (x − 2) − − − + +

Signo de (3− x) + + + + −Signo de x2 + + + + +

Signo de (x + 1) − + + + +

Signo resultante + − − + −

Solucion: (−1, 0) ∪ (0, 2] ∪ [3,∞) .

¿Puede escribirse (−1, 2] en lugar de (−1, 0) ∪ (0, 2]?

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 51 / 1

Ejercicios

Encontrar todas las soluciones de las siguientes desigualdades

Ejercicio

1(2x+1)(4−x)

x2+2x≥ 0

2(x+3)2(x−3)x2−7x+12

≤ 0

3(x2−x)(3x−1)x2−3x−10

≥ 0

4 x4 + 15x2 < 16

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 52 / 1

Parte IV

Desigualdades con valor absoluto

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 53 / 1

Valor Absoluto

Recordemos que el valor absoluto de un numero real corresponde a ladistancia que hay entre el y el origen.

Definicion

Sea x un numero real,

|x | =

{x si x ≥ 0−x si x < 0

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 54 / 1

Valor Absoluto

|x | ≤ a equivale a −a ≤ x ≤ a, si a ≥ 0

• • •−a 0 a

|x | ≥ a equivale a x ≥ a o x ≤ −a, si a ≥ 0

• • •−a 0 a

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 55 / 1

Valor Absoluto

|x | ≤ a equivale a −a ≤ x ≤ a, si a ≥ 0

• • •−a 0 a

|x | ≥ a equivale a x ≥ a o x ≤ −a, si a ≥ 0

• • •−a 0 a

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 55 / 1

Desigualdades con valor absoluto

Resolver |2x + 1| ≤ 4.

|2x + 1| ≤ 4

− 4 ≤ 2x + 1 ≤ 4

− 4− 1 ≤ 2x ≤ 4− 1

− 5 ≤ 2x ≤ 3

− 5

2≤ x ≤ 3

2

Solucion:

[−5

2,

3

2

].

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 56 / 1

Desigualdades con valor absoluto

Resolver |2x + 1| ≤ 4.

|2x + 1| ≤ 4

− 4 ≤ 2x + 1 ≤ 4

− 4− 1 ≤ 2x ≤ 4− 1

− 5 ≤ 2x ≤ 3

− 5

2≤ x ≤ 3

2

Solucion:

[−5

2,

3

2

].

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 56 / 1

Desigualdades con valor absoluto

Resolver |2x + 1| ≤ 4.

|2x + 1| ≤ 4

− 4 ≤ 2x + 1 ≤ 4

− 4− 1 ≤ 2x ≤ 4− 1

− 5 ≤ 2x ≤ 3

− 5

2≤ x ≤ 3

2

Solucion:

[−5

2,

3

2

].

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 56 / 1

Desigualdades con valor absoluto

Resolver |2x + 1| ≤ 4.

|2x + 1| ≤ 4

− 4 ≤ 2x + 1 ≤ 4

− 4− 1 ≤ 2x ≤ 4− 1

− 5 ≤ 2x ≤ 3

− 5

2≤ x ≤ 3

2

Solucion:

[−5

2,

3

2

].

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 56 / 1

Desigualdades con valor absoluto

Resolver |2x + 1| ≤ 4.

|2x + 1| ≤ 4

− 4 ≤ 2x + 1 ≤ 4

− 4− 1 ≤ 2x ≤ 4− 1

− 5 ≤ 2x ≤ 3

− 5

2≤ x ≤ 3

2

Solucion:

[−5

2,

3

2

].

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 56 / 1

Desigualdades con valor absoluto

Resolver |2x + 1| ≤ 4.

|2x + 1| ≤ 4

− 4 ≤ 2x + 1 ≤ 4

− 4− 1 ≤ 2x ≤ 4− 1

− 5 ≤ 2x ≤ 3

− 5

2≤ x ≤ 3

2

Solucion:

[−5

2,

3

2

].

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 56 / 1

Desigualdades con valor absoluto

Resolver |2x + 1| ≤ 4.

|2x + 1| ≤ 4

− 4 ≤ 2x + 1 ≤ 4

− 4− 1 ≤ 2x ≤ 4− 1

− 5 ≤ 2x ≤ 3

− 5

2≤ x ≤ 3

2

Solucion:

[−5

2,

3

2

].

