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ESTE MATERIAL ES DE USO EXCLUSIVAMENTE DIDÁCTICO
COLEGIO SANTA ANA
NIVEL SECUNDARIO
MATEMÁTICA
DOSSIER BIBLIOGRÁFICO 6to AÑO
2019
Compilado por: Molina José Santiago
ESTE MATERIAL ES DE USO EXCLUSIVAMENTE DIDÁCTICO 1
Índice de Contenidos
Programa………………………………………………………………………………………………………………………………….2 Eje Temático 1: Expresiones Algebraicas….……………………………………………………………………..……….3
Casos de Factoreo………………………………………………………………………………………………..……………..3 Factor común…..…………………………………………………………………………………………………………..……..3 Factor común por grupos………………………………………………………………………………………………….…3 Trinomio cuadrado perfecto………………………………………………………………………………….…………….4 Cuatrinomio cubo perfecto………………………………………………………………………………………………....5 Diferencia de cuadrados …………………………………………………………………………………..…………………6 Suma y resta de potencias de igual exponente……………………………………………..….………………...7 Expresiones algebraicas fraccionarias. Simplificación………………………………..…….…………….….10 Multiplicación y división de expresiones algebraicas fraccionarias…………………………………….11 Adición y sustracción de expresiones algebraicas fraccionarias………………………………………...12
Eje Temático 2: Trigonometría y Funciones….…………………………………………………..…………………….17
Sistema de medición de ángulos………………………………………….…………………………………………...17 Sistema circular…………………………………………………………………………………………………..…………….17 Relaciones trigonométricas……………………………………………………………………………………….…..….18 Ángulos menores a 90°……………………………………………………………………..……………………….…..…18 Generalización de las definiciones de las relaciones trigonométricas…………………………….….18 Circunferencia trigonométrica……………………………………………………………………..……………..…....19 Definición de las funciones seno y coseno…………………………………………….………………..…………21
Eje Temático 3: Limites y Funciones……………………………….……………………………………………………...22
Límite de una función………………………………………………………………………………………………………..22 Definición de límite………………………………………………………………………………………….………………..22 Límites infinitos….………………………………………………………………………….………………………………….24 Límites laterales………………………………………………………………………………………………………………..25
Indeterminaciones del tipo 0
0………………………………………………….……………………………………….…25
Indeterminaciones del tipo ∞
∞………………………………………………………………………………………….…26
Continuidad de una función en un punto………….…………………………………………………………….…29
Eje Temático 4: Lógica Proposicional……….……………………………………………………………………………..31 Introducción……………………………………………………………………………………………………………………...31 Proposiciones…………………………………………………………………………………………………………………...31 Notaciones y conectivos……………………………………………………………………………………….…………..32 Proposiciones simples y compuestas………………………………………………………………..……………….32 Operaciones Proposicionales……………………………………………………………………………………….……32 Negación…………………………………………………………………………………………………………………..……….32 Conjunción……………………………………………………………………………………………………………….……….33 Disyunción………………………………………………………………………………………………….…………………..…34 Implicación o condicional...…..…………………………..……………………………………….…………………..…35 Doble implicación o bicondicional…..………………………………………………………….…………………..…36 Diferencia simétrica…………..……………………………………………………………………….…………………..…37 Leyes de Morgan.……………………………………………………………………………………….…………………..…37
ESTE MATERIAL ES DE USO EXCLUSIVAMENTE DIDÁCTICO 2
Programa Matemática 6to Año
Matemática
Curso: 6to Año Ciclo Lectivo: 2018
Turno: Mañana Docentes:
Molina José Santiago Carga Horaria: 4 hs semanales
1. Ejes Temáticos
Eje temático I: Expresiones algebraicas.
Factorización de Polinomios: Casos de factoreo: Factor común, factor común por grupos,
trinomio cuadrado perfecto, cuatrinomio cubo perfecto, diferencia de cuadrados, suma y resta
de potencias de igual exponente, método de Gauss, factoreo de una expresión cuadrática.
Expresiones algebraicas fraccionarias. Simplificación. Ecuaciones de primer grado. Ecuaciones
fraccionarias.
