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Unidad 3 FUNCIÓN POTENCIA Y LOGARÍTMICA
76 Función Potencia y Logarítmica
CONTENIDOS
Función potencia
Observa las siguientes gráficas correspondientes a la función f(x) = x2 yg(x) = x3.
f(x) = x2 g(x) = x3
¿Cuál es el dominio de cada función?Ambas funciones están definidas para todo �, es decir:
dom (f) = dom (g) = �
¿Cuál es el recorrido de cada función?En el primer caso, el rec (f) es �+
o y en el segundo es rec (g) = �.
Las funciones estudiadas anteriormente pertenecen al tipo de funcióndenominada función potencia: axn.
EJERCICIOS
1. Utilizando algún programa computacional, o
bien en papel milimetrado, grafica las siguientes
funciones. Luego responde.
y = x4 y = x5 y = x6 y = x7
a. Las funciones dadas, ¿son simétricas?
b. A medida que el exponente aumenta, ¿qué
sucede con las gráficas de las funciones?
c. ¿Cuál es el dominio de cada función?
d. ¿Cuál es el recorrido de cada función?
2. Se quiere construir una caja de cartón con
forma similar a un paralelepípedo recto de base
cuadrada. Se dispone de 12 dm totales de cinta
para pegarla en cada una de sus aristas. ¿Cuál
es el mayor volumen que puede tener la caja?
3. Determina para qué valores de x las siguientes
funciones son positivas.
a. y = 4x2; b. y = x323
Una función potencia es una función de la forma f(x) = axn, donde a esun número real y n = 0, 1, 2, 3,… Su dominio es �.
PARA ARCHIVAR
U3 Pág. 68 - 93 6/30/08 11:01 PM Página 76
Unidad 3 FUNCIÓN POTENCIA Y LOGARÍTMICA
77Función Potencia y Logarítmica
Análisis de la función potencia
Exponente par
Los siguientes gráficos corresponden a la función y = axn, para n par.
y = x2 y = x4 y = x6
y = –x2 y = –x4 y = –x6
Observando los gráficos podemos obtener las siguientes conclusiones:
• Si a > 0, entonces la gráfica de la función y = axn, para n par tiene suvértice en el punto más bajo de la curva.
• Si a < 0, entonces la gráfica de la función y = axn, para n par, tiene suvértice en el punto más alto de la curva.
• En ambos casos las gráficas presentan simetría respecto al eje Y, es decir,f(x) = f(–x), para todo x perteneciente al dominio de la función.
Sea y = axn una función potencia con n par, entonces:
Si a > 0, la gráfica de la función Si a < 0, la gráfica de la funciónes de la forma: es de la forma:
PARA ARCHIVAR
EN EQUIPO
Grafiquen las siguientes funciones:
y = 0,05x2 y = x2
y = 3x2 y = 5x2
¿Qué sucede a medida que a
crece?
¿Ocurrirá lo mismo para a < 0?
TIPS
Si f(x) = f(–x), para cualquier x
en el dominio, la función f es
par.
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Desarrolla el laboratorio 2.
www.santillana.cl/emedia/mat4
X
Y Y Y
Y Y Y
X X
X
Y Y
X X
X X
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
3
2
1
0
-1
-2
-3
U3 Pág. 68 - 93 7/17/08 11:22 PM Página 77
Unidad 3 FUNCIÓN POTENCIA Y LOGARÍTMICA
78 Función Potencia y Logarítmica
CONTENIDOS
Exponente impar
Ampliaremos nuestro análisis para n impar.
y = 2x3 y = x5 y = 4x7
y = – x3 y = –3x5 y = – x7
Observando los gráficos podemos obtener las siguientes conclusiones:
• Si a > 0, la gráfica de la función se encuentra en el primer y tercer cua-drante.
• Si a < 0, la gráfica de la función se encuentra en el segundo y cuartocuadrante.
