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MATERIA
Matemática PROFESOR Vicino Anabela Primer Año
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL. FACULTAD REGIONAL SANTA FE Departamento Ingeniería Eléctrica mecatronica@frsf.utn.edu.ar www.frsf.utn.edu.ar
1
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CAPITULO 1: CONJUNTOS NUMERICOS
NÚMEROS NATURALES
Recordemos que el conjunto de los números naturales N está constituido por los números 1,2,3,4,5,...,
100,...,.n...., con los cuales contamos, ordenamos y realizamos las operaciones de suma y multiplicación, siendo
el resultado de estas operaciones también un número natural, sin embargo no ocurre lo mismo con la resta y con
la división.
El conjunto de los números naturales tiene las siguientes características:
Es un conjunto infinito.
Tiene primer elemento, no tiene último elemento.
Todo número natural tiene un sucesor, es decir, cada número natural, tiene un consecutivo.
Todo número natural, salvo el uno, tiene antecesor.
Entre dos números naturales consecutivos, no existe otro número natural, por eso se dice que el
conjunto es discreto.
Por ser un conjunto ordenado, es posible representar a los números naturales en una recta, eligiendo como
origen el cero, que puede ser incluido también en el conjunto, usando en ese caso el símbolo N0 para denotarlo.
NÚMEROS ENTEROS
Recordemos que la resta en el conjunto de los números naturales siempre es posible cuando el
minuendo es mayor que el sustraendo, en caso contrario no es posible. Para resolver este problema
necesitamos ampliar el campo numérico introduciendo el cero y los opuestos de los números naturales,
llamados números enteros negativos.
Obtenemos el conjunto de los números enteros: ZZZ 0 = {…, − 3, − 2, −1, 0,1, 2, 3, 4,
5,…}
Definición: Si x es un número entero – x es el opuesto de x.
Ejemplos: a) Sea x = −7, su opuesto es −x = 7. b) Sea x = 4, su opuesto es −x = −4.
Los enteros se pueden ordenar, las operaciones de suma, resta y producto dan como resultado un
número entero, sin embargo no ocurre lo mismo con la división, por ejemplo 8 dividido 3 no da un
número entero.
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Debemos destacar que el conjunto Z tiene las siguientes características:
Es un conjunto infinito.
No tiene ni primer elemento ni último.
Es un conjunto discreto.
Cada número entero tiene un antecesor y un sucesor.
Valor absoluto
Para cada número entero x definimos el valor absoluto de x, que indicamos |x|, como sigue:
Si el número x es positivo o cero, su valor absoluto es el mismo número y es su opuesto, –x, si el número es
negativo. Simbólicamente:
Definición:
El valor absoluto de un número se interpreta geométricamente como la distancia que existe entre el número y el
0 en la recta numérica.
Por lo tanto, recordemos que:
Ejemplos:
|3| = 3; | −3| = −(−3) = 3
Geométricamente, los ejemplos anteriores quedan representado en la recta por:
NÚMEROS RACIONALES
x
xx
0
0
x
x
si
si
El valor absoluto de cada número entero, es un número no negativo
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Nos vemos en la necesidad de ampliar nuevamente nuestro campo numérico, puesto que con los números
enteros podemos “contar” pero no siempre “medir”. Para expresar medidas necesitamos números que
representen “partes de la unidad”, de aquí surge la idea de número fraccionario: la mitad, la tercera parte, las dos
quintas partes,...de una unidad.
El conjunto de los números enteros unido al conjunto de todas las fracciones constituye el conjunto de los
números racionales, al que denotamos por Q.
Definición:
Cuando en una fracción, el numerador y el denominador son números primos entre sí, decimos que la fracción
es irreducible.
Características de Q
Q es un conjunto denso, es decir que entre dos números racionales hay infinitos números racionales.
En Q no podemos hablar de sucesores o antecesores.
Fracciones equivalentes
A menudo trabajaremos con fracciones equivalentes, por lo tanto, es útil recordar que: “Dos fracciones son
equivalentes o iguales si representan la misma cantidad.”
Dos fracciones ba
y dc
son equivalentes si y solo si a.d = b.c
Usamos este resultado para verificar que 102
y 51
son equivalentes, pues 2 • 5 = 10 • 1, en cambio 43
y 2521
no
son equivalentes, pues 3.25 ≠ 4.21
Orden en Q
Dadas dos fracciones ba
y dc
siendo b.d > 0. Diremos que: ba
> dc
a.d > b.c o ba
< dc
a.d < b.c
Propiedades:
Una fracción positiva es mayor que cualquier fracción negativa.
Un número racional ba
es el cociente de dos números enteros a y b, donde a es el numerador y b es
el denominador.
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Dadas dos fracciones positivas de igual denominador, es mayor la que tiene mayor numerador.
Dadas dos fracciones positivas de igual numerador es mayor la que tiene menor denominador.
Dadas dos fracciones positivas con distinto denominador y numerador, se llevan a fracciones equivalentes
con igual denominador (o numerador) para hacer la comparación.
Dadas dos fracciones negativas es mayor aquella cuyo valor absoluto es menor.
Operaciones con fracciones
Suma
Recordemos que la suma de varias fracciones con igual denominador es la fracción con el mismo denominador
que aquellas y el numerador es la suma de los numeradores.
Si las fracciones tienen distinto denominador, se buscan fracciones equivalentes a las dadas que tengan igual
denominador y después se suman de la forma indicada anteriormente. Es conveniente usar como denominador
para las fracciones equivalentes, el mínimo común múltiplo.
Ejemplos: 98
9512
95
91
92
1529
157630
157
156
1530
157
522
En general: Dados dos números racionales ba
y dc
se define la suma y resta como
dbcbda
dc
ba
...
y db
cbdadc
ba
...
Multiplicación
El producto de varias fracciones es otra fracción que tiene como numerador el producto de los numeradores y
como denominador el producto de los denominadores.
dbca
dc
ba
...
Ejemplo:
185
3610
4.95.2
45.
92
5
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⋅
División
Para dividir dos fracciones, podemos multiplicar al dividendo por la fracción reciproca o inversa del divisor.
cbda
cd
ba
dc
ba
.
..:
Ejemplo:
61
366
4.93.2
43.
92
34:
92
NÚMEROS IRRACIONALES
Algunos decimales no son exactos ni periódicos. Recordemos de geometría al número π que se usa para calcular
longitudes de circunferencias y áreas de círculos, para el cual la aproximación más usual es 3.1416. La
representación decimal de este número continúa interminablemente sin repetición.
Gracias a la tecnología que ahora tenemos, una computadora calculó π como decimal hasta cien cifras, he aquí
algunas:
π = 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 ........
Los pitagóricos fueron quienes descubrieron los números irracionales al aplicar el Teorema de Pitágoras en un
triángulo cuyos catetos eran iguales a la unidad. Cuando calcularon la hipotenusa se encontraron que medía 2
y que no era un número natural. Para ellos los números naturales constituían el principio de todas las cosas, por
esta causa, mantuvieron el descubrimiento de los irracionales en el más estricto secreto.
Otra manera de obtener números irracionales es escribir un número cuyas cifras decimales sean infinitas y no
presenten periodicidad:
0.1234567891011121314151617181920...., -2.16716781678916711672....