Eje Temático II: Trigonometría y Funciones
Ángulos orientados. Sistema de medición de ángulos. Relación entre radianes y grados
sexagesimales. Funciones trigonométrica. Relaciones entre las razones trigonométricas de un
mismo ángulo y de ángulos suplementarios. Circulo Trigonométrico
Funciones: parte entera, definidas por partes, valor absoluto y trigonométrico.
Eje Temático III: Límites de funciones.
Idea de límite. Definición de límites laterales. Límites finitos e infinitos. Límites indeterminados.
Cálculo de límites. Idea de continuidad y discontinuidad. Definición de función continúa.
Condiciones para continuidad de una función.
Eje Temático IV: Lógica Proposicional
Proposición. Definición. Valor de Verdad. Proposiciones y conectivos. Proposiciones simples y
compuestas. Operaciones lógicas: conjunción, disyunción, diferencia simétrica, implicación y
doble implicación. Tablas de verdad. Determinación de la verdad o falsedad de una proposición
por el método de tablas de verdad. Clasificación de las proposiciones según su tabla de verdad.
Demostraciones. Equivalencias. Tautologías, contradicciones y contingencias. Leyes de Morgan.
Función Proposicional. Análisis de verdad de proposiciones compuestas en función de las
proposiciones simples.
CRITERIOS DE EVALUACIÓN
Capacidad de expresar los conocimientos en los diferentes lenguajes matemáticos.
Capacidad para expresar los conocimientos previos, ampliarlos o modificarlos y transferirlos
a situaciones nuevas.
Capacidad para desenvolverse con confianza, creatividad, tenacidad, perseverancia y
respeto
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Eje Temático 1: Expresiones Algebraicas
Datos bibligráficos:
Pablo Effenberger. (2013). Matemática 4/3. Buenos Aires, Argentina: Kapelusz.
Casos de Factoreo
Factor Común
1_ Factorizar los siguientes polinomios
Factor común por grupos
ESTE MATERIAL ES DE USO EXCLUSIVAMENTE DIDÁCTICO 4
2_ Unir cada polinomio con su factorización
3_ Factorizar por grupos los siguientes polinomios
Trinomio Cuadrado Perfecto
4_ Completar los casilleros para que los trinomios sean cuadrados perfectos
5_ Factorizar los siguientes trinomios cuadrados perfectos
ESTE MATERIAL ES DE USO EXCLUSIVAMENTE DIDÁCTICO 5
6_ Factorizar los siguientes polinomios combinando los procedimientos
Cuatrinomio cubo perfecto
7_ Completar los casilleros para que los trinomios sean cubos perfectos
Diferencia de Cuadrados
ESTE MATERIAL ES DE USO EXCLUSIVAMENTE DIDÁCTICO 6
8_ Factorizar las siguientes diferencias de cuadrados
9 _ Factorizar los siguientes polinomios combinando los procedimientos
ESTE MATERIAL ES DE USO EXCLUSIVAMENTE DIDÁCTICO 7
Suma y resta de potencias de igual exponente
10_ Factorizar los siguientes polinomios
ESTE MATERIAL ES DE USO EXCLUSIVAMENTE DIDÁCTICO 8
11_ Factorizar los siguientes binomios
12_ Factorizar los siguientes polinomios combinando los procedimientos
ESTE MATERIAL ES DE USO EXCLUSIVAMENTE DIDÁCTICO 9
13_ Unir cada polinomio con su factorización
14_ Factorizar los siguientes binomios
15_ _ Factorizar los siguientes polinomios combinando los procedimientos
ESTE MATERIAL ES DE USO EXCLUSIVAMENTE DIDÁCTICO 10
Expresiones Algebraicas fraccionarias. Simplificación
16_ Simplificar las siguientes expresiones algebraicas
ESTE MATERIAL ES DE USO EXCLUSIVAMENTE DIDÁCTICO 11
Multiplicación y división de expresiones algebraicas fraccionarias.