• Las gráficas presentan simetría central respecto al origen, es decir,f(–x) = –f(x), para todo x perteneciente al dominio de la función.
12
32
13
EN EQUIPO
Determinen qué sucede con el
gráfico de una función de la
forma y = axn para 0 < a < 1 y n
impar.
TIPS
Si f(–x) = –f(x), para cualquier x
en el dominio, a función f es
impar.
PARA ARCHIVAR
Sea y = axn una función potencia con n impar, entonces:
Si a > 0, la gráfica de la función Si a < 0, la gráfica de la funciónes de la forma: es de la forma:
Y
X
Y
X
X X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y Y
U3 Pág. 68 - 93 6/30/08 11:01 PM Página 78
Unidad 3 FUNCIÓN POTENCIA Y LOGARÍTMICA
79Función Potencia y Logarítmica
EJERCICIOS
1. Grafica las siguientes funciones (puedes
utilizar un programa computacional):
a. y = x4 y = (x + 2)4 y = (x – 2)4
b. y = 2x3 y = 2(x – 1)3 y = 2(x + 1)3
2. Construye 2 funciones polinomiales que corres-
pondan a una traslación horizontal en cada
caso. Dibuja los gráficos.
a. y = –3x3
b. y = 5x4
c. y = –5x5
3. A partir del gráfico de la función f(x) = 2x5,
haz un bosquejo de g(x) = 2x5 + 3.
a. ¿Qué semejanzas encuentras?
b. Según lo obtenido, ¿cómo se obtiene una
función trasladada verticalmente con
respecto a f(x) = –3x2?
4. Indica la función que representa a cada una
de las siguientes gráficas.
5. Comprueba que para una función del tipo
f(x) = axn + c, con n par, su recorrido está dado
por el intervalo [c, +��[.
6. Determina el dominio y recorrido de las
funciones del ejercicio 1, e indica para qué
valores son positivas.
EN EQUIPO
Comprueben que para el caso
de funciones potencia con expo-
nente par, también se cumple
este tipo de traslación.
Traslaciones verticales y horizontales
La figura muestra las gráficasde las siguientes funciones:
y = x3
y = (x + 2)3
y = (x – )3
Podemos observar que el gráfico deestas funciones polinomiales es elmismo pero trasladado con respectoal de la función potencia: x3.
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Si f(x) = axn, entonces la gráfica de la función polinomial g(x) = a(x + c)n,con c > 0, es idéntica a la de f pero trasladada hacia la izquierda.
Si f(x) = axn, entonces la gráfica de la función polinomial g(x) = a(x + c)n,con c < 0, es idéntica a la de f pero trasladada hacia la derecha.
PARA ARCHIVAR
AYUDA
Las funciones polinomiales o
polinómicas son aquellas que se
pueden formar sumando fun-
ciones potencia, cuyos expo-
nentes correspondientes son
enteros. Ejemplos,
f(x) = 3x2 + x + 1
f(x) = –3x5 – 1
f(x) = 3x4 + x3 + x2 + x – 7
Y
X
Y
X
U3 Pág. 68 - 93 6/30/08 11:01 PM Página 79
Función logarítmica
Para estudiar las características de la función logarítmica, graficaremos en
Javamath, algunas de ellas.
Caso I. Consideremos la función logaritmica: f(x) = logb (x), con b > 1.Grafiquemos en un mismo sistema de coordenadas las siguientes funciones: f1(x) = log2 (x), f2(x) = log3 (x), f3(x) = log4 (x) y f4(x) = log5 (x).
Si observamos los gráficos de las funciones anteriores, podemos generalizarcon respecto a la función f(x) = logb (x) que para b > 1:
• La curva asociada a la función logarítmica intersecta al eje de las abscisasX en el punto (1, 0).