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 56 / 1

Desigualdades con valor absoluto

Resolver |8− 3x | ≤ 5.

|8− 3x | ≤ 5

− 5 ≤ 8− 3x ≤ 5

− 5− 8 ≤ −3x ≤ 5− 8

− 13 ≤ −3x ≤ −3

− 1

3(−13) ≥ x ≥ −1

3(−3)

13

3≥ x ≥ 1

Solucion:

[1,

13

3

].

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 57 / 1

Desigualdades con valor absoluto

Resolver |8− 3x | ≤ 5.

|8− 3x | ≤ 5

− 5 ≤ 8− 3x ≤ 5

− 5− 8 ≤ −3x ≤ 5− 8

− 13 ≤ −3x ≤ −3

− 1

3(−13) ≥ x ≥ −1

3(−3)

13

3≥ x ≥ 1

Solucion:

[1,

13

3

].

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 57 / 1

Desigualdades con valor absoluto

Resolver |8− 3x | ≤ 5.

|8− 3x | ≤ 5

− 5 ≤ 8− 3x ≤ 5

− 5− 8 ≤ −3x ≤ 5− 8

− 13 ≤ −3x ≤ −3

− 1

3(−13) ≥ x ≥ −1

3(−3)

13

3≥ x ≥ 1

Solucion:

[1,

13

3

].

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 57 / 1

Desigualdades con valor absoluto

Resolver |8− 3x | ≤ 5.

|8− 3x | ≤ 5

− 5 ≤ 8− 3x ≤ 5

− 5− 8 ≤ −3x ≤ 5− 8

− 13 ≤ −3x ≤ −3

− 1

3(−13) ≥ x ≥ −1

3(−3)

13

3≥ x ≥ 1

Solucion:

[1,

13

3

].

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 57 / 1

Desigualdades con valor absoluto

Resolver |8− 3x | ≤ 5.

|8− 3x | ≤ 5

− 5 ≤ 8− 3x ≤ 5

− 5− 8 ≤ −3x ≤ 5− 8

− 13 ≤ −3x ≤ −3

− 1

3(−13) ≥ x ≥ −1

3(−3)

13

3≥ x ≥ 1

Solucion:

[1,

13

3

].

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 57 / 1

Desigualdades con valor absoluto

Resolver |8− 3x | ≤ 5.

|8− 3x | ≤ 5

− 5 ≤ 8− 3x ≤ 5

− 5− 8 ≤ −3x ≤ 5− 8

− 13 ≤ −3x ≤ −3

− 1

3(−13) ≥ x ≥ −1

3(−3)

13

3≥ x ≥ 1

Solucion:

[1,

13

3

].

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 57 / 1

Desigualdades con valor absoluto

Resolver |8− 3x | ≤ 5.

|8− 3x | ≤ 5

− 5 ≤ 8− 3x ≤ 5

− 5− 8 ≤ −3x ≤ 5− 8

− 13 ≤ −3x ≤ −3

− 1

3(−13) ≥ x ≥ −1

3(−3)

13

3≥ x ≥ 1

Solucion:

[1,

13

3

].

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 57 / 1

Desigualdades con valor absoluto

Resolver |8− 3x | ≤ 5.

|8− 3x | ≤ 5

− 5 ≤ 8− 3x ≤ 5

− 5− 8 ≤ −3x ≤ 5− 8

− 13 ≤ −3x ≤ −3

− 1

3(−13) ≥ x ≥ −1

3(−3)

13

3≥ x ≥ 1

Solucion:

[1,

13

3

].

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 57 / 1

Desigualdades con valor absoluto

Resolver |12 + 4x | ≥ 6. Por la propiedad tenemos que

12 + 4x ≤ −6 o 12 + 4x ≥ 6

12 + 4x ≤ −6

4x ≤ −6− 12

4x ≤ −18

x ≤ −9

2

12 + 4x ≥ 6

4x ≥ 6− 12

4x ≥ −6

x ≥ −3

2

Solucion:

(−∞,−9

2

]∪[−3

2,∞).

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 58 / 1

Desigualdades con valor absoluto

Resolver |12 + 4x | ≥ 6. Por la propiedad tenemos que

12 + 4x ≤ −6 o 12 + 4x ≥ 6

12 + 4x ≤ −6

4x ≤ −6− 12

4x ≤ −18

x ≤ −9

2

12 + 4x ≥ 6

4x ≥ 6− 12

4x ≥ −6

x ≥ −3

2

Solucion:

(−∞,−9

2

]∪[−3

2,∞).