17_ Resolver las siguientes multiplicaciones y divisiones
ESTE MATERIAL ES DE USO EXCLUSIVAMENTE DIDÁCTICO 12
Adición y sustracción de expresiones algebraicas fraccionarias
18_ Resolver las siguientes sumas y restas
19_ Resolver las siguientes operaciones combinadas
ESTE MATERIAL ES DE USO EXCLUSIVAMENTE DIDÁCTICO 13
ESTE MATERIAL ES DE USO EXCLUSIVAMENTE DIDÁCTICO 14
20_ unir las expresiones algebraicas equivalentes
21_ Resolver
22_ Resolver las siguientes sumas y restas
ESTE MATERIAL ES DE USO EXCLUSIVAMENTE DIDÁCTICO 15
23_ Resolver las siguientes operaciones combinadas
24_ Simplificar las siguientes expresiones
ESTE MATERIAL ES DE USO EXCLUSIVAMENTE DIDÁCTICO 16
25_ Resolver las siguientes operaciones combinadas
ESTE MATERIAL ES DE USO EXCLUSIVAMENTE DIDÁCTICO 17
Eje Temático 2: Trigonometría y Funciones
Datos bibligráficos:
Horacio Itzcovich. (2006). Matemática 3. Buenos Aires: Tinta fresca.
Silvia V. Altman, Claudia R. Comparatore, Liliana E. Kurzrok. (2005).
Matemática|Polimodal. Funciones 2. Buenos Aires: Longseller. S.A.
Sistema de medición de ángulos
¿Cuántas veces entra el arco de la circunferencia en el arco generado por el ángulo de: 180°,
360°, 90° y el de 270°?
El ángulo de 180° es media vuelta; el arco generado por él es igual a media circunferencia. El
radio de la circunferencia entra π veces en él.
El ángulo de 90° equivale a un cuarto de circunferencia. El radio entra π/2 veces en el arco
generado por él.
El ángulo de 360° es una vuelta completa, el arco generado por él es toda la circunferencia. El
radio de la circunferencia entra 2π veces en él.
Las unidades con las que hasta ahora se midieron los ángulos son los grados, minutos y
segundos. Este sistema de medición se llama sistema sexagesimal, donde se divide a un giro
completo (360°) en 360 partes iguales y cada una de esas partes es la unidad que corresponde
a 1°.
Otra forma de medir ángulos consiste en relacionar cada ángulo con el arco de la circunferencia
que subtiende al ángulo dividido el radio r. Este sistema de medición de ángulos se conoce con
el nombre de sistema circular y su unidad de medida es el radian.
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La relación entre los grados de un ángulo y los radianes que miden la circunferencia que recorren
es una relación de proporcionalidad directa, por lo tanto, si 360° equivale a 2π radianes y un
ángulo 𝐴° equivale a B radianes, se tiene que:
La ventaja de trabajar con el sistema circular de ángulos, es que nos permite trabajar con
números reales, su operatoria y sus propiedades, haciendo más sencillo los cálculos.
1_ ¿Cuántos radianes equivale a los ángulos de 240°, 12°, y 36°?
2_ ¿Cuántos grados equivale a 1 radian?
3_ Calcular a cuantos radianes equivale los siguientes ángulos medidos en grados
4_ Calcular a cuantos grados equivale los siguientes ángulos medidos en radianes
Relaciones trigonométricas
Ángulos menores a 90°
Para calcular las razones trigonométricas de ángulos menores a 90°, es posible construir un
triángulo donde la hipotenusa mida 1. En ese caso:
Generalización de las definiciones de las relaciones trigonométricas
Hasta ahora trabajamos siempre con ángulos agudos. Extenderemos la definición de las
relaciones trigonométricas a cualquier ángulo. Para ello, consideraremos primero un par de eje
cartesianos y una circunferencia con centro en el origen de coordenadas.
ESTE MATERIAL ES DE USO EXCLUSIVAMENTE DIDÁCTICO 19
Se define así, la circunferencia trigonométrica, que es la circunferencia de radio 1 y centro en
(0; 0)
La circunferencia trigonométrica queda dividida por los ejes coordenados en 4 sectores, cada
uno de los cuales se llama cuadrante. Los cuadrantes se cuentan en sentido contrario a las agujas
del reloj.
Como en la circunferencia es posible medir cualquier ángulo, se definen las razones
trigonométricas para cualquier ángulo de la siguiente manera:
Se marca el ángulo α y el radio correspondiente a él en la circunferencia.
Se determina el punto B= (x; y) como la intersección del radio dibujado y la circunferencia
Se define: cos α= x ; sen α=y.