El nombre de “irracional” proviene del hecho de que no se puede expresar como razón de dos enteros.
Las raíces cuadradas de los números naturales que no son exactas como 2 , 5 , 5 ,… se representan
exactamente aplicando el Teorema de Pitágoras en la recta numérica.
Otros ejemplos de números irracionales: 2
51 ; 5π; etc.
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NÚMEROS REALES
El conjunto de número reales se lo denomina R. Está formado por la unión del conjunto de los números
racionales con los números irracionales. Conservando todas los operaciones y propiedades de los mismos.
Existe una correspondencia entre los números reales y los puntos de la recta: a cada punto de la recta le
corresponde un número real y viceversa, por ello decimos que los números reales cubren la recta.
A continuación daremos las propiedades fundamentales de las operaciones en los números reales. Sean a, b y c
números reales:
La suma satisface las siguientes propiedades:
a) Asociativa: cbacba ;
b) Conmutativa: abba ;
c) Existencia de elemento neutro: aaa 00/0 ;
d) Existencia del elemento opuesto: 0/, aaaaaa
El producto satisface las siguientes propiedades:
a) Asociativa: cbacba .... ;
b) Conmutativa: abba .. ;
c) Existencia de elemento neutro: ∃ 1∈ R / a .1 =1 .a =a ;
d) Existencia del elemento recíproco o inverso: ∀ a ∈ R a ≠0,∃ a−1 ∈ R / a.a-1 = a-1.a = 1.
e) Propiedad distributiva del producto con respecto a la suma: cabacba ...
La diferencia o resta se define a partir de la definición de suma: a – b = a + (-b) , ∀ a , b ∈ R
El cociente se define a partir de la definición de producto: b ≠ 0, a:b = a.b-1 , ∀ a , b ∈ R
Observación: El 0 no tiene elemento inverso o recíproco.
POTENCIACION
∀ a , b ∈ N el producto de n veces el factor a se denomina potenciación y se lo simboliza de la siguiente
manera:
aaaaa n ..... con n ≥ 2.
Donde a recibe el nombre de base de la potencia y n se llama exponente.
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25= 2.2.2.2.2 = 32
(-3)4 = (-3).(-3).(-3).(-3) = 81
Propiedades:
a) El producto de varias potencias de igual base es otra potencia de la misma base cuyo exponente es la
suma de los exponentes de los factores: mnmn aaa .
3222.2 523
8133.3 43
b) El cociente de varias potencias de igual base es otra potencia de la misma base cuyo exponente es la
resta de los exponentes de los factores: mnmn aaa :
222:2 123
933.3 23
c) La potenciación es distributiva respecto del producto y del cociente:
n
nnn
nnn
ba
baba
baba
:
..
44:162:42:4
369.43.23.2222
222
d) La potencia de un numero elevado a otra potencia, es igual a la base de esa potencia elevada al producto
de los exponentes: mnmn aa .
20
522
632
22
33
e) Si el exponente es negativo, obtenemos: nn
aa 1
827
23
23
32
91
313
3
333
22
8
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f) La potencia no verifica la propiedad conmutativa: an na
34 43
g) La potencia NO es distributiva respecto de la suma o resta: nnn
nnn
baba
baba
25532 22 y 222222 323213943232
h) La potencia de cualquier numero real, no nulo, elevado al exponente 0 es igual a 1: a0 = 1
RADICACION
La raíz n-ésima de un número real a, denotada por n a :
abba nn
Donde n se denota índice, a se denomina radicando y b se denomina raíz n-ésima de a.
8228 33
Recordar que la raíz de un radicando negativo con un índice par no tiene solución en el conjunto de los números
reales.
Propiedades:
a) La radicación NO es distributiva en la suma o resta: nnn baba
75
3425
916916
b) La radicación es distributiva respecto del producto o del cociente: nnn
nnn
baba
baba
::
..
22:44:164:16
63.29.49.4
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c) La potencia m de la raíz n de numero a es igual a la raíz n de la potencia m de a: n mmn aa
3 223 88
d) La radicación se puede escribir como potencia: nn aa1
21
66
e) La raíz m-esima de la raíz n-esima de a, es igual a la raíz de a donde el índice es el producto de los
índices: mnm n aa .
26464 63
EJERCICIOS 1
1) Suprimir los paréntesis y calcular la suma algebraica:
a) 16 + ( 15 – 2 ) + ( 7 – 3 ) + 3=
b) ( 35 – 6 ) - ( 9 – 6 ) + 16=
c) 30 – [ 4 + ( 12 – 4) – 3 [ (10 – 3 ) ] ]=
d) 40 + (23 – 7) + [ 7 + (5 – 3). 4]=
2) Resolver los ejercicios combinados:
a) 60- {[5(6 – 3) + (8 – 2):3]2}= b) 15 – 12:3 + 2 + 6:3= c) [5(4 – 2) + 20:(4 + 1) + 1]:5=
d) {[18 – 6 – 2(8 – 4) + 3(5 – 2) + 2 ]:3 } 2 = e)
f)
h) 312710
31 i)
1512:
54 j)
325
51
32.6
31
643
21
31
41
234
61
)g51
31
75
10
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k)
37
27
72
35 l)
92
31:2
72
29 m)
5,0
81
211 3
2
n)
301 181
437.1,0 o)
12
927,0.
321,0
31
p)
31
12
343512.2
53
43 q)
906
23
871
31 1
3 r) 02 291:
312
41
3) Calcular:
a) 3 63 233 3 3.3.316 b) 33326 1010:10 c) 321365 3.23:3
d) 043435 22:2 e) 111241268 7:77:7 f) 22:22 45
g) 13151114 2:22.2
4) Simplificar:
a)
52
5
32
35
3421
.::
ba
babba b)
53
31
53
810
24257
..:.
abba
bababa
c)
52
3
32
123 :. tpptm m ≠ 0; t >0; p ≠ 0
d)
23
22223
331
525
..3
.27.
cba
cba con a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0
e)
6 5 24
111 .
aa
baba a > 0 b > 0
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5) Indicar cual de las siguientes afirmaciones son verdaderas. Modificar las expresiones para que resulten
verdaderas.
a) 632
641)
21( yy b) 22 4 baabba c) 1
3
35
22.
aa
aa
d) 1
912432
22
2
yxyx
yx e) 6 53. aaa
INTERVALOS
En el conjunto R de los números reales están definidas las relaciones “menor que” (<), “mayor que” (>),
“menor o igual que” (≤) y “mayor o igual que” (≥).
Cuando un número real b cumple simultáneamente que es mayor que un número a y menor que c (a < b y b <
c) se puede expresar por la triple desigualdad: a < b < c
El conjunto de todos los números reales comprendidos entre a y b lo simbolizamos:
A = {x ∈ R / a < x < b}
Un número real x pertenecerá al conjunto A si satisface la desigualdad a < x< b, es decir cumple que a < x y
x < b.
Orden y Desigualad:
Si a y b son números reales diremos que:
a es menor que b si (b-a) es positivo, y lo escribimos: a < b.
a es menor o igual que b si (b-a) es positivo o nulo, y lo escribimos: a ≤ b.
a es mayor que b si (b-a) es negativo, y lo escribimos: a > b.
a es mayor o igual que b si (b-a) es negativo o nulo, y lo escribimos: a ≥ b.