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 58 / 1

Desigualdades con valor absoluto

Resolver |12 + 4x | ≥ 6. Por la propiedad tenemos que

12 + 4x ≤ −6 o 12 + 4x ≥ 6

12 + 4x ≤ −6

4x ≤ −6− 12

4x ≤ −18

x ≤ −9

2

12 + 4x ≥ 6

4x ≥ 6− 12

4x ≥ −6

x ≥ −3

2

Solucion:

(−∞,−9

2

]∪[−3

2,∞).

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 58 / 1

Desigualdades con valor absoluto

Resolver |12 + 4x | ≥ 6. Por la propiedad tenemos que

12 + 4x ≤ −6 o 12 + 4x ≥ 6

12 + 4x ≤ −6

4x ≤ −6− 12

4x ≤ −18

x ≤ −9

2

12 + 4x ≥ 6

4x ≥ 6− 12

4x ≥ −6

x ≥ −3

2

Solucion:

(−∞,−9

2

]∪[−3

2,∞).

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 58 / 1

Desigualdades con valor absoluto

Resolver |12 + 4x | ≥ 6. Por la propiedad tenemos que

12 + 4x ≤ −6 o 12 + 4x ≥ 6

12 + 4x ≤ −6

4x ≤ −6− 12

4x ≤ −18

x ≤ −9

2

12 + 4x ≥ 6

4x ≥ 6− 12

4x ≥ −6

x ≥ −3

2

Solucion:

(−∞,−9

2

]∪[−3

2,∞).

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 58 / 1

Desigualdades con valor absoluto

Resolver |12 + 4x | ≥ 6. Por la propiedad tenemos que

12 + 4x ≤ −6 o 12 + 4x ≥ 6

12 + 4x ≤ −6

4x ≤ −6− 12

4x ≤ −18

x ≤ −9

2

12 + 4x ≥ 6

4x ≥ 6− 12

4x ≥ −6

x ≥ −3

2

Solucion:

(−∞,−9

2

]∪[−3

2,∞).

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 58 / 1

Desigualdades con valor absoluto

Resolver |12 + 4x | ≥ 6. Por la propiedad tenemos que

12 + 4x ≤ −6 o 12 + 4x ≥ 6

12 + 4x ≤ −6

4x ≤ −6− 12

4x ≤ −18

x ≤ −9

2

12 + 4x ≥ 6

4x ≥ 6− 12

4x ≥ −6

x ≥ −3

2

Solucion:

(−∞,−9

2

]∪[−3

2,∞).

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 58 / 1

Desigualdades con valor absoluto

Resolver |12 + 4x | ≥ 6. Por la propiedad tenemos que

12 + 4x ≤ −6 o 12 + 4x ≥ 6

12 + 4x ≤ −6

4x ≤ −6− 12

4x ≤ −18

x ≤ −9

2

12 + 4x ≥ 6

4x ≥ 6− 12

4x ≥ −6

x ≥ −3

2

Solucion:

(−∞,−9

2

]∪[−3

2,∞).

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 58 / 1

Desigualdades con valor absoluto

Resolver |12 + 4x | ≥ 6. Por la propiedad tenemos que

12 + 4x ≤ −6 o 12 + 4x ≥ 6

12 + 4x ≤ −6

4x ≤ −6− 12

4x ≤ −18

x ≤ −9

2

12 + 4x ≥ 6

4x ≥ 6− 12

4x ≥ −6

x ≥ −3

2

Solucion:

(−∞,−9

2

]∪[−3

2,∞).

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 58 / 1

Desigualdades con valor absoluto

Resolver |12 + 4x | ≥ 6. Por la propiedad tenemos que

12 + 4x ≤ −6 o 12 + 4x ≥ 6

12 + 4x ≤ −6

4x ≤ −6− 12

4x ≤ −18

x ≤ −9

2

12 + 4x ≥ 6

4x ≥ 6− 12

4x ≥ −6

x ≥ −3

2

Solucion:

(−∞,−9

2

]∪[−3

2,∞).

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 58 / 1

Desigualdades con valor absoluto

Resolver |25− 7x | ≥ 8. Por la propiedad tenemos que,

25− 7x ≤ −8 o 25− 7x ≥ 8

25− 7x ≤ −8

− 7x ≤ −8− 25

− 7x ≤ −33

x ≥ 33

7

25− 7x ≥ 8

− 7x ≥ 8− 25

− 7x ≥ −17

x ≤ 17

7

Solucion:

(−∞, 17

7

]∪[

33

7,∞).