ESTE MATERIAL ES DE USO EXCLUSIVAMENTE DIDÁCTICO 20
Los ángulos pueden medirse en grados y en radianes. Si bien lo que importa es la distancia que
recorre el ángulo sobre la circunferencia, para evitar confusiones, se comienza a medir los
ángulos desde el punto (1; 0) y en sentido anti horario.
Al establecer que el seno y el coseno de un ángulo resultan ser las coordenadas x e y, la ubicación
de estas coordenadas condicionará el signo del seno y del coseno.
De esta manera:
4_ Calcular los ángulos (en radianes) comprendidos entre 0 y 2π que:
a) Su seno sea igual 0,5
b) Su coseno sea igual 0,5
c) Su seno sea igual 0,9
d) Su coseno sea 0,9
e) Su seno sea -0,9
f) Su coseno sea -0,75
g) Su seno sea 1
√2
h) Su coseno sea √3
2
5_ Escriba 5 parejas de ángulos con el mismo seno
6_ Escriba 5 parejas de ángulos con el mismo coseno
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Definición de las funciones seno y coseno
Después de este recorrido con los ángulos y los triángulos es posible establecer una relación
funcional entre un ángulo y su seno y coseno. Se estudió que cada ángulo tiene un único valor
posible para seno y para coseno. Entonces es posible relacionar la medida de un ángulo y el valor
que toma el seno o la medida de un ángulo y el valor que toma el coseno para ese ángulo.
Se definen entonces dos funciones: f(t)= sen t y g(t)= cos t, donde cada valor de t se corresponde
con un ángulo medido en radianes.
Para comenzar a analizar el grafico de f(t) es conveniente recurrir a la circunferencia
trigonométrica pues para cada ángulo, su seno es la ordenada del punto que es la intersección
del radio con la circunferencia. Si se comienza a marcar los distintos ángulos en la circunferencia
trigonométrica y luego se trasladan al gráfico se puede observar:
Una vez recorrido una vuelta, es posible seguir recorriendo otra vuelta de la circunferencia.
Entonces, la función f(t)=sen t es continua y periódica, su grafico es:
Resulta entonces, que cada vez que se realiza una vuelta completa sobre la circunferencia
trigonométrica, el grafico de f comienza a repetirse. Esto sucede porque una vez que se
completó una vuelta, los puntos sobre la circunferencia trigonométrica comienzan a repetirse.
La medida del seno, entonces, comienza a repetirse.
7_ Graficar g(t) = cos t
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Eje Temático 3: Límite de Funciones
Datos bibligráficos:
Adriana Berio, María Lucila Colombo, Carina D`Albano, Oscar Sardella. (2001). Matemática
2 Activa. Buenos Aires: Puerto de Palos.
Límite de una Función
En la función f(x) =2x+1, se calculan los valores próximos al punto x=2
Cuando el valor de x se aproxima a 2, f(x) está cada vez más cerca de 5.
Es posible hacer que f(x) se aproxime tanto como se quiera a 5, tomando valores de x cada vez
más cercanos a 2.
Matemáticamente, esto se traduce de la siguiente manera: |f(x)-5| se puede tomar tan pequeño
como se quiere, haciendo |x-2| sea lo suficientemente pequeño.
Se define así: “el límite de f(x) a medida que x se aproxima a 5”:
lim𝑥→2
2𝑥 + 1 = 5
Límite: Definición
Sea f(x) una función definida en un intervalo que incluya o no al número a, el límite de f(x)
cuando x tiende a a es L si |f(x) –L| se puede hacer tan pequeño como se quiera cuando |x-a|
es lo suficientemente pequeño.
𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒂
𝒇(𝒙) = 𝑳 si y solo si |f(x) –L| es tan pequeño como se quiera cuando x se acerca más a a
En la definición de limite no importa el valor de la función cuando x=a; no necesariamente la
función debe estar definida en ese valor de x. También puede suceder que exista f(a) y sea
diferente a L.
ESTE MATERIAL ES DE USO EXCLUSIVAMENTE DIDÁCTICO 23
Ejemplo: Dada la función: , la misma no está definida para x=2, pero en
dicho punto tiene límite y para calcularlo, se busca una función cuya gráfica sea la misma,
excepto en dicho punto.