Propiedades de las desigualdades
Propiedad Transitiva: Si a < b y b < c entonces a < c.
Propiedad Aditiva: Si a < b y c < d entonces a + c < b + d.
Si a < b y k es cualquier número real a + k < b + k.
Si a < b y k R a.k < b.k .
Si a < b y k R- a.k > b.k.
Intervalos y Semirrectas:
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Los conjuntos numéricos más frecuentes son los intervalos de la recta real.
Sean:
Intervalo Abierto: (a, b) = {x R: a < x < b}
Intervalo Cerrado: [a, b] = {x R: a ≤ x ≤ b}
Intervalos Semiabierto: [a, b)= {x R: a ≤ x < b} , (a , b] = {x R: a< x ≤ b
Intervalos no acotados o semirrecta: [a, ∞) = {x R: x ≥ a} , (a, ∞)= {x R: x > a }
Desigualdades con Valor Absoluto. Propiedades.
|-a| = |a|
|a.b| = |a|.|b|
ba
ba
baba Desigualdad triangular
ba es equivalente a: bab
ba es equivalente a: ba o ba
EJERCICIOS 2:
1) Escribir cada desigualdad utilizando notación de intervalo y luego graficar.
a) 40 x b) 64 x c) 13 x d) x 2 e) x21
2) Escribir como desigualdad los siguientes intervalos y clasificar.
a) [2, 5] b)
27;
43
c)
49;2 d) 5;3 e) 3; f) ;1
LOGARITMO DE UN NÚMERO REAL
Sean a y b números reales positivos, con 1a , diremos que c es el logaritmo en base a de b si y solo si a
elevado a la n es igual a b. En símbolos:
cbLog a ba c
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Ejemplos:
382 Log porque 23 = 8
133
1 Log porque 331 1
015 Log en general 50 = 1
122 Log en general 21 = 2
4bLog no existe.
0bLog no existe.
Propiedades: Sean a, b, c reales positivos y 1a
cb aa si y solo si b = c
cbcb aaa loglog.log
cbcb aaa loglog:log
bnb an
a log.log donde n
abb
c
ca log
loglog con 1c
1log aa
01log a
Si cb aa loglog entonces b = c.
EJERCICIOS 3:
Calcular usando definición y propiedades de logaritmo.
a) 5log20log b) 2502 4log c) 21log7log 33 d)
21log100log
21
55
Ecuaciones con logaritmo. Recordemos que una ecuación es una igualdad con una o más incógnitas. La definición y las propiedades de
logaritmo nos permiten resolver estas ecuaciones.
¿Cuál es la solución de la ecuación x4log21 ?
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Por definición tenemos: 421
x
Luego reescribimos como potencia de igual base 222 x , usando propiedad obtenemos que -x =2, por lo
tanto x = 2.
05log2log 33 xx
05
2log3 xx 03
52
xx 1
52
xx 552 xxx
Luego 010log10log55log5.2log 3333
EJERCICIOS 4:
Resolver y verificar las siguientes ecuaciones.
a) 61log x b) 03log)2(log 233 xx c) 12log2log 55 xx
d) 531 LogxLogxLogxLog e) 255 1212 xLogxLog
f) )(324 xLogxLogLog
Lenguaje Algebraico y Ecuaciones e Inecuaciones.
Ecuaciones y resolución de problemas
Una ecuación es una igualdad en la que aparecen números y letras ligadas mediante operaciones algebraicas.
Las letras, cuyos valores son desconocidos, se llaman incógnitas. Resolver una ecuación consiste en
transformar la igualdad en otra equivalente más sencilla, hasta obtener la solución, que es el valor de la
incógnita que hace cierta la igualdad inicial. Una expresión como 3321 xxx es una ecuación,
sólo es cierta para x = 10. La solución es x = 10.
Hay ecuaciones con muchas soluciones, e incluso infinitas soluciones, por ejemplo, x + y = 1, sen x = 0 y
otras que no tienen solución como: x + 3 = x. Por lo tanto, resolver una ecuación es obtener las soluciones, si
existen, que la satisfacen.
Para resolver una ecuación se utiliza las propiedades de la relación de igualdad y las propiedades de los
números.
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Ejemplos: Resolver las ecuaciones.
a)
42:82:2
8235332
532
xxx
xx
b)
43:123:3
123122225
1225153215155
321553235
xxx
xxxxxxxxxxxx
Ecuaciones de primer grado con una incógnita.
Se llama ecuación de primer grado con una incógnita a una expresión de la forma:
ax + b = 0 con a ≠ 0, a, b ∈ R (1)
Se llama de primer grado porque la incógnita sólo aparece elevada a la potencia uno.
Ejemplos:
1. Consideremos la ecuación x − 2 = 5x − 3, no es de la forma (1), pero operando algebraicamente obtenemos
4114 xx que es solución de la ecuación.
2. Sea x = x − 3, operamos y obtenemos 0 x = − 3, no existe ningún número real x que satisfaga la igualdad. Por
lo tanto, esta ecuación no tiene solución.
3. Expresiones como: x = x ó 3x − 2 = 2 (x − 1) + x, tienen infinitas soluciones, son ciertas para cualquier
número real, son identidades.
Ecuaciones de segundo grado con una incógnita.
Se llama ecuación de segundo grado con una incógnita a una expresión de la forma:
02 cbxax donde cba ,, y a ≠ 0.
Observemos que la incógnita esta elevada a la segunda potencia, por lo tanto es de grado dos y la llamamos
ecuación cuadrática.
Una ecuación cuadrática tiene a lo más dos raíces reales.
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Ejemplos:
1) 4004 2 x ecuación cuadrática donde b = 0 y c = 0, por lo tanto .
y x2 = -10
2) 0102 tt en esta ecuación el termino c = 0,
si reescribimos la ecuación obtenemos 010 tt donde el primer miembro es un producto de dos factores t y
(t – 10). Sabemos que si el producto de dos factores es igual a cero, entonces uno de los factores es cero, por lo
tanto t = 0 o t – 10 = 0. Luego t1= 0 y t2 = 10.
3) 08102 xx en este ejemplo la ecuación cuadrática esta completa y no es tan sencillo despejar la
incógnita como en los ejemplos anteriores. Para este tipo de ecuaciones introducimos la formula, que llamamos
resolvente: a
cabbx.2
..42
2,1
En este ejemplo, a = 1, b = 10 y c = 8 por lo tanto, utilizando la formula, obtenemos:
2105.210
242010
232010010
1.2)8.(10.41010
2,12,1
2,1
2
2,1
xx
xx
Luego 10551 x y 10552 x
Esta ecuación tiene dos soluciones reales.
4) 0169 2 xx utilizando resolvente con a = 9, b = 6 y c = 1, obtenemos:
31
186
1806
1836366
9.21.9.466
2,12,12,12,1
2
2,1
xxxxx
Para este ejemplo, tenemos que la solución es 31
21 xx
5) 0522 xx donde a = 1, b = -2 y c = 5
2162
22042
1.25.1.422 2
2,1
x
101001004004 122 xxxx
17
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Tenemos que el radicando es un número negativo, sabemos que dicha raíz no tiene solución en los reales (más
adelante analizaremos este tipo de raíces), por lo tanto dicha ecuación cuadrática, no tiene solución.