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 59 / 1

Desigualdades con valor absoluto

Resolver |25− 7x | ≥ 8. Por la propiedad tenemos que,

25− 7x ≤ −8 o 25− 7x ≥ 8

25− 7x ≤ −8

− 7x ≤ −8− 25

− 7x ≤ −33

x ≥ 33

7

25− 7x ≥ 8

− 7x ≥ 8− 25

− 7x ≥ −17

x ≤ 17

7

Solucion:

(−∞, 17

7

]∪[

33

7,∞).

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 59 / 1

Desigualdades con valor absoluto

Resolver |25− 7x | ≥ 8. Por la propiedad tenemos que,

25− 7x ≤ −8 o 25− 7x ≥ 8

25− 7x ≤ −8

− 7x ≤ −8− 25

− 7x ≤ −33

x ≥ 33

7

25− 7x ≥ 8

− 7x ≥ 8− 25

− 7x ≥ −17

x ≤ 17

7

Solucion:

(−∞, 17

7

]∪[

33

7,∞).

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 59 / 1

Desigualdades con valor absoluto

Resolver |25− 7x | ≥ 8. Por la propiedad tenemos que,

25− 7x ≤ −8 o 25− 7x ≥ 8

25− 7x ≤ −8

− 7x ≤ −8− 25

− 7x ≤ −33

x ≥ 33

7

25− 7x ≥ 8

− 7x ≥ 8− 25

− 7x ≥ −17

x ≤ 17

7

Solucion:

(−∞, 17

7

]∪[

33

7,∞).

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 59 / 1

Desigualdades con valor absoluto

Resolver |25− 7x | ≥ 8. Por la propiedad tenemos que,

25− 7x ≤ −8 o 25− 7x ≥ 8

25− 7x ≤ −8

− 7x ≤ −8− 25

− 7x ≤ −33

x ≥ 33

7

25− 7x ≥ 8

− 7x ≥ 8− 25

− 7x ≥ −17

x ≤ 17

7

Solucion:

(−∞, 17

7

]∪[

33

7,∞).

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 59 / 1

Desigualdades con valor absoluto

Resolver |25− 7x | ≥ 8. Por la propiedad tenemos que,

25− 7x ≤ −8 o 25− 7x ≥ 8

25− 7x ≤ −8

− 7x ≤ −8− 25

− 7x ≤ −33

x ≥ 33

7

25− 7x ≥ 8

− 7x ≥ 8− 25

− 7x ≥ −17

x ≤ 17

7

Solucion:

(−∞, 17

7

]∪[

33

7,∞).

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 59 / 1

Desigualdades con valor absoluto

Resolver |25− 7x | ≥ 8. Por la propiedad tenemos que,

25− 7x ≤ −8 o 25− 7x ≥ 8

25− 7x ≤ −8

− 7x ≤ −8− 25

− 7x ≤ −33

x ≥ 33

7

25− 7x ≥ 8

− 7x ≥ 8− 25

− 7x ≥ −17

x ≤ 17

7

Solucion:

(−∞, 17

7

]∪[

33

7,∞).

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 59 / 1

Desigualdades con valor absoluto

Resolver |25− 7x | ≥ 8. Por la propiedad tenemos que,

25− 7x ≤ −8 o 25− 7x ≥ 8

25− 7x ≤ −8

− 7x ≤ −8− 25

− 7x ≤ −33

x ≥ 33

7

25− 7x ≥ 8

− 7x ≥ 8− 25

− 7x ≥ −17

x ≤ 17

7

Solucion:

(−∞, 17

7

]∪[

33

7,∞).

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 59 / 1

Desigualdades con valor absoluto

Resolver |25− 7x | ≥ 8. Por la propiedad tenemos que,

25− 7x ≤ −8 o 25− 7x ≥ 8

25− 7x ≤ −8

− 7x ≤ −8− 25

− 7x ≤ −33

x ≥ 33

7

25− 7x ≥ 8

− 7x ≥ 8− 25

− 7x ≥ −17

x ≤ 17

7

Solucion:

(−∞, 17

7

]∪[

33

7,∞).