1_ Calcular los siguientes límites
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2_ Hallar los siguientes límites
3_ Hallar los siguientes límites
Limites infinitos
Existen funciones cuyas ordenadas aumentan o disminuyen indefinidamente a medida que la
variable independiente se acerca cada vez más a un valor determinado. Ejemplo: 𝑓(𝑥) =1
𝑥
ESTE MATERIAL ES DE USO EXCLUSIVAMENTE DIDÁCTICO 25
Cuando x toma valores positivos próximos a cero, la función aumenta su valor. Cuando x toma
valores negativos próximos a cero, la función disminuye su valor. En general, el límite es infinito
o menos infinito según si me aproximo a cero por izquierda o por derecha.
Vemos que los límites laterales son distintos.
En cambio, cuando x aumenta o disminuye tomando valores muy grandes, la función tiende al
valor cero.
Indeterminaciones del tipo 0
0
En ciertas ocasiones, al calcular el límite de una función se llegan a resultados del tipo 0
0, lo cual
es una indeterminación algebraica.
ESTE MATERIAL ES DE USO EXCLUSIVAMENTE DIDÁCTICO 26
Para calcular el límite de una indeterminación del tipo 0
0 en funciones racionales, se busca
factorizar el numerador y denominador para simplificar un factor (x-a)
4_ Marcar con una “x” las indeterminaciones del tipo 0
0
5_ Calcular los siguientes límites
Indeterminaciones del tipo ∞
∞
La indeterminación algebraica ∞
∞ surge de calcular el límite de ciertas funciones racionales
Para calcular este tipo de límites, se divide numerador y denominador de la función por xn,
siendo n el mayor de los grados de ambos polinomios, y aplicando luego las propiedades de los
límites:
El grado del polinomio numerador es igual al grado del polinomio denominador
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El grado del polinomio numerador es menor al grado del polinomio denominador
El grado del polinomio numerador es mayor al grado del polinomio denominador
Generalizando:
Si el grado del numerador es mayor al grado del denominador:
Si el grado del numerador el igual al grado del denominador:
Si el grado del numerados es menor al grado del denominador:
6_ Calcular el valor de los siguientes límites
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7_ Calcular los siguientes límites
Continuidad de una función en un punto
Una función f(x) es continua en el punto x=a si y solo si se cumplen las siguientes condiciones:
1) Existe f(a); es decir; existe el valor de la función cuando x=a
2) Existe lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥), es decir, existe el límite de la función cuando x tiende a a
3) lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎), es decir, el valor del límite cuando x tiende a a es igual al valor de la
función en ese punto.
Si algunas de estas condiciones no se cumple, la función f(x) no es continua en x=a; se dice
entonces que la función es discontinua en dicho punto. La representación gráfica de una función
discontinua en un punto presenta una interrupción en dicho punto.
ESTE MATERIAL ES DE USO EXCLUSIVAMENTE DIDÁCTICO 29
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8_ Analizar en qué punto la función es discontinua
9_ Investigar si las siguientes funciones son discontinuas en el punto indicado
10_ Analizar la continuidad de las siguientes funciones y grafíquelas
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Eje Temático 4: Logica Proposicional
Datos bibligráficos:
Armando O. Rojo. (1996). Álgebra I. Buenos Aires: El Ateneo
Introducción
Todo el desarrollo matemático exige razonar en forma válida acerca de las cosas trascendentes
y particularmente abstractas. Hay que comenzar por eliminar las ambigüedades del lenguaje
ordinario, introduciendo símbolos y conectivos cuyo uso adecuado descarte contingencias,
aporte claridad y economía de pensamiento. En este capítulo introducimos el concepto de
proposición, las operaciones proposicionales y sus leyes y reglas de inferencia, cuyo uso estará
presente en el texto.
Proposiciones
Consideramos las siguientes oraciones:
1. ¿Quién viene?
2. Deténgase
3. El calor dilata los cuerpos
4. 4 es un número impar
5. Juan ama la música
6. La música es amada por Juan
Se trata de oraciones diferentes, una interrogativa, una orden y cuatro declarativas. De las dos
primeras no podemos decir que sean verdaderas ni falsas; una pregunta puede formularse o no,
y una orden puede ser cumplida o no. En cambio, de las cuatro últimas, que son declarativas,
tienen sentido decir si son verdaderas o falsas. A estas llamamos proposiciones.
Definición:
Proposición es toda oración respecto de la cual puede decirse si es verdadera o falsa.