EJERCICIOS 5:
1) Despeja de las siguientes fórmulas las variables indicadas.
a) S = 2Prh, despeja r b) S = 4Pr2, despeja r c) txpEfE
, despeja x
d) cba111
k1 , despeja k e) bBs
21 T pP , despeja s
2) Indicar cual de las ecuaciones son de primer grado y luego encontrar su solución.
a) 6
11152
1
xx b) 52
12
xx
c) 3
25
x
x
3) Resolver las ecuaciones.
a)
1
2710722 xxx b)
23
61
512
xxx
c) 445246 xxx
d) 22342.232 xxx
4) Plantear la ecuación y resolver.
a) La suma de tres números enteros consecutivos es 48. ¿Cuánto vale cada número?
b) Encuentre tres números impares consecutivos cuya suma es igual a 117.
c) De un depósito lleno de líquido se saca la mitad del contenido, después la tercera parte del resto y
quedan aún 1600 litros. Calcular la capacidad del depósito en centímetros cúbicos.
d) La suma de la sexta parte de un número y el triple de su consecutivo es cuarenta y uno. ¿Cuál es este
número?
e) Javier gasto la mitad de sus ahorros en un par de zapatillas, un tercio de lo que le quedaba en un CD y le
quedan $30. ¿Cuánto dinero tenia ahorrado? ¿Cuánto gasto?
5) Resolver las ecuaciones cuadráticas, clasificar la solución.
a) 0642 2 xx b) 211.7 ttt c) 022 xx d) 03.7 vv
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e) 32.5742 xx f) 012 t g) 1422 xx
6) El cuadrado de un número entero es igual al siguiente multiplicado por -4. ¿Cuál es el número?
7) ¿Cuál es el número cuyo triple supera en dos a su cuadrado?
8) Algunas ecuaciones más para practicar.
a) 83
21
32 2
2
x b)
43
125
3611
x c)
52
31
31
65
41 xx
d) 2241
3123
xx e)
32
317 2 x f)
403
5131 3 x
g) 22 2334 xxx h) 122 xxxx
Ecuaciones e inecuaciones con Valor absoluto
Utilizando la definición y las propiedades de valor absoluto que trabajamos en la página 2 y 13, podemos
resolver ecuaciones e inecuaciones.
Ejemplo 1:
|x| - 5 = 1, por definición sabemos que
6
51
15
x
x
x
entonces 6,6. SC
Ejemplo 2:
132 x aplicamos definición.
o
242132132
xx
xx
→ C.S = {-2, -1}
Ejemplo 3:
x
xx
0
0
x
x
si
si
122
132
xx
x
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|3x + 6| + |x + 2| = 16 → |3.(x + 2)| + |x + 2| = 16
3|x + 2| + |x + 2| = 16
4|x + 2| = 16
|x + 2| = 4
Luego → x + 2 = 4 o - x - 2 = 4
x = 2 x = - 6 entonces C.S = {-6, 2}
Ejemplo 4:
5
3232
xxx
y 1
32
xx
5,1. SC
Otra forma:
512323
32332
xx
xx
Ejemplo 5:
|x + 1| > 2
x + 1 > 2 o x + 1 < -2 → C.S = (- ∞, -3) U (1, ∞)
x > 1 x < -3
EJERCICIOS 6:
1) Escriba en cada caso el conjunto solución que satisfacen la desigualdad y representarla gráficamente.
a) 23 x b) 217 x c) 41 x y 31 x
d) 12 x y 312 x e) 173 x y 312 x
2) Determinar para que valores de x se verifica y representar gráficamente la solución de las desigualdades.
a) 223 x b) 0971 x c) 1425 x
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d) 1024 x e) 7572
x f) 2431 x g) 35374 x
Ecuaciones con dos incógnitas
Ya hemos visto ecuaciones del tipo a x + b = 0 (de primer grado con una incógnita) y ahora veremos ecuaciones
de primer grado con dos incógnitas, del tipo ax + by + c = 0 con a, b, c ∈ R. Tiene como solución un par de
valores (x, y) que la satisfacen. A este tipo de ecuaciones también se las suele llamar ecuaciones lineales. La
linealidad viene dada por que ambas incógnitas están elevadas a la potencia uno y no se multiplican entre sí.
Ejemplos:
1) 02 yx es una ecuación lineal con dos variables, x e y, que tiene infinitas soluciones, por ejemplo
24
yx
255
y
x
12
yx
etc. También podemos escribir dichas soluciones, como par ordenado (4,
2); (5, 5/2); (-2, -1), et.
2) Al determinar las fuerzas F1 y F2 que actúan sobre una viga, podemos tener la formula 20042 21 FF , que
tiene como soluciones: (99, 12); (80, 10), etc.
Más adelante seguiremos trabajando con ecuaciones lineales.
Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas.
Los sistemas lineales aparecen frecuentemente en situaciones de la física, química, ciencias naturales, etc.
como también en ciencias humanas y sociales, (economía, psicología, sociología).
Hay métodos convencionales de resolución de sistemas lineales: Sustitución, Eliminación (o Reducción por
suma o resta) e Igualación. Estos métodos se basan en una secuencia de operaciones elementales. Además hay
otros métodos: Gauss, Regla de Cramer (o Determinantes) que analizaremos en capítulos posteriores.
Repasaremos dos métodos de resolución de sistemas lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas.
Resolverlos, es encontrar la solución, es decir, el valor de las incógnitas, para ello se siguen ciertas técnicas que
dependen de la situación de cada sistema, pues cualquier método de resolución de sistemas es válido, ya que
proveen la misma solución.
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Método de Sustitución
Como su nombre lo indica, se despeja una incógnita de una de las ecuaciones y se sustituye en la otra, es la
manera más natural de resolver un sistema. Los pasos a seguir para resolver un sistema de dos ecuaciones con
dos incógnitas son:
1. Elegimos una de las ecuaciones para despejar una de las incógnitas en términos de la otra, en general, es
la incógnita más fácil de despejar.
2. Sustituimos la expresión obtenida en la otra ecuación y nos queda una ecuación en una incógnita y se
resuelve.
3. Luego, llevamos este resultado a la ecuación despejada en el paso 1 para obtener la otra incógnita.
4. Verificar la solución obtenida en ambas ecuaciones.
Ejemplos:
a) Resolver el sistema
262132
yxyx
Paso 1: Después de observar ambas ecuaciones, podemos despejar y de la primera ecuación:
xy32
31 (1)
Paso 2: Reemplazamos ahora en la segunda ecuación: 232
3162
xx
Nos queda una ecuación de primer grado en una incógnita, cuya solución es: 32
x Paso 3: El valor de y
correspondiente lo obtenemos sustituyendo este valor de x en (1):
91
32.
32
31
y
Por la tanto:
91,
32, yx
Paso 4: Sustituimos
91,
32
en ambas ecuaciones, para verificar que es solución:
22
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2916
32.2
191.3
32.2
Como se verifican ambas, la solución es:
91,
32, yx
Este sistema tiene una única solución, por lo tanto lo llamaremos sistema determinado.
2) Hay ecuaciones como,
4538106
yxyx
en donde, al multiplicar por 2 la segunda ecuación, obtenemos la
primera ecuación, en este caso el sistema tiene infinitas soluciones.