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 59 / 1

Desigualdades con valor absoluto

Resolver |25− 7x | ≥ 8. Por la propiedad tenemos que,

25− 7x ≤ −8 o 25− 7x ≥ 8

25− 7x ≤ −8

− 7x ≤ −8− 25

− 7x ≤ −33

x ≥ 33

7

25− 7x ≥ 8

− 7x ≥ 8− 25

− 7x ≥ −17

x ≤ 17

7

Solucion:

(−∞, 17

7

]∪[

33

7,∞).

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 59 / 1

Desigualdades con valor absoluto

Para resolver |x + 2| − |x − 1| > 2 usamos la definicion,

|x + 2| =

{x + 2 si x + 2 ≥ 0−(x + 2) si x + 2 < 0

=

{x + 2 si x ≥ −2−x − 2 si x < −2

|x − 1| =

{x − 1 si x − 1 ≥ 0−(x − 1) si x − 1 < 0

=

{x − 1 si x ≥ 1−x + 1 si x < 1

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 60 / 1

Desigualdades con valor absoluto

Para resolver |x + 2| − |x − 1| > 2 usamos la definicion,

|x + 2| =

{x + 2 si x + 2 ≥ 0−(x + 2) si x + 2 < 0

=

{x + 2 si x ≥ −2−x − 2 si x < −2

|x − 1| =

{x − 1 si x − 1 ≥ 0−(x − 1) si x − 1 < 0

=

{x − 1 si x ≥ 1−x + 1 si x < 1

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 60 / 1

Desigualdades con valor absoluto

Para resolver |x + 2| − |x − 1| > 2 usamos la definicion,

|x + 2| =

{x + 2 si x + 2 ≥ 0−(x + 2) si x + 2 < 0

=

{x + 2 si x ≥ −2−x − 2 si x < −2

|x − 1| =

{x − 1 si x − 1 ≥ 0−(x − 1) si x − 1 < 0

=

{x − 1 si x ≥ 1−x + 1 si x < 1

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 60 / 1

Desigualdades con valor absoluto

Para resolver |x + 2| − |x − 1| > 2 usamos la definicion,

|x + 2| =

{x + 2 si x + 2 ≥ 0−(x + 2) si x + 2 < 0

=

{x + 2 si x ≥ −2−x − 2 si x < −2

|x − 1| =

{x − 1 si x − 1 ≥ 0−(x − 1) si x − 1 < 0

=

{x − 1 si x ≥ 1−x + 1 si x < 1

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 60 / 1

Desigualdades con valor absoluto

La recta real se divide en tres sub-intervalos

• • •−2 0 1

(−∞,−2) [−2, 1) [1,+∞)

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 61 / 1

Desigualdades con valor absoluto

En (−∞,−2)

|x + 2| − |x − 1| > 2

(−x − 2)− (−x + 1) > 2

− 3 > 2 Falso

S1 = ∅

En [−2, 1)

|x + 2| − |x − 1| > 2

(x + 2)− (−x + 1) > 2

2x + 1 > 2

x > 1/2

S2 =

(1

2,∞)∩ [−2, 1)

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 62 / 1

Desigualdades con valor absoluto

En (−∞,−2)

|x + 2| − |x − 1| > 2

(−x − 2)− (−x + 1) > 2

− 3 > 2 Falso

S1 = ∅

En [−2, 1)

|x + 2| − |x − 1| > 2

(x + 2)− (−x + 1) > 2

2x + 1 > 2

x > 1/2

S2 =

(1

2,∞)∩ [−2, 1)

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 62 / 1

Desigualdades con valor absoluto

En (−∞,−2)

|x + 2| − |x − 1| > 2

(−x − 2)− (−x + 1) > 2

− 3 > 2 Falso

S1 = ∅

En [−2, 1)

|x + 2| − |x − 1| > 2

(x + 2)− (−x + 1) > 2

2x + 1 > 2

x > 1/2

S2 =

(1

2,∞)∩ [−2, 1)

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 62 / 1

Desigualdades con valor absoluto

En (−∞,−2)

|x + 2| − |x − 1| > 2

(−x − 2)− (−x + 1) > 2

− 3 > 2 Falso

S1 = ∅

En [−2, 1)

|x + 2| − |x − 1| > 2

(x + 2)− (−x + 1) > 2

2x + 1 > 2

x > 1/2

S2 =

(1

2,∞)∩ [−2, 1)

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 62 / 1

Desigualdades con valor absoluto

En (−∞,−2)

|x + 2| − |x − 1| > 2

(−x − 2)− (−x + 1) > 2

− 3 > 2 Falso

S1 = ∅

En [−2, 1)

|x + 2| − |x − 1| > 2

(x + 2)− (−x + 1) > 2

2x + 1 > 2

x > 1/2

S2 =

(1

2,∞)∩ [−2, 1)