Es decir, proposición es toda oración declarativa. Toda proposición está asociada a un valor de
verdad, el cual puede ser verdadero (V) o bien falso (F). Las oraciones 5 y 6 son diferentes desde
el punto de vista gramatical: el objeto directo de la 5 es el sujeto de la 6, pero ambas tienen el
mismo significado, y la consideramos como la misma proposición.
ESTE MATERIAL ES DE USO EXCLUSIVAMENTE DIDÁCTICO 32
Notaciones y Conectivos
Las proposiciones son denotadas con letras: p, q, r, etc. A partir de proposiciones simples es
posible generar otras proposiciones simples o compuestas. Es decir, se pueden operar con
proposiciones, y según sean tales operaciones se utilizan ciertos símbolos, llamados conectivos
lógicos.
Operaciones proposicionales
Definiremos las operaciones entre proposiciones en el sentido siguiente: dadas una o dos
proposiciones, cuyo valores de verdad se conocen, se trata de caracterizar a la proposición
resultante a través de su valor de verdad. Se supone que en la elección de estos valores se tiene
en cuenta el buen sentido.
Negación
Definición:
Negación de la proposición p es la proposición ̴p (no p), cuya tabla de valores de
verdad es la siguiente:
Se trata de una operación unitaria, pues a partir de una proposición se obtiene otra que es su
negación.
Ejemplo: la negación de “p: Todo hombre es honesto”
Conjunción
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Definición:
Conjunción de las proposiciones p y q es la proposición pɅq (p y q), cuya tabla de
valores de verdad es:
La tabla que define la operación establece que la conjunción es verdadera si los son las
proposiciones componentes. En todo otro caso es falsa.
Ejemplo:
i) 3 es un número par y 2 es un número primo
Se trata de la conjunción de las proposiciones:
p: 3 es par
q: 2 es primo
Por ser ambas verdadera, la proposición compuesta es verdadera
ii) Hoy es lunes y mañana es jueves
Se trata de la conjunción de las proposiciones:
p: Hoy es lunes
q: Mañana es jueves
Esta conjunción es F, ya que no coexisten las verdades de p y q.
ESTE MATERIAL ES DE USO EXCLUSIVAMENTE DIDÁCTICO 34
Disyunción
Definición:
Disyunción de las proposiciones p y q es la proposición pvq (p o q), cuya tabla de
valores de verdad es:
La conjunción “o” es utilizada en sentido incluyente, ya que la verdad de la disyunción se da en
el caso de que al menos una de las proposiciones sea V. En el lenguaje ordinario, la palabra “o”
es utilizada en sentido excluyente o incluyente.
La ambigüedad se elimina con la elección del símbolo adecuado.
En matemática se utiliza la disyunción definida por la tabla precedente, la cual agota toda
posibilidad. La disyunción sólo es F en el caso de que las proposiciones componentes sean falsas.
Ejemplo:
i) Hoy es lunes o martes
Representa la disyunción de las operaciones p: hoy es lunes; q: hoy es martes. El sentido de la
conjunción es excluyente, ya que p y q no pueden ser simultáneamente verdaderas. No
obstante, la proposición compuesta puede analizarse a la luz de la tabla propuesta, a través de
los últimos tres renglones, y será falso sólo si los dos los son.
ii) Regalo los libros viejos o que no me sirven
Es la disyunción de las proposiciones
p: regalo los libros viejos
q: regalo los libros que no me sirven
El sentido del o es incluyente, pues si en efecto regalo un libro que es viejo, y que además no
me sirve, entonces p v q es V.