Por lo tanto, en forma general la solución del sistema se puede expresar como
tt
35
34, donde t es un
número real. Para cualquier número real que se asigne a t, obtenemos el valor de y correspondiente, en este
caso, se dice que el sistema es indeterminado.
Para ambos ejemplos, los sistemas son compatibles, porque podemos obtener una solución. Existen sistemas en
los cuales no podemos encontrar solución, estos los llamamos incompatibles.
Por ejemplo
252452
yxyx
despejamos y de la primera ecuación xy52
54 y la reemplazamos en la
segunda, obtenemos:
202242
252
5452
xxx
xx
¡ABSURDO!
Por lo tanto el sistema no tiene solución.
Por lo tanto un Sistema de Ecuaciones lineales con dos incógnitas puede tener una, infinitas o no tener solución.
23
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Método Igualación.
El método de igualación consiste en despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones e igualar sus
expresiones, obteniendo así una ecuación con una incógnita. Una vez resuelta se obtiene fácilmente el valor de
la otra incógnita.
Por ejemplo: Resolver el siguiente sistema.
262132
yxyx
Paso 1: despejar una de las variables en ambas ecuaciones, en este caso despejamos la variable “y”
xyyx
xyyx
31
31262
32
31132
Paso 2: igualamos las variables para obtener una ecuación lineal con una incógnita y resolvemos.
32
31
31
32
31
x
xx
yy
Sistema de Ecuaciones Lineales
Sistema Compatible
Solución Única Sistema Determinado
Infinitas Soluciones Sistema Indeterminado
Sistema Incompatible
No tiene solución
24
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Paso 3:
xyyx
xyyx
31
31262
32
31132
reemplazamos 32
x en las ecuaciones par obtener el valor de “y”
91
92
31
32.
31
31
31
31
91
94
31
32.
32
31
32
31
yyyxy
yyyxy
Por lo tanto el conjunto solución es
91,
32
EJERCICIOS 7:
1) Resolver los sistemas por el método que creas conveniente. Clasificar su solución.
a)
132143
yxyx
b)
1545
169
xy
yx c)
457
53
473
yx
yx
d)
)1(3104)(21xy
yxx e)
yx
yx
41
51
2434 f)
yxyx
26753
2) Considere los siguientes sistemas de ecuaciones
a)
pnymx
yx 223 b)
834 yxpnymx
Indica los valores de m, n y p en cada uno para que cada sistema resulte:
I. Compatible Determinado.
II. Incompatible
III. Compatible Indeterminado.
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3) Encontrar el valor de k para que el sistema tenga la solución indicada.
a)
220516
ykxkyx
23,1, yx b)
kyxkyx
5029510
2,1, yx
4) Plantear y resolver los problemas.
a) Una empresa de viajes y turismos cuenta con micros que trasladan 48 pasajeros sentados y con varios
minibuses con capacidad para 12 personas. La última vez que las 8 unidades viajaron juntas completas,
trasladaron 204 personas. ¿Con cuantos micros y minibases cuenta la empresa?
b) Un teatro tiene 180 butacas, entre platea y pullman. La entrada para pullman cuesta $12 y para platea
cuesta $20. Si la recaudación total de la función de ayer, a sala llena, fue $2800, ¿cuántas butacas en
platea y cuántas en pullman tiene el teatro?
c) Un moderno buque de turismo tiene camarotes dobles (dos camas) y simples (1 cama). Si se ofertan 65
camarotes que en total tienen 105 camas, averiguar el número de camarotes de cada tipo.
d) Dos amigos fueron de visita a una granja en la que había pavos y corderos. Al salir uno de ellos le
pregunto al otro: “¿Cuántos pavos y corderos había? Averígualo, vi 72 ojos y 122 patas”
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CAPITULO 2: POLINOMIOS
Llamaremos expresión algebraica a toda combinación de letras y/o números vinculados entre si por las
operaciones de suma, resta, multiplicación y potencia de exponentes racional.
Monomios son expresiones algebraicas en las que las variables están multiplicadas entre sí y/o por constantes,
es decir, no intervienen ni suma ni resta. Un monomio es un polinomio de un solo término.
Ejemplos: 3x, 9.5 xy , -4x7, xya,
La constante del monomio se llama coeficiente; en los ejemplos anteriores, son coeficientes: 3, 5 , -4 y 1
respectivamente. La, o las variables, de un monomio se la llama parte literal del monomio.
Dos monomios del mismo grado, con las mismas variables elevadas a las mismas potencias, son
semejantes.
Ejemplos: yx 2
31
y yx25 son semejantes. Caso contrario, zxy 33 y xyz3 ya que tienen el mismo
coeficiente y las mismas variables pero no así los exponentes.
En la suma de monomios, solo podemos sumar aquellos términos que sean semejantes. La suma de
monomios no semejantes, por ejemplo: 5x + 3x2 nunca es otro monomio, en este caso particular la suma nos da
un binomio.
Un binomio es la suma de dos monomios no semejantes, un trinomio, de tres y en general, un polinomio es la
suma algebraica de cualquier número de monomios no semejantes (en particular, un monomio también es
polinomio).
Una expresión racional entera recibe el nombre de polinomio, es decir que la variable solo puede tener
exponentes enteros positivos.
Por lo tanto: Un polinomio en una variable real es una expresión algebraica de la forma:
011
1 ... axaxaxaxP nn
nn
donde Zn
ia se denomina coeficiente.
A n lo llamamos grado del polinomio, ya que es el exponente mayor que afecta a la variable.
0na se denomina coeficiente principal
a0 se denomina término independiente.
Ejemplos:
a) 432 20312 xxxxxp en este polinomio n = 4, a0 = 2, a1 = 1, a2 = 3, a3 = 0 y a4 = -2
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b) 0001 23 xxxxq el grado es n = 3, a0 = a1 = a2 = 0, a3 = 1
c) 3xr aquí solo tenemos termino independiente, a0 = -3.
En general no se escriben los términos con coeficientes nulos, como tampoco el coeficiente igual a 1. Entonces
los polinomios de los ejemplos a) y b) se escriben:
42 232 xxxxp y 3xxq
Por esto podemos decir que ambos polinomios están incompletos, pero en a) y b) los polinomios están
completos y ordenados.
Recordemos:
Si un polinomio está incompleto, es posible completarlo escribiendo las potencias de la variable que faltan con
coeficiente cero.
Polinomio Nulo: un polinomio es nulo, cuando todos sus términos tienen coeficientes igual a cero. Lo
simbolizamos con 0
...0000000 20 xxxx
Valor Numérico: Es el numero real que se obtiene al reemplazar las letras (variables) que intervienen en la
expresión por números reales determinados y efectuar las operaciones indicadas, siempre que sea posible.
Ejemplo:
132 3 xxxP buscamos el valor numérico de P(0), P(1) y P(-2)
110.30.20 2 P
013211.31.21 2 P
1578164.212.32.22 2 P
Un polinomio en una variable esta ordenado cuando todos sus términos están dispuestos de
modo que los exponentes aumenten o disminuyan desde el primer término hasta el último. La
ordenación será creciente o decreciente según los exponentes de la variable, vayan de menor a
mayor o viceversa.