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 62 / 1

Desigualdades con valor absoluto

En (−∞,−2)

|x + 2| − |x − 1| > 2

(−x − 2)− (−x + 1) > 2

− 3 > 2 Falso

S1 = ∅

En [−2, 1)

|x + 2| − |x − 1| > 2

(x + 2)− (−x + 1) > 2

2x + 1 > 2

x > 1/2

S2 =

(1

2,∞)∩ [−2, 1)

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 62 / 1

Desigualdades con valor absoluto

En (−∞,−2)

|x + 2| − |x − 1| > 2

(−x − 2)− (−x + 1) > 2

− 3 > 2 Falso

S1 = ∅

En [−2, 1)

|x + 2| − |x − 1| > 2

(x + 2)− (−x + 1) > 2

2x + 1 > 2

x > 1/2

S2 =

(1

2,∞)∩ [−2, 1)

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 62 / 1

Desigualdades con valor absoluto

En (−∞,−2)

|x + 2| − |x − 1| > 2

(−x − 2)− (−x + 1) > 2

− 3 > 2 Falso

S1 = ∅

En [−2, 1)

|x + 2| − |x − 1| > 2

(x + 2)− (−x + 1) > 2

2x + 1 > 2

x > 1/2

S2 =

(1

2,∞)∩ [−2, 1)

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 62 / 1

Desigualdades con valor absoluto

En (−∞,−2)

|x + 2| − |x − 1| > 2

(−x − 2)− (−x + 1) > 2

− 3 > 2 Falso

S1 = ∅

En [−2, 1)

|x + 2| − |x − 1| > 2

(x + 2)− (−x + 1) > 2

2x + 1 > 2

x > 1/2

S2 =

(1

2,∞)∩ [−2, 1)

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 62 / 1

Desigualdades con valor absoluto

En [1,∞)

|x + 2| − |x − 1| > 2

(x + 2)− (x − 1) > 2

3 > 2

S3 = R ∩ [1,∞) = [1,∞)

Solucion S = S1 ∪ S2 ∪ S3

S =

(1

2, 1

)∪ [1,+∞).

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 63 / 1

Desigualdades con valor absoluto

En [1,∞)

|x + 2| − |x − 1| > 2

(x + 2)− (x − 1) > 2

3 > 2

S3 = R ∩ [1,∞) = [1,∞)

Solucion S = S1 ∪ S2 ∪ S3

S =

(1

2, 1

)∪ [1,+∞).

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 63 / 1

Desigualdades con valor absoluto

En [1,∞)

|x + 2| − |x − 1| > 2

(x + 2)− (x − 1) > 2

3 > 2

S3 = R ∩ [1,∞) = [1,∞)

Solucion S = S1 ∪ S2 ∪ S3

S =

(1

2, 1

)∪ [1,+∞).

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 63 / 1

Desigualdades con valor absoluto

En [1,∞)

|x + 2| − |x − 1| > 2

(x + 2)− (x − 1) > 2

3 > 2

S3 = R ∩ [1,∞) = [1,∞)

Solucion S = S1 ∪ S2 ∪ S3

S =

(1

2, 1

)∪ [1,+∞).

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 63 / 1

Desigualdades con valor absoluto

En [1,∞)

|x + 2| − |x − 1| > 2

(x + 2)− (x − 1) > 2

3 > 2

S3 = R ∩ [1,∞) = [1,∞)

Solucion S = S1 ∪ S2 ∪ S3

S =

(1

2, 1

)∪ [1,+∞).

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 63 / 1

Desigualdades con valor absoluto

En [1,∞)

|x + 2| − |x − 1| > 2

(x + 2)− (x − 1) > 2

3 > 2

S3 = R ∩ [1,∞) = [1,∞)

Solucion S = S1 ∪ S2 ∪ S3

S =

(1

2, 1

)∪ [1,+∞).

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 63 / 1

Desigualdades con valor absoluto

Ejercicio

Encuentre el conjunto solucion de las siguientes desigualdades

1

∣∣2−5x3x

∣∣ ≥ 4

2 |12x − 8| > 7

3 4|3x−2| ≥ 6

4 1 < |2x − 5| < 8

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Ecuaciones y Desigualdades 64 / 1