marlio paredes, ph.d. febrero21 de 2009 año académico

Proyecto

Alianza de Matemáticas y Ciencias del Turabo

(AMCT)

Marlio Paredes, Ph.D.

Febrero 21 de 2009

Año académico, 2008-2009

Este Proyecto es sufragado con fondos del Programa Título II-B, “No Child Left Behind”,

“Math and Science Partnership” del Departamento de Educación.

Las matemáticas son

el alfabeto con el cual

Dios ha escrito el

Universo.

Galileo Galilei (1564-1642)

2. Divisibilidad

5315 ×=

Se dice que 15 es divisible por 3 y por 5.

También se acostumbra decir que 3 divide a 15 ó

que 5 divide a 15 y se escribe

15|515|3

},9,8,7,6,5,4,3,2,1{ K=N

Números naturales:

},4,3,2,1,0,1,2,3,4,{ KK −−−−=Z

Números enteros:

. de

múltiplo es quedecir acostumbra se Asimismo,

. escribe sey a divide que dice seTambién

. que tal entero número otro existe si

por divisible es entero númeroun que dice Se

n

m

n|mmn

nkm kn

m

=

100,50,25,20,10,5,4 2, 1,

:son 100 de divisores Los

.11y 1111 :son 11 de divisores Los

6. a divide no 4 que dice se también 4,por divisible es no 6

.6y 6332211 :son 6 de divisores Los

±±±±±±±±±

-, , -

-, , -, , -, , -

La divisibilidad es transitiva:

.por divisible es entonces

por divisible es y por divisible es Si

entonces y Si

nl

mlnm

n|lm|ln|m

42|3 42|6y 6|3 ⇒

Todo número divisible

por 9 es divisible por 3, es

decir que si un número es

divisible por 9 también

será divisible por 3.

Por ejemplo, 45 es divisible por 9, pues 45 = 9x5

45 también es divisible por 3 porque 45 = 3x15

Divisibilidad por 3:

Un número es divisible por 3 cuando la suma de

sus dígitos o cifras es un múltiplo de 3.

(sin tener en cuenta el signo)

45 es divisible por 3 porque 4 + 5 = 9 es múltiplo de 3

246 es divisible por 3 porque 2 + 4 + 6 = 12 es

múltiplo de 3

Divisibilidad por 9:

Un número es divisible por 9 cuando la suma

de sus dígitos o cifras es un múltiplo de 9.

(sin tener en cuenta el signo)

45 es divisible por 9 porque 4 + 5 = 9 es múltiplo de 9

873 es divisible por 3 porque 8 + 7 + 3 = 18 es

múltiplo de 9

40 es divisible por 10 porque 40 = 4 x 10.

40 es divisible por 5 porque 40 = 8 x 5.

10 es divisible por 5 porque

10 = 2 x 5.

Todo número divisible por 10

también es divisible por 5.

Divisibilidad por 5:

Un número es divisible por 5 si su último

digito es 0 ó 5.

35 es divisible por 5 porque 35 = 5 x 7.

80 es divisible por 5 porque 80 = 5 x 8.

225 es divisible por 5, por 3 y por 9.

Divisibilidad por 10:

Un número es divisible por 10 si su último

digito es 0.

30 es divisible por 10 porque 30 = 10 x 3.

30 es divisible por 5 porque 30 = 5 x 6.

180 es divisible por 3, por 5, por 9 y por 10.

Números primos:

compuesto. llamado

es primo es no que 1 natural númeroUn

mismo. y 1son positivos divisores únicos sus

si primo es que dice se 1 natural númeroUn

>

≠

n

p

p

Los números: 2,3,5,13, 101, 163 son primos

Los números: 8, 33, 121, 1001 son compuestos

8 = 2x4

33 = 3 x 11

121 = 11 x 11

1001 = 7 x 11 x 13

Factorización de números

compuestos

12 = 4 x 3 = 22 x 3

45 = 9 x 5 = 32 x 5

= 24 x 3 x 5240 = 24 x 3 x 5

240 = 24 x 10 = 8 x 3 x 10 = 23 x 3 x 2 x 5

3. El Teorema Fundamental

de la Aritmética

natural. númeroun de primaión factorizac la

llamada es número cadaescribir de forma Dicha

primos. números de

productoun como única forma deescribir

puede se 1 quemayor natural número Todo

39 = 3 x 13

100 = 4 x 25 = 22 x 52

504= 2 x 252 = 22 x 126 = 23 x 63

504= 23 x 3 x 21= 23 x 32 x 7

4. El máximo común divisor y

el mínimo común múltiplo

.por como por tantodivisible

es que númeromenor el es y naturales

números dos de múltiplocomún mínimo El

. a como tantodivide

que grande mas número el es y naturales

números dos entredivisor común máximo El

nm

nm

nm

nm

6 = 2 x 3

21 = 3 x 7

⇒

MCD(6,21) = 3

42 = 2 x 3 x 7

30 = 2 x 3 x 5

⇒

MCD(42,30) = 6

Observemos que:

6 = 2 x 3

21 = 3 x 7⇒ MCM(6,21) = 42

MCD(6,21)

216MCM(6,21)

3

21642

×=⇒

×=

El mínimo común múltiplo

lo podemos calcular con la

fórmula:

),MCD()MCM(

nm

mnm,n =

2106

1260

MCD(42,30)

3042 MCM(42,30) ==

×=

42 = 2 x 3 x 7

30 = 2 x 3 x 5⇒ MCM(42,30) = 2 x 3 x 5 x 7

Ejercicios

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GRACIAS

Año académico, 2008-2009