Un polinomio en una variable está completo cuando figuran todas las potencias de la variable
menores al grado del polinomio.
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Operaciones fundamentales:
Sumas y restas
Para sumar dos o más polinomios se agrupan los monomios semejantes. A la resta de dos polinomios la
transformamos en suma, sumando al minuendo el opuesto del sustraendo.
Ejemplos 1:
Sean T(x) y L(x) polinomios, donde 132)( 23 xxxxT y 3324)( 324 xxxxL y la suma T(x)
+ L(x) se puede escribir como:
T(x) + L(x) = 132 23 xxx + ( 3324 324 xxx ) = 4324 34 xxx
O con la ubicación de la suma de números naturales, para esto el polinomio debe estar completo y ordenado en
forma decreciente:
Ejemplo 2:
xxxxxJ 243416)( 453 452 34263)( xxxxxU
235452453 3161034263243416)( xxxxxxxxxxxxUxJ
Donde - U(x) es el polinomio opuesto de U(x)
Multiplicación.
El producto de dos monomios es otro monomio con coeficiente igual al producto de los coeficientes de
los factores y el grado es suma de los grados de los factores.
Ejemplo:
725
533.
51 xxx
En la multiplicación de un polinomio por un monomio, aplicamos la propiedad distributiva del producto
respecto a la suma:
Ejemplo:
30234 234 xxxx
132 23 xxx
43024 234 xxxx 4324 34 xxx
29
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(x + y)(x - y) = (x - y)(x + y) = x2 – y2
256
23242
342
2621.2.23.2
213.2
xxx
xxxxx
xxx
Para multiplicar polinomios, lo hacemos aplicando reiteradamente la propiedad distributiva, es decir, se
multiplica cada término de uno por cada término del otro, así por ejemplo:
24578
245578
2223252535
2325
1283
19432
1283454
32
524.232.254
32.
5432.2
xxxxx
xxxxxx
xxxxxxxxxx
xxxx
Productos Notables:
Algunos productos o identidades importantes, que utilizaremos en varias oportunidades. A estos productos los
llamamos, productos notables.
DIFERENCIA DE CUADRADOS: El producto de la suma de dos términos por las diferencia de los
mismo, es igual a la diferencia de los cuadrados de dichos términos.
CUADRADO DE UN BINOMIO: El producto de un binomio por si mismo recibe el nombre de
cuadrado del binomio
Por lo anterior la expresión “ 22 2 baba ” recibe el nombre de trinomio cuadrado perfecto.
Entonces
22222 2..... bababbaababbabbaaabababa
222 2 bababa
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CUBO DE UN BINOMIO: Al elevar al cubo un binomio tenemos la siguiente expresión:
Al desarrollar el producto siempre obtenemos la misma estructura, es decir, se obtienen expresiones
algebraicas equivalentes:
Se denomina cuadrinomio cubo perfecto y las expresiones son
equivalentes.
DIVISION DE POLINOMIOS
Cociente de dos monomios:
El cociente de dos monomios, uno de grado m y otro de grado n, con m ≥ n, es otro monomio, cuyo grado
es la diferencia de los grados y el coeficiente se obtiene dividiendo los coeficientes de los monomios dados,
es decir:
2242
424 55
5255:25 xx
xxxx
División de un polinomio por un monomio:
Para dividir un polinomio en un monomio se aplica la propiedad distributiva, solo es posible de derecha a
izquierda. El resultado no siempre es un polinomio.
25
23
25
22
232:)523( 23
3434
xxxx
xx
xxxxxx
División de dos polinomios:
Sean P(x) y Q(x) dos polinomios con Q(x) ≠0, tal que gr P(x) =grQ(x). Entonces existen dos polinomios
únicos C(x) y R(x) tales que:
P(x) = Q(x).C(x) + R(x) con gr R(x) < grQ(x).
Llamaremos a P(x) dividendo, a Q(x) divisor, a C(x) cociente y a R(x) resto.
32232223 332. babbaababababababa
bababa 23
32233 33 babbaaba
31
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Cuando R(x) = 0 la división es exacta por lo que P(x) = Q(x).C(x) y se dice que Q(x) es un factor de P(x) o que
P(x) es divisible por Q(x).
Ejemplo:
Realizar el cociente entre 152 43 xxxxP y 322 xxxQ
Paso 1: completamos y ordenamos en forma decreciente los polinomios P(x) y Q(x).
1025152 23443 xxxxxPxxxxP
Paso 2: 1025 234 xxxx 322 xx
234 15105 xxx 39125 2 xx
xxx 23 1512
xxx 362412 23
13539 2 xx
1177839 2 xx
118113 x
En resumen:
Para calcular el 1º término del cociente, dividir el término de mayor grado de P(x) por el término de mayor
grado del divisor. Luego se multiplica el término del cociente recién obtenido por todos los términos del divisor
y se coloca el resultado abajo de los términos de P(x) que le sean semejantes.
Por ultimo se resta y se considera este resultado, un resto parcial, como el próximo dividendo
Se repiten los paso anteriores con el “nuevo” dividendo hasta obtener el resto grado menor que el grado del
divisor.
Obtenemos: 39125 2 xxxC y 118113 xxR
Entonces:
11811339125.32125 2234 xxxxxxxx
32
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Coeficientes del dividendo. Opuesto del término
independiente del divisor.
Existe un método que permite realizar la división de polinomios de manera más sencilla, pero
lamentablemente solo puede aplicarse si el divisor es de la forma (x – a).
Para resolver este tipo de cocientes debemos aplicar la Regla de Ruffini.
Veamos como resolverlo mediante un ejemplo:
Dados P(x)= -x-5+2x3 y Q(x)= x+2
Hallemos el cociente y el resto de P(x):Q(x)
Recordando lo trabajado en la división anterior, el dividendo tiene que estar completo y ordenado. Para
poder aplicar la regla, solo vamos a trabajar con los coeficientes del polinomio ordenado y completo. Estos
coeficientes se ubican de la siguiente manera:
Primero completamos y ordenamos el polinomio 502 23 xxxxP
En la parte superior derecha se ubican los coeficientes del polinomio dividendo.
En la parte izquierda se ubica el opuesto del término independiente del divisor, es decir (- 2).
El coeficiente principal se baja primero sin ser modificado, luego se lo multiplica por el opuesto del término
independiente del divisor y se suma el resultado al segundo coeficiente del dividendo y así sucesivamente.
Resto
Por lo tanto el polinomio cociente es 742 2 xxxC y el resto 19xR .
La Regla de Ruffini la podemos aplicar sólo cuando dividimos un polinomio P(x) por otro de la forma (x − a), el
cociente C(x) obtenido, es un polinomio de grado menor en una unidad al de P(x) y el resto R(x) es una
constante.
EJERCICIOS 1:
1) Realiza las siguientes adiciones de polinomios.
Coeficientes del
polinomio cociente
33
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a) )37()515,3( 22 zzzz
b)
ññññññññ 2
211
415
21 423253
c)
kkkkkk 47
3164245 222
d)
ggggg
34355162
34 22
2) Encuentra el Valor Numérico del siguiente polinomio ( 33 23 aaa ) para a=2, a=3 y a=0.
3) Resuelve los siguientes productos.