• La función es creciente para todo valor real de x.• El dominio de la función son los números reales positivos: �+
Unidad 3 FUNCIÓN POTENCIA Y LOGARÍTMICA
84 Función Potencia y Logarítmica
CONTENIDOS
EJERCICIOS
1. Utilizando Javamath, grafica las siguientes
funciones. Luego, responde en tu cuaderno.
i. f(x) = log5 (x) iii. f(x) = log15 (x)
ii. f(x) = log10 (x) iv. f(x) = log20 (x)
a. ¿Qué semejanzas y diferencias observas
entre las gráficas? Justifica.
2. Dada la función y = log7 (x), grafícala y deter-
mina observando el gráfico, el valor aproximado
a las décimas de los siguientes logaritmos.
a. log7 (4) c. log7 (10)
b. log7 (7) d. log7 (2)
AYUDA
El programa Javamath acepta como
expresiones válidas los siguientes
logarítmos: log10 y log2 .
Para escribir expresiones en el
computador debes usar lo si-
guiente:
f(x)=log10 x ⇒⇒ f(x)=log10(x)
f(x)=log2 x ⇒⇒ f(x)=log2(x)
Para otras base deberás usar
cambio de variable:
f(x)=log3x⇒⇒ f(x)=log10(x)/log10(3)
La función logarítmica se representará por f(x) = logb (x), donde labase b es un valor perteneciente a �+ – {1}.
X
Y
U3 Pág. 68 - 93 6/30/08 11:01 PM Página 84
Unidad 3 FUNCIÓN POTENCIA Y LOGARÍTMICA
85Función Potencia y Logarítmica
Caso II. Consideremos la función f(x) = logb (x), con 0 < b < 1.En un mismo sistema de coordenadas grafiquemos las siguientes funciones:f1(x) = log (x), f2(x) = log (x), f3(x) = log0,6 (x) y f4(x) = log0,75 (x).
Observando las gráficas anteriores de la función, con 0 < b < 1, se puedegeneralizar lo siguiente:
• la curva asociada a la función logarítmica intersecta al eje de las abscisasX en el punto (1, 0).
• La función es decreciente para todo valor real de x.• Los reales positivos son el dominio de la función: �+.
¿Qué conclusiones puedes sacar de ambos casos?
12
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PARA ARCHIVAR
La función logarítmica, f(x) = logb (x), tiene las siguientes características: - El dominio de la función son los números reales positivos.- El conjunto de valores que puede tomar la variable y (recorrido) es �.- La curva asociada a la función, intersecta al eje de las abscisas en el
punto (1, 0).
Si b > 1, entonces la función Si 0 < b < 1, entonces la funciónes creciente. es decreciente.
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X
Y
X X
Y Y
U3 Pág. 68 - 93 6/30/08 11:01 PM Página 85
EJERCICIOS
1. Dada la función logarítmica f(x) = log2 (x),
determinar:
a. f(4) e. f� �b. f(16) f. 2f(2) – 6f� �c. f(32) g. 2f(4) + 3f(32) – f� �d. f� � h. 2f(128) – 8f� �
2. Determina si las siguientes proposiciones son
verdaderas o falsas. Justifica las falsas.
a. La función f(x) = log(x) es creciente.
b. La gráfica de la función f(x) = log3 (x)
pasa por el punto (2, 9).
c. Una función logarítmica es decreciente
para valores negativos de x.
d. Una función logarítmica es siempre
creciente.
e. La gráfica de una función logarítmica es
siempre simétrica con respecto al eje
de las abscisas.
f. El punto, (1, 0) pertenece a cualquier
función logarítmica.
