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MATE 3031

Dr. Pedro V·squez

UPRM

P. V·squez (UPRM) Conferencia 1 / 16

MATE 3031

Resumen de gr·Öca de curvas

En los capÌtulos anteriores han recordado como hallar dominio y trazar lasgr·Öcas de funciones; y han aprendido sobre lÌmites, continuidad,asÌntotas, derivadas, rectas tangentes, valores extremos, n˙meros crÌticos,intervalos de crecimiento, decrecimiento, cÛncava hacia arriba, cÛncavahacia abajo, puntos de ináexiÛn y la regla de LíHospital, en esta secciÛn seponen en pr·ctica todo lo aprendido anteriormente para graÖcar funciones.

Pasos para trazar la gr·Öca de una funciÛn y = f (x):

1 Dominio: Determinar los valores de x para los cuales est· deÖnida f .2 Interceptos: Determinar los interceptos con el eje X y eje Y.3 SimetrÌa: Determinar si la funciÛn es par, es decir, f (!x) = f (x) ,en ese caso tiene simetrÌa con el eje Y. Analizar si la funciÛn esimpar, es decir, f (!x) = !f (x) , en ese caso tiene simetrÌa con elorigen. Analizar si la funciÛn es periÛdica, es decir,f (x + p) = f (x) , para todo x en el dominio de f .

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4 AsÌntotas:a Horizontales: Si lim

x!∞f (x) = L o lim

x!!∞f (x) = L, la gr·Öca de f

tiene una asÌtota horizontal, y = L.b Verticales: La recta x = a es una asÌntota vertical si:

limx!a+

f (x) = ∞ limx!a!

f (x) = ∞

limx!a+

f (x) = !∞ limx!a!

f (x) = !∞

c Oblicuas: La recta y = mx + b es una asÌntota oblicua si:limx!∞

[f (x)! (mx + b)] = 0.

5 Intervalos de crecimiento y decrecimiento: Calcule la primeraderivada de f , f 0 y determine los intervalos en los cuales es positiva onegativa.

6 Valores m·ximos y mÌnimos locales: Determine los n˙meroscrÌticos de f , y use el criterio de la primera o segunda derivada.

7 Concavidad y puntos de ináexiÛn: Calcule la segunda derivada def , f 00 y determine los intervalos en los cuales es positiva o negativa.Los puntos de ináexiÛn ocurren donde cambia la concavidad.

8 Trace la gr·Öca de la curva: Use la informaciÛn obtenida en los 7pasos anteriores para trazar la gr·Öca de la funciÛn.P. V·squez (UPRM) Conferencia 3 / 16

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Ejemplos: Trace la gr·Öca de las siguientes funciones.1. f (x) = !x3 + 7x ! 6a. dom (f ) =b. Interceptos: Eje X: y = 0)

Eje X: x = 0)c. SimetrÌa: no tiened. AsÌntotas: no tiene.e. Hallar: f 0 =

f. Valores extremos: f posee un mÌnimo local en x =

y un m·ximo local en x =

g. Hallar: f 00 =

Tiene un punto de ináexiÛn en x =

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−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6

−14

−13

−12

−11

−10

−9

−8

−7

−6

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

6

x

y

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2. f (x) =x

x3 ! 1=

x(x ! 1) (x2 + x + 1)

a. dom (f ) =b. Interceptos: Eje X: y = 0)

Eje X: x = 0)c. SimetrÌa: no tiened. AsÌntotas: Horizontal: . lim

x!%∞f (x) = lim

x!%∞

xx3 ! 1

=

Vertical: limx!1!

xx3 ! 1

= ; limx!1+

xx3 ! 1

=

e. Hallar: f 0 =

)f 0 > 0 enf. Valores extremos: f posee un m·ximo local en x =

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g .Hallar : f 00

Tiene un punto de ináexiÛn en x =f ( ) =

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−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

x

y

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3. f (x) =sin x

2+ cos xa. dom (f ) = .b. Interceptos: Eje X: y = 0)

Eje X: x = 0) y =c. SimetrÌa:d. AsÌntotas: .e. Hallar: f 0 =f 0 > 0 en , f 0 < 0 en ,f. Valores extremos: f posee un mÌnimo local en x =, f () =y un m·ximo local en x =g. Hallar: f 00 =f 00 > 0 en , f 00 < 0 enTiene un punto de ináexiÛn en

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−191π/100 −113π/71 −127π/100 −19π/20 −7π/11 −7π/22 7π/22 7π/11 19π/20 127π/100 113π/71 191π/100 223π/100

−7π/11

−7π/22

7π/22

x

y

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4. f (x) =ex

x2a. dom (f ) = .b. Interceptos: Eje X: y = 0)

Eje X: x = 0) y =c. SimetrÌa:d. AsÌntotas: .e. Hallar: f 0 =f 0 > 0 en, f 0 < 0 enf. Valores extremos: f posee un mÌnimo local en x =y un m·ximo local en x =g. Hallar: f 00 =f 00 > 0 en , f 00 < 0 enTiene un punto de ináexiÛn en .

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−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−2

−1

1

2

3

4

5

6

7

x

y

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