4) Resuelve
)1(2)12(3)1(2) 222 jjjja )1(3)1(5)12(21) 222 hhhhb
5) Dados: 32)( 2 xxP 15)( xxQ y 726)( 23 xxxR
Resuelve los siguientes cálculos combinados.
a) P(x).Q(x) – R(x) = b) R(x).[Q(x) + P(x)] =
6) Siendo 324 3752)( xxxxA 13)( xxB 35 32)( xxxC 25 321)( xxxD
Halla los resultados de:
a) A(x).[B(x) + C(x)] =
b) [D(x).C(x)] - [A(x)-B(x)] =
c) [B(x)]2 + 3.D(x) - 6.C(x) =
d) [B(x)]3 – A(x) =
23 5
31)2)( wwwa ))(1236)( 223 vvvvb ttttc 2525) 66
)2)(1)( 2335 ppppppf ))(1)( 23 qqqqe
)132)(32)( 23 nnnng
)213)(
213)( 22 ssd
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7) Hallar el cociente y el resto de cada división.
a) 2:472 23 xxxx
b) 3:106 43 xxxx
c)
32:3
32
65
32
21 234 xxxxx
8) Calcular el o los valores de m donde las divisiones son exactas.
a) 5:)3( 23 xxmxx b) 3:152 23 xmxxx
Teorema del Resto
Para el ejemplo anterior donde y 2 xxQ , se pedía que encontremos el cociente
y resto, si solo nos interesa analizar el resto de la división, calculamos:
195216522.22 3 PR
Este teorema nos ayuda a investigar si un polinomio es divisible por otro de la forma (x – a), es decir, bastara
con encontrar P(a). Si P(a) = 0, entonces P(x) será divisible por (x – a), si P(a) ≠0 no lo será.
Raíces de un polinomio.
Obtenemos así una conclusión importante:
Si a es raíz de P(x) entonces el polinomio es divisible por (x - a), por lo tanto a P(x) podemos expresarlo de la
forma:
P(x)=(x - a).C(x)
Donde C(x) es el cociente de P(x):(x – a).
El resto de la división de un polinomio P(x) por otro de la forma (x – a), es igual a P(a)
52 3 xxxP
Decimos que un número real a es raíz o cero de un polinomio P(x) si y solo si se verifica que P(a)=0
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Para encontrar las raíces de algunos polinomios, podemos igualar a cero la expresión y resolver la igualdad, por
ejemplo:
El número real 22
a es raíz o cero de
011142.21
222
22
122
2
P
xxP
El polinomio 22 xxQ no admite ceros o raíces reales porque al plantear
2
202
2
2
x
xx
no existen
reales que satisfacen la igualdad.
Para encontrar los ceros o raíces de cbxaxxP 2 , tenemos 02 cbxax y las raíces de esta
expresión las encontramos mediante la resolvente (como trabajamos en el capitulo 1), por lo tanto
aacbbx
242
2,1
Sea 12 2 xxxZ , haciendo resolvente
431
4811
2.21.2.411 2
2,1
x donde x1
= 1 y x2 = ½
Para polinomios del tipo 1243 23 xxxxP debemos introducir el Lema de Gauss, este nos
ayuda a encontrar las raíces de cualquier polinomio.
Para el polinomio 1243 23 xxxxP a0=12 y a3=1, P(x) admite raíz racional, entonces debemos
buscar los divisores de p y q para obtener las posibles raíces del P(x).
Luego:
112,6,4,3,2,1
qp
las posibles raíces son 12,6,4,3,2,1 qp
Encontramos las raíces utilizando el Teorema del Resto.
Lema de Gauss: Sea 011
1 ... axaxaxaxP nn
nn
un polinomio con coeficientes enteros.
Si P(x) admite al número entero a como raíz, entonces a es divisor de a0.
Si P(x) admite al número racional qpa como raíz, entonces p es divisor de a0 y q
es divisor de an.
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0121227273
7812122727381281282
40128128210124311
20124311
PPPPPP
x = -3 es raíz de P(x). Haciendo Ruffini:
Luego 43 2 xxxP , haciendo resolvente para x2 + 4 observamos que no tiene raíces reales.
Es posible que un polinomio tenga varias raíces iguales, por ejemplo: 22 22244 xxxxx ,
en este caso a = 2 es raíz de multiplicidad 2.
Si observamos los ejemplos anteriores, la cantidad de raíces de un polinomio depende del grado del mismo, en
general:
Ejemplo: ¿Cuáles son las raíces de P(x)=2(x – 1).(x + 3)3?
Teorema Fundamental del Algebra: un polinomio con coeficientes reales de grado n tiene n raíces
reales o complejas contadas con su multiplicidad.
El polinomio 011
1 ... axaxaxaxP nn
nn
puede escribirse en su forma factorizada, como producto de los binomios que forman las raíces, de la siguiente manera: nn rxrxrxaxP ...21 donde an es el coeficiente principal y ri las n raíces.
Si an es igual a 1, decimos que el polinomio es mónico.
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Teniendo en cuenta el teorema fundamental del algebra, tenemos que el grado del polinomio es 4, por lo tanto el
polinomio tiene 4 raíces: r1=1 con multiplicidad 1 y r2=-3 con multiplicidad 3.
FACTORIZACION DE POLINOMIOS.
Factorizar un polinomio es expresarlo como producto de factores primos.
Para factorizar un polinomio utilizamos distintos métodos, los más utilizados son:
Factor Común: Una expresión algebraica es factor común de todos los términos de un polinomio cuando
aparece multiplicando en cada uno de esos términos.
Ejemplo 1: En la expresión 52325 1248 wzxzxzx , el factor común es 4x2z. Entonces
43252325 3241248 wzxzxzxwzxzxzx debemos tener en cuenta que las variables que saco como
factor común, deben estar siempre elevadas a la menor potencia.
Ejemplo 2: en algunos casos es necesario sacar factor común (-1). 142142 22 xxxx
Factor común por grupo: Una expresión algebraica puede no tener un único factor común en todos los
términos sino factores comunes distintos en cada grupo de términos. Si luego de asociar convenientemente se
puede extraer un único factor común habremos factoreado.
Ejemplo 1: en la expresión myxxxymmx 352615 2 no existen factores comunes a todos los
términos, pero agrupando podemos obtener:
xmyxxyxyxmxxxymymmx
32552253523615 2
Escribimos el polinomio como producto de factores.
Trinomio cuadrado perfecto
Anteriormente vimos que 222 2 bababa por lo tanto cualquier polinomio de la forma
22 2 baba se puede factorizar como un binomio al cuadrado.
Para encontrar el binomio adecuado se procede del siguiente modo:
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i) Se busca a los cuadrados y se determina a sus bases
ii) Se comprueba que el otro término sea el duplo de las bases de dichos cuadrados
iii) Se analizan los signos y se determina si corresponde al cuadrado de una suma o al cuadrado de una
diferencia.
Ejemplo 1:
En la expresión 144 2 xx los cuadrados perfectos son 4x2 y 1 y sus bases 2x y 1 respectivamente. Además
el duplo de las bases 2.2x.1= 4x que verifica el segundo termino del trinomio, por lo tanto
22 12144 xxx
Ejemplo 2: para 22424 20425 ypxpyx los cuadrados son 25x4y2 y 4p4 donde sus bases son 5x2y y 2p.