iii) 3 es un número impar o 4 es un número primo
Es una proposición V. pues la primera es V
ESTE MATERIAL ES DE USO EXCLUSIVAMENTE DIDÁCTICO 35
Implicación o Condicional
Definición
Implicación de las proposiciones p y q es la proposición (p implica q, si p
entonces q) cuya tabla de valores de verdad es
Las proposiciones p y q se llaman antecedente y consecuente de la implicación o condicional. La
implicación usual en matemática es formal en el sentido de que no es necesario que el
consecuente se derive lógicamente del antecedente. Las tablas de valores de verdad se definen
arbitrariamente, pero respetando el sentido común. Enunciamos la siguiente proposición:
"SI apruebo el examen, ENTONCES te presto el apunte"
Se trata de la implicación de las proposiciones
p: apruebo el examen
q: te presto el apunte
Interesa inducir la verdad o falsedad de la implicación, en términos de la V o F de las
proposiciones p y q. El enunciado puede pensarse como un compromiso, condicionado por p, y
podemos asociar su verdad al cumplimiento del compromiso. Es obvio que si p es F, es decir, si
no apruebo el examen, quedo liberado del compromiso, y preste o no preste el apunte la
proposición será V. Es decir, si el antecedente es F, la implicación es V. Si p es V, en cuyo caso
apruebo el examen, y no presto el apunte, el compromiso no se cumple, y la proposición es
entonces F. Si p y q son V, entonces la implicación es V porque el compromiso se cumple. De
este modo, la implicación sólo es falsa cuando el antecedente es V y el consecuente F.
Ejemplo:
i) si hoy es lunes, entonces mañana es martes
Es la implicación de las proposiciones
p: hoy es lunes
q: mañana es martes
Como no puede darse antecedente V y consecuente F, la implicaciones V.
Doble implicación o bicondicional
ESTE MATERIAL ES DE USO EXCLUSIVAMENTE DIDÁCTICO 36
Definición:
Doble implicación de las proposiciones p y q es la proposición (p si y sólo si
q), cuya tabla de valores de verdad es
La doble implicación o bicondicional sólo es verdadera si ambas proposiciones tienen el mismo
valor de verdad. La doble implicación puede definirse como la conjunción de una implicación y
su recíproca. De este modo, la tabla de valores de verdad de , puede obtenerse
mediante la tabla de , como sigue:
Ejemplo: T es equilátero si y sólo si T es equiángulo
Es la doble implicación de las proposiciones:
p: T es equilátero
q: T es equiángulo
Toda vez que p sea V, también lo es q. y análogamente, si p es F, q es F. De modo que la doble
implicación es V.
ESTE MATERIAL ES DE USO EXCLUSIVAMENTE DIDÁCTICO 37
Diferencia Simétrica
Definición:
Diferencia simétrica o disyunción excluyente de las proposiciones p y q es la
proposición (p o q en sentido excluyente) cuya tabla de valores de verdad es:
La verdad de está caracterizada por la verdad de una y sólo una de las proposiciones
componentes.
Es claro que equivale a la negación de .
Leyes de Morgan
a) La negación de una disyunción es equivalente a la conjunción de las negaciones
b) La negación de una conjunción es equivalente a la disyunción de las negaciones
Actividades
1_ En el libro Hijos en libertad A. S. Neill, están las siguientes proposiciones:
p: Mis maestros hacen que todas las lecciones sean aburridas
q: No aceptan las respuestas que no figuran en los libros
r: Imponen un cumulo de normas estúpidas
Construir las proposiciones
ESTE MATERIAL ES DE USO EXCLUSIVAMENTE DIDÁCTICO 38
2_ Escriba en forma simbólica las siguientes proposiciones compuestas que figura en el mismo
texto:
“La chatura y el tedio de ciertas disciplinas escolares se transmiten a los maestros, y las escuelas
se llenan de hombres y mujeres de mentalidad estrecha, vanidosos, cuyo horizonte está limitado
por el pizarrón y el libro de texto.”
3_ Confeccionar la tabla de los valores de verdad delas proposiciones
4_ Negar las proposiciones del ejercicio 1
5_ Proponer las siguientes proposiciones en forma simbólica, negarlas y retraducirlas al lenguaje
común
i) No es justa, pero mantiene el orden
ii) Los alumnos conocen a los simuladores y los desprecian
iii) Si los alumnos conocen a los simuladores, entonces los desprecian
6_ Confeccionar la tabla de los valores de verdad delas proposiciones
7_Sabiendo que pvq es V y que ̴q es V, determinar el valor de verdad de:
8_ Determinar en cada caso, si la información que se da es suficiente para conocer el valor de
verdad de las siguientes proposiciones compuestas. En caso afirmativo, justificarlo.
ESTE MATERIAL ES DE USO EXCLUSIVAMENTE DIDÁCTICO 39
9_ Los valores de verdad de las proposiciones p, q, r y s son, respectivamente: V, F, F, V.
Obtener los valores de verdad de:
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