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Unidad 3 FUNCIÓN POTENCIA Y LOGARÍTMICA
86 Función Potencia y Logarítmica
CONTENIDOS
Distintas gráficas de la función logarítmica
Ya conocida la función f(x) = logb (x), con b perteneciente a �+ – {1},
analizaremos distintas gráficas según sea el caso.
b = 10 y a > 0
f1(x) = log (x)
f2(x) = 2 log (x)
f3(x) = 4 log (x)
f4(x) = 0,5 log (x)
b = 10 y a < 0
f1(x) = log (x)
f2(x) = –3 log (x)
f3(x) = –5 log (x)
f4(x) = –0,3 log (x)
b = 2 y a > 0
f1(x) = log2 (x)
f2(x) = 2 log2 (x)
f3(x) = 4 log2 (x)
f4(x) = 0,5 log2 (x)
b = 2 y a < 0
f1(x) = log2 (x)
f2(x) = –3 log2 (x)
f3(x) = –5 log2 (x)
f4(x) = –0,3 log2 (x)
Caso I. Función logarítmica f(x) = a logb (x) con a perteneciente a �.Graficaremos las siguientes funciones.
f3(x)
f2(x)f1(x)f4(x)
f3(x)
f2(x)
f1(x)f4(x)
f3(x)
f2(x)
f1(x)
f4(x)
f3(x)
f2(x)f1(x)f4(x)
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
U3 Pág. 68 - 93 6/30/08 11:01 PM Página 86
Unidad 3 FUNCIÓN POTENCIA Y LOGARÍTMICA
87Función Potencia y Logarítmica
Observamos, en las gráficas anteriores, que dada la función f(x) = a logb (x),con b perteneciente a �+ – {1} que:
• Si a > 0, la gráfica de la función será siempre creciente.• Si a < 0, la gráfica de la función será siempre decreciente.
¿Qué otras conclusiones se podrían obtener de las gráficas anteriores?
con
En el caso II, observamos que las gráficas corresponden a traslaciones hori-zontales de la función f1(x) = log (x) y según sea el valor de a, positivo onegativo, la traslación es hacia la izquierda o hacia la derecha, respectiva-mente.
En las gráficas del caso III, las traslaciones son verticales, hacia abajo o haciaarriba, según sea el valor positivo o negativo de a.
EJERCICIOS
1. Utilizando algún programa computacional
grafica las siguientes funciones logarítmicas.
Luego indica el tipo de traslación en relación a
la función f(x) = log (x).
a. f(x) = log (x) + 4 c. f(x) = –log (x + 1)
b. f(x) = log (x – 5) d. f(x) = 2 log (x) – 3
2. Grafica las siguientes funciones, y luego responde.
i. f(x) = log (x – 1) + log (x + 1)
ii. f(x) = log (x + 2) + log (x – 2)
iii. f(x) = log (x – 3) + log (x + 3)
a. ¿Qué regularidad observas entre las gráficas?
b. ¿Cuál es el dominio de cada función?
c. ¿Las funciones son crecientes o decrecientes?
3. Grafica en un mismo sistema de coordenadas
las siguientes funciones, y luego responde.
i. f(x) = log (x) y f1(x) = –log (x)
ii. g(x) = log2 (x) y g1(x) = –log2 (x)
iii. m(x) = log (x – 4) y m1(x) = –log (x – 4)
a. ¿Qué diferencias y semejanzas encuentras
entre las gráficas de las funciones de i?,
¿y de ii?, ¿y de iii?
b. En las funciones de i, ii y iii, ¿cuál es
el punto de intersección con el eje X?
c. ¿Cuál es el dominio de las funciones i, ii
y iii?
Caso II. Sea f(x) = logb (x + a), con a ∈ �.
Para b = 10
f1(x) = log (x)
f2(x) = log (x + 1)
f3(x) = log (x – 1)
Caso III. Sea f(x) = logb (x) + a, con a ∈ �.
Para b = 10
f1(x) = log (x)
f2(x) = log (x) + 3
f3(x) = log (x) – 3
EN EQUIPO
Discutan la siguiente pregunta.
En el caso II o III, ¿cambiará la
gráfica de la función si la base
del logaritmo toma otro valor?
Justifiquen su respuesta.
f2(x)
f2(x) f1(x) f3(x)
f1(x)
f3(x)
X
Y
X
Y
U3 Pág. 68 - 93 6/30/08 11:01 PM Página 87
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