El duplo de las bases verifica, 2.5x2y.2p = 20x2yp que es el tercer termino de la expresión.
Como este término es negativo, tenemos: 2222424 2520425 pyxypxpyx
Cuatrinomio Cubo Perfecto:
Llamamos así a todo polinomio de la forma 33223 33 bababbaa
Para encontrar el binomio adecuado se procede del siguiente modo:
i) Se busca a los cubos y se determina a sus bases
ii) Se comprueba que los otros términos sean el triple del cuadrado de una base por la otra base alternativamente
Ejemplo:
Para la expresión 8126 23 xxx los cubos perfectos son x3 y 8, sus bases son x y 2.
Además 22 62..3 xx y xx 122..3 2 se verifica el segundo y ercer termino de la expresión. Por lo tanto:
323 28126 xxxx
Diferencia de Cuadrados: Todo polinomio que es diferencia de cuadrados es igual al producto de la
diferencia de las bases de dichos cuadrados por la suma de las mismas, es decir:
bababa 22
Ejemplos:
* 44162 xxx
* 9292814 336 xxx
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* xxx 111 2
NOTA: Otras factorizaciones especiales que pueden ayudarte.
2233
2233
babababababababa
EJERCICIOS 2:
1) Hallar las raíces de los siguientes polinomios y luego escribirlo en forma factorizada:
a) 241423 xxxxP siendo x=-3 una raíz.
b) 61133 234 xxxxxQ siendo x=-1 raíz de multiplicidad 2.
c) 4432 234 xxxxxR
2)
a) Construir un polinomio mónico de segundo grado que tenga a x=2 como raíz y donde el termino
independiente sea 3.
b) Escribir un polinomio de cuarto grado con raíces -2, 3 y –5. ¿Existe un único polinomio con estas
características? Justificar. Dar dos ejemplos más.
3) Factorizar las siguientes expresiones, combinando los casos de factoreo:
a) 526
1631255 bxbx b) 234
493 xxx c) 4352
323
83 xggx
d) vvv 456020 23 e) xxx 27183 23 f) 646 x g) 2555 23 xxx
h) 123 aaa i) axxaaa 44 324
4) Factorizar numerador y denominador de las expresiones algebraicas fraccionarias y luego simplificar.
a)
24
4
82 xxxx
b)
567
34
693
xxxxx
c)
11
2
2
xxxx
d)
4129
492
2
xxx
Tener presente que: el Lema de Gauss también se puede utilizar para factorizar polinomios.
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RESPUESTAS
CAPITULO 1:
EJERCICIOS 1:
1) a) 36; b) 42; c) 39; d) 71
2) a) 26; b) 15; c) 3; d) 10; e) 25
; f) 10589
; g) 1211
; h) 12145
; i) -1; j) 157
; k) 42
127 ; l)
126811
; m)
367
; n) 2
19; o)
613
; p) 371103
; q) 109
; r) 45
3) a) 31, b) -2000; c) 27; d) 7; e) 8; f) -2; g) 4
a) 338
665
.
ba ; b) 32
52
.
ba ; c) 23
6 tm ; d) 37
43 ..3 ba ; e) 158
.
ba
4) a) F; b) V; c) V; d) V; e) V
EJERCICIOS 2:
1) a) 4;0 ; b) 6;4 ; c) 3;1 ; d) ;2 ; e)
21;
2) a) 52 x cerrado; b) 27
43
x semiabierto; c) 492 x semiabierto; d) 53 x
abierto; e) x < 3 infinito; f) 1x infinito.
EJERCICIOS 3:
a) 2; b) 500; c) -1; d) 1
EJERCICIOS 4:
a) x = 100001; b) x = 3; c) x = 3; d) ..36,26
855
x ; e) x = 17; f) x = 4
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EJERCICIOS 5:
1) a) PhSr
2 ; b)
pSr
21
; c) t
Ptfx ; d)
abcabck
; e)
pPbBTs
2
2) a) 119
x ; b) NO; c) NO.
3) a) 3722
x ; b) x = 7; c) x = k, donde k Infinitas soluciones; d) x = -1
4) a) Los números son 15, 16 y 17; b) Los números son 37, 39 y 41; c) 4800 cm3; d) El número es 12;
e) Tenía ahorrado $900, gasto $450 en las zapatillas y $150 en CD.
5)
a) 3
1
2
1
xx
b) t = 2 c) 1
2
2
1
xx
d) 37
2
1
vv
e) 4
0
2
1
xx
f) 1
1
2
1
tt
g) Sin solución
real.
6) El número es -2.
7) El número es
8)
a)
21
21
2
1
x
x b)
4421
x c) 52
x d) 116
x
e) 31
x f) 21
x g)
109
0
2
1
x
x h)
40
2
1
xx
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EJERCICIOS 6:
1) a) 1; b) 3;8 c) ;32; d) 1;3 e) 1;2
2)
a) 1
7
2
1
xx
b) c) x = 2 d) ;32;
e) 12;7 f)
34;4 g)
3;35
EJERCICIOS 7:
1) a)
45
.yx
sc Compatible Determinado.
b)
125
.y
xsc Compatible determinado.
c) Incompatible.
d)
13
.yx
sc Compatible determinado.
e)
1215
.yx
sc Compatible Determinado.
f) Incompatible.
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2) a) Respuesta personal. b) respuesta personal
3) a) 41
k b) 101
k
4)
a) Hay 3 micros y 5 minibuses. b) Vendieron 80 entradas de platea y 100 de pullman.
c) Hay 40 camarotes dobles y 25 simples. d) Hay 11 pavos y 25 corderos.
CAPITULO 2:
EJERCICIOS 1:
1)
a) zz 12229 2 b) 4253
231
495
23 ñññññ c)
3131011 2 kk
d) 21043
10 gg
2) P (2) = -5; P(3) =0; P(0) = -3
3)
a) 34 1032 ww b) 345 1236 vvv c) 212 425 tt d)
419 4 s
e) qqqqq 4235 2 f) 23242 234578 ppppppp
44
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g) 5432 32323
34 nnnnn
4) a) jj 673 2 b) 2
1725 2 hh
5) a) 101516 3 xx b) 143510221226 2354 xxxxx
6)
a) 68237945 96795158475 xxxxxxxxx
b) xxxxxxx 37626647 2487105
c) 35 18646 xxx
d) 423 2692024 xxxx
7) a) 0
72
xRxxC
b) 74
2893 23
xRxxxxC
c)
81
1572743
1825
65
41 23
xR
xxxxC
8) a) 528
m b) m = 2
EJERCICIOS 2:
1) a) 2
43
3
2
1
xxx
243 xxxxP b)
2113
4
3
2
1
xxxx
231 2 xxxxQ
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c) 1
2
2
1
xx
22 21 xxxR
2) a) 3272 xx b) Respuesta personal.
3) a)
425
25
255 22 xxxbx b)
22
23
xx c)
xgxggx
21
21
83 32
d) 2
2320
vv e) 233 xx f) 422422 22 xxxxxx
g) 552 xx h) 11 2 aa i) 22 aaxaa
4) a) 22422
xxxx
b) 13
12 xx
c) 1
1x
d)
3232
x
x
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